GED Free
English Descarga la app
Menú

¿Cuándo no está definida una expresión?

Reconoce los dos casos que el GED® considera no definidos: dividir entre cero y sacar una raíz par de un negativo, y halla los valores de x que los causan.

Practicar esta destreza 25 min ¿Cuándo una expresión no está definida? Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Algunos cálculos simplemente no tienen respuesta. En el GED®, una expresión no está definida (no tiene un valor que sea número real) en dos situaciones:

  1. División entre cero — cualquier fracción cuyo denominador es igual a 0, como \tfrac{5}{0} o \tfrac{3}{x - 4} cuando x = 4.
  2. Una raíz par de un número negativo — como \sqrt{-9} o \sqrt{x - 6} cuando x es menor que 6.

Vas a aprender por qué estos casos no tienen respuesta, cómo hallar los valores de x que hacen que una expresión no esté definida (incluso con denominadores como x^2 - 16) y qué significa eso en una fórmula de la vida real.

Por qué es importante en el GED®: preguntas como "¿Para qué valor de x no está definida \tfrac{5}{x-3}?" son puntos rápidos, muchas veces en la sección sin calculadora. La idea también aparece en lugares más difíciles: una recta vertical tiene una pendiente no definida, y fórmulas como "costo por persona" dejan de funcionar cuando el número de personas es cero.

Vocabulario

  • No definido — no tiene valor como número real: \tfrac{7}{0} no está definido.
  • Numerador / denominador — la parte de arriba / de abajo de una fracción: en \tfrac{x+1}{x-5} el denominador es x - 5.
  • Número real — cualquier número de la recta numérica: -3, 0, \tfrac{1}{2}, \sqrt{2} y \pi son todos reales.
  • Radicando — la expresión dentro del signo de raíz: en \sqrt{x - 6} el radicando es x - 6.
  • Raíz par — una raíz con índice par: la raíz cuadrada \sqrt{\phantom{x}} (índice 2), la raíz cuarta \sqrt[4]{\phantom{x}}.
  • Raíz impar — una raíz con índice impar: la raíz cúbica \sqrt[3]{\phantom{x}} (índice 3). Las raíces impares de los negativos sí son reales: \sqrt[3]{-8} = -2.
  • Valor excluido — un valor de la variable que hace que una expresión no esté definida: para \tfrac{1}{x+2}, x = -2 está excluido.
  • Propiedad del producto cero — si a \cdot b = 0, entonces a = 0 o b = 0; se usa para hallar dónde un denominador factorizado es cero: (x-4)(x+4) = 0 da x = 4 o x = -4.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Por qué dividir entre cero no tiene respuesta

La división deshace la multiplicación. 12 \div 3 = 4 porque 4 \times 3 = 12.

Ahora prueba 12 \div 0 = \,?. Necesitaríamos un número que, multiplicado por 0, dé 12. Pero cualquier número por 0 es 0, nunca 12. Ningún número funciona, así que 12 \div 0 no está definido.

Un cero arriba no causa problema. 0 \div 12 = 0, porque 0 \times 12 = 0. ✓

ExpresiónValorPor qué
\tfrac{0}{5}00 \times 5 = 0
\tfrac{5}{0}no definidoningún número por 0 da 5
\tfrac{0}{0}no definidoel GED® considera no definido cualquier denominador cero
\tfrac{-4}{-2}2los negativos no causan problema

La regla: una fracción no está definida exactamente cuando su denominador es igual a cero. El numerador no importa.

Un ejemplo de la vida real: repartir 8 rebanadas de pizza entre 4 personas da 2 a cada una, pero "repartir entre 0 personas" no tiene sentido: no hay "rebanadas por persona".

Relación con la pendiente: pendiente = \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}. En la gráfica, el cambio vertical se llama rise y el horizontal, run. En una recta vertical, el cambio horizontal (run) es 0, así que la pendiente no está definida. Por ejemplo, por (3, 1) y (3, 7): \dfrac{7 - 1}{3 - 3} = \dfrac{6}{0} → no definida.

