GED Free
English Descarga la app
Menú

Cuadrados y raíces cuadradas

Eleva números al cuadrado, halla raíces cuadradas de cuadrados perfectos, fracciones y decimales, estima raíces no exactas y evita las trampas de signos.

Practicar esta destreza 30 min Cuadrados y raíces cuadradas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a:

  • elevar al cuadrado cualquier número racional: números enteros, negativos, fracciones y decimales;
  • hallar raíces cuadradas de cuadrados perfectos, fracciones y decimales;
  • estimar una raíz cuadrada que no es un número entero (por ejemplo, \sqrt{40} está entre 6 y 7);
  • simplificar raíces cuadradas como \sqrt{72} = 6\sqrt{2};
  • resolver ecuaciones sencillas como x^2 = 49.

Por qué es importante en el GED®: los cuadrados y las raíces cuadradas aparecen en todas partes: en el área de los cuadrados, en el teorema de Pitágoras, en el área de un círculo (\pi r^2), en preguntas de exponentes y en la sección sin calculadora ("¿Cuál es el valor más cercano a \sqrt{58}?"). Al GED® también le gusta evaluar las trampas: -5^2 frente a (-5)^2, y \sqrt{0.36} frente a 0.06.

En la vida real: si sabes que una habitación cuadrada cubre 144 pies cuadrados, la raíz cuadrada te dice que cada pared mide 12 pies de largo; esto es útil para comprar zócalos, cercas o piso.

Vocabulario

  • Cuadrado (de un número) — el número multiplicado por sí mismo: 7^2 = 7 \times 7 = 49.
  • Exponente — el número pequeño en la parte de arriba que dice cuántas veces se usa la base como factor: en 5^2, el exponente es 2.
  • Base — el número que se multiplica: en 5^2, la base es 5.
  • Cuadrado perfecto — un número que es el cuadrado de un entero: 1, 4, 9, 16, 25, \dots (36 = 6^2).
  • Raíz cuadrada — un número que, al elevarlo al cuadrado, da el número original: una raíz cuadrada de 49 es 7, porque 7^2 = 49.
  • Signo radical — el símbolo \sqrt{\phantom{x}}. El número que está dentro es el radicando: en \sqrt{30}, el radicando es 30.
  • Raíz cuadrada principal (positiva) — el signo \sqrt{\phantom{x}} siempre significa la raíz no negativa: \sqrt{49} = 7, no -7.
  • Número irracional — un número que no se puede escribir como fracción de dos enteros; su decimal nunca termina ni se repite: \sqrt{2} \approx 1.414\ldots
  • Radical simplificado — una raíz cuadrada que ya no tiene ningún factor que sea cuadrado perfecto dentro del signo: \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Elevar números al cuadrado

Para elevar al cuadrado un número, multiplícalo por sí mismo: n^2 = n \times n.

n1234567891011121314152025
n^2149162536496481100121144169196225400625

Memoriza los cuadrados de 1^2 a 15^2. Así sacarás raíces y estimaciones rápidamente.

A square with side length 5 units divided into a 5 by 5 grid of 25 unit squares, showing that 5 squared equals 25.5 units5 unitsArea = 5² = 25 square units
Un cuadrado de 5 por 5 formado por 25 cuadrados unitarios

El dibujo muestra por qué se llama "elevar al cuadrado": un cuadrado de lado 5 está formado por 5^2 = 25 cuadrados unitarios. Área de un cuadrado = s^2.

Elevar al cuadrado no es duplicar. 6^2 = 36, no 12.

Negativos. Un negativo por un negativo es positivo, así que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es positivo: (-6)^2 = (-6)(-6) = 36.

¡Fíjate en los paréntesis! El exponente solo se aplica a lo que está directamente junto a él.

  • (-6)^2 = 36 (la base es -6)
  • -6^2 = -(6^2) = -36 (la base es 6; el signo menos se aplica después)

Fracciones. Eleva al cuadrado el numerador y el denominador: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{4}{9}.

