What is the value of \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert?
Pista
Find each absolute value first (its distance from zero), then add.
Solución paso a paso
Absolute value is distance from zero, so it is never negative.
\lvert -7 \rvert = 7 (the number -7 is 7 units from 0).
\lvert 3 \rvert = 3.
Add: 7 + 3 = 10.
Answer: 10.
Check: on a number line, walk 7 units (from -7 to 0) and then 3 more units — 10 units in all. ✓
Tip: Absolute value bars work like parentheses: evaluate inside each set of bars first, then do the operation between them. \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert is not the same as \lvert -7 + 3 \rvert = 4.
Explicación
El valor absoluto es la distancia al cero, así que nunca es negativo.
\lvert -7 \rvert = 7 (el número -7 está a 7 unidades del 0).
\lvert 3 \rvert = 3.
Suma: 7 + 3 = 10.
Respuesta: 10.
Comprobación: en una recta numérica, camina 7 unidades (de -7 a 0) y luego 3 unidades más: 10 unidades en total. ✓
Consejo: Las barras de valor absoluto funcionan como paréntesis: calcula primero lo que está dentro de cada par de barras y luego haz la operación entre ellas. \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert no es lo mismo que \lvert -7 + 3 \rvert = 4.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert?
Opciones
A.-10
B.-4
C.4
D.10
Pista
Encuentra primero cada valor absoluto (su distancia al cero) y luego suma.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraZona activa
Click the point on the number line that represents -\lvert -4 \rvert.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Work from the inside out: first find \lvert -4 \rvert, then apply the negative sign that is outside the bars.
Solución paso a paso
Inside the bars: \lvert -4 \rvert = 4, because -4 is 4 units from zero.
The negative sign is outside the bars, so it is applied afterwards: -\lvert -4 \rvert = -(4) = -4.
On the number line, -4 is 4 units to the left of 0.
Answer: the point at -4.
Check: a negative sign outside the bars always makes the result \le 0, so the point must be left of zero (or at zero). -4 is. ✓
Tip: The absolute value bars only affect what is inside them. -\lvert x \rvert is always zero or negative, even when x is negative.
Explicación
Dentro de las barras: \lvert -4 \rvert = 4, porque -4 está a 4 unidades del cero.
El signo negativo está fuera de las barras, así que se aplica después: -\lvert -4 \rvert = -(4) = -4.
En la recta numérica, -4 está 4 unidades a la izquierda del 0.
Respuesta: el punto en -4.
Comprobación: un signo negativo fuera de las barras siempre hace que el resultado sea \le 0, así que el punto debe estar a la izquierda del cero (o en el cero). -4 lo está. ✓
Consejo: Las barras de valor absoluto solo afectan lo que está dentro de ellas. -\lvert x \rvert siempre es cero o negativo, incluso cuando x es negativo.
Ver en español
Pregunta
Haz clic en el punto de la recta numérica que representa -\lvert -4 \rvert.
Pista
Trabaja de adentro hacia afuera: primero encuentra \lvert -4 \rvert y luego aplica el signo negativo que está afuera de las barras.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the distance between -5 and 3 on a number line?
units
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Distance is the absolute value of the difference: subtract the two numbers, then take the absolute value.
Solución paso a paso
Distance formula on a number line: d = \lvert b - a \rvert.
Substitute a = -5, b = 3: d = \lvert 3 - (-5) \rvert.
Subtracting a negative is adding: 3 - (-5) = 3 + 5 = 8.
\lvert 8 \rvert = 8.
Answer: 8 units.
Check (count in two pieces): from -5 to 0 is 5 units, from 0 to 3 is 3 units; 5 + 3 = 8. ✓
Tip: When the points are on opposite sides of zero, the distance is the sum of their distances from zero. The common wrong answer 2 comes from 5 - 3, which ignores the negative sign.
Explicación
Fórmula de la distancia en una recta numérica: d = \lvert b - a \rvert.
Sustituye a = -5, b = 3: d = \lvert 3 - (-5) \rvert.
Restar un negativo es sumar: 3 - (-5) = 3 + 5 = 8.
\lvert 8 \rvert = 8.
Respuesta: 8 unidades.
Comprobación (cuenta en dos partes): de -5 a 0 hay 5 unidades, y de 0 a 3 hay 3 unidades; 5 + 3 = 8. ✓
Consejo: Cuando los puntos están en lados opuestos del cero, la distancia es la suma de sus distancias al cero. La respuesta incorrecta común, 2, sale de 5 - 3, que ignora el signo negativo.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la distancia entre -5 y 3 en una recta numérica?
_____ unidades
Pista
La distancia es el valor absoluto de la diferencia: resta los dos números y luego toma el valor absoluto.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Evaluate 2\lvert -7 \rvert - \lvert 9 \rvert. Remember that absolute value bars work like grouping symbols.
Pista
Find each absolute value first. Then multiply, and only then subtract.
Solución paso a paso
Evaluate the absolute values: \lvert -7 \rvert = 7 and \lvert 9 \rvert = 9.
Replace them: 2 \cdot 7 - 9.
Multiply before subtracting: 2 \cdot 7 = 14.
Subtract: 14 - 9 = 5.
Answer: 5.
Check: the bars only affect what is inside them. 2\lvert -7 \rvert means 2 times the distance of -7 from zero, which is 2 \times 7 = 14; then 14 - 9 = 5. ✓
Tip: Absolute value bars act like parentheses: simplify inside each set first, then follow the normal order of operations (multiply before you subtract). Never merge two separate sets of bars into one.
Explicación
Calcula los valores absolutos: \lvert -7 \rvert = 7 y \lvert 9 \rvert = 9.
Sustitúyelos: 2 \cdot 7 - 9.
Multiplica antes de restar: 2 \cdot 7 = 14.
Resta: 14 - 9 = 5.
Respuesta: 5.
Comprobación: las barras solo afectan lo que está dentro de ellas. 2\lvert -7 \rvert significa 2 veces la distancia de -7 al cero, que es 2 \times 7 = 14; luego, 14 - 9 = 5. ✓
Consejo: las barras de valor absoluto funcionan como paréntesis: simplifica primero dentro de cada par de barras y luego sigue el orden normal de las operaciones (multiplica antes de restar). Nunca juntes dos pares de barras separados en uno solo.
Ver en español
Pregunta
Calcula 2\lvert -7 \rvert - \lvert 9 \rvert. Recuerda que las barras de valor absoluto funcionan como símbolos de agrupación.
Opciones
A.-23
B.-5
C.5
D.23
Pista
Primero encuentra cada valor absoluto. Luego multiplica y solo después resta.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraZona activa
Simplify -\lvert 6 - 1 \rvert. Then show where it belongs by clicking the matching tick mark below.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Work from the inside out: do the subtraction inside the bars, take the absolute value, and then apply the sign that is outside.
Solución paso a paso
Inside the bars: 6 - 1 = 5.
Absolute value: \lvert 5 \rvert = 5.
The negative sign is outside the bars, so apply it last: -\lvert 6 - 1 \rvert = -(5) = -5.
On the number line, -5 is 5 units to the left of 0.
Answer: the point at -5.
Check: an expression of the form -\lvert \ \ \rvert is always 0 or negative, so the point must be at or left of 0. -5 is left of 0. ✓
Tip: Do not let the bars "cancel" a negative sign that sits outside them. The bars only change what is inside; the outside negative always survives.
Explicación
Dentro de las barras: 6 - 1 = 5.
Valor absoluto: \lvert 5 \rvert = 5.
El signo negativo está fuera de las barras, así que se aplica al final: -\lvert 6 - 1 \rvert = -(5) = -5.
En la recta numérica, -5 está 5 unidades a la izquierda de 0.
Respuesta: el punto en -5.
Comprobación: una expresión de la forma -\lvert \ \ \rvert siempre es 0 o negativa, así que el punto debe estar en 0 o a su izquierda. -5 está a la izquierda de 0. ✓
Consejo: no dejes que las barras "cancelen" un signo negativo que está fuera de ellas. Las barras solo cambian lo que está dentro; el signo negativo de afuera siempre se queda.
