The exponent tells you how many times to use the base as a factor.
Solución paso a paso
The base is 3 and the exponent is 4, so 3 is used as a factor 4 times.
Write it out: 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3.
Multiply step by step: 3 \times 3 = 9, then 9 \times 3 = 27, then 27 \times 3 = 81.
Answer: 81.
Check:3^2 = 9 and 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81. ✓
Tip: An exponent is repeated multiplication, not multiplication of the base by the exponent. 3^4 \ne 3 \times 4, and 3^4 \ne 4^3 — the order of base and exponent matters.
Explicación
La base es 3 y el exponente es 4, así que 3 se usa como factor 4 veces.
Consejo: Un exponente es una multiplicación repetida, no la base multiplicada por el exponente. 3^4 \ne 3 \times 4, y 3^4 \ne 4^3: el orden de la base y el exponente importa.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de 3^4?
Opciones
A. 7
B. 12
C. 64
D. 81
Pista
El exponente te dice cuántas veces debes usar la base como factor.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to x^5 \cdot x^3?
Pista
Write out each power as repeated factors and count how many x's you have in total.
Solución paso a paso
x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x (5 factors) and x^3 = x \cdot x \cdot x (3 factors).
Multiplying puts all the factors together: 5 + 3 = 8 factors of x.
So x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8.
This is the product rule: same base, multiply → add the exponents.
Answer: x^8.
Check: try x = 2: 2^5 \cdot 2^3 = 32 \cdot 8 = 256, and 2^8 = 256. ✓
Tip: Add exponents when you multiply powers of the same base. Multiply exponents only for a power of a power, like (x^5)^3 = x^{15}.
Explicación
x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x (5 factores) y x^3 = x \cdot x \cdot x (3 factores).
Al multiplicar se juntan todos los factores: 5 + 3 = 8 factores de x.
Entonces, x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8.
Esta es la regla del producto: misma base, multiplicación → se suman los exponentes.
Respuesta: x^8.
Comprobación: prueba con x = 2: 2^5 \cdot 2^3 = 32 \cdot 8 = 256, y 2^8 = 256. ✓
Consejo: Suma los exponentes cuando multiplicas potencias de la misma base. Multiplica los exponentes solo en una potencia de una potencia, como (x^5)^3 = x^{15}.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a x^5 \cdot x^3?
Opciones
A.x^{15}
B.x^8
C.x^2
D.2x^8
Pista
Escribe cada potencia como factores repetidos y cuenta cuántas x tienes en total.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the value of 4^{-2}? Write your answer as a fraction or a decimal.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
A negative exponent does not make the answer negative. It means "one over" the positive power.
Tip: Common wrong answers are -16 (making the result negative) and -8 (multiplying 4 \times -2). A negative exponent means reciprocal: the answer is a small positive number.
Consejo: Las respuestas incorrectas comunes son -16 (hacer negativo el resultado) y -8 (multiplicar 4 \times -2). Un exponente negativo significa recíproco: la respuesta es un número positivo pequeño.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de 4^{-2}? Escribe tu respuesta como fracción o como decimal.
Pista
Un exponente negativo no hace que la respuesta sea negativa. Significa "uno sobre" la potencia positiva.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Without a calculator, find -2^4. Notice that there are no parentheses around the -2.
Pista
Check what the exponent is attached to. Is the negative sign inside parentheses with the 2, or not?
Solución paso a paso
Order of operations: exponents come before the negative sign (which acts like multiplying by -1).
So -2^4 means -(2^4).
2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16.
Apply the negative: -(16) = -16.
Answer: -16.
Check: compare with (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16. The parentheses are what make the -2 the base. Without them, only the 2 is raised to the power. ✓
Tip:-a^n and (-a)^n are different. If there are no parentheses, the exponent touches only the number right next to it. On the TI-30XS, typing (−) 2 ^ 4 also gives -16.
Explicación
Orden de las operaciones: los exponentes van antes del signo negativo (que funciona como multiplicar por -1).
Entonces, -2^4 significa -(2^4).
2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16.
Aplica el signo negativo: -(16) = -16.
Respuesta: -16.
Comprobación: compara con (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16. Los paréntesis son los que hacen que -2 sea la base. Sin ellos, solo el 2 se eleva a la potencia. ✓
Consejo:-a^n y (-a)^n son diferentes. Si no hay paréntesis, el exponente afecta solo al número que tiene justo al lado. En la TI-30XS, escribir (−) 2 ^ 4 también da -16.
Ver en español
Pregunta
Sin calculadora, encuentra -2^4. Observa que no hay paréntesis alrededor del -2.
Opciones
A.-16
B.-8
C.8
D.16
Pista
Fíjate a qué está pegado el exponente. ¿El signo negativo está dentro de un paréntesis junto con el 2, o no?
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraCompletar
Write the value of \dfrac{10^{9}}{10^{6}} as a whole number.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Both powers have the same base, 10. What do you do with the exponents when you divide?
Solución paso a paso
Quotient rule: \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} when the bases are the same.
Here: \dfrac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3.
10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1{,}000.
Answer: 1,000.
Check:10^9 is one billion (1{,}000{,}000{,}000) and 10^6 is one million (1{,}000{,}000). One billion divided by one million is 1{,}000. ✓
Tip: For powers of ten, the exponent counts zeros. Dividing removes zeros: 9 zeros minus 6 zeros leaves 3 zeros. A common wrong answer is 10^{1.5} (dividing the exponents 9 \div 6) — you subtract, not divide.
Explicación
Regla del cociente: \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} cuando las bases son iguales.
Aquí: \dfrac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3.
10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1{,}000.
Respuesta: 1,000.
Comprobación:10^9 es mil millones (1{,}000{,}000{,}000) y 10^6 es un millón (1{,}000{,}000). Mil millones dividido entre un millón es 1{,}000. ✓
Consejo: en las potencias de diez, el exponente cuenta los ceros. Dividir quita ceros: 9 ceros menos 6 ceros dejan 3 ceros. Una respuesta incorrecta común es 10^{1.5} (dividir los exponentes, 9 \div 6): se restan, no se dividen.
Ver en español
Pregunta
Escribe el valor de \dfrac{10^{9}}{10^{6}} como número entero.
Pista
Las dos potencias tienen la misma base, 10. ¿Qué haces con los exponentes cuando divides?
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
What is the value of 5^{0} + 5^{-1}?
Pista
Find each term on its own. Any nonzero number to the power 0 is the same value. A negative exponent means "one over".
Solución paso a paso
Zero exponent: 5^0 = 1 (any nonzero base to the power 0 equals 1).
Tip: The pattern "divide by the base each time the exponent drops by 1" explains both rules at once: a^0 = 1 and a^{-1} = \tfrac1a. Neither rule ever produces a negative number.
Explicación
Exponente cero: 5^0 = 1 (cualquier base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1).
Consejo: el patrón "divide entre la base cada vez que el exponente baja 1" explica las dos reglas a la vez: a^0 = 1 y a^{-1} = \tfrac1a. Ninguna de las dos reglas da nunca un número negativo.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de 5^{0} + 5^{-1}?
Opciones
A.\dfrac15
B.\dfrac65
C.-4
D.\dfrac{26}{5}
Pista
Encuentra cada término por separado. Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 tiene el mismo valor. Un exponente negativo significa "uno sobre".
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
A strand of human hair is about 0.00007 meter wide. How is this width written in scientific notation?
Pista
Move the decimal point until exactly one nonzero digit is in front of it. Did you move it left or right?