A unit square cut into a 3 by 3 grid of 9 equal parts. A 2 by 2 block in the corner is shaded blue; its sides are each 2/3 of the whole side. 4 of the 9 parts are shaded, showing (2/3)² = 4/9.(2/3)² = 2/3 × 2/3 = 4/92/32/3whole square: side 1, 9 equal parts4 of the 9 parts are shaded: 4/9
Cuadrado unitario: una esquina de 2/3 por 2/3 cubre 4 de 9 partes

Decimales. Eleva los dígitos al cuadrado y luego duplica el número de lugares decimales: 0.3^2 = 0.09 (no 0.9), 1.2^2 = 1.44, 0.05^2 = 0.0025.

Cero y uno: 0^2 = 0 y 1^2 = 1. Un número entre 0 y 1 se hace más pequeño al elevarlo al cuadrado: 0.5^2 = 0.25.

2. Raíces cuadradas

La raíz cuadrada "deshace" el elevar al cuadrado. \sqrt{81} pregunta: ¿qué número no negativo multiplicado por sí mismo da 81? Respuesta: 9.

  • \sqrt{0} = 0, \sqrt{1} = 1, \sqrt{144} = 12, \sqrt{400} = 20.

Fracciones: saca la raíz del numerador y del denominador.

\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}

Decimales: la raíz tiene la mitad de lugares decimales. Si no estás seguro, escríbelo como fracción:

\sqrt{0.36} = \sqrt{\tfrac{36}{100}} = \tfrac{6}{10} = 0.6 \qquad \sqrt{0.0049} = 0.07

(Comprobación: 0.6^2 = 0.36 ✓. Una respuesta incorrecta común es 0.06, pero 0.06^2 = 0.0036).

Negativos dentro de la raíz. Ningún número real al cuadrado es negativo, así que \sqrt{-49} no es un número real. Pero -\sqrt{49} = -7 sí está bien (el menos está afuera).

Ecuaciones. x^2 = 49 tiene dos soluciones: x = 7 y x = -7, porque las dos al cuadrado dan 49. Escribimos x = \pm 7. El símbolo \sqrt{49} por sí solo significa únicamente +7.

Number line from −10 to 10 with dots at −7 (red) and 7 (blue), each 7 units from zero. Labels show (−7)² = 49 and 7² = 49, so x² = 49 has the two solutions 7 and −7, while √49 means only 7.x² = 49 has two solutions: x = 7 or x = −7−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910(−7)² = 497² = 49But the symbol √49 means only the positive root: √49 = 7
Recta numérica: tanto 7 como −7 al cuadrado dan 49

Los productos y los cocientes se separan; las sumas no.

  • \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}: \sqrt{4 \cdot 25} = 2 \cdot 5 = 10 ✓
  • \sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}: \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5, pero \sqrt{16} + \sqrt{9} = 7 ✗

3. Estimar y simplificar raíces cuadradas

Estimar. La mayoría de los números no son cuadrados perfectos. Para estimar \sqrt{40}:

  1. Busca los cuadrados perfectos que están a cada lado: 36 < 40 < 49.
  2. Saca las raíces: 6 < \sqrt{40} < 7.
  3. 40 está más cerca de 36 (a 4) que de 49 (a 9), así que \sqrt{40} está más cerca de 6. De hecho, \sqrt{40} \approx 6.32.
Number line from 0 to 10. The square root of 40, about 6.32, is marked between 6 and 7, closer to 6, because 40 lies between the perfect squares 36 and 49.012345678910√40 ≈ 6.32(√36)(√49)
Recta numérica que muestra la raíz cuadrada de 40 entre 6 y 7, más cerca de 6

Los cuadrados se separan más a medida que los números crecen, así que la raíz no es exactamente proporcional: la estimación es una guía aproximada, y la calculadora da el decimal exacto.

Simplificar. Busca el mayor factor del radicando que sea cuadrado perfecto y saca su raíz afuera:

\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \qquad \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}

Si usas un cuadrado perfecto más pequeño (\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}), la respuesta sigue siendo igual pero no está totalmente simplificada; continúa (2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}).

