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Reglas de los exponentes y notación científica

Usa las reglas del producto, del cociente y de la potencia; los exponentes cero, negativos y fraccionarios; y la notación científica.

Practicar esta destreza 25 min Reglas de los exponentes Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Los exponentes son una forma corta de escribir una multiplicación repetida. En esta lección vas a aprender todas las reglas de los exponentes que usa el GED®: las reglas del producto, del cociente y de la potencia, los exponentes cero y negativos, los exponentes fraccionarios (racionales) y la notación científica para números muy grandes y muy pequeños.

Cómo aparece en el GED®:

  • "¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{x^7}{x^2}?" o "Simplifica (2x^3)^4".
  • Calcular 4^{-2} o 27^{2/3}, muchas veces en la sección sin calculadora.
  • Problemas verbales de tipo científico: distancias en el espacio, tamaños de células y virus, poblaciones, almacenamiento de computadoras, escritos como 9.3 \times 10^7 o 2 \times 10^{-6}.
  • Más adelante en álgebra, los exponentes aparecen en polinomios, en fórmulas de área y volumen, y en el crecimiento exponencial.

Todas las reglas vienen de una sola idea: cuenta los factores. Si olvidas una regla el día del examen, escribe los factores y cuéntalos; siempre puedes reconstruirla.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Base: el número que se multiplica (en 5^3, la base es 5).
  • Exponente (potencia): cuántas veces se usa la base como factor (en 5^3, el exponente es 3): 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125.
  • Al cuadrado / al cubo: elevado a la potencia 2 / 3 (7^2 = 49, 2^3 = 8).
  • Coeficiente: el número que va delante de una variable (en 6x^2, el coeficiente es 6).
  • Recíproco: "uno sobre" un número (\tfrac{1}{8} es el recíproco de 8).
  • Raíz cuadrada \sqrt{a}: el número que, elevado al cuadrado, da a (\sqrt{49} = 7).
  • Raíz cúbica \sqrt[3]{a}: el número que, elevado al cubo, da a (\sqrt[3]{64} = 4).
  • Exponente racional: un exponente que es una fracción, como \tfrac12 o \tfrac23; significa una raíz (9^{1/2} = 3).
  • Notación científica: un número escrito como c \times 10^n, donde 1 \le c < 10 y n es un entero (52{,}000 = 5.2 \times 10^4).
  • Potencia de diez: 10^n; por ejemplo, 10^3 = 1000 y 10^{-2} = 0.01.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Qué significa un exponente (y la trampa del signo)

Un exponente cuenta factores repetidos:

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
Five boxes each containing 2, joined by multiplication signs: 2 × 2 × 2 × 2 × 2. A bracket below says 5 factors of 2, written 2 to the 5th power, which equals 32 — not 2 × 5 = 10. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 5 factors of 2 2 5 the exponent counts the factors (2⁵ = 32, not 2 × 5 = 10)
Cinco factores de 2 forman 2 a la 5.ª = 32
  • a^1 = a (un factor): 9^1 = 9.
  • No es la base por el exponente: 2^5 \ne 10.
  • El orden importa: 2^5 = 32, pero 5^2 = 25.

Las potencias de 10 son fáciles: el exponente cuenta los ceros. 10^4 = 10{,}000, 10^6 = 1{,}000{,}000.

Bases negativas: fíjate en los paréntesis.

  • (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16: la base es -2.
  • -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16: la base es solo 2; el signo menos se aplica después.
  • Una potencia par de un número negativo es positiva; una potencia impar es negativa: (-3)^3 = -27.

Orden de las operaciones: los exponentes van antes que la multiplicación y la suma. 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24, no 6^3.

Las reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias

Cada regla de abajo funciona solo cuando las bases son iguales (para multiplicar y dividir).

ReglaEn símbolosEjemplo
Regla del productoa^m \cdot a^n = a^{m+n}x^4 \cdot x^5 = x^9
Regla del cociente\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\dfrac{7^6}{7^2} = 7^4
Potencia de una potencia(a^m)^n = a^{mn}(x^3)^4 = x^{12}
Potencia de un producto(ab)^n = a^n b^n(2x)^3 = 8x^3
Potencia de un cociente\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}

Por qué funciona la regla del producto: x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x)(x \cdot x \cdot x) = x^5; en total son cinco factores, así que se suman los exponentes.

