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Cubos y raíces cúbicas

Eleva al cubo números positivos, negativos, fracciones y decimales, halla raíces cúbicas y úsalas en problemas de volumen y ecuaciones como x³ = −27.

Practicar esta destreza 25 min Cubos y raíces cúbicas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a:

  • elevar al cubo un número: números enteros, negativos, fracciones y decimales;
  • hallar la raíz cúbica de un número, incluso de números negativos;
  • pasar del volumen de un cubo a la longitud de su arista, y al revés;
  • resolver ecuaciones como x^3 = -27 y 2x^3 + 10 = -44.

Por qué es importante en el GED®: los cubos aparecen en problemas de volumen (cajas, tanques, bloques de hielo), en preguntas de exponentes y en preguntas rápidas sin calculadora como "¿Cuánto es \sqrt[3]{-64}?". Al examen le gusta comprobar si conoces la gran diferencia entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas: un número negativo tiene raíz cúbica real (pero no tiene raíz cuadrada real).

En la vida real: un contenedor de almacenamiento en forma de cubo que tiene capacidad para 27 pies cúbicos tiene aristas de 3 pies. Saber cómo funciona elevar al cubo también explica por qué, al duplicar el tamaño de una caja, su volumen se multiplica por 8.

Vocabulario

  • Cubo (de un número) — el número usado como factor tres veces: 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64.
  • Exponente 3 / "al cubo" — n^3 se lee "n al cubo" o "n a la tercera potencia".
  • Cubo perfecto — el cubo de un entero: 1, 8, 27, 64, 125, \dots y también -1, -8, -27, \dots (-8 = (-2)^3).
  • Raíz cúbica — el número que, elevado al cubo, da el número original: \sqrt[3]{64} = 4 porque 4^3 = 64.
  • Índice — el número pequeño en la "muesca" del signo de raíz: en \sqrt[3]{27} el índice es 3 (raíz cúbica). Un \sqrt{\phantom{x}} sin número tiene índice 2 (raíz cuadrada).
  • Cubo (cuerpo sólido) — una caja cuyo largo, ancho y alto son iguales; cada una de estas medidas es una arista.
  • Volumen — el espacio dentro de un cuerpo sólido, medido en unidades cúbicas (\text{ft}^3, \text{in}^3, \text{cm}^3): un cubo con arista de 2 in tiene un volumen de 8\text{ in}^3.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Elevar números al cubo

Para elevar al cubo un número, úsalo como factor tres veces: n^3 = n \times n \times n.

n12345678910
n^31827641252163435127291000

Memoriza los cubos de 1^3 a 10^3 (por lo menos hasta 5^3 = 125).

A cube with edges 3 units long, built from 27 small unit cubes (3 by 3 by 3), showing that 3 cubed equals 27.333Volume = 3³ = 27 cubic units
Un cubo de arista 3 formado por 27 cubitos unitarios

El dibujo muestra un cubo con aristas de 3 unidades. Contiene 3 \times 3 \times 3 = 27 cubitos unitarios, así que su volumen es 3^3 = 27 unidades cúbicas.

Elevar al cubo no es triplicar. 4^3 = 64, no 4 \times 3 = 12.

Los negativos conservan su signo. Multiplica paso a paso: (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) = (4)(-2) = -8. Tres factores negativos → negativo. Entonces:

  • el cubo de un número positivo es positivo;
  • el cubo de un número negativo es negativo;
  • 0^3 = 0.

(Compáralo con los cuadrados: (-2)^2 = +4). Igual que con los cuadrados, los paréntesis importan: -2^3 = -(2^3) = -8, y aquí (-2)^3 también resulta ser -8.

Fracciones: eleva al cubo el numerador y el denominador. \left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27} y \left(-\tfrac{1}{3}\right)^3 = -\tfrac{1}{27}.