Solución paso a paso
The first nonzero digit is 7. Scientific notation needs a number from 1 up to (not including) 10, so the front number is 7.
Count the places the decimal point moves from 0.00007 to 7.: it passes the digits 0, 0, 0, 0, 7 — that is 5 places to the right.
Moving right for a small number gives a negative exponent: 10^{-5}.
Tip: Numbers less than 1 always have a negative exponent in scientific notation. Count decimal places moved, not zeros: 0.00007 shows four zeros after the point, but the point moves five places.
Explicación
El primer dígito distinto de cero es 7. La notación científica necesita un número desde 1 hasta 10 (sin incluirlo), así que el número de adelante es 7.
Cuenta los lugares que se mueve el punto decimal de 0.00007 a 7.: pasa por los dígitos 0, 0, 0, 0, 7, es decir, 5 lugares hacia la derecha.
Moverse a la derecha con un número pequeño da un exponente negativo: 10^{-5}.
Consejo: los números menores que 1 siempre tienen un exponente negativo en notación científica. Cuenta los lugares que se mueve el punto, no los ceros: 0.00007 muestra cuatro ceros después del punto, pero el punto se mueve cinco lugares.
Ver en español
Pregunta
Un cabello humano mide aproximadamente 0.00007 metros de ancho. ¿Cómo se escribe este ancho en notación científica?
Opciones
A.7 \times 10^{-4}
B.7 \times 10^{5}
C.7 \times 10^{-5}
D.0.7 \times 10^{-4}
Pista
Mueve el punto decimal hasta que quede exactamente un dígito distinto de cero delante de él. ¿Lo moviste a la izquierda o a la derecha?
Pregunta 8 de 36
Sin calculadoraCompletar
Find the value of n that makes the equation true.
x^{7} \cdot x^{n} = x^{12}
n =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
When you multiply powers with the same base, what happens to the exponents? Write an equation using only the exponents.
Solución paso a paso
Product rule: x^7 \cdot x^n = x^{7+n}.
The equation says x^{7+n} = x^{12}. Same base, so the exponents must be equal: 7 + n = 12.
Tip: Turning a power equation into an exponent equation is the key move in "find the missing exponent" questions. A common wrong answer is \tfrac{12}{7}, which uses the multiplying rule instead of the adding rule.
Explicación
Regla del producto: x^7 \cdot x^n = x^{7+n}.
La ecuación dice x^{7+n} = x^{12}. La base es la misma, así que los exponentes deben ser iguales: 7 + n = 12.
Resta 7 en ambos lados: n = 12 - 7 = 5.
Respuesta: n = 5.
Comprobación:x^7 \cdot x^5 = x^{7+5} = x^{12}. ✓ Prueba con x = 2: 2^7 \cdot 2^5 = 128 \cdot 32 = 4{,}096 y 2^{12} = 4{,}096. ✓
Consejo: convertir una ecuación de potencias en una ecuación de exponentes es el paso clave en las preguntas de "encuentra el exponente que falta". Una respuesta incorrecta común es \tfrac{12}{7}, que usa la regla de multiplicar en lugar de la regla de sumar.
Ver en español
Pregunta
Encuentra el valor de n que hace verdadera la ecuación.
x^{7} \cdot x^{n} = x^{12}
n = _____
Pista
Cuando multiplicas potencias de la misma base, ¿qué pasa con los exponentes? Escribe una ecuación usando solo los exponentes.
Pregunta 9 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to (2x^3)^4?
Pista
The outside exponent applies to every factor inside the parentheses — including the number 2.
Tip: Do not just count zeros — count decimal places moved. 93{,}000{,}000 has 6 zeros, but the point moves 7 places because the digit 3 also gets passed.
Explicación
Coloca el punto decimal después del primer dígito que no es cero, para que el número quede entre 1 y 10: 9.3.
Cuenta cuántos lugares se movió el punto decimal desde el final de 93{,}000{,}000. hasta llegar a 9.3: se movió 7 lugares a la izquierda.
Moverlo a la izquierda en un número grande da un exponente positivo: 10^7.
Consejo: No cuentes solo los ceros: cuenta los lugares que se mueve el punto decimal. 93{,}000{,}000 tiene 6 ceros, pero el punto se mueve 7 lugares porque también pasa el dígito 3.
Ver en español
Pregunta
La distancia promedio de la Tierra al Sol es de aproximadamente 93,000,000 millas. ¿Cómo se escribe esta distancia en notación científica?
Opciones
A.93 \times 10^6
B.9.3 \times 10^6
C.9.3 \times 10^{-7}
D.9.3 \times 10^7
Pista
En notación científica, el primer número debe ser al menos 1 y menor que 10. Cuenta cuántos lugares se mueve el punto decimal.
Pregunta 11 de 36
Completar
A certain bacterium is 2 \times 10^{-6} meter long. A certain virus is 4 \times 10^{-8} meter long.
How many times longer is the bacterium than the virus?
times
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
"How many times longer" means divide the larger length by the smaller one. Divide the front numbers, then subtract the exponents.
Solución paso a paso
Set up the division: \dfrac{2 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-8}}.
Divide the front numbers: \dfrac{2}{4} = 0.5.
Divide the powers of ten by subtracting exponents: \dfrac{10^{-6}}{10^{-8}} = 10^{-6 - (-8)} = 10^{2}.
Tip: Watch the double negative: -6 - (-8) = -6 + 8 = 2. Writing -6 - 8 = -14 is the most common error here. Also, "times longer" always means divide — subtracting gives a difference, not a ratio.
Explicación
Plantea la división: \dfrac{2 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-8}}.
Divide los números de adelante: \dfrac{2}{4} = 0.5.
Divide las potencias de diez restando los exponentes: \dfrac{10^{-6}}{10^{-8}} = 10^{-6 - (-8)} = 10^{2}.
Consejo: Cuidado con el doble negativo: -6 - (-8) = -6 + 8 = 2. Escribir -6 - 8 = -14 es el error más común aquí. Además, "cuántas veces más larga" siempre significa dividir: restar da una diferencia, no una razón.
Ver en español
Pregunta
Cierta bacteria mide 2 \times 10^{-6} metros de largo. Cierto virus mide 4 \times 10^{-8} metros de largo.
¿Cuántas veces más larga es la bacteria que el virus?
_____ veces
Pista
"Cuántas veces más larga" significa que debes dividir la longitud mayor entre la menor. Divide los números de adelante y luego resta los exponentes.
Pregunta 12 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the expression that makes the statement true. (Assume x \ne 0.)
x^{-3} is equivalent to .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Use x^{-3} \cdot x^{3} = x^0 = 1. What do you multiply x^3 by to get 1?
Solución paso a paso
Negative exponent rule: a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} (for a \ne 0).
Apply it with a = x and n = 3: x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}.
Why it works: x^{-3} \cdot x^3 = x^{-3+3} = x^0 = 1, so x^{-3} is the reciprocal of x^3.
Answer: \dfrac{1}{x^3}.
Check: let x = 2: 2^{-3} = \tfrac{1}{2^3} = \tfrac18 = 0.125. The other choices give -8, -6 and about 1.26 — none equal 0.125. ✓
Tip: A negative exponent moves the factor across the fraction bar and makes the exponent positive. It never makes the value negative by itself.
Explicación
Regla del exponente negativo: a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} (para a \ne 0).
Aplícala con a = x y n = 3: x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}.
Por qué funciona: x^{-3} \cdot x^3 = x^{-3+3} = x^0 = 1, así que x^{-3} es el recíproco de x^3.