Ver en español
Pregunta
Simplifica -\lvert 6 - 1 \rvert. Luego muestra dónde va haciendo clic en la marca correspondiente de abajo.
Pista
Trabaja de adentro hacia afuera: haz la resta dentro de las barras, toma el valor absoluto y luego aplica el signo que está afuera.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadoraCompletar
Plot -9.5 and -2 on a number line. How many units apart are they?
units
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Both numbers are on the same side of zero. Subtract the two numbers and take the absolute value.
Solución paso a paso
Distance on a number line: d = \lvert b - a \rvert.
Substitute a = -9.5 and b = -2: d = \lvert -2 - (-9.5) \rvert.
Subtracting a negative is adding: -2 + 9.5 = 7.5.
\lvert 7.5 \rvert = 7.5.
Answer: 7.5 units.
Check: both numbers are left of zero, so the distance is the difference of their distances from zero: 9.5 - 2 = 7.5. ✓ Counting the other way gives the same result: \lvert -9.5 - (-2) \rvert = \lvert -7.5 \rvert = 7.5.
Tip: Same side of zero → subtract the sizes. Opposite sides → add them. Adding here (9.5 + 2 = 11.5) is the most common mistake.
Explicación
Distancia en una recta numérica: d = \lvert b - a \rvert.
Sustituye a = -9.5 y b = -2: d = \lvert -2 - (-9.5) \rvert.
Restar un negativo es sumar: -2 + 9.5 = 7.5.
\lvert 7.5 \rvert = 7.5.
Respuesta: 7.5 unidades.
Comprobación: los dos números están a la izquierda del cero, así que la distancia es la diferencia de sus distancias al cero: 9.5 - 2 = 7.5. ✓ Contando al revés se obtiene lo mismo: \lvert -9.5 - (-2) \rvert = \lvert -7.5 \rvert = 7.5.
Consejo: del mismo lado del cero → resta los tamaños. De lados opuestos → súmalos. Sumar aquí (9.5 + 2 = 11.5) es el error más común.
Ver en español
Pregunta
Ubica -9.5 y -2 en una recta numérica. ¿A cuántas unidades de distancia están?
_____ unidades
Pista
Los dos números están del mismo lado del cero. Resta los dos números y toma el valor absoluto.
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
In golf, a score below par is written as a negative number. At the end of a tournament, Ana's score was -4 (4 under par) and Beth's score was +3 (3 over par).
How many strokes apart were their scores?
Pista
Picture the two scores on a number line with par at 0. How far is -4 from 0? How far is 0 from 3?
Solución paso a paso
Place the scores on a number line: Ana at -4, Beth at 3, par at 0.
Check: from -4 up to par is 4 strokes; from par up to +3 is 3 strokes; 4 + 3 = 7. ✓
Tip: When two values are on opposite sides of zero (under and over par, below and above sea level, owing and having money), add their sizes. Subtracting 4 - 3 = 1 treats both scores as if they were on the same side.
Explicación
Ubica las puntuaciones en una recta numérica: Ana en -4, Beth en 3, el par en 0.
Comprobación: de -4 hasta el par hay 4 golpes; del par hasta +3 hay 3 golpes; 4 + 3 = 7. ✓
Consejo: cuando dos valores están en lados opuestos del cero (bajo y sobre par, por debajo y por encima del nivel del mar, deber y tener dinero), suma sus tamaños. Restar 4 - 3 = 1 trata las dos puntuaciones como si estuvieran del mismo lado.
Ver en español
Pregunta
En el golf, una puntuación por debajo del par se escribe como número negativo. Al final de un torneo, la puntuación de Ana fue -4 (4 bajo par) y la de Beth fue +3 (3 sobre par).
¿Cuántos golpes de diferencia hubo entre sus puntuaciones?
Opciones
A.-7
B.1
C.4
D.7
Pista
Imagina las dos puntuaciones en una recta numérica con el par en 0. ¿Qué tan lejos está -4 de 0? ¿Qué tan lejos está 0 de 3?
Pregunta 8 de 36
Sin calculadora
At 6:00 a.m. the temperature in Fargo, North Dakota, was -12°F. By noon it was 15°F.
By how many degrees did the temperature rise?
Pista
Picture a thermometer. How far is it from -12 up to 0? From 0 up to 15?
Solución paso a paso
A rise is the change from the start to the end: \text{end} - \text{start}.
15 - (-12) = 15 + 12 = 27.
Distance view: \lvert 15 - (-12) \rvert = 27.
The temperature rose 27°F.
Check (on a thermometer): from -12 up to 0 is 12 degrees, and from 0 up to 15 is 15 degrees; 12 + 15 = 27. ✓
Tip: A temperature that crosses zero changes by the sum of the two distances from zero. Subtracting 15 - 12 = 3 treats -12 as if it were +12.
Explicación
Una subida es el cambio desde el inicio hasta el final: \text{final} - \text{inicio}.
15 - (-12) = 15 + 12 = 27.
Visto como distancia: \lvert 15 - (-12) \rvert = 27.
La temperatura subió 27°F.
Comprobación (en un termómetro): de -12 hasta 0 hay 12 grados, y de 0 hasta 15 hay 15 grados; 12 + 15 = 27. ✓
Consejo: Una temperatura que cruza el cero cambia en la suma de las dos distancias al cero. Restar 15 - 12 = 3 trata a -12 como si fuera +12.
Ver en español
Pregunta
A las 6:00 a.m., la temperatura en Fargo, Dakota del Norte, era de -12°F. Al mediodía era de 15°F.
¿Cuántos grados subió la temperatura?
Opciones
A. 3°F
B. 27°F
C. 15°F
D. −27°F
Pista
Imagina un termómetro. ¿Qué distancia hay de -12 hasta 0? ¿Y de 0 hasta 15?
Pregunta 9 de 36
The highest point in California, Mount Whitney, has an elevation of 14,505 feet above sea level. Badwater Basin in Death Valley has an elevation of 282 feet below sea level.
What is the vertical distance between these two points?
Pista
Write "below sea level" as a negative elevation. Then find the distance between the two elevations on a vertical number line.
Solución paso a paso
Sea level is 0. Mount Whitney is at +14{,}505 ft; Badwater Basin is at -282 ft.
Distance = \lvert 14{,}505 - (-282) \rvert.
14{,}505 - (-282) = 14{,}505 + 282 = 14{,}787.
The vertical distance is 14,787 feet.
Check: from Badwater up to sea level is 282 ft, and from sea level up to the summit is 14{,}505 ft; 282 + 14{,}505 = 14{,}787. ✓
Tip: "Above" and "below" a reference point (sea level, ground level, zero balance) are on opposite sides of zero — add their sizes to get the distance.
Explicación
El nivel del mar es 0. El monte Whitney está en +14{,}505 pies; la cuenca Badwater está en -282 pies.
Distancia = \lvert 14{,}505 - (-282) \rvert.
14{,}505 - (-282) = 14{,}505 + 282 = 14{,}787.
La distancia vertical es de 14,787 pies.
Comprobación: desde Badwater hasta el nivel del mar hay 282 pies, y desde el nivel del mar hasta la cima hay 14{,}505 pies; 282 + 14{,}505 = 14{,}787. ✓
Consejo: "Por encima" y "por debajo" de un punto de referencia (el nivel del mar, el nivel del suelo, un saldo de cero) están en lados opuestos del cero: suma sus tamaños para obtener la distancia.
Ver en español
Pregunta
El punto más alto de California, el monte Whitney, tiene una elevación de 14,505 pies sobre el nivel del mar. La cuenca Badwater, en el Valle de la Muerte, tiene una elevación de 282 pies por debajo del nivel del mar.
¿Cuál es la distancia vertical entre estos dos puntos?
Opciones
A. 14,223 pies
B. 14,505 pies
C. 14,787 pies
D. −14,787 pies
Pista
Escribe "por debajo del nivel del mar" como una elevación negativa. Luego encuentra la distancia entre las dos elevaciones en una recta numérica vertical.
Pregunta 10 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all numbers whose distance from 2 on the number line is exactly 5 units.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Start at 2 and move 5 units in each direction.
Solución paso a paso
"Distance from 2 is 5" means \lvert x - 2 \rvert = 5.