Trabajar hacia atrás a partir del área. Si un cuadrado tiene área A, su lado es s = \sqrt{A}. Un patio cuadrado de 225\text{ ft}^2 tiene lados de \sqrt{225} = 15\text{ ft}.

Fórmula

Fórmulas y reglas

a^2 = a \cdot a \qquad \sqrt{a^2} = a \text{ (para } a \ge 0\text{)} \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0,\ b > 0) x^2 = k \;(k > 0) \;\Rightarrow\; x = \sqrt{k} \text{ o } x = -\sqrt{k}

Área de un cuadrado: A = s^2, así que s = \sqrt{A} (s = longitud del lado, A = área).

Hoja de fórmulas: el área de un cuadrado (A = s^2) sí está en la hoja de fórmulas del GED®, y también el teorema de Pitágoras, que usa cuadrados y raíces. Las reglas de arriba para trabajar con cuadrados y raíces no están en la hoja: memorízalas, junto con los cuadrados perfectos hasta 15^2 = 225.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): la trampa del signo

Evalúa (-7)^2 - 3^2.

A 7 by 7 grid of 49 unit squares shows (−7)² = 49. A 3 by 3 block of 9 squares in the top-right corner is outlined in red and crossed out, showing 3² = 9 removed. The 40 blue squares left show (−7)² − 3² = 49 − 9 = 40.(−7)² − 3² = 49 − 9 = 407733remove3² = 97 × 7 square = 49 unit squares; 49 − 9 = 40 left (blue)
Cuadrado de 7 por 7 al que se le quita una esquina de 3 por 3: 49 − 9 = 40
  1. (-7)^2 = (-7)(-7) = 49 (la base es -7; negativo × negativo = positivo).
  2. 3^2 = 3 \times 3 = 9.
  3. 49 - 9 = 40.

Respuesta: 40

Comprobación: En la calculadora, escribe ( (−) 7 ) x² − 3 x² → 40 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (problema verbal): el lado de un cuadrado

Un jardín cuadrado tiene un área de 144 pies cuadrados. ¿Cuánta cerca se necesita para rodearlo por completo?

A square garden with area 144 square feet. Each side is labelled 12 feet and each corner has a right-angle mark. A dashed blue line around the outside shows the fence: perimeter = 4 × 12 = 48 feet.Square garden: A = s² = 144 ft²Area = 144 ft²side = √144 = 12 ft12 ft12 ft12 ft12 ftFence (blue dashes) = 4 × 12 = 48 ft
Jardín cuadrado con lados de 12 ft, área de 144 sq ft y perímetro de 48 ft
  1. Área de un cuadrado: A = s^2, así que s^2 = 144.
  2. Lado: s = \sqrt{144} = 12 pies (una longitud no puede ser negativa, así que usa solo +12).
  3. Perímetro: 4s = 4 \times 12 = 48 pies.

Respuesta: 48 pies de cerca

Comprobación: 12 \times 12 = 144 ✓, y cuatro lados de 12 ft dan 48 ft ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: raíces de fracciones y decimales

Evalúa \sqrt{\tfrac{25}{81}} + \sqrt{0.09}. Da la respuesta como fracción.

Two unit squares. Left: a 9 by 9 grid with a 5 by 5 corner shaded blue, 25 of 81 small squares, so a square of area 25/81 has side 5/9. Right: a 10 by 10 grid with a 3 by 3 corner shaded green, 9 of 100 small squares, so a square of area 0.09 has side 0.3. The sum is 5/9 + 3/10 = 77/90.√(25/81) = 5/9 and √0.09 = √(9/100) = 3/10 = 0.3side 5/925 of 81 squares = 25/81side 3/10 = 0.39 of 100 squares = 0.09Sum: 5/9 + 3/10 = 50/90 + 27/90 = 77/90
Cuadrículas que muestran que 25/81 tiene lado 5/9 y 0.09 tiene lado 0.3
  1. \sqrt{\tfrac{25}{81}} = \tfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \tfrac{5}{9}.
  2. \sqrt{0.09} = \sqrt{\tfrac{9}{100}} = \tfrac{3}{10} (es decir, 0.3).
  3. Suma con el mínimo común denominador 90: \tfrac{5}{9} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{50}{90} + \tfrac{27}{90} = \tfrac{77}{90}.