Respuesta: \dfrac{1}{x^3}.
Comprobación: sea x = 2: 2^{-3} = \tfrac{1}{2^3} = \tfrac18 = 0.125. Las otras opciones dan -8, -6 y alrededor de 1.26; ninguna es igual a 0.125. ✓
Consejo: Un exponente negativo pasa el factor al otro lado de la barra de fracción y hace positivo el exponente. Por sí solo, nunca hace negativo el valor.
Ver en español
Pregunta
Selecciona la expresión que hace verdadera la afirmación. (Supón que x \ne 0).
x^{-3} es equivalente a _____.
Opciones
\dfrac{1}{x^3}
-x^3
-3x
\sqrt[3]{x}
Pista
Usa x^{-3} \cdot x^{3} = x^0 = 1. ¿Por qué tienes que multiplicar x^3 para obtener 1?
Pregunta 13 de 36
Sin calculadora
What is the value of 27^{\frac{2}{3}}?
Pista
In a^{m/n}, the bottom number n is a root and the top number m is a power. Take the root first to keep numbers small.
Solución paso a paso
Rule: a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. Here m = 2 (power) and n = 3 (cube root).
Consejo: Las reglas de los exponentes sirven para multiplicar y dividir potencias de la misma base. Para sumar potencias, primero tienes que calcular cada una.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las expresiones que son iguales a 2^6.
Opciones
A.(2^3)^2
B.2^2 \cdot 2^3
C.2^8 \div 2^2
D.4^3
E.2^3 + 2^3
F.6^2
Pista
Primero encuentra el valor de 2^6. Luego simplifica o calcula cada opción con las reglas de los exponentes.
Pregunta 15 de 36
Sin calculadora
A streaming service has about 3 \times 10^{4} subscribers in one city. Each subscriber streams about 2.5 \times 10^{3} minutes of video per month.
About how many minutes of video do these subscribers stream in a month, in total?
Pista
A total for many people who each do the same amount means multiply. Multiply the front numbers, and combine the powers of ten with the product rule.
Solución paso a paso
Total = (number of subscribers) \times (minutes each): (3 \times 10^4)(2.5 \times 10^3).
Multiply the front numbers: 3 \times 2.5 = 7.5.
Multiply the powers of ten by adding exponents: 10^4 \times 10^3 = 10^{4+3} = 10^7.
Combine: 7.5 \times 10^7. Since 7.5 is between 1 and 10, this is already in scientific notation.
Answer: 7.5 \times 10^7 minutes.
Check: in standard form, 30{,}000 \times 2{,}500 = 75{,}000{,}000, and 7.5 \times 10^7 = 75{,}000{,}000. ✓
Tip: Multiply the front numbers, add the exponents. Never add the front numbers (3 + 2.5) and never multiply the exponents (4 \times 3).
Explicación
Total = (número de suscriptores) \times (minutos de cada uno): (3 \times 10^4)(2.5 \times 10^3).
Multiplica los números de adelante: 3 \times 2.5 = 7.5.
Multiplica las potencias de diez sumando los exponentes: 10^4 \times 10^3 = 10^{4+3} = 10^7.
Junta los resultados: 7.5 \times 10^7. Como 7.5 está entre 1 y 10, ya está en notación científica.
Respuesta: 7.5 \times 10^7 minutos.
Comprobación: en forma estándar, 30{,}000 \times 2{,}500 = 75{,}000{,}000, y 7.5 \times 10^7 = 75{,}000{,}000. ✓
Consejo: multiplica los números de adelante y suma los exponentes. Nunca sumes los números de adelante (3 + 2.5) y nunca multipliques los exponentes (4 \times 3).
Ver en español
Pregunta
Un servicio de streaming tiene aproximadamente 3 \times 10^{4} suscriptores en una ciudad. Cada suscriptor ve aproximadamente 2.5 \times 10^{3} minutos de video al mes.
¿Aproximadamente cuántos minutos de video ven en total estos suscriptores en un mes?
Opciones
A.7.5 \times 10^{12}
B.5.5 \times 10^{7}
C.7.5 \times 10^{1}
D.7.5 \times 10^{7}
Pista
Un total para muchas personas que hacen la misma cantidad cada una significa multiplicar. Multiplica los números de adelante y combina las potencias de diez con la regla del producto.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadoraMenú
Simplify \left(x^{2}y^{5}\right)^{3}. Select the correct exponents.
The exponent of x is , and the exponent of y is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
The outside exponent 3 applies to each factor inside the parentheses. For a power of a power, do you add or multiply?
Solución paso a paso
Power of a product: \left(x^2y^5\right)^3 = \left(x^2\right)^3 \cdot \left(y^5\right)^3.
Power of a power — multiply exponents:
\left(x^2\right)^3 = x^{2 \times 3} = x^6
\left(y^5\right)^3 = y^{5 \times 3} = y^{15}
Result: x^6y^{15}.
Answers: the exponent of x is 6; the exponent of y is 15.
Check: write it out: \left(x^2y^5\right)^3 = (x^2y^5)(x^2y^5)(x^2y^5). Now use the product rule: x^{2+2+2} = x^6 and y^{5+5+5} = y^{15}. ✓
Tip: Adding exponents is for multiplying separate powers (x^2 \cdot x^3). A power of a power multiplies the exponents. The exponent itself is never raised to a power.
Explicación
Potencia de un producto: \left(x^2y^5\right)^3 = \left(x^2\right)^3 \cdot \left(y^5\right)^3.
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes:
\left(x^2\right)^3 = x^{2 \times 3} = x^6
\left(y^5\right)^3 = y^{5 \times 3} = y^{15}
Resultado: x^6y^{15}.
Respuestas: el exponente de x es 6; el exponente de y es 15.
Comprobación: escríbelo completo: \left(x^2y^5\right)^3 = (x^2y^5)(x^2y^5)(x^2y^5). Ahora usa la regla del producto: x^{2+2+2} = x^6 y y^{5+5+5} = y^{15}. ✓
Consejo: sumar exponentes es para multiplicar potencias separadas (x^2 \cdot x^3). Una potencia de una potencia multiplica los exponentes. El exponente mismo nunca se eleva a una potencia.
Ver en español
Pregunta
Simplifica \left(x^{2}y^{5}\right)^{3}. Selecciona los exponentes correctos.
El exponente de x es _____ y el exponente de y es _____.
Opciones
5
6
8
8
15
125
Pista
El exponente de afuera, 3, se aplica a cada factor dentro del paréntesis. En una potencia de una potencia, ¿sumas o multiplicas?
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
Dana simplified \dfrac{6x^{8}}{2x^{2}} (with x \ne 0) as shown.
Step 1:\dfrac{6}{2} = 3
Step 2:\dfrac{x^{8}}{x^{2}} = x^{4}
Step 3: So the expression equals 3x^{4}.
Which statement is true?
Pista
Check each step on its own. Which rule should be used to divide powers with the same base?
Solución paso a paso
Step 1 divides the coefficients: 6 \div 2 = 3. This is correct.
Step 2 divides powers with the same base. The quotient rule says subtract the exponents: \dfrac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6. Dana divided the exponents (8 \div 2 = 4), so Step 2 is wrong.
Step 3 should therefore be 3x^6.
Answer: Step 2 is wrong; it should be x^6, so the result is 3x^6.
Tip: Coefficients and exponents follow different rules. Coefficients are divided normally; exponents of the same base are subtracted. Plugging in a small number like x = 2 is a fast way to catch an error.