Move 5 units right from 2: 2 + 5 = 7.
Move 5 units left from 2: 2 - 5 = -3.
Test the other choices: \lvert -7 - 2 \rvert = 9, \lvert 3 - 2 \rvert = 1, \lvert -5 - 2 \rvert = 7 — none equal 5.
Consejo: Siempre hay dos puntos a una distancia dada de un punto central c: c + d y c - d. Son simétricos respecto a c, no respecto a 0.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todos los números cuya distancia a 2 en la recta numérica es exactamente de 5 unidades.
Opciones
A.7
B.-3
C.-7
D.3
E.-5
Pista
Empieza en 2 y muévete 5 unidades en cada dirección.
Pregunta 11 de 36
Completar
Marcus's checking account was overdrawn, with a balance of −$45.50. After he deposited his paycheck, the balance was $120.25.
How much was the deposit, in dollars?
$
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The deposit first had to cover the negative balance to bring it up to $0, and then add the rest.
Solución paso a paso
The deposit is the change in balance: new balance - old balance.
120.25 - (-45.50) = 120.25 + 45.50.
120.25 + 45.50 = 165.75.
The deposit was $165.75.
Check: start at -45.50 and add 165.75: -45.50 + 165.75 = 120.25. ✓
Tip: Of the deposit, $45.50 brought the balance up to zero and $120.25 is what is left. A common error is 120.25 - 45.50 = 74.75, which treats the overdraft as money he had.
Explicación
El depósito es el cambio en el saldo: saldo nuevo - saldo anterior.
120.25 - (-45.50) = 120.25 + 45.50.
120.25 + 45.50 = 165.75.
El depósito fue de $165.75.
Comprobación: empieza en -45.50 y suma 165.75: -45.50 + 165.75 = 120.25. ✓
Consejo: $45.50 del depósito llevaron el saldo a cero y $120.25 es lo que queda. Un error común es 120.25 - 45.50 = 74.75, que trata el sobregiro como dinero que él tenía.
Ver en español
Pregunta
La cuenta de cheques de Marcus estaba sobregirada, con un saldo de −$45.50. Después de depositar su cheque de pago, el saldo era de $120.25.
¿De cuánto fue el depósito, en dólares?
$ _____
Pista
Primero, el depósito tuvo que cubrir el saldo negativo para llevarlo a $0, y luego sumar el resto.
Pregunta 12 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the symbol that makes each statement true.
\lvert -9 \rvert\lvert 6 \rvert
-\lvert 5 \rvert-\lvert -2 \rvert
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Evaluate each side to a single number first. Watch for negative signs outside the bars.
Comprobación: en la afirmación 2, los dos lados son negativos, y el que está más lejos del cero (-5) es el menor. ✓
Consejo: Primero simplifica, después compara. Un signo negativo fuera de las barras hace que el valor sea cero o negativo, aunque el número de adentro fuera negativo.
Ver en español
Pregunta
Selecciona el símbolo que hace verdadera cada afirmación.
\lvert -9 \rvert _____ \lvert 6 \rvert
-\lvert 5 \rvert _____ -\lvert -2 \rvert
Opciones
<
>
=
<
>
=
Pista
Primero reduce cada lado a un solo número. Fíjate en los signos negativos que están afuera de las barras.
Pregunta 13 de 36
Sin calculadora
What is the value of \lvert 3 - 8 \rvert - \lvert -4 \rvert?
Pista
Treat each set of bars like parentheses: simplify inside, take the absolute value, and only then subtract.
Solución paso a paso
First bars: 3 - 8 = -5, and \lvert -5 \rvert = 5.
Second bars: \lvert -4 \rvert = 4.
Subtract: 5 - 4 = 1.
Answer: 1.
Check: both absolute values are positive (5 and 4), and 5 is one more than 4, so the result must be 1. ✓
Tip: The minus sign between the bars is a real subtraction; it stays. Only the signs inside the bars disappear after you take the absolute value.
Comprobación: los dos valores absolutos son positivos (5 y 4), y 5 es uno más que 4, así que el resultado debe ser 1. ✓
Consejo: El signo menos entre las barras es una resta real; se queda. Solo los signos dentro de las barras desaparecen después de sacar el valor absoluto.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \lvert 3 - 8 \rvert - \lvert -4 \rvert?
Opciones
A.-9
B.-1
C.1
D.9
Pista
Trata cada par de barras como paréntesis: simplifica adentro, toma el valor absoluto y solo después resta.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadoraZona activa
Point A is shown on the number line. Click the point that is 7 units from A and lies to the right of A.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Read the value of A first (labels are only on even numbers). Then count 7 units to the right.
Solución paso a paso
Read point A: it is one tick left of -2, so A = -3.
"7 units to the right" means add 7: -3 + 7 = 4.
Click the tick mark at 4.
Answer: the point at 4.
Check: distance = \lvert 4 - (-3) \rvert = \lvert 7 \rvert = 7 ✓, and 4 > -3, so it is to the right ✓.
Tip: Two points are 7 units from A: -3 + 7 = 4 and -3 - 7 = -10. The word "right" picks one. Do not measure from 0 — clicking 7 measures from zero, not from A.
Explicación
Lee el punto A: está una marca a la izquierda de -2, así que A = -3.
"7 unidades a la derecha" significa sumar 7: -3 + 7 = 4.
Haz clic en la marca del 4.
Respuesta: el punto en 4.
Comprobación: distancia = \lvert 4 - (-3) \rvert = \lvert 7 \rvert = 7 ✓, y 4 > -3, así que está a la derecha ✓.
Consejo: Hay dos puntos a 7 unidades de A: -3 + 7 = 4 y -3 - 7 = -10. La palabra "derecha" elige uno. No midas desde el 0: hacer clic en 7 mide desde el cero, no desde A.
Ver en español
Pregunta
El punto A se muestra en la recta numérica. Haz clic en el punto que está a 7 unidades de A y se encuentra a la derecha de A.
Pista
Primero lee el valor de A (solo los números pares tienen rótulo). Luego cuenta 7 unidades hacia la derecha.
Pregunta 15 de 36
Sin calculadora
On a number line, points P and Q are each exactly 6 units from -2. What are the values of P and Q?
Pista
Start at -2 and move 6 units to the right. Then go back to -2 and move 6 units to the left.
Solución paso a paso
"6 units from -2" means \lvert x - (-2) \rvert = 6, or \lvert x + 2 \rvert = 6.
Move right: -2 + 6 = 4.
Move left: -2 - 6 = -8.
Answer: -8 and 4.
Check:\lvert 4 - (-2) \rvert = \lvert 6 \rvert = 6 ✓ and \lvert -8 - (-2) \rvert = \lvert -6 \rvert = 6 ✓. The center -2 is exactly halfway between them: \dfrac{-8 + 4}{2} = -2 ✓.
Tip: There are always two points at a given distance from a center c: c - d and c + d. They are balanced around c, not around 0.
Explicación
"A 6 unidades de -2" significa \lvert x - (-2) \rvert = 6, o \lvert x + 2 \rvert = 6.
Muévete a la derecha: -2 + 6 = 4.
Muévete a la izquierda: -2 - 6 = -8.
Respuesta: -8 y 4.
Comprobación:\lvert 4 - (-2) \rvert = \lvert 6 \rvert = 6 ✓ y \lvert -8 - (-2) \rvert = \lvert -6 \rvert = 6 ✓. El centro -2 está justo a la mitad entre ellos: \dfrac{-8 + 4}{2} = -2 ✓.
Consejo: siempre hay dos puntos a una distancia dada de un centro c: c - d y c + d. Están equilibrados alrededor de c, no alrededor de 0.
Ver en español
Pregunta
En una recta numérica, los puntos P y Q están cada uno exactamente a 6 unidades de -2. ¿Cuáles son los valores de P y Q?
Opciones
A.-8 y 4
B.-6 y 6
C.-4 y 8
D.-8 y -4
Pista
Empieza en -2 y muévete 6 unidades a la derecha. Luego regresa a -2 y muévete 6 unidades a la izquierda.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the word that makes each statement true.
\lvert x \rvert = -x is true.
\lvert a - b \rvert = \lvert b - a \rvert is true.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Test each statement with a positive number, a negative number, and zero.
