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Factores, múltiplos, números primos, MCD y mcm

Encuentra factores, múltiplos, números primos y factorizaciones en primos, y usa el MCD y el mcm para resolver problemas verbales.

Practicar esta destreza 22 min Múltiplos y factores Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Esta lección trata de los "bloques de construcción" de los números enteros: factores, múltiplos, números primos, reglas de divisibilidad, el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm).

Cómo aparece en el GED®:

  • Preguntas directas: "¿Cuál es el MCD de 42 y 56?", "¿Qué número es primo?", "¿Cuál es la factorización en primos de 180?"
  • Problemas verbales que esconden el MCD o el mcm: repartir objetos en grupos idénticos, comprar paquetes para que no sobre nada, horarios que vuelven a coincidir.
  • Álgebra: sacar un MCD como factor común, como 12x + 18 = 6(2x + 3), y encontrar denominadores comunes para fracciones (el mcm de los denominadores).

En la vida real usas estas ideas cuando repartes cosas en partes iguales, planeas horarios, cortas material en pedazos iguales o sumas fracciones en una receta. Casi todo esto se evalúa sin calculadora, así que los atajos mentales de esta lección de verdad valen la pena.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Factor: un número entero que divide a otro sin dejar residuo (4 es factor de 12 porque 12 \div 4 = 3).
  • Par de factores: dos factores que, multiplicados, dan el número (3 \times 4 = 12).
  • Múltiplo: el resultado de multiplicar un número por 1, 2, 3, \ldots (múltiplos de 5: 5, 10, 15, \ldots).
  • Divisible: que se divide exactamente, con residuo 0 (35 es divisible entre 7).
  • Número primo: un número entero mayor que 1 que tiene exactamente dos factores, 1 y él mismo (2, 3, 5, 7, 11, 13).
  • Número compuesto: un número entero mayor que 1 que tiene más de dos factores (9 = 3 \times 3).
  • Factorización en primos: escribir un número como producto de solo números primos (60 = 2^2 \times 3 \times 5).
  • Árbol de factores: un diagrama que separa un número en factores hasta que todas las ramas terminan en primos.
  • Factor común: un factor que comparten dos números (3 es un factor común de 12 y 15).
  • Máximo común divisor (MCD): el mayor factor común (\text{MCD}(12, 15) = 3).
  • Múltiplo común: un múltiplo que comparten dos números (30 es un múltiplo común de 6 y 10).
  • Mínimo común múltiplo (mcm): el menor múltiplo común positivo (\text{mcm}(6, 10) = 30).
  • Exponente: un número pequeño elevado que cuenta los factores repetidos (2^3 = 2 \times 2 \times 2).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Factores y múltiplos: dos caras del mismo hecho

El hecho 3 \times 4 = 12 nos dice dos cosas:

  • 3 y 4 son factores de 12 (caben exactamente en 12).
  • 12 es un múltiplo de 3 y de 4 (se llega a él contando en saltos de 3 o de 4).

Encontrar todos los factores: usa pares de factores. Empieza en 1 y sube; detente cuando los pares se encuentren.

Ejemplo: factores de 36: 1 \times 36, 2 \times 18, 3 \times 12, 4 \times 9, 6 \times 6. Entonces los factores son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Factor rainbow for 36. The factors 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 are written in order. Arcs join each factor pair: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12 and 4 × 9; the middle factor 6 pairs with itself, 6 × 6. 1 × 36 2 × 18 3 × 12 4 × 9 1 2 3 4 6 9 12 18 36 6 × 6
Arcoíris de factores que une los pares de factores de 36

Hacer una lista de múltiplos: cuenta de tantos en tantos según el número: los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, \ldots La lista nunca termina.

Datos clave:

  • Todo número es factor y múltiplo de sí mismo.
  • 1 es factor de todos los números.
  • Un factor nunca es mayor que el número; un múltiplo nunca es menor (para números positivos).