Coordinate grid with the vertical line x = 3 through the points (3, 1) and (3, 7). The rise is 7 − 1 = 6 and the run is 3 − 3 = 0, so the slope would be 6/0, which is undefined.Vertical line: run = 0, slope undefined0123456012345678xy(3, 1)(3, 7)rise = 6run = 3 − 3 = 0slope = 6/0→ undefined
Recta vertical por (3, 1) y (3, 7): cambio horizontal 0, pendiente no definida

2. Hallar dónde no está definida una fracción con variable

Para hallar el valor (o los valores) que hacen que una fracción no esté definida:

  1. Toma solo el denominador.
  2. Iguálalo a 0.
  3. Resuelve para la variable.

Denominadores lineales.

  • \dfrac{5}{x - 3}: x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.
  • \dfrac{x+4}{x+9}: x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9. (El x + 4 de arriba no importa).
  • \dfrac{12}{3x + 18}: 3x + 18 = 0 \Rightarrow 3x = -18 \Rightarrow x = -6.

Los denominadores al cuadrado o factorizados pueden dar dos valores, o uno, o ninguno.

  • \dfrac{5}{x^2 - 16}: x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 o x = -4 (los dos hacen que x^2 - 16 = 0).
  • \dfrac{1}{x(x - 5)}: x = 0 o x - 5 = 0, así que x = 0 o x = 5.
  • \dfrac{x+1}{x^2 - 6x + 9}: factoriza, x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2, que es 0 solo cuando x = 3.
  • \dfrac{2}{x^2 + 4}: x^2 nunca es negativo, así que x^2 + 4 \ge 4: nunca es 0. Esta expresión está definida para todo x.
Number line from −6 to 6 drawn in blue, with open red circles at −4 and 4. The expression 5/(x² − 16) is defined everywhere except x = −4 and x = 4, where the denominator x² − 16 equals 0.5/(x² − 16) is undefined where x² − 16 = 0−6−5−4−3−2−10123456x = −4x = 4defined (blue)(−4)² − 16 = 0 and 4² − 16 = 0, so both values are excluded
Recta numérica con x = −4 y x = 4 excluidos para 5/(x² − 16)

Comprueba sustituyendo. Pon tu valor en el denominador; debes obtener exactamente 0. Para x = -4 en x^2 - 16: (-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0 ✓.

3. Raíces pares de números negativos

Cualquier número real al cuadrado es cero o positivo: 3^2 = 9, (-3)^2 = 9, 0^2 = 0. Por eso no hay ningún número real cuyo cuadrado sea -9. Eso hace que \sqrt{-9} no sea un número real: en el GED® se considera no definido. Lo mismo pasa con toda raíz par (cuarta, sexta, …).

Cuidado: todos estos casos están bien:

  • \sqrt{0} = 0 (se permite un cero dentro de la raíz).
  • -\sqrt{9} = -3 (el negativo está afuera de la raíz).
  • \sqrt[3]{-8} = -2 (las raíces impares de los negativos son reales, porque (-2)^3 = -8).
  • (-3)^2 = 9 (elevar al cuadrado un negativo siempre se permite).

Hallar dónde no está definida una raíz: el radicando debe ser cero o positivo. Plantea una desigualdad.

  • \sqrt{x - 6} es real cuando x - 6 \ge 0, es decir, x \ge 6. No está definida cuando x < 6. (En x = 6 es igual a \sqrt{0} = 0: sí está definida).
  • \sqrt{2x + 8} no está definida cuando 2x + 8 < 0 \Rightarrow 2x < -8 \Rightarrow x < -4.
  • \sqrt{1 - x} no está definida cuando 1 - x < 0 \Rightarrow x > 1. (Cuando resuelves -x < -1, dividir entre -1 invierte el signo de la desigualdad).
Number line from 0 to 12. A closed dot at 6 with a thick arrow to the right shows that the square root of x minus 6 is defined for x greater than or equal to 6; it is not a real number for x less than 6.0123456789101112defined: x ≥ 6not real: x < 6√(x − 6)
Recta numérica: la raíz cuadrada de x menos 6 está definida para x igual a 6 o a la derecha de 6
Number line from −8 to 2. The part left of −4 is red and labelled undefined, x < −4. A closed blue dot at −4 and the blue part to the right are labelled defined, x ≥ −4. At x = −4 the root is √0 = 0; at x = −5 it would be √(−2), which is not real.√(2x + 8) needs 2x + 8 ≥ 0, so x ≥ −4−8−7−6−5−4−3−2−1012undefined: x < −4defined: x ≥ −4At x = −4: √(2(−4) + 8) = √0 = 0 (defined). At x = −5: √(−2) is not real.
Recta numérica: √(2x + 8) no está definida para x < −4 y sí está definida para x ≥ −4

Las dos reglas juntas. En \dfrac{\sqrt{x+5}}{x-1}, necesitas x + 5 \ge 0 (o sea, x \ge -5) y x - 1 \ne 0 (o sea, x \ne 1). Revisa las dos condiciones para cada valor.