Solución paso a paso
Statement 1: \lvert x \rvert = -x
Try x = 5: \lvert 5 \rvert = 5 but -x = -5. False.
Try x = -5: \lvert -5 \rvert = 5 and -x = -(-5) = 5. True.
Try x = 0: 0 = 0. True.
True for some values (x \le 0) and false for others, so it is sometimes true.
Statement 2: \lvert a - b \rvert = \lvert b - a \rvert
a - b and b - a are opposites (for example 7 and -7).
Opposites have the same absolute value, so the two sides are always equal. It is always true. (Both sides are the distance between a and b.)
Tip:-x is not automatically negative — when x is negative, -x is positive. To show a statement is not "always" true, one counterexample is enough.
Explicación
Afirmación 1: \lvert x \rvert = -x
Prueba con x = 5: \lvert 5 \rvert = 5, pero -x = -5. Falso.
Prueba con x = -5: \lvert -5 \rvert = 5 y -x = -(-5) = 5. Verdadero.
Prueba con x = 0: 0 = 0. Verdadero.
Es verdadera para algunos valores (x \le 0) y falsa para otros, así que es verdadera a veces.
Afirmación 2: \lvert a - b \rvert = \lvert b - a \rvert
a - b y b - a son opuestos (por ejemplo, 7 y -7).
Los opuestos tienen el mismo valor absoluto, así que los dos lados siempre son iguales. Es verdadera siempre. (Los dos lados son la distancia entre a y b.)
Consejo:-x no es negativo automáticamente: cuando x es negativo, -x es positivo. Para mostrar que una afirmación no es verdadera "siempre", basta con un contraejemplo.
Ver en español
Pregunta
Selecciona la palabra que hace verdadera cada afirmación.
\lvert x \rvert = -x _____ es verdadera.
\lvert a - b \rvert = \lvert b - a \rvert _____ es verdadera.
Opciones
siempre
a veces
nunca
siempre
a veces
nunca
Pista
Prueba cada afirmación con un número positivo, un número negativo y el cero.
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
Points M and N are shown on the number line.
Number line from -5 to 5 with points M and N
What is the distance between M and N?
Pista
Labels are only on whole numbers; the small ticks are halfway marks. Read each point's value first.
Comprobación: de M a 0 hay 3.5 unidades y de 0 a N hay 2.5 unidades; 3.5 + 2.5 = 6. ✓
Consejo: revisa siempre la escala. Aquí hay dos marcas por unidad, así que 12 espacios entre marcas de M a N son 6 unidades, no 12.
Ver en español
Pregunta
Los puntos M y N se muestran en la recta numérica.
¿Cuál es la distancia entre M y N?
Opciones
A.1
B.5
C.6
D.12
Pista
Solo los números enteros tienen rótulo; las marcas pequeñas están a la mitad. Primero lee el valor de cada punto.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadoraCompletar
A diver swims straight up 18 feet and ends at 7 feet below the surface of a lake.
What was the diver's starting position, relative to the surface? Use a negative number for a position below the surface.
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use the surface as 0. The diver moved up, so the start must be lower than the end. Undo the move.
Solución paso a paso
Let the surface be 0, with up as positive. The ending position is -7 ft.
Start + 18 = -7 (moving up adds 18).
Undo the move by subtracting 18: start = -7 - 18 = -25.
Answer: -25 feet (25 feet below the surface).
Check: start at -25 and rise 18: -25 + 18 = -7 ✓. The distance between -25 and -7 is \lvert -7 - (-25) \rvert = 18 ✓.
Tip: To work backwards, do the opposite operation of the move. A common error is -7 + 18 = 11, which applies the move again instead of undoing it (and would put the diver above the water).
Explicación
Toma la superficie como 0 y hacia arriba como positivo. La posición final es -7 pies.
Respuesta: -25 pies (25 pies por debajo de la superficie).
Comprobación: empieza en -25 y sube 18: -25 + 18 = -7 ✓. La distancia entre -25 y -7 es \lvert -7 - (-25) \rvert = 18 ✓.
Consejo: para trabajar hacia atrás, haz la operación opuesta al movimiento. Un error común es -7 + 18 = 11, que aplica el movimiento otra vez en lugar de deshacerlo (y pondría a la buzo por encima del agua).
Ver en español
Pregunta
Una buzo nada directamente hacia arriba 18 pies y termina a 7 pies por debajo de la superficie de un lago.
¿Cuál era la posición inicial de la buzo respecto a la superficie? Usa un número negativo para una posición por debajo de la superficie.
_____ pies
Pista
Usa la superficie como 0. La buzo se movió hacia arriba, así que el inicio debe estar más abajo que el final. Deshaz el movimiento.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadora
A nurse is told that a patient's temperature T is acceptable if it is within 1.2°F of 98.6°F, that is, \lvert T - 98.6 \rvert \le 1.2.
Which range shows all the acceptable temperatures?
Pista
"Within 1.2" means you can go 1.2 degrees in each direction from 98.6.
Solución paso a paso
The rule \lvert T - 98.6 \rvert \le 1.2 says T is at most 1.2 degrees from 98.6, in either direction.
Lowest value: 98.6 - 1.2 = 97.4.
Highest value: 98.6 + 1.2 = 99.8.
So 97.4 \le T \le 99.8.
Answer: from 97.4°F to 99.8°F.
Check: both endpoints are exactly 1.2 from the target: \lvert 97.4 - 98.6 \rvert = 1.2 ✓ and \lvert 99.8 - 98.6 \rvert = 1.2 ✓. The range is 2.4 degrees wide, twice the tolerance. ✓
Tip: A tolerance applies both below and above the target, and "within" includes the endpoints. Line up the decimal points carefully: 1.2 is twelve tenths, not twelve hundredths.
Explicación
La regla \lvert T - 98.6 \rvert \le 1.2 dice que T está, como máximo, a 1.2 grados de 98.6, en cualquier dirección.
Valor más bajo: 98.6 - 1.2 = 97.4.
Valor más alto: 98.6 + 1.2 = 99.8.
Entonces, 97.4 \le T \le 99.8.
Respuesta: de 97.4°F a 99.8°F.
Comprobación: los dos extremos están exactamente a 1.2 del objetivo: \lvert 97.4 - 98.6 \rvert = 1.2 ✓ y \lvert 99.8 - 98.6 \rvert = 1.2 ✓. El rango mide 2.4 grados, el doble del margen. ✓
Consejo: un margen de tolerancia se aplica tanto por debajo como por encima del objetivo, y "dentro de" incluye los extremos. Alinea bien los puntos decimales: 1.2 son doce décimas, no doce centésimas.
Ver en español
Pregunta
A una enfermera le dicen que la temperatura T de un paciente es aceptable si está dentro de un margen de 1.2°F respecto a 98.6°F, es decir, \lvert T - 98.6 \rvert \le 1.2.
¿Qué rango muestra todas las temperaturas aceptables?
Opciones
A.98.0 \le T \le 99.2
B.98.6 \le T \le 99.8
C.98.48 \le T \le 98.72
D.97.4 \le T \le 99.8
Pista
"Dentro de un margen de 1.2" significa que puedes alejarte 1.2 grados de 98.6 en cada dirección.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadora
In a parking garage, level P1 is 12 feet below the street, and level P4 is 42 feet below the street. The roof of the office building above the garage is 85 feet above the street.
What is the vertical distance between level P1 and level P4?
Pista
Write each position as a signed number with the street at 0. Which two positions does the question ask about?
Check: both levels are below the street, so subtract their depths: 42 - 12 = 30. ✓
Tip: Same side of zero → subtract the sizes. The roof height is extra information; GED problems often include a number you do not need, so decide which two positions matter before you calculate.
Explicación
Nivel de la calle = 0, hacia arriba es positivo.
P1: -12 pies
P4: -42 pies
Techo: +85 pies (no se necesita)
Distancia entre P1 y P4: \lvert -12 - (-42) \rvert = \lvert -12 + 42 \rvert = \lvert 30 \rvert = 30.
Respuesta: 30 pies.
