Only one kind of zero causes a problem: a zero in the denominator.
Solución paso a paso
Evaluate each choice.
\dfrac{0}{7} = 0, because 0 \times 7 = 0. Zero on top is fine — defined.
\dfrac{7}{0}: we would need a number that, times 0, equals 7. Every number times 0 is 0, so no number works — undefined.
\sqrt{0} = 0, because 0^2 = 0 — defined.
\sqrt[3]{-8} = -2, because (-2)^3 = -8 — defined (cube roots of negatives are real).
Answer: \dfrac{7}{0}
Check: On the TI-30XS, 7÷0 gives a divide-by-zero error, while the other three give 0, 0 and -2 ✓.
Tip: A zero is only a problem in the denominator. A zero numerator just makes the whole fraction 0.
Explicación
Evalúa cada opción.
\dfrac{0}{7} = 0, porque 0 \times 7 = 0. Un cero arriba no causa problema: está definida.
\dfrac{7}{0}: necesitaríamos un número que, multiplicado por 0, dé 7. Todo número por 0 da 0, así que ningún número funciona: no está definida.
\sqrt{0} = 0, porque 0^2 = 0: está definida.
\sqrt[3]{-8} = -2, porque (-2)^3 = -8: está definida (las raíces cúbicas de negativos son reales).
Respuesta: \dfrac{7}{0}
Comprobación: En la TI-30XS, 7÷0 da un error de división entre cero, mientras que las otras tres dan 0, 0 y -2 ✓.
Consejo: Un cero solo es un problema en el denominador. Un numerador igual a cero simplemente hace que toda la fracción sea 0.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión no está definida?
Opciones
A.\dfrac{7}{0}
B.\dfrac{0}{7}
C.\sqrt{0}
D.\sqrt[3]{-8}
Pista
Solo un tipo de cero causa problemas: un cero en el denominador.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraCompletar
For what value of x is the expression below undefined?
\frac{6}{2x - 10}
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
A fraction is undefined when its denominator is 0. Set 2x - 10 equal to 0 and solve.
Solución paso a paso
A fraction is undefined exactly when its denominator is 0. Set it equal to 0: 2x - 10 = 0.
Add 10 to both sides: 2x = 10.
Divide both sides by 2: x = 5.
Answer: x = 5
Check: Substitute: 2(5) - 10 = 10 - 10 = 0, so the expression becomes \tfrac{6}{0}, which is undefined ✓.
Tip: Ignore the numerator completely. The answer to "when is this undefined?" always comes from solving denominator = 0. A common slip is to stop at x = 10 (forgetting to divide by 2) — always substitute your answer back.
Explicación
Una fracción no está definida exactamente cuando su denominador es 0. Iguálalo a 0: 2x - 10 = 0.
Suma 10 en ambos lados: 2x = 10.
Divide ambos lados entre 2: x = 5.
Respuesta: x = 5
Comprobación: Sustituye: 2(5) - 10 = 10 - 10 = 0, así que la expresión queda \tfrac{6}{0}, que no está definida ✓.
Consejo: Ignora por completo el numerador. La respuesta a "¿cuándo no está definida?" siempre sale de resolver denominador = 0. Un error común es quedarse en x = 10 (olvidar dividir entre 2): siempre sustituye tu respuesta de regreso.
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de x no está definida la siguiente expresión?
\frac{6}{2x - 10}
x = _____
Pista
Una fracción no está definida cuando su denominador es 0. Iguala 2x - 10 a 0 y resuelve.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadora
Which expression is not a real number?
Pista
Can any real number, multiplied by itself, give a negative result?
Solución paso a paso
Evaluate each choice.
\sqrt{-16}: we need a number that, times itself, is -16. But 4^2 = 16 and (-4)^2 = 16 — every real number squared is 0 or positive. So \sqrt{-16} is not a real number.
-\sqrt{16} = -4: the root is taken first (\sqrt{16} = 4), then the negative is applied. Real.
\sqrt[3]{-27} = -3, since (-3)^3 = -27. Real.
(-4)^2 = 16. Real.
Answer: \sqrt{-16}
Check: On the TI-30XS, the square root of -16 gives a domain error; the other three give -4, -3 and 16 ✓.
Tip: Look at where the negative sign is. Inside a square root → not real. Outside the root, inside a cube root, or being squared → fine.
Explicación
Evalúa cada opción.
\sqrt{-16}: necesitamos un número que, multiplicado por sí mismo, dé -16. Pero 4^2 = 16 y (-4)^2 = 16: todo número real elevado al cuadrado es 0 o positivo. Así que \sqrt{-16}no es un número real.
-\sqrt{16} = -4: primero se saca la raíz (\sqrt{16} = 4) y luego se aplica el negativo. Real.
\sqrt[3]{-27} = -3, ya que (-3)^3 = -27. Real.
(-4)^2 = 16. Real.
Respuesta: \sqrt{-16}
Comprobación: En la TI-30XS, la raíz cuadrada de -16 da un error de dominio; las otras tres dan -4, -3 y 16 ✓.
Consejo: Fíjate dónde está el signo negativo. Dentro de una raíz cuadrada → no es real. Fuera de la raíz, dentro de una raíz cúbica o elevado al cuadrado → no hay problema.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión no es un número real?
Opciones
A.-\sqrt{16}
B.\sqrt{-16}
C.\sqrt[3]{-27}
D.(-4)^2
Pista
¿Hay algún número real que, multiplicado por sí mismo, dé un resultado negativo?
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Four fractions contain a little arithmetic. After you simplify, which one has no value at all (is undefined)?
Pista
Work out each denominator first, using the order of operations. Which one comes out to exactly 0?
Solución paso a paso
A fraction is undefined exactly when its denominator equals 0, so simplify every denominator.
\dfrac{6}{2 \cdot 3 - 6}: 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0, so this is \dfrac{6}{0} — undefined.
\dfrac{2 \cdot 3 - 6}{6}: the numerator is 0, so the value is \dfrac{0}{6} = 0 — defined.
\dfrac{6}{3 - 6} = \dfrac{6}{-3} = -2 — defined.
\dfrac{-6}{-6} = 1 — defined.
Answer: \dfrac{6}{2 \cdot 3 - 6}
Check: Ask "what times 0 gives 6?" No number does, so \tfrac{6}{0} has no value ✓. The other three each have a real value: 0, -2, 1.
Tip: Always simplify the denominator before deciding. A denominator can look harmless (2 \cdot 3 - 6) and still equal 0. A zero in the numerator is never a problem.
Explicación
Una fracción no está definida justo cuando su denominador es igual a 0, así que simplifica cada denominador.
\dfrac{6}{2 \cdot 3 - 6}: 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0, así que esto es \dfrac{6}{0} — no definido.
\dfrac{2 \cdot 3 - 6}{6}: el numerador es 0, así que el valor es \dfrac{0}{6} = 0 — definido.
\dfrac{6}{3 - 6} = \dfrac{6}{-3} = -2 — definido.
\dfrac{-6}{-6} = 1 — definido.
Respuesta: \dfrac{6}{2 \cdot 3 - 6}
Comprobación: pregúntate “¿qué número por 0 da 6?”. Ninguno, así que \tfrac{6}{0} no tiene valor ✓. Las otras tres tienen un valor real: 0, -2, 1.
Consejo: simplifica siempre el denominador antes de decidir. Un denominador puede parecer inofensivo (2 \cdot 3 - 6) y aun así ser igual a 0. Un cero en el numerador nunca es un problema.
Ver en español
Pregunta
Cuatro fracciones contienen un poco de aritmética. Después de simplificar, ¿cuál no tiene ningún valor (no está definida)?
Opciones
A.\dfrac{2 \cdot 3 - 6}{6}
B.\dfrac{6}{2 \cdot 3 - 6}
C.\dfrac{6}{3 - 6}
D.\dfrac{-6}{-6}
Pista
Primero calcula cada denominador usando el orden de las operaciones. ¿Cuál da exactamente 0?
