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Valor absoluto y distancia en la recta numérica

Calcula y compara valores absolutos y encuentra distancias entre puntos, incluso con números negativos y tolerancias.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

El valor absoluto es la distancia de un número al cero. En esta lección vas a aprender a calcular expresiones con valor absoluto, a compararlas y a usar el valor absoluto para encontrar la distancia entre dos puntos en una recta numérica, incluso cuando uno o ambos puntos son negativos.

Cómo aparece en el GED®:

  • Calcular expresiones como \lvert 3 - 8 \rvert - \lvert -4 \rvert (muchas veces sin calculadora).
  • Encontrar la distancia entre dos números, o hacer clic en un punto que está a cierta distancia de otro punto.
  • Problemas verbales de la vida real: cambios de temperatura que pasan por cero, elevaciones por encima y por debajo del nivel del mar, saldos bancarios que quedaron en negativo y tolerancias de fabricación ("con un margen de 0.05 pulgadas").

El valor absoluto también te prepara para el plano de coordenadas: la distancia entre dos puntos en una línea horizontal o vertical es un valor absoluto. Si puedes imaginar una recta numérica, puedes resolver todas las preguntas de esta lección.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Valor absoluto \lvert x \rvert: la distancia de x a 0 en una recta numérica; nunca es negativo (\lvert -6 \rvert = 6, \lvert 6 \rvert = 6).
  • Opuestos: dos números que están a la misma distancia del 0, en lados opuestos (-8 y 8).
  • Entero: un número entero positivo, el cero o su opuesto (\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots).
  • Distancia entre dos puntos: qué tan separados están; siempre es positiva o cero (de -2 a 5 hay 7).
  • Nivel del mar: elevación 0; por encima es positivo y por debajo es negativo (-282 ft).
  • Sobregirado: un saldo bancario menor que $0, escrito como número negativo.
  • Tolerancia: la mayor distancia permitida respecto a un valor objetivo (un perno de 2.5 pulgadas con una tolerancia de 0.05 pulgadas).
  • Límite: el extremo de un rango permitido (2.45 y 2.55 para el perno de arriba).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Qué significa el valor absoluto

El valor absoluto de un número es qué tan lejos está del 0, sin importar la dirección.

\lvert 5 \rvert = 5 \qquad \lvert -5 \rvert = 5 \qquad \lvert 0 \rvert = 0 \qquad \lvert -2.75 \rvert = 2.75 \qquad \left\lvert -\tfrac{3}{4} \right\rvert = \tfrac34
Number line from -6 to 6. Points at -5 (red) and 5 (blue). Brackets show each is 5 units from 0, so |-5| = 5 and |5| = 5. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 |−5| = 5 units |5| = 5 units Opposites are the same distance from 0
−5 y 5 están cada uno a 5 unidades del 0

Datos clave:

  • El valor absoluto nunca es negativo, porque una distancia nunca es negativa.
  • Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto: \lvert -9 \rvert = \lvert 9 \rvert = 9.
  • Si \lvert x \rvert = 5, entonces x = 5 o x = -5 (dos respuestas).
  • \lvert x \rvert = -3 no tiene solución: ninguna distancia es negativa.

Las barras funcionan como paréntesis. Primero haz las operaciones de adentro y luego toma el valor absoluto:

  • \lvert 2 - 9 \rvert = \lvert -7 \rvert = 7
  • \lvert -4 \rvert + \lvert 3 \rvert = 4 + 3 = 7, pero \lvert -4 + 3 \rvert = \lvert -1 \rvert = 1
  • \lvert -3 \rvert \cdot \lvert 4 \rvert = 3 \cdot 4 = 12

Los signos de afuera de las barras se quedan. -\lvert -6 \rvert = -(6) = -6. Las barras solo cambian lo que está adentro.

Comparar y ordenar con valor absoluto

Para comparar expresiones con valor absoluto, simplifica cada lado a un solo número y luego compara en la recta numérica.

Ejemplo: \lvert -9 \rvert vs. \lvert 6 \rvert: 9 > 6, así que \lvert -9 \rvert > \lvert 6 \rvert.

Ejemplo: -\lvert 5 \rvert vs. -\lvert -2 \rvert: son -5 y -2. Como -5 está más a la izquierda, -5 < -2.