Comprobación: los dos niveles están por debajo de la calle, así que resta sus profundidades: 42 - 12 = 30. ✓
Consejo: del mismo lado del cero → resta los tamaños. La altura del techo es información de más; los problemas del GED® a menudo incluyen un número que no necesitas, así que decide qué dos posiciones importan antes de calcular.
Ver en español
Pregunta
En un estacionamiento, el nivel P1 está 12 pies por debajo de la calle y el nivel P4 está 42 pies por debajo de la calle. El techo del edificio de oficinas que está encima del estacionamiento está 85 pies por encima de la calle.
¿Cuál es la distancia vertical entre el nivel P1 y el nivel P4?
Opciones
A.30 pies
B.54 pies
C.97 pies
D.-30 pies
Pista
Escribe cada posición como un número con signo, con la calle en 0. ¿Sobre cuáles dos posiciones trata la pregunta?
Pregunta 21 de 36
After Rosa paid a $212.40 electric bill, her checking account balance was −$37.15 (overdrawn).
What was her balance before she paid the bill?
Pista
Paying a bill subtracts from the balance. To go backwards, undo the subtraction.
Solución paso a paso
Before - bill = after: \text{before} - 212.40 = -37.15.
Undo the subtraction by adding 212.40 to the ending balance: \text{before} = -37.15 + 212.40.
212.40 - 37.15 = 175.25, and the result is positive because 212.40 > 37.15.
Answer: $175.25.
Check:175.25 - 212.40 = -37.15 ✓. The bill used up the whole $175.25 and then went $37.15 below zero: 175.25 + 37.15 = 212.40 ✓.
Tip: Working backwards means doing the opposite operation. If you get a negative "before" balance here, the bill would have made the account even lower — always plug your answer back into the story.
Explicación
Antes - factura = después: \text{antes} - 212.40 = -37.15.
Deshaz la resta sumando 212.40 al saldo final: \text{antes} = -37.15 + 212.40.
212.40 - 37.15 = 175.25, y el resultado es positivo porque 212.40 > 37.15.
Respuesta: $175.25.
Comprobación:175.25 - 212.40 = -37.15 ✓. La factura usó los $175.25 completos y quedó $37.15 por debajo de cero: 175.25 + 37.15 = 212.40 ✓.
Consejo: trabajar hacia atrás significa hacer la operación opuesta. Si aquí te sale un saldo "antes" negativo, la factura habría dejado la cuenta todavía más abajo: siempre vuelve a poner tu respuesta en la historia para comprobarla.
Ver en español
Pregunta
Después de que Rosa pagó una factura de electricidad de $212.40, el saldo de su cuenta de cheques era de −$37.15 (sobregirada).
¿Cuál era su saldo antes de pagar la factura?
Opciones
A. $249.55
B. $175.25
C. −$175.25
D. −$249.55
Pista
Pagar una factura resta del saldo. Para ir hacia atrás, deshaz la resta.
Pregunta 22 de 36
Sin calculadora
An elevator starts on floor 3. It goes down to parking level -2, and then up to floor 6. (Floor 0 is the lobby, and each floor counts as 1.)
How many floors does the elevator travel in all?
Pista
Find the distance of each trip separately, then add them. Distance is never negative.
Solución paso a paso
Trip 1: from 3 down to -2: \lvert -2 - 3 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5 floors.
Trip 2: from -2 up to 6: \lvert 6 - (-2) \rvert = \lvert 8 \rvert = 8 floors.
Total distance: 5 + 8 = 13 floors.
Answer: 13 floors.
Check: on a vertical number line, count the floors: 3 \to 0 is 3, 0 \to -2 is 2 (trip 1 = 5); -2 \to 0 is 2, 0 \to 6 is 6 (trip 2 = 8). 5 + 8 = 13 ✓.
Tip: "Total distance traveled" adds the size of every move. "Net change" only compares start and finish (6 - 3 = 3). Read the question to see which one it wants.
Explicación
Viaje 1: del 3 baja al -2: \lvert -2 - 3 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5 pisos.
Viaje 2: del -2 sube al 6: \lvert 6 - (-2) \rvert = \lvert 8 \rvert = 8 pisos.
Distancia total: 5 + 8 = 13 pisos.
Respuesta: 13 pisos.
Comprobación: en una recta numérica vertical, cuenta los pisos: 3 \to 0 son 3, 0 \to -2 son 2 (viaje 1 = 5); -2 \to 0 son 2, 0 \to 6 son 6 (viaje 2 = 8). 5 + 8 = 13 ✓.
Consejo: la "distancia total recorrida" suma el tamaño de cada movimiento. El "cambio neto" solo compara el inicio y el final (6 - 3 = 3). Lee la pregunta para ver cuál de los dos pide.
Ver en español
Pregunta
Un elevador empieza en el piso 3. Baja al nivel de estacionamiento -2 y luego sube al piso 6. (El piso 0 es el vestíbulo, y cada piso cuenta como 1).
¿Cuántos pisos recorre el elevador en total?
Opciones
A.3
B.5
C.11
D.13
Pista
Encuentra la distancia de cada trayecto por separado y luego súmalas. Una distancia nunca es negativa.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadoraZona activa
Points P and Q are shown on the number line. Click the point that is the same distance from P as from Q.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
Find the distance from P to Q first. The point you want is halfway, so it is half that distance from each point.
Solución paso a paso
Read the points: P = -7 and Q = 5.
Distance from P to Q: \lvert 5 - (-7) \rvert = 12 units.
The point equally far from both is halfway: 12 \div 2 = 6 units from each.
Start at P and move 6 to the right: -7 + 6 = -1.
Answer: the point at -1.
Check: distance to P: \lvert -1 - (-7) \rvert = 6 ✓; distance to Q: \lvert 5 - (-1) \rvert = 6 ✓. Also the average: \dfrac{-7 + 5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 ✓.
Tip: Half the distance (6) is how far to move from one of the points, not from zero. Clicking 6 or -6 measures from the wrong starting place.
Explicación
Lee los puntos: P = -7 y Q = 5.
Distancia de P a Q: \lvert 5 - (-7) \rvert = 12 unidades.
El punto que está a la misma distancia de los dos está a la mitad: 12 \div 2 = 6 unidades de cada uno.
Empieza en P y muévete 6 a la derecha: -7 + 6 = -1.
Respuesta: el punto en -1.
Comprobación: distancia a P: \lvert -1 - (-7) \rvert = 6 ✓; distancia a Q: \lvert 5 - (-1) \rvert = 6 ✓. También con el promedio: \dfrac{-7 + 5}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 ✓.
Consejo: la mitad de la distancia (6) es cuánto te mueves desde uno de los puntos, no desde el cero. Hacer clic en 6 o en -6 mide desde el punto de partida equivocado.
Ver en español
Pregunta
Los puntos P y Q se muestran en la recta numérica. Haz clic en el punto que está a la misma distancia de P que de Q.
Pista
Primero encuentra la distancia de P a Q. El punto que buscas está a la mitad, así que está a la mitad de esa distancia de cada punto.
Pregunta 24 de 36
Completar
A machine shop makes bolts. A bolt is accepted if its diameter d, in inches, satisfies
\lvert d - 0.375 \rvert \le 0.004
What is the largest acceptable diameter?
inches
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The inequality says the diameter can be at most 0.004 inch away from 0.375 inch. Which direction gives the largest value?
Solución paso a paso
\lvert d - 0.375 \rvert \le 0.004 means d is within 0.004 of 0.375.
The acceptable range is 0.375 - 0.004 \le d \le 0.375 + 0.004.
The largest acceptable diameter is the upper endpoint, 0.379 (the \le sign includes it).
Answer: 0.379 inch.
Check:\lvert 0.379 - 0.375 \rvert = 0.004 \le 0.004 ✓. Anything bigger, like 0.3791, is more than 0.004 away.
Tip: Line up decimal places when adding: 0.375 + 0.004 changes only the thousandths digit. Adding 0.04 by mistake gives 0.415, ten times too much tolerance.
Explicación
\lvert d - 0.375 \rvert \le 0.004 significa que d está a 0.004 o menos de 0.375.
El rango aceptable es 0.375 - 0.004 \le d \le 0.375 + 0.004.