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Look at each fraction below. Choose all of the ones that have a zero denominator and so have no value.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Look only at each denominator after simplifying it. Zero on top is allowed.
Solución paso a paso
Simplify each denominator and look for 0.
\dfrac{12}{0}: denominator 0 → undefined.
\dfrac{0}{12} = 0 → defined (zero on top is fine, since 0 \times 12 = 0).
\dfrac{0}{0}: denominator 0 → undefined (the GED treats every zero denominator as undefined).
\dfrac{12}{4 - 4} = \dfrac{12}{0} → undefined.
\dfrac{4 - 4}{12} = \dfrac{0}{12} = 0 → defined.
\dfrac{-12}{-12} = 1 → defined.
Answer:\dfrac{12}{0}, \dfrac{0}{0} and \dfrac{12}{4 - 4}.
Check: Each chosen expression has a denominator equal to 0; the three others have values 0, 0 and 1 ✓.
Tip: Read every fraction "bottom first". If the bottom is 0 (even after a little arithmetic), it is undefined — no matter what is on top.
Explicación
Simplifica cada denominador y busca el 0.
\dfrac{12}{0}: denominador 0 → no definido.
\dfrac{0}{12} = 0 → definido (un cero arriba no es problema, porque 0 \times 12 = 0).
\dfrac{0}{0}: denominador 0 → no definido (el GED® considera no definido todo denominador cero).
\dfrac{12}{4 - 4} = \dfrac{12}{0} → no definido.
\dfrac{4 - 4}{12} = \dfrac{0}{12} = 0 → definido.
\dfrac{-12}{-12} = 1 → definido.
Respuesta:\dfrac{12}{0}, \dfrac{0}{0} y \dfrac{12}{4 - 4}.
Comprobación: cada expresión elegida tiene un denominador igual a 0; las otras tres tienen los valores 0, 0 y 1 ✓.
Consejo: lee cada fracción “empezando por abajo”. Si la parte de abajo es 0 (aunque sea después de hacer una pequeña operación), no está definida — sin importar lo que haya arriba.
Ver en español
Pregunta
Observa cada fracción de abajo. Elige todas las que tienen un denominador cero y, por lo tanto, no tienen valor.
Opciones
A.\dfrac{12}{0}
B.\dfrac{0}{12}
C.\dfrac{0}{0}
D.\dfrac{12}{4 - 4}
E.\dfrac{4 - 4}{12}
F.\dfrac{-12}{-12}
Pista
Fíjate solo en cada denominador después de simplificarlo. Se permite un cero arriba.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Kim is sorting roots into two groups, "real" and "not real". Which root belongs in the not real group?
Pista
Which kind of root can never have a negative number inside: an even root or an odd root?
Solución paso a paso
An even root (square root, 4th root, …) of a negative number is not real, because any real number raised to an even power is zero or positive.
\sqrt[4]{-16}: we would need a number whose 4th power is -16. But 2^4 = 16 and (-2)^4 = 16 — never -16. Not real.
\sqrt[3]{-125} = -5, because (-5)^3 = -125. Real (odd root).
-\sqrt[4]{16} = -2. The negative sign is outside the root, so we take \sqrt[4]{16} = 2 and then make it negative. Real.
Check: On the calculator, (-2)^4 = 16 and 2^4 = 16, so no real number has 4th power -16 ✓.
Tip: Ask two questions: Is the root even? and Is the number inside negative? Only "yes" to both makes the expression not real.
Explicación
Una raíz par (raíz cuadrada, raíz cuarta, …) de un número negativo no es real, porque cualquier número real elevado a una potencia par es cero o positivo.
\sqrt[4]{-16}: necesitaríamos un número cuya cuarta potencia sea -16. Pero 2^4 = 16 y (-2)^4 = 16 — nunca -16. No es real.
\sqrt[3]{-125} = -5, porque (-5)^3 = -125. Es real (raíz impar).
-\sqrt[4]{16} = -2. El signo negativo está fuera de la raíz, así que calculamos \sqrt[4]{16} = 2 y luego lo hacemos negativo. Es real.
\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4. Primero eleva al cuadrado: (-4)^2 = 16. Es real.
Respuesta: \sqrt[4]{-16}
Comprobación: en la calculadora, (-2)^4 = 16 y 2^4 = 16, así que ningún número real tiene cuarta potencia -16 ✓.
Consejo: hazte dos preguntas: ¿La raíz es par? y ¿El número de adentro es negativo? Solo si respondes “sí” a las dos, la expresión no es real.
Ver en español
Pregunta
Kim está clasificando raíces en dos grupos: "reales" y "no reales". ¿Qué raíz va en el grupo de las no reales?
Opciones
A.\sqrt[3]{-125}
B.-\sqrt[4]{16}
C.\sqrt[4]{-16}
D.\sqrt{(-4)^2}
Pista
¿Qué tipo de raíz nunca puede tener un número negativo adentro: una raíz par o una raíz impar?
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
For what value(s) of x is the expression \dfrac{x - 2}{x + 7} undefined?
Pista
Only the denominator can make a fraction undefined.
Solución paso a paso
Set only the denominator equal to 0: x + 7 = 0.
Subtract 7 from both sides: x = -7.
The numerator x - 2 does not matter. At x = 2 the expression is \dfrac{0}{9} = 0, which is defined.
Answer: x = -7 only
Check: At x = -7: \dfrac{-7 - 2}{-7 + 7} = \dfrac{-9}{0} → undefined ✓.
Tip: Substitute your answer into the denominator to catch sign slips. x + 7 = 0 gives x = -7, not7 (since 7 + 7 = 14).
Explicación
Iguala a 0 solo el denominador: x + 7 = 0.
Resta 7 en ambos lados: x = -7.
El numerador x - 2 no importa. En x = 2 la expresión es \dfrac{0}{9} = 0, que sí está definida.
Respuesta: solo x = -7
Comprobación: En x = -7: \dfrac{-7 - 2}{-7 + 7} = \dfrac{-9}{0} → no está definida ✓.
Consejo: Sustituye tu respuesta en el denominador para detectar errores de signo. x + 7 = 0 da x = -7, no7 (ya que 7 + 7 = 14).
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor(es) de x no está definida la expresión \dfrac{x - 2}{x + 7}?
Opciones
A. solo x = 2
B. solo x = 7
C. solo x = -7
D.x = -7 y x = 2
Pista
Solo el denominador puede hacer que una fracción no esté definida.
Pregunta 8 de 36
Sin calculadora
For which values of x is \sqrt{x - 6}not a real number?
Pista
A square root is not real when the number under it is negative. When is x - 6 negative?
Solución paso a paso
\sqrt{x - 6} is not real when the radicand is negative: x - 6 < 0.
Add 6 to both sides: x < 6.
Note: at x = 6, \sqrt{6 - 6} = \sqrt{0} = 0, which is real. So 6 itself is allowed.
Answer: all x < 6
Check: Try x = 2: \sqrt{2 - 6} = \sqrt{-4} — not real ✓. Try x = 10: \sqrt{4} = 2 — real ✓. Try x = 6: \sqrt{0} = 0 — real ✓.
Tip: Test one number from each side of the boundary. Picking an easy value like x = 0 tells you immediately which side is the "bad" side.
Explicación
\sqrt{x - 6} no es real cuando el radicando es negativo: x - 6 < 0.
Suma 6 en ambos lados: x < 6.
Nota: en x = 6, \sqrt{6 - 6} = \sqrt{0} = 0, que sí es real. Así que el 6 sí se permite.
Respuesta: todos los x < 6
Comprobación: Prueba x = 2: \sqrt{2 - 6} = \sqrt{-4}, no es real ✓. Prueba x = 10: \sqrt{4} = 2, es real ✓. Prueba x = 6: \sqrt{0} = 0, es real ✓.