Primo vs. compuesto. Un número primo tiene exactamente dos factores. Los primos menores que 50 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Grid of the numbers 1 to 50 in rows of ten. The 15 primes are shaded blue: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. The number 1 is outlined with a dashed box because it is neither prime nor composite. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Blue = prime (15 primes under 50). 2 is the only even prime. 1 (dashed) is neither prime nor composite.
Cuadrícula del 1 al 50 con los primos sombreados

Notas: 1 no es primo ni compuesto. 2 es el único primo par. Muchos números impares no son primos: 9, 15, 21, 27, 33, 39, 49, 51, 57, 91.

Para saber si un número n es primo, intenta dividirlo entre los primos 2, 3, 5, 7, 11, \ldots; puedes detenerte cuando el primo al cuadrado sea mayor que n. Para 97: prueba 2, 3, 5, 7 (porque 11^2 = 121 > 97). Ninguno lo divide, así que 97 es primo.

Reglas de divisibilidad y factorización en primos

Las reglas de divisibilidad te permiten comprobar factores rápido, sin calculadora.

Divisible entreReglaEjemplo
2el último dígito es par (0, 2, 4, 6, 8)358 ✓
3la suma de los dígitos es divisible entre 3471: 4+7+1=12 ✓
4los dos últimos dígitos son divisibles entre 41{,}316: 16 ✓
5el último dígito es 0 o 5745 ✓
6divisible entre 2 y entre 3522: par, 5+2+2=9 ✓
8los tres últimos dígitos son divisibles entre 85{,}120: 120 \div 8 = 15 ✓
9la suma de los dígitos es divisible entre 98{,}433: 18 ✓
10el último dígito es 0930 ✓
25los dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 751{,}475 ✓

Factorización en primos con un árbol de factores. Separa el número en dos factores cualesquiera y sigue separando hasta que cada rama sea un primo. Encierra los primos en un círculo y multiplícalos para comprobar. Sin importar cómo empieces, siempre llegas a los mismos primos.

Ejemplo: 360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5.

Factor tree for 360. 360 splits into 36 and 10. 36 splits into 6 and 6; each 6 splits into 2 and 3. 10 splits into 2 and 5. The circled prime leaves are 2, 3, 2, 3, 2 and 5, so 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2^3 x 3^2 x 5. 360 36 10 6 6 2 5 2 3 2 3 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

Árbol de factores de 360. Cada rama termina en un primo encerrado en un círculo: 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5.

MCD y mcm: cómo encontrarlos y cuándo usarlos

MCD, método 1 (lista): haz una lista de los factores de cada número y elige el mayor que compartan. \text{MCD}(18, 30): factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. MCD = 6.

MCD, método 2 (primos): toma los primos que los números comparten, cada uno con la potencia menor. 18 = 2 \times 3^2, 30 = 2 \times 3 \times 5 → MCD = 2 \times 3 = 6.

Venn diagram of prime factors. Left circle: 18 = 2 × 3 × 3. Right circle: 30 = 2 × 3 × 5. The overlap holds the shared primes 2 and 3; 3 is only in the 18 circle and 5 only in the 30 circle. GCF = 2 × 3 = 6. 18 = 2 × 3 × 3 30 = 2 × 3 × 5 3 2 3 5 GCF = product of the overlap = 2 × 3 = 6
Diagrama de Venn de los factores primos de 18 y 30

mcm, método 1 (lista): haz una lista de los múltiplos del número mayor hasta que uno sea divisible entre el menor. \text{mcm}(6, 9): 9, 18, y 18 \div 6 = 3. mcm = 18.

mcm, método 2 (primos): toma todos los primos que aparecen, cada uno con la potencia mayor. 6 = 2 \times 3, 9 = 3^2 → mcm = 2 \times 3^2 = 18.

Two number lines from 0 to 36. Top: hops of 6 land on 6, 12, 18, 24, 30, 36. Bottom: hops of 9 land on 9, 18, 27, 36. A dashed green line marks 18, the first number both land on, so LCM(6, 9) = 18. Multiples of 6 0 6 12 18 24 30 36 Multiples of 9 0 9 18 27 36 first common multiple: LCM(6, 9) = 18
Saltos de 6 y saltos de 9 que se encuentran por primera vez en 18

Si dos números no comparten ningún factor excepto 1 (como 8 y 15), su MCD es 1 y su mcm es su producto, 120.