El más pequeño: 0.375 - 0.004 = 0.371. El más grande: 0.375 + 0.004 = 0.379.
El diámetro aceptable más grande es el extremo superior, 0.379 (el signo \le lo incluye).
Respuesta: 0.379 pulgadas.
Comprobación:\lvert 0.379 - 0.375 \rvert = 0.004 \le 0.004 ✓. Cualquier valor mayor, como 0.3791, está a más de 0.004.
Consejo: alinea las posiciones decimales al sumar: 0.375 + 0.004 solo cambia el dígito de las milésimas. Sumar 0.04 por error da 0.415, un margen diez veces mayor.
Ver en español
Pregunta
Un taller mecánico fabrica tornillos. Un tornillo se acepta si su diámetro d, en pulgadas, cumple
\lvert d - 0.375 \rvert \le 0.004
¿Cuál es el diámetro aceptable más grande?
_____ pulgadas
Pista
La desigualdad dice que el diámetro puede estar como máximo a 0.004 pulgadas de 0.375 pulgadas. ¿Qué dirección da el valor más grande?
Pregunta 25 de 36
Sin calculadora
What is the distance between -2\tfrac{3}{4} and 1\tfrac{1}{2} on a number line?
Pista
The two numbers are on opposite sides of zero. Add their distances from zero, using a common denominator.
Tip: Opposite sides of zero → add the sizes. Then add fractions only after rewriting them with the same denominator; adding tops and bottoms (\tfrac34 + \tfrac12 \to \tfrac46) is never correct.
Consejo: de lados opuestos del cero → suma los tamaños. Y suma las fracciones solo después de escribirlas con el mismo denominador; sumar numeradores y denominadores (\tfrac34 + \tfrac12 \to \tfrac46) nunca es correcto.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la distancia entre -2\tfrac{3}{4} y 1\tfrac{1}{2} en una recta numérica?
Opciones
A.1\tfrac14
B.3\tfrac46
C.-4\tfrac14
D.4\tfrac14
Pista
Los dos números están en lados opuestos del cero. Suma sus distancias al cero usando un denominador común.
Pregunta 26 de 36
Sin calculadora
A scuba diver is 45 feet below the surface of the ocean. A pelican is flying 28 feet above the surface. The pelican then dives straight down to 3 feet below the surface to catch a fish.
At that moment, what is the vertical distance between the pelican and the diver?
Pista
Use the surface as 0. Write each position as a signed number, and decide which two positions the question is asking about.
Solución paso a paso
Set the ocean surface at 0; up is positive.
Diver: -45 ft
Pelican before the dive: +28 ft (not needed for the final answer)
Pelican after the dive: -3 ft
The question asks about the diver and the pelican after the dive: -45 and -3.
Check: both points are below the surface, so the distance is the difference of their depths: 45 - 3 = 42. ✓
Tip: When both points are on the same side of zero, subtract their sizes; on opposite sides, add them. Extra information (the 28 ft) is a common GED distractor.
Explicación
Pon la superficie del océano en 0; hacia arriba es positivo.
Buzo: -45 pies
Pelícano antes de lanzarse: +28 pies (no se necesita para la respuesta final)
Pelícano después de lanzarse: -3 pies
La pregunta trata del buzo y del pelícano después de lanzarse: -45 y -3.
Comprobación: los dos puntos están por debajo de la superficie, así que la distancia es la diferencia de sus profundidades: 45 - 3 = 42. ✓
Consejo: Cuando los dos puntos están del mismo lado del cero, resta sus tamaños; si están en lados opuestos, súmalos. La información de más (los 28 pies) es un distractor común en el GED®.
Ver en español
Pregunta
Un buzo está 45 pies por debajo de la superficie del océano. Un pelícano vuela 28 pies por encima de la superficie. Luego, el pelícano se lanza en picada hasta 3 pies por debajo de la superficie para atrapar un pez.
En ese momento, ¿cuál es la distancia vertical entre el pelícano y el buzo?
Opciones
A. 31 pies
B. 48 pies
C. 73 pies
D. 42 pies
Pista
Usa la superficie como 0. Escribe cada posición como un número con signo y decide cuáles son las dos posiciones de las que habla la pregunta.
Pregunta 27 de 36
A factory makes metal pins that are supposed to be 2.5 inches long. A pin is accepted only if its length is within 0.05 inch of 2.5 inches (that is, it differs from 2.5 inches by 0.05 inch or less).
Which measured length would be rejected?
Pista
"Within 0.05 of 2.5" means the distance from 2.5 is at most 0.05. Find the lowest and highest acceptable lengths.
Solución paso a paso
Write the rule with absolute value: a length L is accepted when \lvert L - 2.5 \rvert \le 0.05.
Find the acceptable range: 2.5 - 0.05 = 2.45 and 2.5 + 0.05 = 2.55. So 2.45 \le L \le 2.55.
Test each length (distance from 2.5):
2.45: \lvert 2.45 - 2.5 \rvert = 0.05 \le 0.05 → accepted (on the boundary)
2.53: \lvert 0.03 \rvert = 0.03 → accepted
2.549: \lvert 0.049 \rvert = 0.049 → accepted
2.56: \lvert 0.06 \rvert = 0.06 > 0.05 → rejected
Answer: 2.56 inches.
Check:2.56 > 2.55, the largest allowed length, so it is outside the range. ✓
Tip: A tolerance of \pm 0.05 allows 0.05 in each direction (a range 0.10 wide). "Within" includes the boundary values.
Explicación
Escribe la regla con valor absoluto: una longitud L se acepta cuando \lvert L - 2.5 \rvert \le 0.05.
Halla el rango aceptable: 2.5 - 0.05 = 2.45 y 2.5 + 0.05 = 2.55. Entonces, 2.45 \le L \le 2.55.
Prueba cada longitud (su distancia a 2.5):
2.45: \lvert 2.45 - 2.5 \rvert = 0.05 \le 0.05 → se acepta (está en el límite)
Comprobación:2.56 > 2.55, la longitud máxima permitida, así que está fuera del rango. ✓
Consejo: Una tolerancia de \pm 0.05 permite 0.05 en cada dirección (un rango de 0.10 de ancho). "Dentro de un margen" incluye los valores del límite.
Ver en español
Pregunta
Una fábrica hace pasadores de metal que deben medir 2.5 pulgadas de largo. Un pasador se acepta solo si su longitud está dentro de un margen de 0.05 pulgadas respecto a 2.5 pulgadas (es decir, si se aleja de 2.5 pulgadas 0.05 pulgadas o menos).
¿Qué longitud medida sería rechazada?
Opciones
A. 2.56 in
B. 2.45 in
C. 2.53 in
D. 2.549 in
Pista
"Dentro de un margen de 0.05 respecto a 2.5" significa que la distancia a 2.5 es como máximo 0.05. Encuentra la longitud aceptable más baja y la más alta.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadora
The diagram shows the elevations of a helicopter and a submarine, in meters, relative to sea level.
Vertical elevation scale with a helicopter and a submarine
What is the vertical distance between the helicopter and the submarine?
Pista
Labels are every 100 meters, and each small tick is 50 meters. Read both elevations, using a negative number below sea level.
Solución paso a paso
Read the scale. Labels are every 100 m; the unlabeled ticks are halfway, at multiples of 50 m.
Helicopter: halfway between 300 and 400, so +350 m.
Check: from the submarine up to sea level is 200 m, and from sea level up to the helicopter is 350 m; 200 + 350 = 550. ✓
Tip: On a scale with unlabeled ticks, work out what one tick is worth before reading a point. Points on opposite sides of sea level are separated by the sum of their distances from 0.
Explicación
Lee la escala. Los rótulos van cada 100 m; las marcas sin rótulo están a la mitad, en múltiplos de 50 m.
Helicóptero: a la mitad entre 300 y 400, así que +350 m.
Submarino: en el rótulo de -200, así que -200 m.
Distancia = \lvert 350 - (-200) \rvert = \lvert 350 + 200 \rvert = 550 m.
Respuesta: 550 metros.
Comprobación: del submarino hasta el nivel del mar hay 200 m, y del nivel del mar hasta el helicóptero hay 350 m; 200 + 350 = 550. ✓
Consejo: en una escala con marcas sin rótulo, averigua cuánto vale una marca antes de leer un punto. Los puntos en lados opuestos del nivel del mar están separados por la suma de sus distancias al 0.