Consejo: Prueba un número de cada lado del límite. Elegir un valor fácil como x = 0 te dice de inmediato cuál es el lado "malo".
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valores de x la expresión \sqrt{x - 6}no es un número real?
Opciones
A.x > 6
B. solo x = 6
C.x < -6
D.x < 6
Pista
Una raíz cuadrada no es real cuando el número dentro de ella es negativo. ¿Cuándo es negativo x - 6?
Pregunta 9 de 36
Sin calculadoraCompletar
For what value of x is the expression below undefined?
\frac{12}{3x + 18}
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set the denominator equal to 0. Watch the sign when you move 18 to the other side.
Solución paso a paso
Set the denominator equal to 0: 3x + 18 = 0.
Subtract 18 from both sides: 3x = -18.
Divide both sides by 3: x = -6.
Answer: x = -6
Check:3(-6) + 18 = -18 + 18 = 0, so the expression becomes \tfrac{12}{0} → undefined ✓.
Tip: Two common slips: getting x = 6 (sign error) or x = -18 (forgetting to divide by 3). Substituting the answer back into the denominator catches both in seconds.
Explicación
Iguala el denominador a 0: 3x + 18 = 0.
Resta 18 en ambos lados: 3x = -18.
Divide ambos lados entre 3: x = -6.
Respuesta: x = -6
Comprobación:3(-6) + 18 = -18 + 18 = 0, así que la expresión queda \tfrac{12}{0} → no está definida ✓.
Consejo: Dos errores comunes: obtener x = 6 (error de signo) o x = -18 (olvidar dividir entre 3). Sustituir la respuesta en el denominador detecta ambos en segundos.
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de x no está definida la siguiente expresión?
\frac{12}{3x + 18}
x = _____
Pista
Iguala el denominador a 0. Fíjate en el signo cuando pases el 18 al otro lado.
Pregunta 10 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the correct answer from each drop-down menu.
The expression \dfrac{5}{x^2 - 16} is undefined when x = .
The expression \sqrt{x} is not a real number when x is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
For the first blank, solve x^2 - 16 = 0 — how many numbers square to 16? For the second, which numbers have no real square root?
Solución paso a paso
First blank.
Set the denominator to 0: x^2 - 16 = 0, so x^2 = 16.
Both 4^2 = 16 and (-4)^2 = 16, so x = 4orx = -4.
Second blank.
Every real number squared is zero or positive, so there is no real square root of a negative number.
\sqrt{0} = 0 and \sqrt{\text{positive}} are both real; so \sqrt{x} is not real exactly when x is negative.
Answer:x = 4 or x = -4; x is negative.
Check:(-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0 ✓ and 4^2 - 16 = 0 ✓; \sqrt{-1} gives a domain error on the calculator, while \sqrt{0} = 0 and \sqrt{0.25} = 0.5 ✓.
Tip: A squared variable in the denominator usually gives two excluded values. Don't stop at the positive one.
Explicación
Primer espacio.
Iguala el denominador a 0: x^2 - 16 = 0, así que x^2 = 16.
Tanto 4^2 = 16 como (-4)^2 = 16, así que x = 4ox = -4.
Segundo espacio.
Todo número real elevado al cuadrado es cero o positivo, así que no existe una raíz cuadrada real de un número negativo.
\sqrt{0} = 0 y \sqrt{\text{positivo}} son ambos reales; así que \sqrt{x} no es real exactamente cuando x es negativo.
Respuesta:x = 4 o x = -4; x es negativo.
Comprobación:(-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0 ✓ y 4^2 - 16 = 0 ✓; \sqrt{-1} da un error de dominio en la calculadora, mientras que \sqrt{0} = 0 y \sqrt{0.25} = 0.5 ✓.
Consejo: Una variable al cuadrado en el denominador normalmente da dos valores excluidos. No te detengas en el positivo.
Ver en español
Pregunta
Selecciona la respuesta correcta de cada menú desplegable.
La expresión \dfrac{5}{x^2 - 16} no está definida cuando x = _____.
La expresión \sqrt{x} no es un número real cuando x es _____.
Opciones
4 o -4
solo 4
16
0
negativo
cero
una fracción entre 0 y 1
Pista
Para el primer espacio, resuelve x^2 - 16 = 0: ¿cuántos números al cuadrado dan 16? Para el segundo, ¿qué números no tienen raíz cuadrada real?
Pregunta 11 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Select all of the expressions that are undefined (not real numbers) when x = 3.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Substitute x = 3 into each expression. Look for a zero denominator or a negative number under a square root.
Solución paso a paso
Substitute x = 3 into each expression.
\dfrac{4}{x - 3} = \dfrac{4}{0} → undefined (division by zero).
\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{0}{4} = 0 → defined.
\sqrt{1 - x} = \sqrt{-2} → not real (even root of a negative).
Answer:\dfrac{4}{x - 3}, \sqrt{1 - x}, and \dfrac{9}{x^2 - 9}.
Check: Each chosen expression breaks exactly one rule (zero denominator or negative under a square root); each unchosen one gives a real value: 0, \approx -1.26, 0 ✓.
Tip: Zeros in the numerator or under a root are harmless, and cube roots accept negatives. Only zero denominators and negatives under even roots are undefined.
Explicación
Sustituye x = 3 en cada expresión.
\dfrac{4}{x - 3} = \dfrac{4}{0} → no está definida (división entre cero).
\dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{0}{4} = 0 → está definida.
\sqrt{1 - x} = \sqrt{-2} → no es real (raíz par de un negativo).
\dfrac{9}{x^2 - 9} = \dfrac{9}{9 - 9} = \dfrac{9}{0} → no está definida.
\sqrt{x - 3} = \sqrt{0} = 0 → está definida.
Respuesta:\dfrac{4}{x - 3}, \sqrt{1 - x} y \dfrac{9}{x^2 - 9}.
Comprobación: Cada expresión elegida rompe exactamente una regla (denominador cero o negativo dentro de una raíz cuadrada); cada una de las no elegidas da un valor real: 0, \approx -1.26, 0 ✓.
Consejo: Los ceros en el numerador o dentro de una raíz no causan problema, y las raíces cúbicas aceptan negativos. Solo los denominadores iguales a cero y los negativos dentro de raíces pares no están definidos.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las expresiones que no están definidas (no son números reales) cuando x = 3.
Opciones
A.\dfrac{4}{x - 3}
B.\dfrac{x - 3}{4}
C.\sqrt{1 - x}
D.\sqrt[3]{1 - x}
E.\dfrac{9}{x^2 - 9}
F.\sqrt{x - 3}
Pista
Sustituye x = 3 en cada expresión. Busca un denominador igual a cero o un número negativo dentro de una raíz cuadrada.
Pregunta 12 de 36
Sin calculadora
Three friends are hosting a party and will not pay. The other guests split the $360 cost equally. If n is the total number of people at the party (including the 3 hosts), the cost per paying guest, in dollars, is
C = \frac{360}{n - 3}
For what value of n is this formula undefined?
Pista
Which value of n makes the denominator zero? What would that mean at the party?
Solución paso a paso
The formula is undefined when the denominator is 0: n - 3 = 0.
Solve: n = 3.
Meaning: if only 3 people come, they are all hosts, so nobody is paying — there is no "cost per paying guest".
Answer: n = 3
Check:C = \dfrac{360}{3 - 3} = \dfrac{360}{0} → undefined ✓. With n = 12, C = \tfrac{360}{9} = 40, a sensible $40 each.
Tip: In a real-world formula, the "undefined" value usually describes a situation that cannot happen or makes no sense (no paying guests, zero time, zero people). Setting the denominator to 0 finds it.
Explicación
La fórmula no está definida cuando el denominador es 0: n - 3 = 0.
Resuelve: n = 3.
Significado: si solo van 3 personas, todas son anfitriones, así que nadie paga; no existe un "costo por invitado que paga".