Product rule picture: x squared is two boxes of x (blue) and x cubed is three boxes of x (red). Side by side they make 5 factors of x, so x squared times x cubed equals x to the 5th power. x × x × x × x × x x 2 x 3 2 + 3 = 5 factors of x x² · x³ = x²⁺³ = x⁵
x al cuadrado por x al cubo mostrado como 5 factores de x

Los coeficientes siguen la aritmética normal. 3x^2 \cdot 4x^5 = (3 \cdot 4)x^{2+5} = 12x^7. Y \dfrac{12x^8}{4x^3} = 3x^5.

Las bases diferentes no se pueden combinar: x^2 \cdot y^3 se queda como x^2y^3. Y sumar potencias no tiene atajo: x^2 + x^3 no se puede simplificar, y 2^3 + 2^3 = 16, no 2^6.

Exponentes cero, negativos y fraccionarios

Exponente cero. Para cualquier a distinto de cero: a^0 = 1. Razón: \dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0, y cualquier número dividido entre sí mismo es 1. Ejemplos: 5^0 = 1, (-8)^0 = 1, (3x)^0 = 1. Pero 3x^0 = 3 \cdot 1 = 3 (solo la x está elevada a 0).

Exponente negativo. a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}: significa recíproco, no negativo.

  • 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac18
  • 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0.01
  • \dfrac{1}{x^{-4}} = x^4 (un exponente negativo en el denominador sube)
  • 5x^{-2} = \dfrac{5}{x^2} (solo la x se mueve; el 5 se queda)

Patrón: 2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2, 2^0 = 1, 2^{-1} = \tfrac12, 2^{-2} = \tfrac14; cada paso hacia abajo divide entre 2.

Bar chart of powers of 2: 2 cubed = 8, 2 squared = 4, 2 to the 1st = 2, 2 to the 0 = 1, 2 to the -1 = 1/2, 2 to the -2 = 1/4. Each step to the right lowers the exponent by 1 and divides the value by 2. 8 2 3 ÷2 4 2 2 ÷2 2 2 1 ÷2 1 2 0 ÷2 1 2 2 −1 ÷2 1 4 2 −2 Each step right: exponent goes down 1, value is divided by 2
Gráfica de barras de potencias de 2 que se reducen a la mitad en cada paso

Exponentes fraccionarios (racionales). El denominador es una raíz y el numerador es una potencia:

a^{\frac1n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m
  • 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5
  • 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2
  • 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
  • 16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8
  • 9^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt9} = \dfrac13 (negativo y fracción: primero el recíproco, luego la raíz)

Notación científica

La notación científica escribe un número como

c \times 10^n, \qquad 1 \le c < 10,\ n \text{ un entero}

Número grande → notación científica: mueve el punto decimal a la izquierda hasta que quede un solo dígito distinto de cero delante; el número de movimientos es un exponente positivo. 52{,}000 = 5.2 \times 10^4 (4 movimientos).

Número pequeño → notación científica: mueve el punto a la derecha; el exponente es negativo. 0.00045 = 4.5 \times 10^{-4} (4 movimientos).

Moving the decimal point. Top: 52,000. becomes 5.2 after the point hops 4 places left, so 52,000 = 5.2 × 10 to the 4th. Bottom: 0.00045 becomes 4.5 after the point hops 4 places right, so 0.00045 = 4.5 × 10 to the -4. 5 2 0 0 0 4 hops left = 5.2 × 10⁴ big number → positive exponent 0 0 0 0 4 5 4 hops right = 4.5 × 10⁻⁴ small number → negative exponent red dot = old decimal point, blue dot = new decimal point
Saltos del punto decimal para 52,000 y 0.00045

De vuelta a la forma estándar: si n es positivo → mueve el punto n lugares a la derecha; si n es negativo → muévelo a la izquierda. 3.07 \times 10^5 = 307{,}000; 6.1 \times 10^{-3} = 0.0061.