Tamaño vs. valor. El valor absoluto mide el tamaño (qué tan lejos está del cero). Un número negativo puede tener un tamaño mayor pero un valor menor:

  • -10 < 3 (valor), pero \lvert -10 \rvert > \lvert 3 \rvert (tamaño).
  • Una deuda de $500 (-500) es una deuda mayor que una de $200 (-200): \lvert -500 \rvert > \lvert -200 \rvert, aunque -500 < -200.
Number line from -11 to 4. Points at -10, -2 and 3. Below the line, bars from 0 show their sizes: |-10| = 10, |-2| = 2, |3| = 3. By value, -10 < -2 < 3; by size (absolute value), 2 < 3 < 10. −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −10 −2 3 |−10| = 10 |−2| = 2 |3| = 3 value: −10 < −2 < 3; size: |−2| < |3| < |−10|
Recta numérica y barras de tamaño para −10, −2 y 3

El lenguaje de la vida real muchas veces habla del tamaño: "la pérdida mayor", "la mayor profundidad", "la temperatura más fría". Decide si la pregunta pide el valor (con signo) o el tamaño (valor absoluto).

NúmeroValor en la recta numéricaValor absoluto
-10muy a la izquierda10
-2un poco a la izquierda del 02
3a la derecha del 03

Distancia entre dos puntos en una recta numérica

La distancia entre dos números a y b es el valor absoluto de su diferencia:

d = \lvert b - a \rvert = \lvert a - b \rvert

El orden de la resta no importa, porque el valor absoluto quita el signo.

Del mismo lado del cero → resta los tamaños. Entre -9 y -2: \lvert -2 - (-9) \rvert = \lvert 7 \rvert = 7 (también 9 - 2 = 7).

Number line from -10 to 2. Points at -9 and -2, both left of zero. A bracket between them is labeled 7 units: |-2 - (-9)| = 7, the same as 9 - 2 = 7. −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 7 units Same side of 0: subtract the sizes, 9 − 2 = 7
Distancia de 7 unidades entre −9 y −2

En lados opuestos del cero → suma los tamaños. Entre -4 y 3: \lvert 3 - (-4) \rvert = 7 (también 4 + 3 = 7). Mira la figura de abajo.

Trabajar hacia atrás: encontrar un punto a cierta distancia. Los puntos que están a d unidades de c son c + d (a la derecha) y c - d (a la izquierda). Puntos a 6 unidades de -1: -1 + 6 = 5 y -1 - 6 = -7.

Number line from -8 to 6. The center point -1 is marked in blue. Arrows of 6 units go left to -7 and right to 5 (red points). The two points 6 units from -1 are -7 and 5. −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 − 6 + 6 −1 − 6 = −7 and −1 + 6 = 5
Los puntos a 6 unidades de −1 son −7 y 5

Los problemas de tolerancia usan la misma idea. "Con un margen de t respecto al objetivo T" significa

\lvert x - T \rvert \le t \quad\Longleftrightarrow\quad T - t \le x \le T + t

Para un objetivo de 10 oz con una tolerancia de 0.2 oz, los pesos aceptables van de 9.8 a 10.2 oz.

Number line from 9.6 to 10.4 ounces. The target 10 is marked. The acceptable range from 9.8 to 10.2 is shaded green with closed dots at both ends, 0.2 on each side of 10. 9.6 9.7 9.8 9.9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 0.2 0.2 |x − 10| ≤ 0.2 means 9.8 ≤ x ≤ 10.2 oz
Rango aceptable de 9.8 a 10.2 oz alrededor de 10

Puntos de referencia de la vida real: el nivel del mar, 0°F, un saldo de $0 y el nivel del suelo son todos "cero". Escribe los valores de un lado como positivos y los del otro lado como negativos, y luego usa \lvert b - a \rvert.

Number line from -6 to 6 labeled at every integer. Points are marked at -4 and 3. A bracket above the line spans from -4 to 3 and is labeled 7 units: 4 units from -4 to 0 plus 3 units from 0 to 3. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −4 3 7 units

La distancia de -4 a 3 es de 7 unidades: 4 unidades de -4 a 0 más 3 unidades de 0 a 3. En símbolos, \lvert 3 - (-4) \rvert = 7.

Fórmula

Fórmulas para memorizar (no están en la hoja de fórmulas)

Estas fórmulas no están en la hoja de fórmulas del GED®.

Valor absoluto:

\lvert x \rvert = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

(Si x es negativo, -x es positivo: \lvert -7 \rvert = -(-7) = 7).

Distancia entre dos puntos en una recta numérica:

d = \lvert b - a \rvert
  • a, b: las coordenadas (números) de los dos puntos
  • d: la distancia, siempre \ge 0

Puntos a una distancia d de c: c + d y c - d.

Tolerancia: \lvert x - T \rvert \le t significa T - t \le x \le T + t.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): calcular una expresión

Calcula \lvert -12 \rvert - \lvert 5 \rvert + \lvert -3 \cdot 2 \rvert.