Respuesta: n = 3
Comprobación:C = \dfrac{360}{3 - 3} = \dfrac{360}{0} → no está definida ✓. Con n = 12, C = \tfrac{360}{9} = 40, unos razonables $40 cada uno.
Consejo: En una fórmula de la vida real, el valor "no definido" suele describir una situación que no puede ocurrir o que no tiene sentido (ningún invitado que pague, tiempo cero, cero personas). Igualar el denominador a 0 te permite encontrarlo.
Ver en español
Pregunta
Tres amigos organizan una fiesta y no van a pagar. Los demás invitados dividen el costo de $360 en partes iguales. Si n es el número total de personas en la fiesta (incluidos los 3 anfitriones), el costo por invitado que paga, en dólares, es
C = \frac{360}{n - 3}
¿Para qué valor de n esta fórmula no está definida?
Opciones
A.n = 3
B.n = 0
C.n = -3
D.n = 360
Pista
¿Qué valor de n hace que el denominador sea cero? ¿Qué significaría eso en la fiesta?
Pregunta 13 de 36
Sin calculadora
What is the value of \sqrt[3]{2 - 29} + \sqrt{25 - 16}?
Pista
Simplify inside each root first. Then decide whether each root is real and find its value.
Solución paso a paso
Simplify inside the cube root: 2 - 29 = -27.
\sqrt[3]{-27} = -3, because (-3)^3 = (-3)(-3)(-3) = -27. Cube roots of negatives are real.
Simplify inside the square root: 25 - 16 = 9.
\sqrt{9} = 3.
Add: -3 + 3 = 0.
Answer: 0
Check:(-3)^3 = -27 ✓ and 3^2 = 9 ✓, so -3 + 3 = 0 ✓.
Tip: A negative number inside a cube root is fine — the answer is just negative. Also, never split a root across subtraction: \sqrt{25 - 16} is \sqrt{9} = 3, not5 - 4 = 1.
Explicación
Simplifica dentro de la raíz cúbica: 2 - 29 = -27.
\sqrt[3]{-27} = -3, porque (-3)^3 = (-3)(-3)(-3) = -27. Las raíces cúbicas de los negativos son reales.
Simplifica dentro de la raíz cuadrada: 25 - 16 = 9.
\sqrt{9} = 3.
Suma: -3 + 3 = 0.
Respuesta: 0
Comprobación:(-3)^3 = -27 ✓ y 3^2 = 9 ✓, así que -3 + 3 = 0 ✓.
Consejo: un número negativo dentro de una raíz cúbica no es problema — la respuesta simplemente es negativa. Además, nunca separes una raíz en una resta: \sqrt{25 - 16} es \sqrt{9} = 3, no5 - 4 = 1.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el valor de \sqrt[3]{2 - 29} + \sqrt{25 - 16}?
Opciones
A.6
B.-2
C. no es un número real
D.0
Pista
Primero simplifica dentro de cada raíz. Luego decide si cada raíz es real y halla su valor.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadora
Lee's calculator shows an error message when he evaluates \sqrt{3x - 12} for some inputs. For which values of x does the square root fail to be a real number?
Pista
A square root is not real when the number under it is negative. Write that as an inequality and solve it.
Solución paso a paso
\sqrt{3x - 12} is not real exactly when the radicand is negative: 3x - 12 < 0.
Add 12 to both sides: 3x < 12.
Divide both sides by 3 (a positive number, so the sign stays the same): x < 4.
Answer: x < 4
Check: Test x = 0: \sqrt{3(0) - 12} = \sqrt{-12} — not real ✓. Test x = 4: \sqrt{0} = 0 — real, so 4 is not included ✓. Test x = 5: \sqrt{3} \approx 1.73 — real ✓.
Tip: The boundary value (here x = 4) makes the radicand 0, and \sqrt{0} = 0 is real. So "not real" uses a strict <, never \le. Test one number on each side to confirm the direction.
Explicación
\sqrt{3x - 12} no es real justo cuando el radicando es negativo: 3x - 12 < 0.
Suma 12 a ambos lados: 3x < 12.
Divide ambos lados entre 3 (un número positivo, así que el signo no cambia): x < 4.
Respuesta: x < 4
Comprobación: prueba x = 0: \sqrt{3(0) - 12} = \sqrt{-12} — no es real ✓. Prueba x = 4: \sqrt{0} = 0 — es real, así que el 4 no se incluye ✓. Prueba x = 5: \sqrt{3} \approx 1.73 — es real ✓.
Consejo: el valor del límite (aquí x = 4) hace que el radicando sea 0, y \sqrt{0} = 0 es real. Por eso “no es real” usa un < estricto, nunca \le. Prueba un número de cada lado para confirmar la dirección.
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Pregunta
La calculadora de Lee muestra un mensaje de error cuando evalúa \sqrt{3x - 12} para algunas entradas. ¿Para qué valores de x la raíz cuadrada no es un número real?
Opciones
A.x < 4
B.x > 4
C.x < -4
D.x \le 4
Pista
Una raíz cuadrada no es real cuando el número dentro de ella es negativo. Escríbelo como una desigualdad y resuélvela.
Pregunta 15 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the correct answer from each drop-down menu.
Let x = -1.
The value of \dfrac{4}{x + 1} is .
The value of \sqrt{x - 3} is .
The value of \dfrac{x + 1}{4} is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Substitute -1 for x in each expression, using parentheses. Then check each denominator and each radicand.
Comprobación:-1 + 1 = 0 ✓ y -1 - 3 = -4 ✓. Un cero arriba da 0; un cero abajo da “no definido” ✓.
Consejo: la misma cantidad (x + 1 = 0) puede ser inofensiva o fatal — depende de dónde esté. Arriba → la respuesta es 0. Abajo → no definido.
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Pregunta
Selecciona la respuesta correcta de cada menú desplegable.
Sea x = -1.
El valor de \dfrac{4}{x + 1} es _____.
El valor de \sqrt{x - 3} es _____.
El valor de \dfrac{x + 1}{4} es _____.
Opciones
no definido
0
4
no es un número real
-2
\sqrt{2}
0
no definido
\tfrac{1}{2}
Pista
Sustituye x por -1 en cada expresión, usando paréntesis. Luego revisa cada denominador y cada radicando.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadora
In a science lab, a cart passes sensor 1 at time t_1 seconds and sensor 2 at time t_2 seconds. The sensors are d meters apart. The cart's average speed, in meters per second, is
v = \frac{d}{t_2 - t_1}
For which set of readings is this formula undefined?
Pista
Which part of the formula is the denominator? What must be true about the two times to make it zero?
Solución paso a paso
The formula is a fraction, so it is undefined when the denominator is 0: t_2 - t_1 = 0.
That happens when t_2 = t_1 — the two times are equal.
d = 2, t_1 = 4, t_2 = 0: \dfrac{2}{-4} = -0.5 → defined (a strange reading, but a real number).
Answer: d = 2, t_1 = 2.5, t_2 = 2.5
Check:2.5 - 2.5 = 0, so the speed would be \tfrac{2}{0} — no number works ✓. In real life, a cart cannot travel 2 meters in 0 seconds.
Tip: In a formula, the variable that makes the formula undefined is whatever makes the whole denominator zero. A zero time reading (t_1 = 0) is not the same as a zero difference.
Explicación
La fórmula es una fracción, así que no está definida cuando el denominador es 0: t_2 - t_1 = 0.
Eso pasa cuando t_2 = t_1 — los dos tiempos son iguales.
d = 2, t_1 = 2.5, t_2 = 2.5: \dfrac{2}{0} → no definido.
d = 2, t_1 = 4, t_2 = 0: \dfrac{2}{-4} = -0.5 → definido (una lectura extraña, pero es un número real).
Respuesta: d = 2, t_1 = 2.5, t_2 = 2.5
Comprobación:2.5 - 2.5 = 0, así que la rapidez sería \tfrac{2}{0} — ningún número sirve ✓. En la vida real, un carrito no puede recorrer 2 metros en 0 segundos.