Explicación
El Paso 1 divide los coeficientes: 6 \div 2 = 3. Esto es correcto.
El Paso 2 divide potencias con la misma base. La regla del cociente dice que se restan los exponentes: \dfrac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6. Dana dividió los exponentes (8 \div 2 = 4), así que el Paso 2 está mal.
Por lo tanto, el Paso 3 debería ser 3x^6.
Respuesta: el Paso 2 está mal; debería ser x^6, así que el resultado es 3x^6.
Consejo: los coeficientes y los exponentes siguen reglas diferentes. Los coeficientes se dividen de forma normal; los exponentes de la misma base se restan. Sustituir un número pequeño, como x = 2, es una forma rápida de encontrar un error.
Ver en español
Pregunta
Dana simplificó \dfrac{6x^{8}}{2x^{2}} (con x \ne 0) como se muestra.
Paso 1:\dfrac{6}{2} = 3
Paso 2:\dfrac{x^{8}}{x^{2}} = x^{4}
Paso 3: Entonces, la expresión es igual a 3x^{4}.
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El paso 2 está mal; \dfrac{x^8}{x^2} debería ser x^6.
B. El paso 1 está mal; \dfrac{6}{2} debería ser 4.
C. No hay ningún error; la respuesta 3x^4 es correcta.
D. El paso 2 está mal; \dfrac{x^8}{x^2} debería ser x^{10}.
Pista
Revisa cada paso por separado. ¿Qué regla se debe usar para dividir potencias de la misma base?
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
In computer memory, 1 kilobyte is 2^{10} bytes, and 1 megabyte is 2^{10} kilobytes.
How many bytes are in 1 megabyte?
Pista
To change megabytes to bytes, you multiply by the number of kilobytes in a megabyte and then by the number of bytes in a kilobyte.
Solución paso a paso
Bytes in 1 megabyte = (kilobytes per megabyte) \times (bytes per kilobyte).
Answer: 2^{20} bytes (which is 1{,}048{,}576 bytes).
Check:2^{10} = 1{,}024. Then 1{,}024 \times 1{,}024 = 1{,}048{,}576, and 2^{20} = 1{,}048{,}576. ✓
Tip: Keep the base the same and add the exponents. Do not multiply the bases (2 \times 2 = 4) — the base stays 2. And do not add the powers as if they were plain numbers: 2^{10} + 2^{10} = 2^{11}, which is a sum, not a product.
Explicación
Bytes en 1 megabyte = (kilobytes por megabyte) \times (bytes por kilobyte).
Eso es 2^{10} \times 2^{10}.
Regla del producto: misma base, se multiplica → se suman los exponentes: 2^{10} \times 2^{10} = 2^{10+10} = 2^{20}.
Respuesta: 2^{20} bytes (que son 1{,}048{,}576 bytes).
Consejo: deja la base igual y suma los exponentes. No multipliques las bases (2 \times 2 = 4): la base sigue siendo 2. Y no sumes las potencias como si fueran números comunes: 2^{10} + 2^{10} = 2^{11}, que es una suma, no un producto.
Ver en español
Pregunta
En la memoria de una computadora, 1 kilobyte equivale a 2^{10} bytes, y 1 megabyte equivale a 2^{10} kilobytes.
¿Cuántos bytes hay en 1 megabyte?
Opciones
A.2^{100}
B.2^{20}
C.4^{20}
D.2^{11}
Pista
Para convertir megabytes a bytes, multiplicas por el número de kilobytes que hay en un megabyte y luego por el número de bytes que hay en un kilobyte.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the value of 16^{\frac{3}{4}}?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The denominator of the exponent tells you which root to take. Take that root of 16 first, then apply the numerator as a power.
Solución paso a paso
Rule: a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. Here n = 4 (fourth root) and m = 3 (cube).
Fourth root of 16: \sqrt[4]{16} = 2, because 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16.
Cube the result: 2^3 = 8.
Answer: 8.
Check: write 16 as a power of 2: 16 = 2^4, so 16^{3/4} = \left(2^4\right)^{3/4} = 2^{4 \cdot \frac34} = 2^3 = 8. ✓
Tip: Root first, power second keeps the numbers small (16^3 = 4{,}096 is much harder to take a fourth root of). Wrong answers to watch for: 12 (from 16 \times \tfrac34) and 2 (root taken but not cubed). On the TI-30XS you can type 16 ^ ( 3 ÷ 4 ).
Explicación
Regla: a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. Aquí n = 4 (raíz cuarta) y m = 3 (al cubo).
Raíz cuarta de 16: \sqrt[4]{16} = 2, porque 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16.
Eleva el resultado al cubo: 2^3 = 8.
Respuesta: 8.
Comprobación: escribe 16 como potencia de 2: 16 = 2^4, así que 16^{3/4} = \left(2^4\right)^{3/4} = 2^{4 \cdot \frac34} = 2^3 = 8. ✓
Consejo: sacar primero la raíz y después la potencia mantiene los números pequeños (es mucho más difícil sacar la raíz cuarta de 16^3 = 4{,}096). Respuestas incorrectas a vigilar: 12 (de 16 \times \tfrac34) y 2 (se sacó la raíz, pero no se elevó al cubo). En la TI-30XS puedes escribir 16 ^ ( 3 ÷ 4 ).
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de 16^{\frac{3}{4}}?
Pista
El denominador del exponente te dice qué raíz debes sacar. Saca primero esa raíz de 16 y luego aplica el numerador como potencia.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Which of these expressions have a value of exactly \dfrac{1}{9}? Choose every one that does.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Rewrite each choice as a single power of 3 (or work out its value). A negative exponent means reciprocal.
Solución paso a paso
Target: \dfrac19 = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}. Test each choice:
3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac19 ✓
-3^{2} = -(3^2) = -9 ✗ (negative, not a reciprocal)
9^{-1} = \dfrac{1}{9} ✓
\dfrac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} = \dfrac19 ✓
\left(\tfrac13\right)^{-2} = \left(\tfrac31\right)^{2} = 9 ✗ (a negative exponent flips the fraction)
Tip: A negative exponent on a fraction flips the fraction: \left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\tfrac{b}{a}\right)^n. And -3^2 is not \tfrac19 — the minus sign is outside the power.
Explicación
Objetivo: \dfrac19 = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}. Prueba cada opción:
3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac19 ✓
-3^{2} = -(3^2) = -9 ✗ (es negativo, no un recíproco)
9^{-1} = \dfrac{1}{9} ✓
\dfrac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} = \dfrac19 ✓
\left(\tfrac13\right)^{-2} = \left(\tfrac31\right)^{2} = 9 ✗ (un exponente negativo invierte la fracción)
3^{-6} \div 3^{3} = 3^{-6-3} = 3^{-9} ✗ (no es 3^{-2})
Consejo: un exponente negativo sobre una fracción invierte la fracción: \left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\tfrac{b}{a}\right)^n. Y -3^2 no es \tfrac19: el signo menos está fuera de la potencia.
Ver en español
Pregunta
¿Cuáles de estas expresiones tienen un valor exactamente igual a \dfrac{1}{9}? Elige todas las que lo tengan.
Opciones
A.3^{-2}
B.-3^{2}
C.9^{-1}
D.\dfrac{3^4}{3^6}
E.\left(\tfrac13\right)^{-2}
F.3^{-6} \div 3^{3}
Pista
Vuelve a escribir cada opción como una sola potencia de 3 (o calcula su valor). Un exponente negativo significa recíproco.