Ver en español
Pregunta
El diagrama muestra las elevaciones de un helicóptero y un submarino, en metros, respecto al nivel del mar.
¿Cuál es la distancia vertical entre el helicóptero y el submarino?
Opciones
A.150 m
B.500 m
C.550 m
D.-550 m
Pista
Hay rótulos cada 100 metros, y cada marca pequeña vale 50 metros. Lee las dos elevaciones y usa un número negativo por debajo del nivel del mar.
Pregunta 29 de 36
Sin calculadoraCompletar
In a trivia game, Tom answered one question wrong and lost 350 points. On the next question he gained 200 points. His score is now −75.
What was Tom's score before he answered the question wrong?
points
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Work backwards from the end. Undo the last change first, then undo the one before it.
Solución paso a paso
Write the story as an equation: \text{start} - 350 + 200 = -75.
Undo the gain of 200 (subtract 200): -75 - 200 = -275. This was his score after the wrong answer.
Tip: Work backwards in reverse order and reverse each operation: a gain becomes a subtraction and a loss becomes an addition. A common wrong answer is -225, which applies the changes again (-75 - 350 + 200) instead of reversing them. Always check by running the story forward.
Explicación
Escribe la historia como una ecuación: \text{inicio} - 350 + 200 = -75.
Deshaz la ganancia de 200 (resta 200): -75 - 200 = -275. Esa era su puntuación después de la respuesta incorrecta.
Deshaz la pérdida de 350 (suma 350): -275 + 350 = 75.
Respuesta: 75 puntos.
Comprobación (hacia adelante):75 - 350 = -275, y luego -275 + 200 = -75 ✓.
Consejo: trabaja hacia atrás en el orden inverso y haz la operación contraria en cada paso: una ganancia se convierte en una resta y una pérdida en una suma. Una respuesta incorrecta común es -225, que vuelve a aplicar los cambios (-75 - 350 + 200) en lugar de deshacerlos. Comprueba siempre recorriendo la historia hacia adelante.
Ver en español
Pregunta
En un juego de preguntas, Tom respondió mal una pregunta y perdió 350 puntos. En la siguiente pregunta ganó 200 puntos. Ahora su puntuación es de −75.
¿Cuál era la puntuación de Tom antes de responder mal la pregunta?
_____ puntos
Pista
Trabaja hacia atrás desde el final. Primero deshaz el último cambio y luego el anterior.
Pregunta 30 de 36
Completar
A delivery drone leaves its base and flies along a straight road. It flies 4.5 miles east, then 7.2 miles west, then 3.0 miles east.
What is the total distance the drone flies?
miles
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Total distance adds the length of every leg, no matter which direction it goes.
Solución paso a paso
Total distance traveled ignores direction: add the size of each leg.
Tip: The drone ends only 0.3 mile east of its base — that is the net change. "Total distance" counts every mile flown, so it is much larger. A common wrong answer is 0.3, the net change (or -0.3, from subtracting the legs in the wrong order).
Explicación
La distancia total recorrida no toma en cuenta la dirección: suma el tamaño de cada tramo.
Consejo: el dron termina solo a 0.3 millas al este de su base: ese es el cambio neto. La "distancia total" cuenta cada milla volada, así que es mucho mayor. Una respuesta incorrecta común es 0.3, el cambio neto (o -0.3, por restar los tramos en el orden equivocado).
Ver en español
Pregunta
Un dron de entregas sale de su base y vuela a lo largo de una carretera recta. Vuela 4.5 millas al este, luego 7.2 millas al oeste y luego 3.0 millas al este.
¿Cuál es la distancia total que vuela el dron?
_____ millas
Pista
La distancia total suma la longitud de cada tramo, sin importar en qué dirección vaya.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraMenú
On one drive, a football team had these plays (in yards): +12, -7, -4, +23.
The team's net gain was yards. The total distance the ball moved (forward and backward) was yards.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Net gain adds the signed numbers. Total distance adds the absolute values of all plays.
Answers: net gain 24 yards; total distance 46 yards.
Check: total - net = 46 - 24 = 22, which is twice the yards lost (2 \times 11): the ball had to cover the lost 11 yards once going back and once regaining them. ✓
Tip: Net uses signs; total uses absolute values. Ignoring the losses (12 + 23 = 35) gives neither one.
Respuestas: ganancia neta de 24 yardas; distancia total de 46 yardas.
Comprobación: total - neta = 46 - 24 = 22, que es el doble de las yardas perdidas (2 \times 11): el balón tuvo que recorrer las 11 yardas perdidas una vez al retroceder y otra al recuperarlas. ✓
Consejo: la ganancia neta usa los signos; la distancia total usa los valores absolutos. Ignorar las pérdidas (12 + 23 = 35) no da ninguna de las dos.
Ver en español
Pregunta
En una serie ofensiva, un equipo de fútbol americano tuvo estas jugadas (en yardas): +12, -7, -4, +23.
La ganancia neta del equipo fue de _____ yardas. La distancia total que se movió el balón (hacia adelante y hacia atrás) fue de _____ yardas.
Opciones
24
46
35
46
24
11
Pista
La ganancia neta suma los números con signo. La distancia total suma los valores absolutos de todas las jugadas.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadora
Simplify completely. Be careful with the order of operations inside each set of bars.
Inside each set of bars, follow the order of operations (multiply before subtracting). Then take each absolute value, and keep the sign that is outside the first set of bars.
Solución paso a paso
First bars: multiply first, 2 \cdot 6 = 12; then 5 - 12 = -7; so \lvert 5 - 2 \cdot 6 \rvert = 7.
Second bars: -4 + 1 = -3, so \lvert -4 + 1 \rvert = 3, and 3\lvert -4 + 1 \rvert = 9.
Combine: -7 + 9 = 2.
Answer: 2.
Check: the first term must be \le 0 (negative outside the bars) and the second must be \ge 0. -7 and 9 fit, and -7 + 9 = 2. ✓
Tip: Three separate rules work together here: order of operations inside the bars, absolute value of the result, then the sign or coefficient outside. Go one layer at a time.
Explicación
Primer par de barras: multiplica primero, 2 \cdot 6 = 12; luego 5 - 12 = -7; así que \lvert 5 - 2 \cdot 6 \rvert = 7.
Aplica el signo negativo de afuera: -\lvert 5 - 2 \cdot 6 \rvert = -7.
Segundo par de barras: -4 + 1 = -3, así que \lvert -4 + 1 \rvert = 3, y 3\lvert -4 + 1 \rvert = 9.
Combina: -7 + 9 = 2.
Respuesta: 2.
Comprobación: el primer término debe ser \le 0 (tiene un signo negativo fuera de las barras) y el segundo debe ser \ge 0. -7 y 9 cumplen, y -7 + 9 = 2. ✓
Consejo: aquí trabajan juntas tres reglas distintas: el orden de las operaciones dentro de las barras, el valor absoluto del resultado y luego el signo o el coeficiente de afuera. Ve capa por capa.
Ver en español
Pregunta
Simplifica por completo. Ten cuidado con el orden de las operaciones dentro de cada par de barras.
Dentro de cada par de barras, sigue el orden de las operaciones (multiplica antes de restar). Luego toma cada valor absoluto y conserva el signo que está afuera del primer par de barras.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
Let x = -3. Substitute and evaluate -\lvert x \rvert + \lvert x - 4 \rvert.
Pista
Substitute -3 in parentheses everywhere you see x. Simplify inside each set of bars before taking absolute values.
First term: \lvert -3 \rvert = 3, and the outside negative gives -3.
Second term: (-3) - 4 = -7, and \lvert -7 \rvert = 7.
Combine: -3 + 7 = 4.
Answer: 4.
Check:\lvert x - 4 \rvert is the distance from x to 4; from -3 to 4 is 7 units ✓. And -\lvert x \rvert is never positive, so the first term must be -3 ✓.
Tip: Put the substituted value in parentheses. The negative sign outside \lvert x \rvert stays negative even when x is negative: -\lvert -3 \rvert = -3, not +3.