Consejo: en una fórmula, lo que la hace no definida es lo que convierte todo el denominador en cero. Una lectura de tiempo igual a cero (t_1 = 0) no es lo mismo que una diferencia igual a cero.
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Pregunta
En un laboratorio de ciencias, un carrito pasa por el sensor 1 en el tiempo t_1 segundos y por el sensor 2 en el tiempo t_2 segundos. Los sensores están a d metros de distancia. La rapidez promedio del carrito, en metros por segundo, es
v = \frac{d}{t_2 - t_1}
¿Para qué conjunto de lecturas esta fórmula no está definida?
Opciones
A.d = 0, t_1 = 1.5, t_2 = 4
B.d = 2, t_1 = 2.5, t_2 = 2.5
C.d = 2, t_1 = 0, t_2 = 4
D.d = 2, t_1 = 4, t_2 = 0
Pista
¿Qué parte de la fórmula es el denominador? ¿Qué debe ser cierto sobre los dos tiempos para que sea cero?
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
The graph shows four lines.
Coordinate plane with four lines: A horizontal at y = 4, B vertical at x = -3, C rising through the origin, D falling through (0, 1)
Which line has an undefined slope?
Pista
Slope is rise divided by run. For which line is the run (the change in x) always zero?
Solución paso a paso
Slope = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. It is undefined when the run is 0, which means every point has the same x-coordinate — a vertical line.
Line B passes through (-3, -6) and (-3, 6): slope = \dfrac{6 - (-6)}{-3 - (-3)} = \dfrac{12}{0} → undefined.
Line A passes through (-6, 4) and (6, 4): slope = \dfrac{0}{12} = 0 (horizontal).
Line C passes through (0, 0) and (5, 5): slope = \dfrac{5}{5} = 1.
Line D passes through (0, 1) and (3, -5): slope = \dfrac{-6}{3} = -2.
Answer: Line B
Check: Pick any two points on line B; their x-values are both -3, so the run is always 0 ✓.
Tip: Memory trick — a horizontal line is flat ground: slope 0. A vertical line is a wall you cannot walk up: slope undefined.
Explicación
Pendiente = \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. No está definida cuando el cambio horizontal es 0, es decir, cuando todos los puntos tienen la misma coordenada x — una recta vertical.
La recta B pasa por (-3, -6) y (-3, 6): pendiente = \dfrac{6 - (-6)}{-3 - (-3)} = \dfrac{12}{0} → no definida.
La recta A pasa por (-6, 4) y (6, 4): pendiente = \dfrac{0}{12} = 0 (horizontal).
La recta C pasa por (0, 0) y (5, 5): pendiente = \dfrac{5}{5} = 1.
La recta D pasa por (0, 1) y (3, -5): pendiente = \dfrac{-6}{3} = -2.
Respuesta: Recta B
Comprobación: elige dos puntos cualesquiera de la recta B; sus valores de x son los dos -3, así que el cambio horizontal siempre es 0 ✓.
Consejo: truco para recordar — una recta horizontal es un suelo plano: pendiente 0. Una recta vertical es una pared por la que no puedes subir caminando: pendiente no definida.
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Pregunta
La gráfica muestra cuatro rectas.
¿Qué recta tiene una pendiente no definida?
Opciones
A. Recta A
B. Recta B
C. Recta C
D. Recta D
Pista
La pendiente es el cambio vertical dividido entre el cambio horizontal. ¿En qué recta el cambio horizontal (el cambio en x) es siempre cero?
Pregunta 18 de 36
Sin calculadoraCompletar
One value of x must be excluded from the expression below because it makes the bottom of the fraction zero. Find that excluded value.
\frac{9}{\tfrac{1}{2}x + 7}
Excluded value: x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Set the denominator equal to 0. To undo multiplying by \tfrac{1}{2}, multiply by 2.
Solución paso a paso
The expression is undefined when the denominator is 0: \tfrac{1}{2}x + 7 = 0.
Subtract 7 from both sides: \tfrac{1}{2}x = -7.
Multiply both sides by 2: x = -14.
Answer: x = -14
Check:\tfrac{1}{2}(-14) + 7 = -7 + 7 = 0, so the expression becomes \tfrac{9}{0} — undefined ✓.
Tip: Fraction coefficients do not change the method: set the denominator equal to 0 and solve. Watch the sign — moving +7 across gives -7, so the answer is negative. Common slips give -3.5 (dividing by 2 instead of multiplying) or 14 (losing the sign).
Explicación
La expresión no está definida cuando el denominador es 0: \tfrac{1}{2}x + 7 = 0.
Resta 7 de ambos lados: \tfrac{1}{2}x = -7.
Multiplica ambos lados por 2: x = -14.
Respuesta: x = -14
Comprobación:\tfrac{1}{2}(-14) + 7 = -7 + 7 = 0, así que la expresión se convierte en \tfrac{9}{0} — no definida ✓.
Consejo: los coeficientes en forma de fracción no cambian el método: iguala el denominador a 0 y resuelve. Cuidado con el signo — al pasar el +7 al otro lado queda -7, así que la respuesta es negativa. Los errores comunes dan -3.5 (dividir entre 2 en lugar de multiplicar) o 14 (perder el signo).
Ver en español
Pregunta
Un valor de x se debe excluir de la siguiente expresión porque hace que la parte de abajo de la fracción sea cero. Halla ese valor excluido.
\frac{9}{\tfrac{1}{2}x + 7}
Valor excluido: x = _____
Pista
Iguala el denominador a 0. Para deshacer la multiplicación por \tfrac{1}{2}, multiplica por 2.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadoraCompletar
The expression \sqrt{20 - 4x} is a real number only when x \le k. What is the value of k?
k =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The number under the square root must be zero or positive. Solve that inequality and remember the rule for dividing by a negative.
Solución paso a paso
A square root is real when the radicand is zero or positive: 20 - 4x \ge 0.
Subtract 20 from both sides: -4x \ge -20.
Divide both sides by -4 and flip the inequality sign: x \le 5.
So k = 5.
Answer: k = 5
Check:x = 5: \sqrt{20 - 20} = \sqrt{0} = 0 — real ✓. x = 6: \sqrt{20 - 24} = \sqrt{-4} — not real ✓. x = 0: \sqrt{20} \approx 4.47 — real ✓.
Tip: When x has a negative coefficient under the root, the allowed values are to the left (small x). An easy way to avoid sign trouble: move the x-term instead, 20 \ge 4x, so 5 \ge x.
Explicación
Una raíz cuadrada es real cuando el radicando es cero o positivo: 20 - 4x \ge 0.
Resta 20 de ambos lados: -4x \ge -20.
Divide ambos lados entre -4 y invierte el signo de la desigualdad: x \le 5.
Así que k = 5.
Respuesta: k = 5
Comprobación:x = 5: \sqrt{20 - 20} = \sqrt{0} = 0 — es real ✓. x = 6: \sqrt{20 - 24} = \sqrt{-4} — no es real ✓. x = 0: \sqrt{20} \approx 4.47 — es real ✓.
Consejo: cuando la x tiene un coeficiente negativo dentro de la raíz, los valores permitidos están a la izquierda (valores pequeños de x). Una manera fácil de evitar problemas con el signo: mueve el término con x, 20 \ge 4x, así que 5 \ge x.
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Pregunta
La expresión \sqrt{20 - 4x} es un número real solo cuando x \le k. ¿Cuál es el valor de k?
k = _____
Pista
El número dentro de la raíz cuadrada debe ser cero o positivo. Resuelve esa desigualdad y recuerda la regla para dividir entre un negativo.
Pregunta 20 de 36
Sin calculadora
The expression \dfrac{x + 3}{x^2 + 2x - 15} has no value for certain inputs. Which choice lists every such input?