Pregunta 21 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
A science class measured the widths of four particles, in millimeters. Drag each width into the table to order them from least to greatest.
Least
2nd
3rd
Greatest
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Compare the exponents first: with negative exponents, the number closer to zero (like -2) is the larger power of ten. Only compare front numbers when the exponents match.
Solución paso a paso
Compare the powers of ten first. For negative exponents, 10^{-2} > 10^{-3} > 10^{-4} (hundredths are bigger than thousandths).
Smallest power: 5 \times 10^{-4} is the only one with 10^{-4}, so it is the least (0.0005).
Next: 4.2 \times 10^{-3} = 0.0042.
Two numbers share 10^{-2}; compare their front numbers: 1.1 < 3.9, so 1.1 \times 10^{-2} = 0.011 comes before 3.9 \times 10^{-2} = 0.039.
Tip: Do not order by the front numbers alone (1.1, 3.9, 4.2, 5) — that ignores the exponents, which matter much more. With negative exponents, the more negative exponent is the smaller number.
Explicación
Compara primero las potencias de diez. Con exponentes negativos, 10^{-2} > 10^{-3} > 10^{-4} (las centésimas son más grandes que las milésimas).
La potencia más pequeña: 5 \times 10^{-4} es el único con 10^{-4}, así que es el menor (0.0005).
El siguiente: 4.2 \times 10^{-3} = 0.0042.
Dos números comparten 10^{-2}; compara sus números de adelante: 1.1 < 3.9, así que 1.1 \times 10^{-2} = 0.011 va antes que 3.9 \times 10^{-2} = 0.039.
Consejo: no ordenes solo por los números de adelante (1.1, 3.9, 4.2, 5): eso ignora los exponentes, que importan mucho más. Con exponentes negativos, el exponente más negativo corresponde al número más pequeño.
Ver en español
Pregunta
Una clase de ciencias midió el ancho de cuatro partículas, en milímetros. Arrastra cada ancho a la tabla para ordenarlos del menor al mayor.
Menor
2.º
3.º
Mayor
_____
_____
_____
_____
Opciones
5 \times 10^{-4}
4.2 \times 10^{-3}
1.1 \times 10^{-2}
3.9 \times 10^{-2}
Pista
Primero compara los exponentes: con exponentes negativos, el que está más cerca del cero (como -2) da la potencia de diez mayor. Compara los números de adelante solo cuando los exponentes sean iguales.
Pregunta 22 de 36
A community center uses a phone tree to share news. In round 1, the coordinator calls 3 volunteers. In each later round, every person called in the previous round calls 3 new people.
How many people are called in round 5 alone?
Pista
Make a short table: round 1, round 2, round 3 … How does each round's number compare with the one before it?
Solución paso a paso
Round 1: 3 people = 3^1.
Round 2: each of those 3 calls 3 people: 3 \times 3 = 9 = 3^2.
Round 3: 9 \times 3 = 27 = 3^3.
The pattern: round r has 3^r calls. So round 5 has 3^5.
Tip: "Each one does it again" situations grow by repeated multiplication — that is an exponent. Read carefully: "in round 5 alone" is 243, but "in all five rounds" would be 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363.
Explicación
Ronda 1: 3 personas = 3^1.
Ronda 2: cada una de esas 3 llama a 3 personas: 3 \times 3 = 9 = 3^2.
Ronda 3: 9 \times 3 = 27 = 3^3.
El patrón: la ronda r tiene 3^r llamadas. Así que la ronda 5 tiene 3^5.
Comprobación:81 \times 3 = 243 ✓ (la ronda 4 por 3).
Consejo: las situaciones en las que "cada uno lo vuelve a hacer" crecen por multiplicación repetida, es decir, con un exponente. Lee con cuidado: "solo en la ronda 5" es 243, pero "en las cinco rondas" sería 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363.
Ver en español
Pregunta
Un centro comunitario usa una cadena telefónica para compartir noticias. En la ronda 1, la coordinadora llama a 3 voluntarios. En cada ronda siguiente, cada persona a la que se llamó en la ronda anterior llama a 3 personas nuevas.
¿A cuántas personas se llama solo en la ronda 5?
Opciones
A.15
B.125
C.243
D.363
Pista
Haz una tabla corta: ronda 1, ronda 2, ronda 3… ¿Cómo se compara el número de cada ronda con el de la ronda anterior?
Pregunta 23 de 36
Completar
A data center has 6.4 \times 10^{12} bytes of free storage. A high-definition movie file uses about 3.2 \times 10^{9} bytes.
How many movie files of this size fit in the free storage?
files
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
"How many fit" means divide the total by the size of one. Divide the front numbers and subtract the exponents.
Solución paso a paso
Set up the division: \dfrac{6.4 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{9}}.
Front numbers: 6.4 \div 3.2 = 2.
Powers of ten: 10^{12} \div 10^{9} = 10^{12-9} = 10^3.
Tip: On the TI-30XS, wrap each number in parentheses: (6.4×10^12▶)÷(3.2×10^9▶) (the right arrow leaves the exponent). Without the parentheses the calculator may divide by 3.2 and then multiply by 10^9. Common wrong answers: 2 \times 10^{21} (adding exponents) and 3.2 (subtracting front numbers).
Explicación
Plantea la división: \dfrac{6.4 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{9}}.
Números de adelante: 6.4 \div 3.2 = 2.
Potencias de diez: 10^{12} \div 10^{9} = 10^{12-9} = 10^3.
Consejo: en la TI-30XS, pon cada número entre paréntesis: (6.4×10^12▶)÷(3.2×10^9▶) (la flecha a la derecha sale del exponente). Sin los paréntesis, la calculadora puede dividir entre 3.2 y luego multiplicar por 10^9. Respuestas incorrectas comunes: 2 \times 10^{21} (sumar los exponentes) y 3.2 (restar los números de adelante).
Ver en español
Pregunta
Un centro de datos tiene 6.4 \times 10^{12} bytes de almacenamiento libre. Un archivo de película en alta definición usa aproximadamente 3.2 \times 10^{9} bytes.
¿Cuántos archivos de película de este tamaño caben en el almacenamiento libre?
_____ archivos
Pista
"Cuántos caben" significa dividir el total entre el tamaño de uno. Divide los números de adelante y resta los exponentes.
Pregunta 24 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to \dfrac{\left(3x^{-2}y^{4}\right)^2}{x^{3}y^{5}}? (Assume x \ne 0 and y \ne 0.)
Pista
Work in order: apply the outside exponent to every factor, then divide powers with the same base by subtracting exponents.
Solución paso a paso
Power of a product — square every factor in the numerator:
\left(3x^{-2}y^{4}\right)^2 = 3^2 \cdot x^{-2 \cdot 2} \cdot y^{4 \cdot 2} = 9x^{-4}y^{8}.
Quotient rule — subtract exponents for each base:
x: x^{-4} \div x^{3} = x^{-4-3} = x^{-7}
y: y^{8} \div y^{5} = y^{8-5} = y^{3}
Result so far: 9x^{-7}y^{3}.
Negative exponent — move x^{-7} to the denominator: \dfrac{9y^{3}}{x^{7}}.
Answer: \dfrac{9y^3}{x^7}.
Check: let x = 1, y = 2: original = \dfrac{(3 \cdot 1 \cdot 16)^2}{1 \cdot 32} = \dfrac{2304}{32} = 72; answer = \dfrac{9 \cdot 8}{1} = 72. ✓
Tip: Do one rule at a time and write each step. Most errors come from multiplying the coefficient by the exponent (3 \times 2) or losing the sign of a negative exponent.