Three distance bars measured from 0: |-12| is a bar 12 units long to the left of 0, |5| is 5 units to the right, and |-6| (from -3 × 2 = -6) is 6 units to the left. All three absolute values are positive: 12 - 5 + 6 = 13. −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 5 6 |−12| = 12 |5| = 5 |−3 · 2| = |−6| = 6
Barras de distancia para |−12|, |5| y |−6| medidas desde 0
  1. \lvert -12 \rvert = 12.
  2. \lvert 5 \rvert = 5.
  3. Dentro de las últimas barras: -3 \cdot 2 = -6, así que \lvert -6 \rvert = 6.
  4. Combina de izquierda a derecha: 12 - 5 + 6 = 13.

Respuesta: 13.

Comprobación: los tres valores absolutos son positivos (12, 5, 6), y 12 - 5 = 7, 7 + 6 = 13. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: distancia entre −7 y 4

Encuentra la distancia entre -7 y 4 en una recta numérica.

  1. d = \lvert 4 - (-7) \rvert = \lvert 4 + 7 \rvert = \lvert 11 \rvert = 11.
  2. El otro orden da el mismo resultado: \lvert -7 - 4 \rvert = \lvert -11 \rvert = 11.
Number line from -8 to 5. Points at -7 and 4. Above, a bracket from -7 to 4 is labeled 11 units. Below, it is split into 7 units from -7 to 0 and 4 units from 0 to 4. −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 11 units 7 4
Distancia de 11 de −7 a 4, separada en 7 + 4

Respuesta: 11 unidades.

Comprobación: están en lados opuestos del cero, así que suma los tamaños: 7 + 4 = 11. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): submarino y helicóptero

Un submarino está a 250 ft por debajo de la superficie del mar. Un helicóptero de rescate vuela a 1{,}200 ft por encima de la superficie. ¿Qué distancia vertical hay entre ellos?

  1. Usa el nivel del mar como 0: submarino = -250, helicóptero = 1{,}200.
  2. d = \lvert 1{,}200 - (-250) \rvert = \lvert 1{,}200 + 250 \rvert = 1{,}450.
Vertical number line for elevation with sea level at 0 ft. The helicopter is at +1,200 ft and the submarine at -250 ft. Brackets: 1,200 ft from sea level up to the helicopter and 250 ft from the submarine up to sea level, for a total of 1,450 ft. −400 −200 0 200 400 600 800 1,000 1,200 sea level helicopter +1,200 submarine −250 1,450 1,200 250
Línea vertical de elevación con el submarino y el helicóptero

Respuesta: 1,450 ft.

Comprobación: 250 ft hasta la superficie más 1{,}200 ft hasta el helicóptero = 1{,}450 ft. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (trabajar hacia atrás): encuentra los puntos

¿Qué números están exactamente a 9 unidades de -2 en la recta numérica?

  1. Muévete 9 unidades a la derecha: -2 + 9 = 7.
  2. Muévete 9 unidades a la izquierda: -2 - 9 = -11.
Number line from -12 to 8. The center -2 is marked in blue. Arrows of 9 units go left to -11 and right to 7 (red points). The numbers 9 units from -2 are -11 and 7. −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −11 7 9 left 9 right −2 − 9 = −11 and −2 + 9 = 7
Los puntos a 9 unidades de −2 son −11 y 7

Respuesta: 7 y -11.

Comprobación: \lvert 7 - (-2) \rvert = \lvert 9 \rvert = 9 ✓ y \lvert -11 - (-2) \rvert = \lvert -9 \rvert = 9 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): tolerancia en un taller mecánico

Un tornillo debe medir 3.75 pulgadas de largo, con una tolerancia de 0.02 pulgadas. ¿Cuáles de estos tornillos son aceptables: 3.728, 3.74, 3.771, 3.77?

  1. Regla: \lvert L - 3.75 \rvert \le 0.02, así que 3.75 - 0.02 \le L \le 3.75 + 0.02, es decir, 3.73 \le L \le 3.77.
  2. Prueba cada tornillo:
    • 3.728: \lvert 3.728 - 3.75 \rvert = 0.022 > 0.02 → rechazado
    • 3.74: \lvert -0.01 \rvert = 0.01 → aceptado
    • 3.771: \lvert 0.021 \rvert = 0.021 > 0.02 → rechazado
    • 3.77: \lvert 0.02 \rvert = 0.02 → aceptado (límite)
Number line from 3.72 to 3.78 inches with ticks every 0.005. The acceptable range 3.73 to 3.77 (3.75 plus or minus 0.02) is shaded green with closed endpoints. Bolts 3.74 and 3.77 (green) are inside the range; bolts 3.728 and 3.771 (red) are just outside. 3.72 3.73 3.74 3.75 3.76 3.77 3.78 0.02 0.02 target 3.75 3.728 ✗ 3.74 ✓ 3.77 ✓ 3.771 ✗ Accepted: 3.73 ≤ L ≤ 3.77 (endpoints included)
Rango de tolerancia de 3.73 a 3.77 con los cuatro tornillos marcados

Respuesta: los de 3.74 in y 3.77 in son aceptables.