¿Cuál pide el problema verbal?

Palabras claveUsaPor qué
repartir en grupos idénticos, el mayor número de grupos, los pedazos iguales más grandes, las losetas cuadradas más grandesMCDla respuesta cabe exactamente en los números dados, así que es pequeña
la misma cantidad de cada uno, la próxima vez juntos, comprar paquetes sin que sobre nada, repetirse al mismo tiempomcmla respuesta es algo en lo que ambos números caben exactamente, así que es grande

Comprobación lógica: un MCD es como máximo el número menor; un mcm es como mínimo el número mayor.

Sacar el MCD como factor común (conexión con el álgebra). Para factorizar 12x + 18, encuentra \text{MCD}(12, 18) = 6 y escribe 6(2x + 3). Comprueba aplicando la propiedad distributiva: 6 \cdot 2x + 6 \cdot 3 = 12x + 18 ✓. Con variables, \text{MCD}(8x^2, 12x) = 4x, así que 8x^2 + 12x = 4x(2x + 3).

Area model for factoring 12x + 18. A rectangle has height 6. Its top is split into widths 2x and 3. The left part has area 6 × 2x = 12x and the right part has area 6 × 3 = 18. So 12x + 18 = 6(2x + 3). 2x 3 6 12x 18 12x + 18 = 6(2x + 3), since GCF(12, 18) = 6
Modelo de área: 6 por (2x + 3) da 12x + 18
Fórmula

Relación clave (no está en la hoja de fórmulas)

Nada de lo siguiente está en la hoja de fórmulas del GED®.

Para dos números enteros positivos cualesquiera a y b:

\text{MCD}(a, b) \times \text{mcm}(a, b) = a \times b
  • a, b = los dos números
  • MCD = máximo común divisor, mcm = mínimo común múltiplo

Ejemplo: a = 12, b = 18: \text{MCD} = 6, \text{mcm} = 36, y 6 \times 36 = 216 = 12 \times 18 ✓.

Esta regla es útil en los problemas de "encuentra el número que falta". Funciona solo con dos números, no con tres.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): MCD de 42 y 56

Encuentra el MCD de 42 y 56.

  1. Factorizaciones en primos: 42 = 2 \times 3 \times 7 y 56 = 2^3 \times 7.
  2. Primos compartidos: 2 y 7. Potencias menores: 2^1 y 7^1.
  3. MCD = 2 \times 7 = 14.
Venn diagram of prime factors. Left circle: 42 = 2 × 3 × 7. Right circle: 56 = 2 × 2 × 2 × 7. The overlap holds the shared primes 2 and 7; 3 is only in the 42 circle; 2 and 2 are only in the 56 circle. GCF = 2 × 7 = 14. 42 = 2 × 3 × 7 56 = 2 × 2 × 2 × 7 3 2 7 2 2 GCF = 2 × 7 = 14
Diagrama de Venn de los factores primos de 42 y 56

Respuesta: 14.

Comprobación: 42 \div 14 = 3 y 56 \div 14 = 4; 3 y 4 no comparten ningún factor excepto 1. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: mcm de 12 y 15

Encuentra el mcm de 12 y 15.

  1. Factorizaciones en primos: 12 = 2^2 \times 3 y 15 = 3 \times 5.
  2. Todos los primos, con la potencia mayor: 2^2, 3, 5.
  3. mcm = 4 \times 3 \times 5 = 60.
Venn diagram of prime factors. Left circle: 12 = 2 × 2 × 3. Right circle: 15 = 3 × 5. The overlap holds the shared prime 3; 2 and 2 are only in the 12 circle and 5 is only in the 15 circle. The LCM uses every prime in the diagram: 2 × 2 × 3 × 5 = 60. 12 = 2 × 2 × 3 15 = 3 × 5 2 2 3 5 LCM = every prime in the diagram = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
Diagrama de Venn de los factores primos de 12 y 15

Respuesta: 60.