Multiplicar: multiplica los números de adelante, suma los exponentes y luego ajusta la forma. (3 \times 10^4)(5 \times 10^6) = 15 \times 10^{10} = 1.5 \times 10^{11}.

Dividir: divide los números de adelante y resta los exponentes. \dfrac{8 \times 10^9}{2 \times 10^3} = 4 \times 10^6.

Comparar: primero compara los exponentes (exponente mayor = número mayor, para valores positivos); si son iguales, compara los números de adelante. 2.1 \times 10^{-3} > 9.8 \times 10^{-4} porque -3 > -4.

Fórmula

Reglas de los exponentes (memorízalas; no están en la hoja de fórmulas)

La hoja de fórmulas del GED® no incluye las reglas de los exponentes. Memorízalas (para a \ne 0, b \ne 0):

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn} (ab)^n = a^n b^n \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m
  • a, b: bases
  • m, n: exponentes (pueden ser positivos, negativos, cero o fracciones)

Notación científica: c \times 10^n con 1 \le c < 10.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): reglas del producto y del cociente

Simplifica \dfrac{x^4 \cdot x^5}{x^3}.

  1. Numerador, regla del producto: x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9.
  2. Regla del cociente: \dfrac{x^9}{x^3} = x^{9-3} = x^6.
Fraction with nine factors of x on top (x to the 4th times x to the 5th) and three factors of x on the bottom (x cubed). Three x's on top are crossed out with the three x's on the bottom, leaving six factors of x: the answer is x to the 6th. x x x x x x x x x x x x x 4 x 5 = x 6 9 factors on top, 3 cancel with the 3 on the bottom: 9 − 3 = 6 green slashes: x/x = 1
Nueve x sobre tres x; se cancelan tres y queda x a la 6.ª

Respuesta: x^6.

Comprobación: con x = 2: \dfrac{16 \cdot 32}{8} = \dfrac{512}{8} = 64 = 2^6. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: exponentes cero, negativos y fraccionarios

Calcula (a) 2^{-3}, (b) 5^0, (c) 16^{3/4}.

  1. (a) 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac18 = 0.125.
  2. (b) Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1: 5^0 = 1.
  3. (c) Primero la raíz cuarta: \sqrt[4]{16} = 2 (porque 2^4 = 16). Luego eleva al cubo: 2^3 = 8.
Two flow diagrams. Top: 2 to the -3 means 1 over 2 cubed, which is 1/8. Bottom: 16 to the 3/4 power — first take the 4th root of 16 to get 2 (the denominator 4 is the root), then cube 2 to get 8 (the numerator 3 is the power). 2 −3 reciprocal 1 2³ 2³ = 8 1 8 16 3/4 4th root (denominator 4) 2 cube (numerator 3) 8 2⁴ = 16, so the 4th root of 16 is 2; 2³ = 8
Diagramas de flujo para 2 a la −3 y 16 a la 3/4

Respuestas: \tfrac18, 1, 8.

Comprobación de (c): 8^4 = 4096 y 16^3 = 4096, así que 8 = 16^{3/4}. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: varias reglas a la vez

Simplifica (2a^3b^{-2})^3 y escríbelo con exponentes positivos.

  1. Eleva cada factor al cubo: 2^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (b^{-2})^3.
  2. 2^3 = 8; (a^3)^3 = a^9; (b^{-2})^3 = b^{-6}.
  3. Resultado: 8a^9b^{-6} = \dfrac{8a^9}{b^6}.
Table showing (2a³b⁻²)³ as three copies of the factors 2, a cubed and b to the -2 multiplied together. Column results: 2 × 2 × 2 = 8; a³ · a³ · a³ = a⁹ (3 + 3 + 3 = 9); b⁻² · b⁻² · b⁻² = b⁻⁶ (−2 − 2 − 2 = −6). Final answer 8a⁹/b⁶. 2 2 2 a³ a³ a³ b⁻² b⁻² b⁻² copy 1 copy 2 copy 3 2×2×2 = 8 a³⁺³⁺³ = a⁹ b⁻²⁻²⁻² = b⁻⁶ (2a³b⁻²)³ = 8a⁹b⁻⁶ = 8a⁹/b⁶
Tres copias de 2, a al cubo y b a la −2 multiplicadas por columna

Respuesta: \dfrac{8a^9}{b^6}.