Respuesta: \tfrac{77}{90}

Comprobación: \tfrac{5}{9} \approx 0.556 y 0.556 + 0.3 = 0.856; 77 \div 90 \approx 0.856 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (nivel difícil del GED®): estimar sin calculadora

¿Entre qué dos números enteros consecutivos está \sqrt{90}, y a cuál de los dos está más cerca?

Two linked number lines. The top line shows squares from 81 to 100 with 90 marked: 90 is 9 away from 81 and 10 away from 100. The bottom line shows numbers from 9 to 10 with 9.5 marked; an arrow from 90 points to √90 ≈ 9.49, just left of 9.5 and a little closer to 9.81 < 90 < 100, so 9 < √90 < 10x²x819010099.510√90 ≈ 9.499 away10 away90 is a little closer to 81, so √90 is a little closer to 9 (9.5² = 90.25)
Rectas numéricas enlazadas: 90 está entre 81 y 100, así que √90 ≈ 9.49 está entre 9 y 10
  1. Cuadrados perfectos cerca de 90: 9^2 = 81 y 10^2 = 100.
  2. 81 < 90 < 100, así que 9 < \sqrt{90} < 10.
  3. Distancia: 90 - 81 = 9 y 100 - 90 = 10. 90 está un poco más cerca de 81, así que \sqrt{90} está un poco más cerca de 9.

Respuesta: entre 9 y 10, un poco más cerca de 9 (con calculadora: \sqrt{90} \approx 9.49).

Comprobación: 9.5^2 = 90.25, que está apenas por encima de 90, así que \sqrt{90} está apenas por debajo de 9.5 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (trabajar hacia atrás, problema verbal): del costo al tamaño

Las losetas para un piso cuadrado cuestan $4.50 por pie cuadrado. Las losetas para todo el piso costaron $288. ¿Cuánto mide cada lado del piso?

A square floor drawn as an 8 by 8 grid of 64 one-square-foot tiles. Each side is labelled 8 feet. 288 dollars ÷ 4.50 dollars = 64 square feet, and √64 = 8 feet.Tile cost $288 ÷ $4.50 per ft² = 64 ft²8 ft8 ft8 × 8 = 64 tiles of 1 ft², so s = √64 = 8 ft
Cuadrícula de 8 por 8 losetas de un pie: piso de 64 sq ft con lados de 8 ft
  1. Halla el área: 288 \div 4.50 = 64 pies cuadrados.
  2. Lado de un cuadrado: s = \sqrt{64} = 8 pies.

Respuesta: 8 pies

Comprobación: 8 \times 8 = 64 sq ft, y 64 \times \$4.50 = \$288 ✓.

Consejo de calculadora

Cómo usar la TI-30XS MultiView

  • Cuadrado: escribe el número y luego oprime x². Para un negativo, usa paréntesis y la tecla (−): ( (−) 5 ) x² da 25. Sin paréntesis, (−) 5 x² da -25, que es justo la trampa de -5^2.
  • Raíz cuadrada: oprime 2nd y luego x² para obtener \sqrt{\phantom{x}}, escribe el número, oprime la flecha a la derecha para cerrar la raíz y luego enter. Ejemplo: 2nd x² 40 enter. En el modo MathPrint, la respuesta puede aparecer como la raíz simplificada 2\sqrt{10}; oprime toggle para ver el decimal 6.32455532.
  • Fracciones dentro de una raíz: oprime 2nd x², luego n/d, escribe 49 y 64, y luego enter; el resultado muestra \tfrac{7}{8}. Oprime toggle para ver 0.875.
  • Radicales simplificados: en el modo MathPrint, la calculadora puede mostrar una respuesta como 6\sqrt{2}; oprime toggle para ver el decimal 8.485\ldots y compáralo con las opciones de respuesta.

Cuándo NO usarla: las preguntas sobre cuadrados perfectos (\sqrt{144}), estimaciones ("entre qué dos enteros") y reglas de los signos aparecen a menudo en la sección sin calculadora. Apréndete los cuadrados hasta 15^2 para resolverlas en segundos.