Pista
Factor the denominator into two binomials, then set each factor equal to 0.
Solución paso a paso
Set the denominator equal to 0: x^2 + 2x - 15 = 0.
Factor: find two numbers that multiply to -15 and add to +2. They are 5 and -3. So x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).
Set each factor to 0: x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5; x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.
Tip: The numerator x + 3 does not matter — at x = -3 the expression is \tfrac{0}{-18} = 0, which is defined. After factoring, each factor (x + a) gives x = -a: the sign flips.
Explicación
Iguala el denominador a 0: x^2 + 2x - 15 = 0.
Factoriza: busca dos números que multiplicados den -15 y sumados den +2. Son 5 y -3. Así que x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3).
Iguala cada factor a 0: x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5; x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.
Consejo: el numerador x + 3 no importa — con x = -3 la expresión es \tfrac{0}{-18} = 0, que está definida. Después de factorizar, cada factor (x + a) da x = -a: el signo cambia.
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Pregunta
La expresión \dfrac{x + 3}{x^2 + 2x - 15} no tiene valor para ciertas entradas. ¿Qué opción enumera todas esas entradas?
Opciones
A.x = -3
B.x = 5 o x = -3
C.x = -5 o x = 3
D.x = 15 o x = -15
Pista
Factoriza el denominador en dos binomios y luego iguala cada factor a 0.
Pregunta 21 de 36
Sin calculadora
After filling her gas tank, Bea uses this formula to find her car's gas mileage:
\text{mpg} = \frac{m_2 - m_1}{g}
where m_1 is the odometer reading at the last fill-up, m_2 is the reading now, and g is the number of gallons she just added. Which situation makes the formula undefined?
Pista
Find the denominator of the formula. Which variable sits there?
Solución paso a paso
The formula is undefined when its denominator is 0. The denominator is g, the gallons added.
So the formula breaks down when g = 0 — Bea added no gas.
The other situations:
m_2 = m_1: the numerator is 0, so mpg = \tfrac{0}{g} = 0 (if g is not 0). Defined.
m_1 = 0 (a brand-new car): the numerator is just m_2. Defined.
m_2 is larger than m_1 by 300: mpg = \tfrac{300}{g}. Defined.
Answer: She added 0 gallons (g = 0).
Check: With m_2 - m_1 = 300 and g = 0: \tfrac{300}{0} — no number times 0 gives 300 ✓. It also makes sense: "miles per gallon" means nothing if no gallons were used to refill.
Tip: In a word problem, find the variable in the denominator first. Equal readings or zero readings in the numerator give 0 or an ordinary number, not "undefined".
Explicación
La fórmula no está definida cuando su denominador es 0. El denominador es g, los galones que puso.
Así que la fórmula deja de funcionar cuando g = 0 — Bea no puso gasolina.
Las otras situaciones:
m_2 = m_1: el numerador es 0, así que mpg = \tfrac{0}{g} = 0 (si g no es 0). Definida.
m_1 = 0 (un carro nuevo): el numerador es simplemente m_2. Definida.
m_2 es 300 más que m_1: mpg = \tfrac{300}{g}. Definida.
Respuesta: Puso 0 galones (g = 0).
Comprobación: con m_2 - m_1 = 300 y g = 0: \tfrac{300}{0} — ningún número por 0 da 300 ✓. También tiene sentido: “millas por galón” no significa nada si no se puso ningún galón al llenar el tanque.
Consejo: en un problema verbal, busca primero la variable del denominador. Las lecturas iguales o las lecturas cero en el numerador dan 0 o un número común, no “no definido”.
Ver en español
Pregunta
Después de llenar el tanque de gasolina, Bea usa esta fórmula para hallar el rendimiento de gasolina de su carro:
\text{mpg} = \frac{m_2 - m_1}{g}
donde m_1 es la lectura del odómetro en la última vez que llenó el tanque, m_2 es la lectura actual y g es el número de galones que acaba de poner. ¿Qué situación hace que la fórmula no esté definida?
Opciones
A. Las dos lecturas del odómetro son iguales (m_2 = m_1).
B. El carro es nuevo, así que m_1 = 0.
C. Manejó 300 millas desde la última vez que llenó el tanque.
D. Puso 0 galones (g = 0).
Pista
Busca el denominador de la fórmula. ¿Qué variable está ahí?
Pregunta 22 de 36
Sin calculadora
Which statement is true?
Pista
Test each statement with the actual number. Zero under a root and zero on top of a fraction both deserve a careful look.
Solución paso a paso
Test each statement.
"\dfrac{0}{9} is undefined." False — \dfrac{0}{9} = 0, since 0 \times 9 = 0.
"\sqrt[3]{-125} is not a real number." False — (-5)^3 = -125, so \sqrt[3]{-125} = -5.
"\sqrt{x + 2} is a real number when x = -2." True — \sqrt{-2 + 2} = \sqrt{0} = 0, which is real.
"\dfrac{x}{x + 2} is undefined when x = 0." False — \dfrac{0}{2} = 0. It is undefined at x = -2.
Answer:\sqrt{x + 2} is a real number when x = -2.
Check: The only things that are undefined are a 0 denominator or a negative under an even root. Statement 3 has neither: the radicand is exactly 0 ✓.
Tip: Zero is only dangerous in one place: the denominator. Zero under a square root, or on top of a fraction, gives the ordinary answer 0.
Explicación
Prueba cada enunciado.
“\dfrac{0}{9} no está definido.” Falso — \dfrac{0}{9} = 0, porque 0 \times 9 = 0.
“\sqrt[3]{-125} no es un número real.” Falso — (-5)^3 = -125, así que \sqrt[3]{-125} = -5.
“\sqrt{x + 2} es un número real cuando x = -2.” Verdadero — \sqrt{-2 + 2} = \sqrt{0} = 0, que es real.
“\dfrac{x}{x + 2} no está definida cuando x = 0.” Falso — \dfrac{0}{2} = 0. No está definida en x = -2.
Respuesta:\sqrt{x + 2} es un número real cuando x = -2.
Comprobación: lo único que hace que algo no esté definido es un denominador 0 o un negativo dentro de una raíz par. El enunciado 3 no tiene ninguna de las dos cosas: el radicando es exactamente 0 ✓.
Consejo: el cero solo es peligroso en un lugar: el denominador. Un cero dentro de una raíz cuadrada, o arriba en una fracción, da la respuesta común 0.
Ver en español
Pregunta
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A.\dfrac{0}{9} no está definido.
B.\sqrt[3]{-125} no es un número real.
C.\sqrt{x + 2} es un número real cuando x = -2.
D.\dfrac{x}{x + 2} no está definida cuando x = 0.
Pista
Prueba cada enunciado con los números dados. Un cero dentro de una raíz y un cero arriba en una fracción merecen que los mires con cuidado.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadora
Which value of x makes the expression below a real number?
\frac{\sqrt{x + 5}}{x - 1}
Pista
Two things must be true: the number under the root cannot be negative, and the denominator cannot be zero. Test each choice.
Solución paso a paso
The expression is real only if both conditions hold: x + 5 \ge 0 (root) andx - 1 \ne 0 (denominator).
x = -10: radicand -10 + 5 = -5 → \sqrt{-5} not real ✗.
x = -6: radicand -6 + 5 = -1 → \sqrt{-1} not real ✗.
x = -5: radicand 0, so \sqrt{0} = 0; denominator -5 - 1 = -6. Value \dfrac{0}{-6} = 0 → real ✓.
x = 1: radicand 6 is fine, but denominator 1 - 1 = 0 → undefined ✗.
Answer: x = -5
Check:\dfrac{\sqrt{-5 + 5}}{-5 - 1} = \dfrac{0}{-6} = 0, a real number ✓.
Tip: When an expression has both a root and a fraction, check both rules for each value. And remember that a zero under the root, or a zero on top of the fraction, is perfectly fine.