Explicación
Potencia de un producto: eleva al cuadrado cada factor del numerador:
\left(3x^{-2}y^{4}\right)^2 = 3^2 \cdot x^{-2 \cdot 2} \cdot y^{4 \cdot 2} = 9x^{-4}y^{8}.
Regla del cociente: resta los exponentes de cada base:
x: x^{-4} \div x^{3} = x^{-4-3} = x^{-7}
y: y^{8} \div y^{5} = y^{8-5} = y^{3}
Resultado hasta ahora: 9x^{-7}y^{3}.
Exponente negativo: pasa x^{-7} al denominador: \dfrac{9y^{3}}{x^{7}}.
Respuesta: \dfrac{9y^3}{x^7}.
Comprobación: sea x = 1, y = 2: original = \dfrac{(3 \cdot 1 \cdot 16)^2}{1 \cdot 32} = \dfrac{2304}{32} = 72; respuesta = \dfrac{9 \cdot 8}{1} = 72. ✓
Consejo: Aplica una regla a la vez y escribe cada paso. La mayoría de los errores vienen de multiplicar el coeficiente por el exponente (3 \times 2) o de perder el signo de un exponente negativo.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{\left(3x^{-2}y^{4}\right)^2}{x^{3}y^{5}}? (Supón que x \ne 0 y y \ne 0).
Opciones
A.\dfrac{9y^3}{x^7}
B.\dfrac{6y^3}{x^7}
C.9xy^3
D.\dfrac{9y^{13}}{x^7}
Pista
Sigue el orden: aplica el exponente de afuera a cada factor y luego divide las potencias de la misma base restando los exponentes.
Pregunta 25 de 36
Completar
Light travels at about 3.0 \times 10^5 kilometers per second. The Sun is about 1.5 \times 10^8 kilometers from Earth.
About how many minutes does it take sunlight to reach Earth? Round to the nearest tenth of a minute.
minutes
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Time = distance \div speed. That gives seconds; then convert seconds to minutes.
Check:8.3 \text{ min} \times 60 = 498 s, and 498 \times 3.0 \times 10^5 \approx 1.49 \times 10^8 km — very close to 1.5 \times 10^8. ✓
Tip: Track units in a multi-step problem. Stopping at 500 answers in seconds; the question asks for minutes. On the calculator, put each number in parentheses: (1.5×10^8▶)÷(3×10^5▶)enter (the right arrow leaves the exponent).
Comprobación:8.3 \text{ min} \times 60 = 498 s, y 498 \times 3.0 \times 10^5 \approx 1.49 \times 10^8 km: muy cerca de 1.5 \times 10^8. ✓
Consejo: Lleva el control de las unidades en un problema de varios pasos. Si te detienes en 500, respondes en segundos; la pregunta pide minutos. En la calculadora, pon cada número entre paréntesis: (1.5×10^8▶)÷(3×10^5▶)enter (la flecha a la derecha te saca del exponente).
Ver en español
Pregunta
La luz viaja a aproximadamente 3.0 \times 10^5 kilómetros por segundo. El Sol está a aproximadamente 1.5 \times 10^8 kilómetros de la Tierra.
¿Aproximadamente cuántos minutos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? Redondea al décimo de minuto más cercano.
_____ minutos
Pista
Tiempo = distancia \div rapidez. Eso da segundos; luego convierte los segundos a minutos.
Pregunta 26 de 36
Sin calculadora
Simplify completely, using only positive exponents in your result (assume a \ne 0 and b \ne 0):
Tip: Write the subtraction with parentheses when an exponent is negative: -3 - (-4). Dropping the parentheses (-3 - 4 = -7) is the most common error on this kind of item.
Explicación
Potencia de un producto en el numerador: \left(2a^3b^{-1}\right)^3 = 2^3 \cdot a^{3 \cdot 3} \cdot b^{-1 \cdot 3} = 8a^9b^{-3}.
Consejo: escribe la resta con paréntesis cuando un exponente sea negativo: -3 - (-4). Quitar los paréntesis (-3 - 4 = -7) es el error más común en este tipo de ejercicio.
Ver en español
Pregunta
Simplifica por completo, usando solo exponentes positivos en tu resultado (supón que a \ne 0 y b \ne 0):
Primero eleva al cubo cada factor del numerador. Luego divide los coeficientes y resta los exponentes base por base. Ten cuidado al restar un negativo.
Pregunta 27 de 36
Completar
Healthy blood contains about 5 \times 10^{6} red blood cells per microliter. There are 1{,}000 microliters in 1milliliter.
About how many red blood cells are in a 4.5-milliliter blood sample? Write your answer in scientific notation.
Front number: \quad Exponent of 10:
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First change 4.5 mL into microliters. Then multiply by the number of cells in each microliter. Make sure your front number is between 1 and 10.
Solución paso a paso
Convert the sample to microliters: 4.5 \text{ mL} \times 1{,}000 = 4{,}500 \text{ µL} = 4.5 \times 10^3 µL.
Tip: Two common slips: forgetting the mL-to-µL conversion (giving 2.25 \times 10^7), and leaving the answer as 22.5 \times 10^9, which is not scientific notation because 22.5 > 10.
Explicación
Convierte la muestra a microlitros: 4.5 \text{ mL} \times 1{,}000 = 4{,}500 \text{ µL} = 4.5 \times 10^3 µL.
Consejo: dos descuidos comunes: olvidar la conversión de mL a µL (lo que da 2.25 \times 10^7) y dejar la respuesta como 22.5 \times 10^9, que no está en notación científica porque 22.5 > 10.
Ver en español
Pregunta
La sangre sana contiene aproximadamente 5 \times 10^{6} glóbulos rojos por microlitro. Hay 1{,}000 microlitros en 1mililitro.
¿Aproximadamente cuántos glóbulos rojos hay en una muestra de sangre de 4.5 mililitros? Escribe tu respuesta en notación científica.
Número de adelante: _____ \quad Exponente de 10: _____
Pista
Primero convierte 4.5 mL a microlitros. Luego multiplica por el número de células que hay en cada microlitro. Asegúrate de que tu número de adelante esté entre 1 y 10.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadora
What value of n makes this equation true? (Assume x \ne 0.)
\dfrac{x^{n} \cdot x^{2}}{x^{9}} = x^{-3}
Pista
Simplify the left side to a single power of x that still contains n. Then set its exponent equal to -3.
Tip: Collapse the left side into one exponent expression first (n - 7), then solve a simple one-step equation. Keep track of the sign of every exponent: the 2 in the numerator adds, the 9 in the denominator subtracts.
Explicación
Numerador, regla del producto: x^n \cdot x^2 = x^{n+2}.
Divide, regla del cociente: \dfrac{x^{n+2}}{x^9} = x^{n+2-9} = x^{n-7}.
Consejo: primero reduce el lado izquierdo a una sola expresión de exponente (n - 7) y luego resuelve una ecuación sencilla de un paso. Fíjate en el signo de cada exponente: el 2 del numerador suma, el 9 del denominador resta.
Ver en español
Pregunta
¿Qué valor de n hace verdadera esta ecuación? (Supón que x \ne 0).
\dfrac{x^{n} \cdot x^{2}}{x^{9}} = x^{-3}
Opciones
A.-14
B.4
C.6
D.8
Pista
Simplifica el lado izquierdo a una sola potencia de x que todavía contenga n. Luego iguala su exponente a -3.