Decimales: eleva los dígitos al cubo y luego triplica el número de lugares decimales. 0.2^3 = 0.008 (tres lugares), 1.5^3 = 3.375, 0.1^3 = 0.001.

2. Raíces cúbicas

La raíz cúbica deshace el elevar al cubo. \sqrt[3]{125} pregunta: ¿qué número, usado tres veces como factor, da 125? Respuesta: 5.

  • \sqrt[3]{8} = 2, \sqrt[3]{27} = 3, \sqrt[3]{1000} = 10, \sqrt[3]{1} = 1, \sqrt[3]{0} = 0.

Las raíces cúbicas de los números negativos son reales. \sqrt[3]{-64} = -4, porque (-4)^3 = -64. Esta es la gran diferencia con las raíces cuadradas: \sqrt{-64} no es un número real, pero \sqrt[3]{-64} = -4 sí lo es.

Todo número tiene exactamente una raíz cúbica real, y tiene el mismo signo que el número. Por eso x^3 = 27 tiene una sola solución real, x = 3 (no \pm 3, porque (-3)^3 = -27).

Graph of y = x³ for x from about −2 to 2, passing through (−2, −8), (−1, −1), (0, 0), (1, 1) and (2, 8). A dashed red line at y = −8 meets the curve only once, at x = −2, so ∛(−8) = −2; a dashed green line at y = 8 meets it once at x = 2, so ∛8 = 2. Negative numbers have negative cube roots.y = x³: every number has exactly one real cube root−8−448xy = x³−2−112(2, 8)(−2, −8)∛(−8) = −2∛8 = 2
Gráfica de y = x³ que pasa por (−2, −8) y (2, 8)

Fracciones y decimales:

\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5} \qquad \sqrt[3]{0.001} = 0.1 \qquad \sqrt[3]{0.027} = 0.3

(La raíz cúbica tiene un tercio de los lugares decimales).

Los productos se separan; las sumas no. \sqrt[3]{8 \cdot 27} = 2 \cdot 3 = 6 ✓, pero \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27} = 5 mientras que \sqrt[3]{8 + 27} = \sqrt[3]{35} \approx 3.27 ✗.

Estimar: \sqrt[3]{100} está entre \sqrt[3]{64} = 4 y \sqrt[3]{125} = 5 (con calculadora: \approx 4.64).

3. Cubos en problemas de volumen y ecuaciones

Volumen de un cubo. Un cubo con arista de longitud s tiene volumen V = s^3. Trabajando hacia atrás, si conoces el volumen, la arista es s = \sqrt[3]{V}.

  • Arista de 5 in → V = 5^3 = 125\text{ in}^3.
  • Volumen de 343\text{ ft}^3 → arista de \sqrt[3]{343} = 7\text{ ft}.

Cambio de escala. Si cada arista de un cubo se multiplica por k, el volumen se multiplica por k^3. Duplicar las aristas (k = 2) multiplica el volumen por 2^3 = 8, no por 2. Ejemplo: un cubo de 3 ft tiene capacidad para 27\text{ ft}^3; un cubo de 6 ft tiene capacidad para 216\text{ ft}^3 = 8 \times 27.

Left: a cube with 3-foot edges, volume 3³ = 27 cubic feet. Right: a cube with 6-foot edges, split into 2 by 2 by 2 = 8 copies of the 3-foot cube. Its volume is 6³ = 216 cubic feet, which is 8 × 27: doubling the edge multiplies the volume by 8.Double the edge → volume × 2³ = 83 ft3³ = 27 ft³3 ft3 ft6 ft6³ = 216 ft³ = 8 × 27
Un cubo de 3 ft y un cubo de 6 ft formado por 8 de esos cubos

Resolver ecuaciones con un cubo. Primero deja x^3 solo (deshaz la suma y la multiplicación) y luego saca la raíz cúbica:

2x^3 + 10 = -44 \;\Rightarrow\; 2x^3 = -54 \;\Rightarrow\; x^3 = -27 \;\Rightarrow\; x = \sqrt[3]{-27} = -3