Fórmula

Reglas para memorizar (NO están en la hoja de fórmulas)

\frac{a}{0} \text{ no está definido para ningún } a \qquad \frac{0}{b} = 0 \text{ cuando } b \ne 0 \frac{N}{D} \text{ no está definido} \iff D = 0 \sqrt{r} \text{ (y cualquier raíz par) es un número real} \iff r \ge 0 \sqrt[3]{r} \text{ (y cualquier raíz impar) es real para todo } r

Aquí N es un numerador, D un denominador y r un radicando.

Ninguna de estas reglas está en la hoja de fórmulas del GED®. La fórmula de la pendiente m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} sí está en la hoja; no está definida cuando x_2 = x_1 (una recta vertical).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil, problema verbal): ¿cero arriba o abajo?

Una familia tiene 8 rebanadas de pizza. ¿Qué cálculo no tiene respuesta: "8 rebanadas repartidas entre 0 personas" (8 \div 0) o "0 rebanadas repartidas entre 8 personas" (0 \div 8)?

Two panels. Left: 0 slices shared by 8 people, shown as 8 empty plates each marked 0, so 0 ÷ 8 = 0 because 0 × 8 = 0. Right: a pizza cut into 8 slices shared by 0 people; slices per person has no answer because no number times 0 gives 8, so 8 ÷ 0 is undefined.0 ÷ 8 = 0, but 8 ÷ 0 is undefined0 slices shared by 8 people00000000each person gets 00 ÷ 8 = 0 because 0 × 8 = 08 slices shared by 0 peopleslices per person = ?no number n has n × 0 = 8
0 rebanadas para 8 personas da 0 a cada una; 8 rebanadas para 0 personas no tiene respuesta
  1. 0 \div 8 = 0, porque 0 \times 8 = 0. Cada persona recibe 0 rebanadas: es una respuesta real.
  2. 8 \div 0: necesitamos un número n tal que n \times 0 = 8. Todo número por 0 es 0, así que ningún n funciona.

Respuesta: 8 \div 0 no está definido; 0 \div 8 = 0.

Comprobación: La calculadora muestra un error DIVIDE BY 0 para 8 \div 0 y 0 para 0 \div 8 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: un denominador lineal

¿Para qué valor de x no está definida \dfrac{x + 2}{4x - 12}?

Table of values for (x + 2)/(4x − 12). x = −2: denominator −20, value 0. x = 2: denominator −4, value −1. x = 3: denominator 0, value undefined (highlighted red). x = 4: denominator 4, value 1.5. Only x = 3 makes the expression undefined.Test values in (x + 2)/(4x − 12)xdenominator 4x − 12value−2−200/(−20) = 02−44/(−4) = −130undefined446/4 = 1.5Only x = 3 makes the denominator 0.x = −2 makes the numerator 0: the value is 0 (defined).
Tabla de valores: solo x = 3 hace que 4x − 12 sea igual a 0
  1. Iguala el denominador a 0: 4x - 12 = 0.
  2. Suma 12: 4x = 12.
  3. Divide entre 4: x = 3.

Respuesta: x = 3

Comprobación: 4(3) - 12 = 12 - 12 = 0 ✓. (Si igualas el numerador a cero, x = -2, obtienes \tfrac{0}{-20} = 0, que sí está definido).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (trabajar hacia atrás): halla la constante que falta

La expresión \dfrac{5}{2x + k} no está definida cuando x = -3. ¿Cuál es el valor de k?

Graph of the denominator y = 2x + 6 for x from −5 to 1. The line crosses the x-axis at (−3, 0), marked in red: with k = 6 the denominator 2(−3) + 6 equals 0, so 5/(2x + 6) is undefined at x = −3.Denominator 2x + k with k = 6−5−4−3−2−11−4−22468xy = 2x + 6(−3, 0)denominator = 02(−3) + 6 = 0
Gráfica de y = 2x + 6 que cruza el cero en x = −3
  1. "No está definida en x = -3" significa que ahí el denominador es 0: 2(-3) + k = 0.
  2. Simplifica: -6 + k = 0.
  3. Resuelve: k = 6.