Comprobación: con a = 1, b = 2: (2 \cdot 1 \cdot \tfrac14)^3 = (\tfrac12)^3 = \tfrac18, y \tfrac{8}{64} = \tfrac18. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problemas verbales): notación científica

(a) La masa de la Tierra es de aproximadamente 6.0 \times 10^{24} kg y la de la Luna, de aproximadamente 7.3 \times 10^{22} kg. ¿Aproximadamente cuántas veces más pesada es la Tierra?

(b) Un disco de 2 terabytes guarda 2 \times 10^{12} bytes. Cada foto usa 4 \times 10^6 bytes. ¿Cuántas fotos caben?

  1. (a) Divide: \dfrac{6.0}{7.3} \approx 0.822 y 10^{24-22} = 10^2. Entonces 0.822 \times 100 \approx 82.
  2. (b) Divide: \dfrac{2}{4} = 0.5 y 10^{12-6} = 10^6. Entonces 0.5 \times 10^6 = 5 \times 10^5 = 500{,}000 fotos.
Powers-of-ten ruler from 10 to the 20th to 10 to the 25th kilograms. The Moon's mass, 7.3 × 10²² kg, sits just below 10²³. Earth's mass, 6.0 × 10²⁴ kg, sits just below 10²⁵. They are almost 2 powers of ten apart, so Earth is about 82 times heavier (6.0 ÷ 7.3 × 100 ≈ 82). 10 20 10 21 10 22 10 23 10 24 10 25 Moon 7.3 × 10²² Earth 6.0 × 10²⁴ × about 82 mass (kg), each big tick = 10 times the one before
Regla de potencias de diez con las masas de la Luna y de la Tierra

Respuestas: (a) aproximadamente 82 veces; (b) 500,000 fotos.

Comprobación de (b): 500{,}000 \times 4{,}000{,}000 = 2{,}000{,}000{,}000{,}000 = 2 \times 10^{12}. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajar hacia atrás): encuentra el exponente que falta

(a) Encuentra n si 3^n \cdot 3^4 = 3^{10}. (b) Encuentra x si 2^x = \dfrac{1}{32}.

  1. (a) Regla del producto: 3^{n+4} = 3^{10}. La base es la misma, así que los exponentes son iguales: n + 4 = 10, entonces n = 6.
  2. (b) Escribe 32 como potencia de 2: 32 = 2^5. Entonces \dfrac{1}{32} = \dfrac{1}{2^5} = 2^{-5}.
  3. Así que 2^x = 2^{-5}, lo que significa que x = -5.
A strip of 10 boxes, each containing 3, showing 3 to the 10th. The first 6 boxes are bracketed as 3 to the n with n = 6 and the last 4 boxes as 3 to the 4th, so n + 4 = 10 gives n = 6. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 3 n 3 4 all together: 310 n + 4 = 10, so n = 6
Tira de 10 treses dividida en 3 a la n y 3 a la 4.ª

Respuestas: n = 6; x = -5.

Comprobación: 3^6 \cdot 3^4 = 729 \cdot 81 = 59{,}049 = 3^{10} ✓, y 2^{-5} = \tfrac{1}{32} ✓.

Consejo de calculadora

Consejos para la TI-30XS MultiView

  • Cualquier potencia: usa la tecla ^. 3^4: 3 ^ 4 enter → 81. Presiona la flecha derecha para salir del exponente antes de seguir escribiendo.
  • Cuadrados: la tecla x². Raíces cuadradas: 2nd y luego x² (√).
  • Otras raíces: escribe primero el índice de la raíz, luego 2nd ^ (ˣ√) y después el número: 3 2nd ^ 27 enter → 3.
  • Bases negativas: usa paréntesis y la tecla (−): ( (−) 2 ) ^ 4 → 16. Sin paréntesis, la calculadora calcula -2^4 = -16.
  • Exponentes negativos o fraccionarios: 2 ^ (−) 3 enter → 0.125; presiona toggle para ver \tfrac18. Para 27^{2/3}, escribe el exponente con la tecla n/d o como (2÷3).
  • Notación científica: la tecla ×10ⁿ introduce una potencia de diez: 1.5 ×10ⁿ 8 da 1.5 \times 10^8. Si en cambio escribes × 10 ^, presiona la flecha derecha para salir de cada exponente y pon cada número entre paréntesis al dividir: ( 1.5 × 10 ^ 8 ▶ ) ÷ ( 3 × 10 ^ 5 ▶ ) enter.