Comprobación: 60 \div 12 = 5 y 60 \div 15 = 4. Además, \text{MCD} = 3, así que 3 \times 60 = 180 = 12 \times 15. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal, MCD): bandejas para una venta de pasteles

Keisha horneó 36 galletas y 54 brownies. Quiere armar bandejas idénticas usando todos. ¿Cuál es el mayor número de bandejas y qué va en cada bandeja?

  1. Grupos idénticos usando todo → MCD.
  2. 36 = 2^2 \times 3^2 y 54 = 2 \times 3^3. MCD = 2 \times 3^2 = 18.
  3. Por bandeja: 36 \div 18 = 2 galletas y 54 \div 18 = 3 brownies.
Eighteen identical trays arranged in 3 rows of 6. Each tray holds 2 cookies (blue circles) and 3 brownies (red squares). 18 × 2 = 36 cookies and 18 × 3 = 54 brownies. cookie brownie 18 trays: 18 × 2 = 36 cookies, 18 × 3 = 54 brownies
18 bandejas, cada una con 2 galletas y 3 brownies

Respuesta: 18 bandejas, cada una con 2 galletas y 3 brownies.

Comprobación: 18 \times 2 = 36 y 18 \times 3 = 54. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal, mcm): corredores en una pista

Marcus corre una vuelta cada 6 minutos y Dana, cada 8 minutos. Empiezan juntos en la línea de salida. ¿Después de cuántos minutos volverán a estar juntos en la línea de salida por primera vez?

  1. "Juntos otra vez" → mcm.
  2. Múltiplos de 8: 8, 16, 24. ¿Es 24 divisible entre 6? Sí (24 \div 6 = 4).
  3. mcm = 24.
Two timelines from 0 to 48 minutes. Top: Marcus finishes a lap every 6 minutes, at 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Bottom: Dana finishes a lap every 8 minutes, at 8, 16, 24, 32, 40, 48. A dashed green line marks 24 minutes, the first time both are at the starting line together. Marcus: every 6 min 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Dana: every 8 min 0 8 16 24 32 40 48 together again after 24 min = LCM(6, 8)
Líneas de tiempo de las vueltas de Marcus y Dana, que coinciden a los 24 minutos

Respuesta: después de 24 minutos (Marcus ha corrido 4 vueltas y Dana, 3).

Comprobación: 6 \times 4 = 24 y 8 \times 3 = 24. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajar hacia atrás): encuentra el número que falta

El MCD de dos números es 4 y su mcm es 120. Uno de los números es 24. Encuentra el otro número.

  1. Usa \text{MCD} \times \text{mcm} = a \times b: 4 \times 120 = 24 \times b.
  2. 480 = 24b, así que b = 480 \div 24 = 20.
  3. Verifica con primos: 24 = 2^3 \times 3, 20 = 2^2 \times 5.
    • MCD = 2^2 = 4 ✓
    • mcm = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 ✓
Venn diagram of prime factors. Left circle: 24 = 2 × 2 × 2 × 3. Right circle: 20 = 2 × 2 × 5. The overlap holds the shared primes 2 and 2; 2 and 3 are only in the 24 circle and 5 is only in the 20 circle. GCF = 2 × 2 = 4 and LCM = 2 × 3 × 2 × 2 × 5 = 120. 24 = 2 × 2 × 2 × 3 20 = 2 × 2 × 5 2 3 2 2 5 GCF = overlap = 2 × 2 = 4 LCM = all primes = 2 × 3 × 2 × 2 × 5 = 120
Diagrama de Venn de los factores primos de 24 y 20

Respuesta: 20.

Comprobación: 120 \div 24 = 5 y 120 \div 20 = 6, y no existe un múltiplo común menor. ✓

Consejo de calculadora

Consejos para la TI-30XS MultiView

La mayoría de las preguntas sobre factores y múltiplos están en la parte del GED® sin calculadora, así que practica a mano las reglas de divisibilidad y los árboles de factores.