Pregunta 29 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to \left(\dfrac{3x^{2}}{y^{3}}\right)^{4}? (Assume y \ne 0.)
Pista
The outside exponent applies to every factor on the top and the bottom of the fraction, including the number 3.
Solución paso a paso
Power of a quotient: \left(\dfrac{3x^2}{y^3}\right)^4 = \dfrac{\left(3x^2\right)^4}{\left(y^3\right)^4}.
Check: let x = 1, y = 1: original = 3^4 = 81 and answer = 81 ✓. Let x = 2, y = 1: original = (12)^4 = 20{,}736 and 81 \cdot 2^8 = 81 \cdot 256 = 20{,}736 ✓.
Tip:3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81, not 3 \times 4 = 12. Every factor inside the parentheses — number, top variable, bottom variable — gets the power.
Explicación
Potencia de un cociente: \left(\dfrac{3x^2}{y^3}\right)^4 = \dfrac{\left(3x^2\right)^4}{\left(y^3\right)^4}.
Comprobación: sea x = 1, y = 1: original = 3^4 = 81 y respuesta = 81 ✓. Sea x = 2, y = 1: original = (12)^4 = 20{,}736 y 81 \cdot 2^8 = 81 \cdot 256 = 20{,}736 ✓.
Consejo:3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81, no 3 \times 4 = 12. Cada factor dentro del paréntesis (el número, la variable de arriba y la variable de abajo) se eleva a la potencia.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \left(\dfrac{3x^{2}}{y^{3}}\right)^{4}? (Supón que y \ne 0).
Opciones
A.\dfrac{12x^8}{y^{12}}
B.\dfrac{81x^6}{y^7}
C.\dfrac{3x^8}{y^{12}}
D.\dfrac{81x^8}{y^{12}}
Pista
El exponente de afuera se aplica a cada factor de arriba y de abajo de la fracción, incluido el número 3.
Pregunta 30 de 36
Sin calculadora
Luis divided \left(8 \times 10^{5}\right) \div \left(4 \times 10^{-2}\right) as shown.
Step 1:8 \div 4 = 2
Step 2:10^{5} \div 10^{-2} = 10^{3}
Step 3: The answer is 2 \times 10^{3}.
Which statement is true?
Pista
Use the quotient rule in Step 2 and write the subtraction carefully with parentheses.
Solución paso a paso
Step 1:8 \div 4 = 2. Correct.
Step 2: quotient rule: \dfrac{10^5}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{5+2} = 10^7. Luis wrote 10^3 — he computed 5 - 2 and lost the double negative. Step 2 is wrong.
Correct answer:2 \times 10^7.
Answer: Step 2 is wrong; the correct quotient is 2 \times 10^7.
Check: in standard form: 800{,}000 \div 0.04 = 20{,}000{,}000 = 2 \times 10^7 ✓. (Dividing by a small number like 0.04 must give a larger result, so 2{,}000 was too small.)
Tip: Dividing by a negative power of ten makes the result bigger: \dfrac{1}{10^{-2}} = 10^2. Write 5 - (-2) with parentheses so you see the two minus signs.
Explicación
Paso 1:8 \div 4 = 2. Correcto.
Paso 2: regla del cociente: \dfrac{10^5}{10^{-2}} = 10^{5-(-2)} = 10^{5+2} = 10^7. Luis escribió 10^3: calculó 5 - 2 y perdió el doble negativo. El Paso 2 está mal.
Respuesta correcta:2 \times 10^7.
Respuesta: el Paso 2 está mal; el cociente correcto es 2 \times 10^7.
Comprobación: en forma estándar: 800{,}000 \div 0.04 = 20{,}000{,}000 = 2 \times 10^7 ✓. (Dividir entre un número pequeño como 0.04 debe dar un resultado mayor, así que 2{,}000 era demasiado pequeño.)
Consejo: dividir entre una potencia de diez negativa hace que el resultado sea más grande: \dfrac{1}{10^{-2}} = 10^2. Escribe 5 - (-2) con paréntesis para ver los dos signos menos.
Ver en español
Pregunta
Luis dividió \left(8 \times 10^{5}\right) \div \left(4 \times 10^{-2}\right) como se muestra.
Paso 1:8 \div 4 = 2
Paso 2:10^{5} \div 10^{-2} = 10^{3}
Paso 3: La respuesta es 2 \times 10^{3}.
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El paso 2 está mal; la respuesta debería ser 2 \times 10^{7}.
B. El paso 1 está mal; debería ser 8 \times 4 = 32.
C. No hay ningún error.
D. El paso 3 está mal; la respuesta debería ser 2 \times 10^{-3}.
Pista
Usa la regla del cociente en el paso 2 y escribe la resta con cuidado, con paréntesis.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraMenú
Kim simplified \left(-2x^{3}\right)^{2} as shown.
Step 1:(-2)^{2} = -4
Step 2:\left(x^{3}\right)^{2} = x^{6}
Step 3: So \left(-2x^{3}\right)^{2} = -4x^{6}.
The first error is in . The correct simplified expression is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
What is (-2) \times (-2)? Then check the exponent rule used in Step 2.
Solución paso a paso
Step 1:(-2)^2 = (-2)(-2) = +4, because a negative times a negative is positive. Kim wrote -4, so Step 1 is the first error.
Step 2: power of a power: \left(x^3\right)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6. This step is correct.
Correct result:4x^6.
Answers: the first error is in Step 1; the correct expression is 4x^6.
Check: let x = 1: \left(-2 \cdot 1\right)^2 = (-2)^2 = 4, and 4 \cdot 1^6 = 4 ✓. Kim's -4x^6 gives -4 ✗. Any even power of a real number is never negative.
Tip: Inside parentheses, the negative sign is part of the base, so it is squared too. An even power always gives a non-negative result.
Explicación
Paso 1:(-2)^2 = (-2)(-2) = +4, porque negativo por negativo da positivo. Kim escribió -4, así que el Paso 1 es el primer error.
Paso 2: potencia de una potencia: \left(x^3\right)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6. Este paso es correcto.
Resultado correcto:4x^6.
Respuestas: el primer error está en el Paso 1; la expresión correcta es 4x^6.
Comprobación: sea x = 1: \left(-2 \cdot 1\right)^2 = (-2)^2 = 4, y 4 \cdot 1^6 = 4 ✓. El -4x^6 de Kim da -4 ✗. Una potencia par de un número real nunca es negativa.
Consejo: dentro del paréntesis, el signo negativo es parte de la base, así que también se eleva al cuadrado. Una potencia par siempre da un resultado no negativo.
Ver en español
Pregunta
Kim simplificó \left(-2x^{3}\right)^{2} como se muestra.
\dfrac14 ✗ (un exponente fraccionario no es un recíproco)
Respuesta: 4, \sqrt[3]{64} y 2^2.
Comprobación:4^3 = 64 = 8^2, así que 4 = \sqrt[3]{8^2} = 8^{2/3} ✓.
Consejo: "Abajo = raíz, arriba = potencia". Puedes hacerlas en cualquier orden (\sqrt[3]{8^2} o (\sqrt[3]{8})^2), pero no puedes intercambiar cuál número es la raíz.
Ver en español
Pregunta
Hay más de una respuesta correcta. Marca cada expresión cuyo valor sea igual a 8^{\frac{2}{3}}.
Opciones
A.4
B.\sqrt[3]{64}
C.\left(\sqrt{8}\right)^{3}
D.\dfrac{16}{3}
E.2^{2}
F.\dfrac14
Pista
Primero calcula 8^{2/3}: el denominador 3 es una raíz cúbica y el numerador 2 es un cuadrado. Luego encuentra el valor de cada opción.