Cuándo no usarla: las preguntas de "¿qué expresión es equivalente a...?" con variables no se pueden resolver con la calculadora; necesitas las reglas. Se espera que calcules potencias pequeñas como 2^5 o \sqrt[3]{27} sin calculadora.

Error común

Errores comunes

  • Multiplicar la base por el exponente. Incorrecto: 3^4 = 12. Correcto: 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81.
  • Confundir la regla del producto con la de la potencia. Incorrecto: x^5 \cdot x^3 = x^{15}. Correcto: suma los exponentes al multiplicar potencias (x^8); multiplícalos solo en (x^5)^3 = x^{15}.
  • Olvidar el coeficiente. Incorrecto: (2x^3)^4 = 2x^{12}. Correcto: 2^4x^{12} = 16x^{12}.
  • Pensar que un exponente negativo da un número negativo. Incorrecto: 4^{-2} = -16. Correcto: 4^{-2} = \tfrac{1}{16}.
  • La trampa del signo con bases negativas. Incorrecto: -3^2 = 9. Correcto: -3^2 = -9, mientras que (-3)^2 = 9.
  • Errores de notación científica. Incorrecto: 93{,}000{,}000 = 93 \times 10^6 (el número de adelante no está entre 1 y 10) o 9.3 \times 10^6 (se contaron los ceros). Correcto: 9.3 \times 10^7.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Prueba con un número. Para "¿qué expresión es equivalente?", elige x = 2 (evita 0 y 1), calcula la expresión original y cada opción, y quédate con la que coincida.
  • Elimina por signo y tamaño. Un exponente negativo en una base positiva da un número positivo menor que 1. Las opciones negativas o grandes quedan descartadas.
  • Vuelve a escribir con una base común. 4 = 2^2, 8 = 2^3, 27 = 3^3, 1000 = 10^3. Luego trabaja solo con los exponentes.
  • Respuestas en notación científica: comprueba que el número de adelante esté entre 1 y 10, y que los números grandes tengan exponentes positivos y los pequeños, negativos.
  • Lee las unidades. Los problemas verbales pueden dar segundos y pedir minutos, o dar metros y pedir kilómetros.
  • Tiempo: los cálculos sencillos deberían tomarte menos de un minuto. Si te falta tiempo, deja las simplificaciones largas para el final de la sección.

Compruébalo

Reglas de los exponentesSin calculadora

What is the value of 3^4?

Opciones de respuesta
Pista

The exponent tells you how many times to use the base as a factor.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de 3^4?

Opciones

  • A. 7
  • B. 12
  • C. 64
  • D. 81
Pista

El exponente te dice cuántas veces debes usar la base como factor.

Compruébalo

Reglas de los exponentesSin calculadora

Which expression is equivalent to x^5 \cdot x^3?

Opciones de respuesta
Pista

Write out each power as repeated factors and count how many x's you have in total.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión es equivalente a x^5 \cdot x^3?

Opciones

  • A. x^{15}
  • B. x^8
  • C. x^2
  • D. 2x^8
Pista

Escribe cada potencia como factores repetidos y cuenta cuántas x tienes en total.

Resumen

  • Un exponente cuenta factores repetidos: a^n = a \times a \times \cdots \times a (n veces).
  • Misma base: al multiplicar → suma los exponentes; al dividir → réstalos; potencia de una potencia → multiplícalos.
  • a^0 = 1, a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} (recíproco, no negativo) y a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m.
  • Los paréntesis importan: (-2)^4 = 16, pero -2^4 = -16.
  • La notación científica es c \times 10^n con 1 \le c < 10; multiplica o divide los números de adelante y suma o resta los exponentes.
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