Respuesta: k = 6

Comprobación: Con k = 6 el denominador es 2x + 6, y en x = -3: 2(-3) + 6 = 0 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): cuando una fórmula deja de funcionar

El agua entra a un tanque de 300 galones a r galones por minuto, mientras que una fuga saca 20 galones por minuto. El tiempo para llenar el tanque, en minutos, es t = \dfrac{300}{r - 20}. ¿Para qué tasa de flujo no está definida la fórmula, y qué significa eso?

Graph of fill time t = 300/(r − 20) against flow rate r from 0 to 80 gallons per minute. The curve passes through (30, 30) and (50, 10) and shoots upward as r gets close to 20. A dashed red vertical line at r = 20 marks where the formula is undefined: the tank never fills.t = 300 / (r − 20)010203040506070800102030405060t (min)r = flow rate (gallons per minute)r = 20:undefined(30, 30)(50, 10)
Gráfica de t = 300/(r − 20) con r = 20 marcado como no definido
  1. Iguala el denominador a 0: r - 20 = 0, así que r = 20.
  2. Significado: el agua entra exactamente tan rápido como sale por la fuga, así que el nivel del agua nunca sube: no hay tiempo de llenado.

Respuesta: r = 20 galones por minuto (el tanque nunca se llena).

Comprobación: Con r = 20: t = \dfrac{300}{20 - 20} = \dfrac{300}{0} → no definido ✓. Con r = 50: t = \tfrac{300}{30} = 10 minutos, una respuesta razonable.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): dos condiciones a la vez

¿Cuáles de estos valores hacen que \dfrac{\sqrt{x + 5}}{x - 1} no esté definida: x = -6, x = -5, x = 1, x = 4?

Number line from −7 to 5. Left of −5 is red (x + 5 is negative under the root). From −5 (closed dot) to the right is blue, except an open red circle at 1 (zero denominator). Labels: x = −6 undefined (√(−1) is not real), x = −5 defined (value 0), x = 1 undefined (divide by 0), x = 4 defined (value 1).√(x + 5) / (x − 1): need x ≥ −5 and x ≠ 1−7−6−5−4−3−2−1012345x = −6: undefined√(−1) not realx = −5: definedvalue 0x = 1: undefineddivide by 0x = 4: definedvalue 1Red: undefined (x < −5 or x = 1). Blue: defined.
Recta numérica: no definida en x = −6 y x = 1, definida en −5 y 4
  1. Condición de la raíz: necesitas x + 5 \ge 0, así que x \ge -5. x = -6 no la cumple: \sqrt{-1} no es real.
  2. Condición del denominador: necesitas x - 1 \ne 0, así que x \ne 1. x = 1 no la cumple: el denominador = 0.
  3. x = -5: \dfrac{\sqrt{0}}{-6} = \dfrac{0}{-6} = 0: sí está definida.
  4. x = 4: \dfrac{\sqrt{9}}{3} = \dfrac{3}{3} = 1: sí está definida.

Respuesta: x = -6 y x = 1 hacen que no esté definida.

Comprobación: Sustituye cada valor; solo -6 (negativo dentro de la raíz) y 1 (denominador cero) rompen una regla ✓.

Consejo de calculadora

Cómo usar la TI-30XS MultiView

  • La TI-30XS da un mensaje de error en los dos casos no definidos: si escribes 5 ÷ 0 enter aparece un error de divide by 0 (división entre 0), y 2nd x² (√) (−) 9 enter muestra un error de domain (dominio; no hay respuesta real). Una pantalla de error es una pista fuerte de que la expresión no está definida. Oprime clear para regresar.
  • Para probar un valor de x en un denominador, escribe el denominador con ese valor, p. ej. ( (−) 4 ) x² − 16 enter → 0.
  • Las raíces cúbicas de los negativos funcionan normalmente: 3 2nd ^ (−) 8 enter → -2.