No confundas las tres medidas de un cubo con arista s:

MedidaFórmulaArista 4
Área de una caras^216
Área superficial (6 caras)6s^296
Volumens^364
Left: a cube with edge s = 4 built from 4 × 4 × 4 = 64 small cubes; its front face is outlined in red with area 4² = 16, and its volume is 4³ = 64. Right: the cube unfolded into a net of 6 square faces, each with area 16, so the surface area is 6 × 16 = 96.Cube with edge s = 4: face, surface area, volumes = 4face4² = 16volume = 4³ = 64 (4 × 4 × 4 small cubes)161616161616surface area = 6 faces6 × 16 = 96
Cubo con arista 4: cara 16, área superficial 96, volumen 64
Fórmula

Fórmulas y reglas

n^3 = n \cdot n \cdot n \qquad \left(\sqrt[3]{n}\right)^3 = n \qquad \sqrt[3]{n^3} = n \sqrt[3]{-n} = -\sqrt[3]{n} \qquad \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b} \qquad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

Volumen de un cubo: V = s^3, donde s es la longitud de la arista; así que s = \sqrt[3]{V}.

Hoja de fórmulas: la hoja de fórmulas del GED® da el volumen de un prisma rectangular, V = lwh (y el de cualquier prisma recto, V = Bh, área de la base × altura). En un cubo, el largo, el ancho y el alto miden s, así que V = s \cdot s \cdot s = s^3. El atajo para el cubo V = s^3 y todas las reglas de raíces de arriba no están impresos en la hoja: memorízalos, junto con los cubos perfectos hasta 10^3 = 1000.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): elevar al cubo un negativo

Evalúa (-3)^3.

Number line from −30 to 30. A dot at 9 shows (−3)(−3) = 9; a dashed red arrow labelled times −3 goes from 9 to −27. Dots mark (−3)³ = −27 in red and 3³ = 27 in blue: three negative factors give a negative cube.(−3)³ = (−3)(−3)(−3) = 9 × (−3) = −27−27−18−9091827(−3)³ = −273³ = 27(−3)(−3) = 9× (−3)Three negative factors (an odd number) → negative
Recta numérica que marca (−3)³ = −27 y 3³ = 27
  1. Escríbelo completo: (-3)(-3)(-3).
  2. Los dos primeros factores: (-3)(-3) = 9.
  3. Por el tercero: 9 \times (-3) = -27.

Respuesta: -27

Comprobación: Un número impar (3) de factores negativos da un resultado negativo, y 3^3 = 27 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: raíz cúbica de una fracción negativa

Evalúa \sqrt[3]{-\tfrac{125}{8}}.

Number line from −3 to 3 in halves with a blue dot at −2.5, labelled −5/2. Check: (−5/2)³ = −125/8 = −15.625, so the cube root of −125/8 is −5/2.∛(−125/8) = −∛125 / ∛8 = −5/2 = −2.5−3−2−10123−5/2 = −2.5check: (−5/2)³ = −125/8 = −15.625Negative number in → negative cube root out
Recta numérica con −5/2 = −2.5 marcado
  1. El número es negativo, así que la raíz cúbica es negativa.
  2. Raíz del numerador: \sqrt[3]{125} = 5. Raíz del denominador: \sqrt[3]{8} = 2.
  3. Entonces el valor es -\tfrac{5}{2} = -2\tfrac{1}{2} = -2.5.

Respuesta: -\tfrac{5}{2}

Comprobación: \left(-\tfrac{5}{2}\right)^3 = -\tfrac{125}{8} ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal, trabajar hacia atrás): la arista a partir del volumen

Un contenedor de almacenamiento en forma de cubo tiene capacidad para 64 pies cúbicos. ¿Cuánto espacio de piso ocupa (el área de su cara de abajo)?