Error común

Errores comunes

  • Duplicar en vez de elevar al cuadrado. Incorrecto: 6^2 = 12. Correcto: 6^2 = 6 \times 6 = 36.
  • Sacar la mitad en vez de la raíz. Incorrecto: \sqrt{64} = 32. Correcto: \sqrt{64} = 8 porque 8 \times 8 = 64.
  • La trampa de la base negativa. Incorrecto: -5^2 = 25. Correcto: -5^2 = -25, mientras que (-5)^2 = 25.
  • Lugares decimales. Incorrecto: \sqrt{0.36} = 0.06 y 0.3^2 = 0.9. Correcto: \sqrt{0.36} = 0.6 y 0.3^2 = 0.09 (al cuadrado → el doble de lugares decimales; raíz → la mitad).
  • Separar una suma. Incorrecto: \sqrt{16 + 9} = 4 + 3 = 7. Correcto: suma primero, \sqrt{25} = 5.
  • Olvidar la solución negativa, o inventar una. x^2 = 49 tiene dos respuestas, \pm 7; pero \sqrt{49} por sí sola es solo 7. Y \sqrt{-49} no es un número real (no es -7).

Estrategia para el examen

  • Usa la "cerca" de cuadrados perfectos. Para cualquier raíz, escribe los cuadrados perfectos que están justo debajo y justo encima. Así eliminas la mayoría de las opciones incorrectas en segundos, sin calculadora.
  • Eleva al cuadrado las opciones de respuesta. En las preguntas de "¿cuánto es \sqrt{\ldots}?", elevar al cuadrado cada opción y comparar suele ser lo más rápido, y además detecta errores de lugares decimales.
  • Comprueba si tiene sentido. Un lado que hallas a partir de un área debe ser mucho más pequeño que el área (para áreas mayores que 1). Si obtuviste \sqrt{144} = 72, algo está mal.
  • Busca paréntesis alrededor de los números negativos antes de elevar al cuadrado. Lee -x^2 y (-x)^2 despacio.
  • Lee lo que se pregunta. Los problemas de área pueden pedir el lado, el perímetro o un costo; hallar la raíz muchas veces es solo el primer paso.
  • Unidades: el área está en unidades cuadradas (\text{ft}^2); la raíz de un área está en unidades simples (ft).

Compruébalo

Cuadrados y raíces cuadradasSin calculadora

What is the value of \sqrt{81}?

Opciones de respuesta
Pista

Which number, multiplied by itself, gives 81?

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de \sqrt{81}?

Opciones

  • A. 9
  • B. -9
  • C. 40.5
  • D. 6{,}561
Pista

¿Qué número, multiplicado por sí mismo, da 81?

Compruébalo

Cuadrados y raíces cuadradasSin calculadoraCompletar

Evaluate the expression.

(-7)^2 - 3^2

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

The base of (-7)^2 is -7, including the negative sign. What is a negative times a negative?

Ver en español

Pregunta

Evalúa la expresión.

(-7)^2 - 3^2
Pista

La base de (-7)^2 es -7, incluido el signo negativo. ¿Cuánto es un negativo por un negativo?

Resumen

  • n^2 = n \times n; memoriza los cuadrados hasta 15^2 = 225. Elevar al cuadrado no es duplicar.
  • \sqrt{\phantom{x}} significa la raíz no negativa: \sqrt{81} = 9. Pero x^2 = 81 tiene dos soluciones, x = \pm 9.
  • (-5)^2 = 25 pero -5^2 = -25; \sqrt{-25} no es un número real.
  • Fracciones: saca la raíz (o eleva al cuadrado) el numerador y el denominador. Decimales: elevar al cuadrado duplica los lugares decimales; sacar la raíz los reduce a la mitad.
  • Estima una raíz entre los dos cuadrados perfectos más cercanos; simplifica sacando el mayor factor que sea cuadrado perfecto.
  • \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}, pero \sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}.
Practicar esta destreza →