Comprobación: completa hasta tres lugares: 3.730 \le 3.740 \le 3.770 y 3.770 \le 3.770, mientras que 3.728 < 3.730 y 3.771 > 3.770. ✓

Consejo de calculadora

Consejos para la TI-30XS MultiView

La mayoría de las preguntas de valor absoluto están diseñadas para la sección sin calculadora. Casi nunca necesitas una tecla de valor absoluto: resuelve lo de adentro y luego quita cualquier signo negativo.

Cuando se permite la calculadora:

  • Usa la tecla (−) para los números negativos y la tecla de restar para "menos". Distancia de -45.5 a 120.25: 120.25 − (−) 45.5 enter → 165.75.
  • Si el resultado es negativo, la distancia es el mismo número sin el signo.
  • En los problemas de tolerancia, calcula T - t y T + t una sola vez, escribe el rango en tu pizarra de apuntes y compara cada opción con él.

Cuándo no usarla: problemas como \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert o "la distancia de -5 a 3" son más rápidos con un dibujo rápido de la recta numérica, y un dibujo detecta errores de signo que la calculadora no detecta.

Error común

Errores comunes

  • Dejar el signo adentro. Incorrecto: \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert = -4. Correcto: 7 + 3 = 10.
  • Combinar antes de tomar los valores absolutos. Incorrecto: \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert = \lvert -7 + 3 \rvert = 4. Correcto: cada par de barras se calcula por separado.
  • Quitar un signo que está afuera de las barras. Incorrecto: -\lvert -4 \rvert = 4. Correcto: -\lvert -4 \rvert = -4.
  • Restar tamaños cuando se cruza el cero. Incorrecto: la distancia de -12 a 15 es 15 - 12 = 3. Correcto: 15 - (-12) = 27.
  • Sumar tamaños del mismo lado. Incorrecto: la distancia de -45 a -3 es 48. Correcto: \lvert -3 - (-45) \rvert = 42.
  • Medir desde el cero en vez de desde el punto dado. Incorrecto: "a 7 unidades de -3" es 7. Correcto: -3 + 7 = 4 o -3 - 7 = -10.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Dibuja una recta numérica en tu pizarra de apuntes para cada pregunta de distancia. Marca el cero y los dos puntos; el dibujo te dice si debes sumar o restar.
  • Elimina las respuestas negativas en cualquier pregunta de distancia, subida o "qué tan lejos". Las distancias nunca son negativas.
  • Traduce las palabras a signos: por debajo, bajo, sobregirado, pérdida, más frío → negativo; por encima, depósito, ganancia, más caliente → positivo.
  • Cuidado con la información de más. Los problemas verbales de varios pasos muchas veces incluyen números que no necesitas. Subraya las dos posiciones por las que realmente pregunta la pregunta.
  • Sustituye para comprobar las respuestas de "encuentra el punto": la distancia desde el punto dado debe ser igual a la distancia indicada.
  • Tolerancia: escribe el rango de T - t a T + t, completa los decimales con ceros y recuerda que "con un margen de" incluye los extremos.

Compruébalo

Valor absoluto y distancia en la recta numéricaSin calculadora

What is the value of \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert?

Opciones de respuesta
Pista

Find each absolute value first (its distance from zero), then add.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de \lvert -7 \rvert + \lvert 3 \rvert?

Opciones

  • A. -10
  • B. -4
  • C. 4
  • D. 10
Pista

Encuentra primero cada valor absoluto (su distancia al cero) y luego suma.

Compruébalo

Valor absoluto y distancia en la recta numéricaSin calculadoraZona activa

Click the point on the number line that represents -\lvert -4 \rvert.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Number line from -6 to 6 with a tick mark and label at every integer. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Pista

Work from the inside out: first find \lvert -4 \rvert, then apply the negative sign that is outside the bars.

Ver en español

Pregunta

Haz clic en el punto de la recta numérica que representa -\lvert -4 \rvert.

Pista

Trabaja de adentro hacia afuera: primero encuentra \lvert -4 \rvert y luego aplica el signo negativo que está afuera de las barras.

Resumen

  • \lvert x \rvert es la distancia de x a 0, así que nunca es negativo; los opuestos tienen el mismo valor absoluto.
  • Trata las barras como paréntesis: primero simplifica lo de adentro; los signos afuera de las barras se quedan.
  • La distancia entre a y b es \lvert b - a \rvert: suma los tamaños si se cruza el cero y réstalos si están del mismo lado.
  • Los puntos que están a d unidades de c son c + d y c - d.
  • La tolerancia "con un margen de t respecto a T" significa \lvert x - T \rvert \le t, el rango de T - t a T + t, con los extremos incluidos.
Practicar esta destreza →