Explicación
La expresión es real solo si se cumplen ambas condiciones: x + 5 \ge 0 (raíz) yx - 1 \ne 0 (denominador).
x = -10: radicando -10 + 5 = -5 → \sqrt{-5} no es real ✗.
x = -6: radicando -6 + 5 = -1 → \sqrt{-1} no es real ✗.
x = -5: radicando 0, así que \sqrt{0} = 0; denominador -5 - 1 = -6. Valor \dfrac{0}{-6} = 0 → es real ✓.
x = 1: el radicando 6 está bien, pero el denominador es 1 - 1 = 0 → no está definida ✗.
Respuesta: x = -5
Comprobación:\dfrac{\sqrt{-5 + 5}}{-5 - 1} = \dfrac{0}{-6} = 0, un número real ✓.
Consejo: Cuando una expresión tiene una raíz y una fracción, revisa ambas reglas para cada valor. Y recuerda que un cero dentro de la raíz, o un cero arriba en la fracción, no causa ningún problema.
Ver en español
Pregunta
¿Qué valor de x hace que la siguiente expresión sea un número real?
\frac{\sqrt{x + 5}}{x - 1}
Opciones
A.x = -10
B.x = -5
C.x = -6
D.x = 1
Pista
Se deben cumplir dos cosas: el número dentro de la raíz no puede ser negativo y el denominador no puede ser cero. Prueba cada opción.
Pregunta 24 de 36
Sin calculadoraCompletar
For what value of x is the expression below undefined?
\frac{x + 1}{x^2 - 6x + 9}
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Factor the denominator. Can you write it as something squared?
Solución paso a paso
Set the denominator equal to 0: x^2 - 6x + 9 = 0.
Factor: we need two numbers that multiply to 9 and add to -6: -3 and -3. So x^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2.
(x - 3)^2 = 0 only when x - 3 = 0, so x = 3.
Answer: x = 3
Check:3^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 ✓. Also, x = -3 does not work: 9 + 18 + 9 = 36 \ne 0.
Tip: A perfect-square denominator like (x - 3)^2 has only one excluded value. Setting the numerator x + 1 to zero (x = -1) is a trap — the numerator never makes a fraction undefined.
Explicación
Iguala el denominador a 0: x^2 - 6x + 9 = 0.
Factoriza: necesitamos dos números que multiplicados den 9 y sumados den -6: -3 y -3. Entonces x^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2.
(x - 3)^2 = 0 solo cuando x - 3 = 0, así que x = 3.
Consejo: Un denominador que es un cuadrado perfecto, como (x - 3)^2, tiene solo un valor excluido. Igualar a cero el numerador x + 1 (x = -1) es una trampa: el numerador nunca hace que una fracción no esté definida.
Ver en español
Pregunta
¿Para qué valor de x no está definida la siguiente expresión?
\frac{x + 1}{x^2 - 6x + 9}
x = _____
Pista
Factoriza el denominador. ¿Puedes escribirlo como algo al cuadrado?
Pregunta 25 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Some expressions work for any input at all. Choose all expressions below that give a real number no matter which real number replaces x.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For each one, ask: can any x make the denominator 0, or make the number under an even root negative? Remember that a square is never negative.
Solución paso a paso
Check each expression for a value of x that breaks it.
\dfrac{1}{x^2 + 9}: x^2 \ge 0, so x^2 + 9 \ge 9 — never 0. Always defined.
\dfrac{1}{x^2 - 9}: x = 3 or x = -3 makes the denominator 0. Not always defined.
\sqrt{x}: x = -4 gives \sqrt{-4}, not real. Not always defined.
\dfrac{5}{(x - 1)^2}: at x = 1 the denominator is 0^2 = 0. Not always defined.
\sqrt[3]{x - 7}: cube roots accept any number, positive, zero or negative. Always defined.
Answer:\dfrac{1}{x^2 + 9}, \sqrt{x^2 + 1}, and \sqrt[3]{x - 7}.
Check: Try x = -3 in each chosen one: \tfrac{1}{18}, \sqrt{10}, \sqrt[3]{-10} \approx -2.15 — all real ✓.
Tip: "x^2 plus a positive number" can never be 0 or negative. "x^2 minus a number" usually can be 0. A square in the denominator, like (x - 1)^2, is still 0 when x = 1.
Explicación
Revisa cada expresión en busca de un valor de x que la haga fallar.
\dfrac{1}{x^2 + 9}: x^2 \ge 0, así que x^2 + 9 \ge 9 — nunca es 0. Siempre está definida.
\dfrac{1}{x^2 - 9}: x = 3 o x = -3 hace que el denominador sea 0. No siempre está definida.
\sqrt{x^2 + 1}: x^2 + 1 \ge 1 — nunca es negativo. Siempre está definida.
\sqrt{x}: x = -4 da \sqrt{-4}, que no es real. No siempre está definida.
\dfrac{5}{(x - 1)^2}: con x = 1, el denominador es 0^2 = 0. No siempre está definida.
\sqrt[3]{x - 7}: las raíces cúbicas aceptan cualquier número, positivo, cero o negativo. Siempre está definida.
Respuesta:\dfrac{1}{x^2 + 9}, \sqrt{x^2 + 1} y \sqrt[3]{x - 7}.
Comprobación: prueba x = -3 en cada una de las elegidas: \tfrac{1}{18}, \sqrt{10}, \sqrt[3]{-10} \approx -2.15 — todas son reales ✓.
Consejo: “x^2 más un número positivo” nunca puede ser 0 ni negativo. “x^2 menos un número” por lo general sí puede ser 0. Un cuadrado en el denominador, como (x - 1)^2, sigue siendo 0 cuando x = 1.
Ver en español
Pregunta
Algunas expresiones funcionan con cualquier entrada. Elige todas las expresiones de abajo que dan un número real sin importar qué número real reemplace a x.
Opciones
A.\dfrac{1}{x^2 + 9}
B.\dfrac{1}{x^2 - 9}
C.\sqrt{x^2 + 1}
D.\sqrt{x}
E.\dfrac{5}{(x - 1)^2}
F.\sqrt[3]{x - 7}
Pista
Para cada una, pregúntate: ¿puede algún x hacer que el denominador sea 0, o que el número dentro de una raíz par sea negativo? Recuerda que un cuadrado nunca es negativo.
Pregunta 26 de 36
Sin calculadora
Tomás tests four inputs in the expression below. Which input makes it break down (undefined)?
\frac{x - 4}{\sqrt{x - 2}}
Pista
Substitute each choice. Check the number under the root AND whether the whole denominator becomes 0.
Solución paso a paso
The expression needs two things: x - 2 \ge 0 (the root is real) and\sqrt{x - 2} \ne 0 (the denominator is not 0). Together: x - 2 > 0, so x > 2.
Test each choice:
x = 2: denominator \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0, so we get \dfrac{-2}{0} → undefined.
x = 6: \dfrac{2}{\sqrt{4}} = \dfrac{2}{2} = 1 → defined.
Answer: x = 2
Check:\sqrt{0} = 0 is a real number, but putting it in the denominator gives division by zero ✓.
Tip:\sqrt{0} is usually harmless — but not when it is the whole denominator. When a root sits in a denominator, the radicand must be strictly greater than 0.
Explicación
La expresión necesita dos cosas: x - 2 \ge 0 (que la raíz sea real) y\sqrt{x - 2} \ne 0 (que el denominador no sea 0). Juntas: x - 2 > 0, así que x > 2.
Prueba cada opción:
x = 2: denominador \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0, así que obtenemos \dfrac{-2}{0} → no definida.
x = 6: \dfrac{2}{\sqrt{4}} = \dfrac{2}{2} = 1 → definida.
Respuesta: x = 2
Comprobación:\sqrt{0} = 0 es un número real, pero ponerlo en el denominador da una división entre cero ✓.