Cuando se permite la calculadora:

  • Comprobar un factor: divide y fíjate si el resultado es un número entero. 2340 ÷ 8 enter muestra 292.5: no es entero, así que 8 no es factor.
  • Comprobar si es primo: divide entre 3, 7, 11, 13, \ldots y fíjate si el resultado es un número entero.
  • Comprobar una factorización: vuelve a multiplicar; usa la tecla ^ para las potencias, por ejemplo, 2 ^ 3 da 8.
  • La tecla n/d puede simplificar una fracción, y eso revela el MCD: si escribes \tfrac{48}{60} y presionas enter, obtienes \tfrac{4}{5}, así que el MCD es 48 \div 4 = 12.

Cuándo no usarla: hacer una lista de múltiplos de números pequeños es más rápido mentalmente que tecleando.

Error común

Errores comunes

  • Confundir el MCD con el mcm. Incorrecto: "El MCD de 6 y 8 es 24". Correcto: el MCD cabe exactamente en ambos (2); el mcm es divisible entre ambos (24).
  • Suponer que el producto es el mcm. Incorrecto: \text{mcm}(6, 8) = 48. Correcto: 48 es un múltiplo común, pero 24 es el mínimo. El producto funciona solo si el MCD es 1.
  • Pensar que impar significa primo. Incorrecto: "51 es primo". Correcto: 51 = 3 \times 17. Prueba con primos pequeños.
  • Decir que 1 es primo o que 2 es compuesto. 1 no es ninguno de los dos; 2 es primo (el único primo par).
  • Detener el árbol de factores demasiado pronto. Incorrecto: 180 = 4 \times 5 \times 9. Correcto: 4 y 9 no son primos; 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5.
  • Responder la cantidad equivocada. En "¿cuántos ramos?", la respuesta es el MCD, no el número de rosas por ramo.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Primero decide si es MCD o mcm. ¿La respuesta es menor que los números dados (grupos, pedazos) o mayor (tiempo juntos, total comprado)? Solo con esto eliminas opciones.
  • Prueba las opciones de respuesta. Para "¿qué número es primo?", divide cada opción entre 3 y 7. En un problema de número que falta, prueba cada opción con todas las condiciones.
  • Vuelve a multiplicar. Cualquier factorización o respuesta de MCD/mcm se puede comprobar en segundos multiplicando o dividiendo.
  • Lee la última línea dos veces. Los problemas de varios pasos piden el número de losetas, bandejas o veces, no el MCD o el mcm en sí.
  • Usa las unidades. Convierte minutos a segundos (o pies a pulgadas) antes de encontrar un mcm o un MCD.
  • Tiempo: estas preguntas son rápidas si sabes las reglas. Dedica más o menos un minuto; si te atascas, haz una lista de múltiplos o factores en tu pizarra de apuntes.

Compruébalo

Múltiplos y factoresSin calculadora

Which of these numbers is prime?

Opciones de respuesta
Pista

A prime number has exactly two factors: 1 and itself. Try dividing each number by small primes: 3, 7, 11, 13.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál de estos números es primo?

Opciones

  • A. 51
  • B. 57
  • C. 59
  • D. 91
Pista

Un número primo tiene exactamente dos factores: 1 y él mismo. Intenta dividir cada número entre primos pequeños: 3, 7, 11, 13.

Compruébalo

Múltiplos y factoresSin calculadoraCompletar

What is the greatest common factor (GCF) of 24 and 36?

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

List the factors of each number, then find the largest one they share.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 24 y 36?

Pista

Haz una lista de los factores de cada número y luego busca el mayor que compartan.

Resumen

  • Los factores caben exactamente en un número; los múltiplos son lo que obtienes al contar de tantos en tantos según el número.
  • Un número primo tiene exactamente dos factores; 1 no es primo, y 2 es el único primo par.
  • Usa las reglas de divisibilidad y los árboles de factores para encontrar una factorización en primos como 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5.
  • MCD: primos compartidos, potencias menores; sirve para repartir en grupos idénticos. mcm: todos los primos, potencias mayores; sirve para "juntos otra vez" y "sin que sobre nada".
  • Para dos números, \text{MCD} \times \text{mcm} = a \times b; es útil para encontrar un número que falta.
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