Cuándo NO usarla: estas preguntas casi siempre son sin calculadora y solo necesitan una línea de álgebra: iguala el denominador a 0, o plantea que el radicando sea menor que 0. Hacerlo a mano es más rápido que probar cada opción en la calculadora.

Error común

Errores comunes

  • Fijarse en el numerador. Incorrecto: \dfrac{x - 2}{x + 7} no está definida en x = 2. Correcto: solo importa el denominador; x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7. En x = 2 el valor es 0, que sí está definido.
  • Equivocarse con el signo al resolver. Incorrecto: x + 7 = 0 \Rightarrow x = 7. Correcto: x = -7. Siempre sustituye para comprobar.
  • Pensar que \tfrac{0}{n} o \sqrt{0} no están definidos. Incorrecto: "un cero en cualquier lugar es un problema". Correcto: \tfrac{0}{5} = 0 y \sqrt{0} = 0 están bien; solo un denominador cero hace que no esté definido.
  • Tratar las raíces cúbicas como raíces cuadradas. Incorrecto: \sqrt[3]{-8} no está definida. Correcto: \sqrt[3]{-8} = -2; solo las raíces pares de los negativos no son reales.
  • Olvidar el segundo valor. Incorrecto: \dfrac{5}{x^2 - 16} no está definida solo en x = 4. Correcto: tampoco en x = -4, porque (-4)^2 = 16.
  • Invertir la desigualdad en el sentido equivocado. Incorrecto: \sqrt{x - 6} no está definida para x > 6. Correcto: para x < 6, donde x - 6 es negativo. Prueba un valor como x = 0: \sqrt{-6} no es real ✓.

Estrategia para el examen

  • Tapa el numerador. Pon el dedo sobre la parte de arriba de la fracción; la respuesta se esconde abajo.
  • Sustituye las opciones de respuesta. Pon cada opción en el denominador (o en el radicando). La que da exactamente 0 (o un negativo dentro de una raíz par) es la respuesta. Esto también detecta errores de signo.
  • Preguntas de "selecciona todas": revisa cada expresión por separado y recuerda los cuatro casos seguros: \tfrac{0}{n}, \sqrt{0}, las raíces impares de negativos y los negativos al cuadrado.
  • Un cuadrado en el denominador normalmente significa dos respuestas (x = \pm algo), a menos que sea un cuadrado perfecto como (x - 3)^2, o una suma como x^2 + 4 que nunca es cero.
  • En los problemas verbales, pregúntate qué significa en la vida real que el denominador sea cero (nadie, nada de tiempo, ningún flujo neto). La opción de respuesta que describe esa situación suele ser la correcta.
  • Calcula unos 45 a 60 segundos por pregunta; estas deben ser rápidas.

Compruébalo

¿Cuándo una expresión no está definida?Sin calculadora

Which expression is undefined?

Opciones de respuesta
Pista

Only one kind of zero causes a problem: a zero in the denominator.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión no está definida?

Opciones

  • A. \dfrac{7}{0}
  • B. \dfrac{0}{7}
  • C. \sqrt{0}
  • D. \sqrt[3]{-8}
Pista

Solo un tipo de cero causa problemas: un cero en el denominador.

Compruébalo

¿Cuándo una expresión no está definida?Sin calculadoraCompletar

For what value of x is the expression below undefined?

\frac{6}{2x - 10}

x =

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

A fraction is undefined when its denominator is 0. Set 2x - 10 equal to 0 and solve.

Ver en español

Pregunta

¿Para qué valor de x no está definida la siguiente expresión?

\frac{6}{2x - 10}

x = _____

Pista

Una fracción no está definida cuando su denominador es 0. Iguala 2x - 10 a 0 y resuelve.

Resumen

  • Una expresión no está definida cuando divide entre cero o saca una raíz par de un número negativo.
  • En una fracción, iguala solo el denominador a 0 y resuelve. Los denominadores al cuadrado pueden dar dos valores (x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4).
  • En \sqrt{\text{radicando}}, no está definida cuando el radicando < 0; \sqrt{0} = 0 está bien.
  • \tfrac{0}{n} = 0, -\sqrt{9} = -3, \sqrt[3]{-8} = -2 y (-3)^2 = 9 sí están definidos.
  • Las rectas verticales tienen pendiente no definida (cambio horizontal = 0); fórmulas como "total ÷ personas" dejan de funcionar en 0.
Practicar esta destreza →