Primer término: \lvert -3 \rvert = 3, y el signo negativo de afuera da -3.
Segundo término: (-3) - 4 = -7, y \lvert -7 \rvert = 7.
Combina: -3 + 7 = 4.
Respuesta: 4.
Comprobación:\lvert x - 4 \rvert es la distancia de x a 4; de -3 a 4 hay 7 unidades ✓. Y -\lvert x \rvert nunca es positivo, así que el primer término debe ser -3 ✓.
Consejo: pon el valor sustituido entre paréntesis. El signo negativo fuera de \lvert x \rvert sigue siendo negativo aunque x sea negativo: -\lvert -3 \rvert = -3, no +3.
Ver en español
Pregunta
Sea x = -3. Sustituye y calcula -\lvert x \rvert + \lvert x - 4 \rvert.
Opciones
A.-4
B.-2
C.4
D.10
Pista
Sustituye -3 entre paréntesis en cada lugar donde veas x. Simplifica dentro de cada par de barras antes de tomar los valores absolutos.
Pregunta 34 de 36
Completar
At 5 p.m. the temperature was 18°F. It fell at a steady rate until 11 p.m., when it was -12°F.
By how many degrees per hour did the temperature fall?
degrees per hour
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First find the total drop from 18 to -12 (it crosses zero). Then divide by the number of hours.
Solución paso a paso
Total drop: \lvert -12 - 18 \rvert = \lvert -30 \rvert = 30 degrees. (From 18 down to 0 is 18; from 0 down to -12 is 12; 18 + 12 = 30.)
Time: from 5 p.m. to 11 p.m. is 11 - 5 = 6 hours.
Rate: 30 \div 6 = 5 degrees per hour.
Answer: 5 degrees per hour.
Check: start at 18 and drop 5 each hour for 6 hours: 18 - 5 \times 6 = 18 - 30 = -12 ✓.
Tip: The question says "fell by", so the answer is a positive amount per hour. The common error is 18 - 12 = 6 total degrees, giving \tfrac{6}{6} = 1 per hour — it ignores that the temperature crossed zero.
Explicación
Bajada total: \lvert -12 - 18 \rvert = \lvert -30 \rvert = 30 grados. (De 18 hasta 0 son 18; de 0 hasta -12 son 12; 18 + 12 = 30.)
Tiempo: de las 5 p.m. a las 11 p.m. son 11 - 5 = 6 horas.
Tasa: 30 \div 6 = 5 grados por hora.
Respuesta: 5 grados por hora.
Comprobación: empieza en 18 y baja 5 cada hora durante 6 horas: 18 - 5 \times 6 = 18 - 30 = -12 ✓.
Consejo: la pregunta dice "bajó", así que la respuesta es una cantidad positiva por hora. El error común es 18 - 12 = 6 grados en total, lo que da \tfrac{6}{6} = 1 por hora: ignora que la temperatura pasó por debajo de cero.
Ver en español
Pregunta
A las 5 p.m., la temperatura era de 18°F. Bajó a un ritmo constante hasta las 11 p.m., cuando era de -12°F.
¿Cuántos grados por hora bajó la temperatura?
_____ grados por hora
Pista
Primero encuentra la bajada total de 18 a -12 (pasa por el cero). Luego divide entre el número de horas.
Pregunta 35 de 36
In a mine, Tunnel A is 340 feet below the ground and Tunnel B is 1,215 feet below the ground. The top of the elevator tower is 60 feet above the ground. The mine elevator moves at 125 feet per minute.
How many minutes does it take the elevator to travel from Tunnel A to Tunnel B?
Pista
Find the distance between the two tunnels first (both are below ground). Then use time = distance ÷ speed.
Solución paso a paso
Positions (ground = 0, up positive): Tunnel A = -340 ft, Tunnel B = -1{,}215 ft. The tower height (+60 ft) is not needed.
Time = \dfrac{\text{distance}}{\text{speed}} = \dfrac{875}{125} = 7 minutes.
Answer: 7 minutes.
Check:125 \times 7 = 875 ft, and 340 + 875 = 1{,}215 ft below ground ✓.
Tip: Both tunnels are on the same side of zero, so subtract their depths. Decide which numbers the question needs before you start — the tower height is a planted distractor.
Explicación
Posiciones (suelo = 0, hacia arriba positivo): Túnel A = -340 pies, Túnel B = -1{,}215 pies. La altura de la torre (+60 pies) no se necesita.
Tiempo = \dfrac{\text{distancia}}{\text{rapidez}} = \dfrac{875}{125} = 7 minutos.
Respuesta: 7 minutos.
Comprobación:125 \times 7 = 875 pies, y 340 + 875 = 1{,}215 pies por debajo del suelo ✓.
Consejo: los dos túneles están del mismo lado del cero, así que resta sus profundidades. Decide qué números necesita la pregunta antes de empezar: la altura de la torre es un distractor puesto a propósito.
Ver en español
Pregunta
En una mina, el Túnel A está 340 pies por debajo del suelo y el Túnel B está 1,215 pies por debajo del suelo. La parte de arriba de la torre del elevador está 60 pies por encima del suelo. El elevador de la mina se mueve a 125 pies por minuto.
¿Cuántos minutos tarda el elevador en ir del Túnel A al Túnel B?
Opciones
A.12.44 minutos
B.9.72 minutos
C.7 minutos
D.7.48 minutos
Pista
Primero encuentra la distancia entre los dos túneles (los dos están bajo tierra). Luego usa tiempo = distancia ÷ rapidez.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all statements that are true for every pair of real numbers a and b.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For each statement, try to find a counterexample. Use at least one negative number, because that is where absolute value matters.
Solución paso a paso
Test each statement; one counterexample is enough to rule it out.
\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert ✓ — the size of a product is the product of the sizes (a = -3, b = 4: 12 = 3 \cdot 4).
\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert ✗ — a = 3, b = -5: \lvert -2 \rvert = 2 but 3 + 5 = 8.
\lvert a \rvert^2 = a^2 ✓ — squaring removes the sign either way (a = -6: 36 = 36).
\lvert -a \rvert = a ✗ — a = -4: \lvert 4 \rvert = 4 \ne -4.
\lvert a \rvert \ge 0 ✓ — a distance is never negative.
\lvert a \rvert > a ✗ — a = 5: 5 > 5 is false.
Answer: \lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert, \lvert a \rvert^2 = a^2, and \lvert a \rvert \ge 0.
Check: each true statement also holds for a = 0, b = 0 ✓.
Tip: Absolute value works nicely with multiplication but not with addition when the signs differ. Always test negatives and zero before deciding "always".
Explicación
Prueba cada afirmación; basta un contraejemplo para descartarla.
\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert ✓: el tamaño de un producto es el producto de los tamaños (a = -3, b = 4: 12 = 3 \cdot 4).
\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert ✗: a = 3, b = -5: \lvert -2 \rvert = 2, pero 3 + 5 = 8.
\lvert a \rvert^2 = a^2 ✓: al elevar al cuadrado el signo desaparece (a = -6: 36 = 36).
\lvert -a \rvert = a ✗: a = -4: \lvert 4 \rvert = 4 \ne -4.
\lvert a \rvert \ge 0 ✓: una distancia nunca es negativa.
\lvert a \rvert > a ✗: a = 5: 5 > 5 es falso.
Respuesta: \lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert, \lvert a \rvert^2 = a^2 y \lvert a \rvert \ge 0.
Comprobación: cada afirmación verdadera también se cumple para a = 0, b = 0 ✓.
Consejo: el valor absoluto funciona bien con la multiplicación, pero no con la suma cuando los signos son diferentes. Prueba siempre con negativos y con cero antes de decidir "siempre".
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las afirmaciones que son verdaderas para todos los pares de números reales a y b.
Opciones
A.\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \cdot \lvert b \rvert
B.\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert
C.\lvert a \rvert^2 = a^2
D.\lvert -a \rvert = a
E.\lvert a \rvert \ge 0
F.\lvert a \rvert > a
Pista
Para cada afirmación, intenta encontrar un contraejemplo. Usa al menos un número negativo, porque ahí es donde importa el valor absoluto.