Left: a cube-shaped bin with 4-foot edges, built from 4 × 4 × 4 = 64 one-foot cubes, so its volume is 64 cubic feet. Right: its bottom face, a 4 ft by 4 ft square of 16 one-foot squares, so the floor space is 4² = 16 square feet.V = s³ = 64 ft³ → s = ∛64 = 4 ft4 ft4 ftbottom face (floor space)4 ft4 ft4² = 16 ft²
Contenedor cúbico con aristas de 4 ft y su cara de abajo de 4 por 4, de 16 sq ft
  1. Volumen de un cubo: s^3 = 64, así que s = \sqrt[3]{64} = 4 ft.
  2. La cara de abajo es un cuadrado de 4\text{ ft} \times 4\text{ ft}: 4^2 = 16.

Respuesta: 16 pies cuadrados

Comprobación: 4 \times 4 \times 4 = 64\text{ ft}^3 ✓, y la cara de abajo mide 16\text{ ft}^2 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): elevar al cubo un decimal

Un bloque de concreto es un cubo con aristas de 1.2 metros. ¿Cuál es su volumen?

A concrete cube with edges labelled 1.2 m and volume 1.728 cubic meters, drawn next to a 1 m cube (1 cubic meter) at the same scale. 1.2 × 1.2 × 1.2 = 1.728, so the block holds about 1.7 times as much as the 1 m cube.V = 1.2 × 1.2 × 1.2 = 1.728 m³1.2 m1.2 m1.2 m1 m1 m³1.728 m³Same scale: a 1-m cube holds 1 m³, so 1.728 m³ is about 1.7 times as much.
Cubo con aristas de 1.2 m y volumen de 1.728 metros cúbicos, junto a un cubo de 1 m
  1. V = s^3 = 1.2^3.
  2. 1.2 \times 1.2 = 1.44.
  3. 1.44 \times 1.2 = 1.728.

Respuesta: 1.728 metros cúbicos

Comprobación: Estima: 1^3 = 1 y 1.5^3 \approx 3.4, así que alrededor de 1.7 es razonable. Lugares decimales: 1.2 tiene 1; al cubo da 3 lugares ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): resolver una ecuación

Resuelve 3x^3 - 5 = 19.

Step diagram solving 3x³ − 5 = 19: add 5 to both sides to get 3x³ = 24; divide both sides by 3 to get x³ = 8; take the cube root to get x = 2.3x³ − 5 = 19add 5 to both sides3x³ = 24divide both sides by 3x³ = 8take the cube root: ∛8 = 2x = 2
Pasos para resolver 3x³ − 5 = 19: suma 5, divide entre 3, saca la raíz cúbica, x = 2
  1. Suma 5 a ambos lados: 3x^3 = 24.
  2. Divide ambos lados entre 3: x^3 = 8.
  3. Saca la raíz cúbica: x = \sqrt[3]{8} = 2.

Respuesta: x = 2

Comprobación: 3(2)^3 - 5 = 3(8) - 5 = 24 - 5 = 19 ✓. (A diferencia de x^2 = 8, hay una sola solución real; (-2)^3 = -8, no 8).

Consejo de calculadora

Cómo usar la TI-30XS MultiView

  • Elevar un número al cubo: escribe la base, oprime ^, escribe 3 y oprime enter. Para un negativo, usa paréntesis y la tecla (−): ( (−) 3 ) ^ 3 → -27. Si la base es una fracción, ponla entre paréntesis o usa primero la plantilla n/d.
  • Raíz cúbica: escribe primero el índice 3, luego oprime 2nd ^ para obtener la raíz \sqrt[x]{\phantom{x}}, escribe el número (por ejemplo (−) 64) y luego enter → -4.
  • Decimal ↔ fracción: oprime toggle para cambiar, por ejemplo, entre \tfrac{8}{27} y 0.296\ldots.
  • Comprueba elevando al cubo: después de hallar una raíz cúbica, eleva el resultado al cubo para ver si obtienes el número original.