Pregunta 33 de 36
What is the value of \dfrac{4^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}}{2^{-2}}?
Pista
Evaluate each piece on its own first: 4^{3/2}, then 8^{-1/3}, then 2^{-2}. Dividing by a fraction is the same as multiplying by its reciprocal.
Put it together: \dfrac{8 \cdot \frac12}{\frac14} = \dfrac{4}{\frac14} = 4 \times 4 = 16.
Answer: 16.
Check (all powers of 2):4^{3/2} = 2^3, 8^{-1/3} = 2^{-1}, so the expression is \dfrac{2^{3} \cdot 2^{-1}}{2^{-2}} = 2^{3 - 1 - (-2)} = 2^4 = 16. ✓
Tip: Dividing by a negative power multiplies by the positive power: \dfrac{1}{2^{-2}} = 2^2. Rewriting every base as a power of the same number (here 2) turns the problem into simple exponent arithmetic.
Comprobación (todo como potencias de 2):4^{3/2} = 2^3, 8^{-1/3} = 2^{-1}, así que la expresión es \dfrac{2^{3} \cdot 2^{-1}}{2^{-2}} = 2^{3 - 1 - (-2)} = 2^4 = 16. ✓
Consejo: Dividir entre una potencia negativa es multiplicar por la potencia positiva: \dfrac{1}{2^{-2}} = 2^2. Si escribes cada base como potencia del mismo número (aquí, 2), el problema se vuelve una simple aritmética de exponentes.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \dfrac{4^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}}{2^{-2}}?
Opciones
A.-1
B.1
C.12
D.16
Pista
Primero calcula cada parte por separado: 4^{3/2}, luego 8^{-1/3} y luego 2^{-2}. Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco.
Pregunta 34 de 36
A large cargo ship carries about 2.4 \times 10^{4} containers. Each loaded container has a mass of about 2.5 \times 10^{4} kilograms.
What is the approximate total mass of the containers in metric tons? (1 metric ton = 10^{3} kilograms.)
Pista
Find the total mass in kilograms first. Then decide: to change kilograms into the bigger unit, metric tons, do you multiply or divide by 10^3?
Solución paso a paso
Total mass in kilograms: (2.4 \times 10^4)(2.5 \times 10^4).
Front numbers: 2.4 \times 2.5 = 6.
Powers: 10^{4+4} = 10^8.
Total: 6 \times 10^8 kg.
Convert to metric tons. A ton is bigger than a kilogram, so there are fewer tons: divide by 10^3.
\dfrac{6 \times 10^8}{10^3} = 6 \times 10^{8-3} = 6 \times 10^5 metric tons.
Answer: about 6 \times 10^5 metric tons (600,000 tons).
Check:24{,}000 \times 25{,}000 = 600{,}000{,}000 kg, and 600{,}000{,}000 \div 1{,}000 = 600{,}000 t = 6 \times 10^5 t. ✓
Tip: When you change to a larger unit, the number gets smaller (divide). Before choosing an answer, ask whether its size makes sense: 6 \times 10^{11} tons would be a million times the answer — far more than any ship could carry.
Explicación
Masa total en kilogramos: (2.4 \times 10^4)(2.5 \times 10^4).
Números de adelante: 2.4 \times 2.5 = 6.
Potencias: 10^{4+4} = 10^8.
Total: 6 \times 10^8 kg.
Convierte a toneladas métricas. Una tonelada es más grande que un kilogramo, así que hay menos toneladas: divide entre 10^3.
\dfrac{6 \times 10^8}{10^3} = 6 \times 10^{8-3} = 6 \times 10^5 toneladas métricas.
Comprobación:24{,}000 \times 25{,}000 = 600{,}000{,}000 kg, y 600{,}000{,}000 \div 1{,}000 = 600{,}000 t = 6 \times 10^5 t. ✓
Consejo: cuando cambias a una unidad más grande, el número se hace más pequeño (se divide). Antes de elegir una respuesta, pregúntate si su tamaño tiene sentido: 6 \times 10^{11} toneladas sería un millón de veces la respuesta, mucho más de lo que podría cargar cualquier barco.
Ver en español
Pregunta
Un gran barco de carga lleva aproximadamente 2.4 \times 10^{4} contenedores. Cada contenedor cargado tiene una masa de aproximadamente 2.5 \times 10^{4} kilogramos.
¿Cuál es la masa total aproximada de los contenedores en toneladas métricas? (1 tonelada métrica = 10^{3} kilogramos).
Opciones
A.6 \times 10^{8} toneladas métricas
B.6 \times 10^{5} toneladas métricas
C.6 \times 10^{11} toneladas métricas
D.4.9 \times 10^{5} toneladas métricas
Pista
Primero encuentra la masa total en kilogramos. Luego decide: para convertir kilogramos a una unidad más grande, las toneladas métricas, ¿multiplicas o divides entre 10^3?
Pregunta 35 de 36
Sin calculadora
A negative exponent sits outside the parentheses in the numerator below. Rewrite the whole quotient in simplest form with positive exponents only (m and n are nonzero).
Check: let m = 1, n = 1: original = \dfrac{4^{-2}}{8} = \dfrac{1/16}{8} = \dfrac{1}{128} ✓. Let m = 1, n = 2: numerator = (4 \cdot 4)^{-2} = \tfrac{1}{256}; denominator = 8 \cdot \tfrac{1}{32} = \tfrac14; original = \tfrac{4}{256} = \tfrac{1}{64}; answer = \tfrac{2}{128} = \tfrac{1}{64} ✓.
Tip: A negative outside exponent flips every factor's exponent sign and turns the coefficient into a reciprocal. Do the coefficient separately, then each variable, one rule at a time.
Comprobación: sea m = 1, n = 1: original = \dfrac{4^{-2}}{8} = \dfrac{1/16}{8} = \dfrac{1}{128} ✓. Sea m = 1, n = 2: numerador = (4 \cdot 4)^{-2} = \tfrac{1}{256}; denominador = 8 \cdot \tfrac{1}{32} = \tfrac14; original = \tfrac{4}{256} = \tfrac{1}{64}; respuesta = \tfrac{2}{128} = \tfrac{1}{64} ✓.
Consejo: un exponente negativo afuera del paréntesis cambia el signo del exponente de cada factor y convierte el coeficiente en su recíproco. Trabaja el coeficiente por separado y luego cada variable, una regla a la vez.
Ver en español
Pregunta
En el numerador de abajo hay un exponente negativo afuera del paréntesis. Vuelve a escribir todo el cociente en su forma más simple, solo con exponentes positivos (m y n son distintos de cero).
Tip: When the product of the front numbers is 10 or more, one power of ten moves into the exponent. Forgetting that shift gives a = 7, which is off by a factor of 10.
Explicación
Números de adelante: 6 \times 5 = 30. Potencias: 10^{a} \cdot 10^{-3} = 10^{a-3}. Lado izquierdo = 30 \times 10^{a-3}.
Ajusta a notación científica: 30 = 3 \times 10^1, así que el lado izquierdo es 3 \times 10^{1} \times 10^{a-3} = 3 \times 10^{a-2}.
Compara con el lado derecho, 3 \times 10^4: a - 2 = 4.
Consejo: cuando el producto de los números de adelante es 10 o más, una potencia de diez pasa al exponente. Olvidar ese ajuste da a = 7, que está mal por un factor de 10.