Cuándo NO usarla: los cubos y las raíces cúbicas de cubos perfectos pequeños (8, 27, 64, 125, 1000 y sus negativos) pueden aparecer en la sección sin calculadora. Apréndetelos de memoria; deja la calculadora para decimales como 1.2^3 o \sqrt[3]{100}.

Error común

Errores comunes

  • Triplicar en vez de elevar al cubo. Incorrecto: 4^3 = 12. Correcto: 4 \times 4 \times 4 = 64.
  • Elevar al cuadrado en vez de al cubo. Incorrecto: 5^3 = 25. Correcto: 5^3 = 125. Cuenta los factores: el exponente 3 significa tres factores.
  • Pensar que el cubo de un negativo es positivo. Incorrecto: (-2)^3 = 8. Correcto: (-2)(-2)(-2) = -8. Un número impar de negativos da negativo.
  • Decir que la raíz cúbica de un negativo no está definida. Incorrecto: "\sqrt[3]{-27} no existe". Correcto: \sqrt[3]{-27} = -3. Solo las raíces pares (como las raíces cuadradas) de los negativos no son reales.
  • Dividir entre 3 en vez de sacar la raíz cúbica. Incorrecto: \sqrt[3]{27} = 9. Correcto: \sqrt[3]{27} = 3.
  • Duplicar el volumen cuando la arista se duplica. Incorrecto: arista × 2 → volumen × 2. Correcto: volumen × 2^3 = 8.

Estrategia para el examen

  • Primero el signo. En cualquier cubo o raíz cúbica, la respuesta tiene el mismo signo que el número con el que empiezas. Descarta de inmediato las opciones con el signo equivocado.
  • Eleva al cubo las opciones de respuesta. En las preguntas de "¿cuánto es \sqrt[3]{\ldots}?" o "halla la arista", eleva cada opción al cubo; solo una dará el número original.
  • Cuidado con la opción trampa "no definida". Es correcta para raíces pares de negativos, nunca para raíces cúbicas.
  • Fíjate en qué medida se pide. El área de una cara (s^2), el área superficial (6s^2) y el volumen (s^3) de un mismo cubo son tres números diferentes; es probable que los tres aparezcan como opciones de respuesta.
  • Unidades: el volumen está en unidades cúbicas; una arista hallada a partir de un volumen está en unidades simples.
  • Estima con cubos perfectos (4^3 = 64, 5^3 = 125) para comprobar en segundos un resultado de la calculadora.

Compruébalo

Cubos y raíces cúbicasSin calculadora

What is the value of 4^3?

Opciones de respuesta
Pista

The exponent 3 means "use 4 as a factor three times".

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de 4^3?

Opciones

  • A. 12
  • B. 16
  • C. 64
  • D. 81
Pista

El exponente 3 significa "usar 4 como factor tres veces".

Compruébalo

Cubos y raíces cúbicasSin calculadoraCompletar

What is the value of \sqrt[3]{125}?

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Which whole number, multiplied by itself three times, equals 125?

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de \sqrt[3]{125}?

Pista

¿Qué número entero, multiplicado por sí mismo tres veces, es igual a 125?

Resumen

  • n^3 = n \cdot n \cdot n; memoriza de 1^3 a 10^3 (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000).
  • Elevar al cubo conserva el signo: (-2)^3 = -8. Fracciones: eleva al cubo el numerador y el denominador. Decimales: triplica los lugares decimales.
  • \sqrt[3]{\phantom{x}} deshace el elevar al cubo; los números negativos tienen raíz cúbica real: \sqrt[3]{-64} = -4.
  • Cubo de arista s: V = s^3 y s = \sqrt[3]{V}. Duplicar la arista multiplica el volumen por 8.
  • Resuelve ax^3 + b = c dejando x^3 solo y luego sacando la raíz cúbica: hay una sola solución real.
Practicar esta destreza →