Consejo:\sqrt{0} por lo general es inofensivo — pero no cuando es todo el denominador. Cuando una raíz está en un denominador, el radicando tiene que ser estrictamente mayor que 0.
Ver en español
Pregunta
Tomás prueba cuatro entradas en la siguiente expresión. ¿Qué entrada hace que deje de funcionar (no esté definida)?
\frac{x - 4}{\sqrt{x - 2}}
Opciones
A.x = 2
B.x = 3
C.x = 4
D.x = 6
Pista
Sustituye cada opción. Revisa el número dentro de la raíz Y si todo el denominador se vuelve 0.
Pregunta 27 de 36
Sin calculadoraCompletar
What is the smallest integer value of x for which the expression below is a real number?
\frac{5}{\sqrt{x - 4}}
x =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The number under the root cannot be negative — and because the root is in the denominator, it cannot be 0 either.
Solución paso a paso
The root must be real: x - 4 \ge 0, so x \ge 4.
The denominator cannot be 0: \sqrt{x - 4} \ne 0, so x \ne 4.
Together: x > 4.
The smallest integer greater than 4 is 5.
Answer: x = 5
Check:x = 5: \dfrac{5}{\sqrt{1}} = 5 — real ✓. x = 4: \dfrac{5}{\sqrt{0}} = \dfrac{5}{0} — undefined ✓. x = 3: \sqrt{-1} — not real ✓.
Tip: Two rules, two conditions. A root in the numerator allows radicand = 0; a root in the denominator does not. Answering 4 means only one rule was checked.
Explicación
La raíz tiene que ser real: x - 4 \ge 0, así que x \ge 4.
El denominador no puede ser 0: \sqrt{x - 4} \ne 0, así que x \ne 4.
Juntas: x > 4.
El menor entero mayor que 4 es 5.
Respuesta: x = 5
Comprobación:x = 5: \dfrac{5}{\sqrt{1}} = 5 — es real ✓. x = 4: \dfrac{5}{\sqrt{0}} = \dfrac{5}{0} — no definida ✓. x = 3: \sqrt{-1} — no es real ✓.
Consejo: dos reglas, dos condiciones. Una raíz en el numerador permite que el radicando sea 0; una raíz en el denominador no lo permite. Responder 4 significa que solo revisaste una regla.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el menor valor entero de x para el cual la siguiente expresión es un número real?
\frac{5}{\sqrt{x - 4}}
x = _____
Pista
El número dentro de la raíz no puede ser negativo, y como la raíz está en el denominador, tampoco puede ser 0.
Pregunta 28 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the correct answer from each drop-down menu.
The slope of the line through (-2, 5) and (-2, -1) is .
The slope of the line through (3, 4) and (-1, 4) is .
An equation of the line through (-2, 5) and (-2, -1) is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Compute rise over run for each pair. Notice which coordinate stays the same.
Solución paso a paso
First line:(-2, 5) and (-2, -1).
Slope = \dfrac{-1 - 5}{-2 - (-2)} = \dfrac{-6}{0} → undefined. The x-values match, so the line is vertical.
Second line:(3, 4) and (-1, 4).
2. Slope = \dfrac{4 - 4}{-1 - 3} = \dfrac{0}{-4} = 0. The y-values match, so the line is horizontal.
Equation of the first line:
3. Every point on a vertical line has the same x-value, here -2. So the equation is x = -2.
Answer: undefined; 0; x = -2.
Check:(-2, 5) and (-2, -1) both satisfy x = -2 ✓; \tfrac{0}{-4} = 0 because zero on top is fine ✓.
Tip: Same x → vertical → slope undefined → equation x = \text{number}. Same y → horizontal → slope 0 → equation y = \text{number}.
Explicación
Primera recta:(-2, 5) y (-2, -1).
Pendiente = \dfrac{-1 - 5}{-2 - (-2)} = \dfrac{-6}{0} → no definida. Los valores de x son iguales, así que la recta es vertical.
Segunda recta:(3, 4) y (-1, 4).
2. Pendiente = \dfrac{4 - 4}{-1 - 3} = \dfrac{0}{-4} = 0. Los valores de y son iguales, así que la recta es horizontal.
Ecuación de la primera recta:
3. Todos los puntos de una recta vertical tienen el mismo valor de x, aquí -2. Así que la ecuación es x = -2.
Respuesta: no definida; 0; x = -2.
Comprobación:(-2, 5) y (-2, -1) cumplen los dos x = -2 ✓; \tfrac{0}{-4} = 0 porque un cero arriba no es problema ✓.
Consejo: misma x → vertical → pendiente no definida → ecuación x = \text{número}. Misma y → horizontal → pendiente 0 → ecuación y = \text{número}.
Ver en español
Pregunta
Selecciona la respuesta correcta de cada menú desplegable.
La pendiente de la recta que pasa por (-2, 5) y (-2, -1) es _____.
La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-1, 4) es _____.
Una ecuación de la recta que pasa por (-2, 5) y (-2, -1) es _____.
Opciones
no definida
0
-6
0
no definida
-4
x = -2
y = -2
y = 5
Pista
Calcula el cambio vertical entre el cambio horizontal para cada par. Fíjate qué coordenada se mantiene igual.
Pregunta 29 de 36
Sin calculadora
Marco wants to find all values of x for which \dfrac{x - 6}{x^2 - 36} is undefined. His work is below.
Step 1: Set the denominator equal to 0: x^2 - 36 = 0
Step 2: Add 36 to both sides: x^2 = 36
Step 3: Take the square root: x = 6
Step 4: The expression is undefined only when x = 6.
In which step does Marco make his first error?
Pista
Check each step on its own. How many numbers have a square of 36?
Solución paso a paso
Step 1 is correct: undefined means the denominator is 0.
Step 3 is the first error: x^2 = 36 has two solutions, x = 6 and x = -6, because (-6)^2 = 36 too.
Step 4 is wrong only because it repeats the mistake from Step 3. The correct conclusion: the expression is undefined at x = 6andx = -6.
Answer: Step 3
Check:(-6)^2 - 36 = 36 - 36 = 0, so x = -6 also makes the denominator 0 ✓.
Tip: In "find the error" questions, test each step by itself and stop at the first wrong one. With x^2 = k (positive k), always write x = \pm\sqrt{k}.
Explicación
El Paso 1 es correcto: “no definida” significa que el denominador es 0.
El Paso 2 es correcto: x^2 - 36 + 36 = 0 + 36 da x^2 = 36.
El Paso 3 es el primer error: x^2 = 36 tiene dos soluciones, x = 6 y x = -6, porque (-6)^2 = 36 también.
El Paso 4 está mal solo porque repite el error del Paso 3. La conclusión correcta: la expresión no está definida en x = 6y en x = -6.
Respuesta: Paso 3
Comprobación:(-6)^2 - 36 = 36 - 36 = 0, así que x = -6 también hace que el denominador sea 0 ✓.
Consejo: en las preguntas de “halla el error”, revisa cada paso por separado y detente en el primero que esté mal. Con x^2 = k (k positivo), escribe siempre x = \pm\sqrt{k}.
Ver en español
Pregunta
Marco quiere hallar todos los valores de x para los cuales \dfrac{x - 6}{x^2 - 36} no está definida. Su trabajo está abajo.
Paso 1: Igualar el denominador a 0: x^2 - 36 = 0
Paso 2: Sumar 36 a ambos lados: x^2 = 36
Paso 3: Sacar la raíz cuadrada: x = 6
Paso 4: La expresión no está definida solo cuando x = 6.
¿En qué paso comete Marco su primer error?
Opciones
A. Paso 1
B. Paso 3
C. Paso 2
D. Paso 4
Pista
Revisa cada paso por separado. ¿Cuántos números tienen un cuadrado igual a 36?
Pregunta 30 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Drag the correct set of x-values into each box to show where each expression is not a real number. One set is not used.
\sqrt{x - 3}
\sqrt{3 - x}
\sqrt{x + 3}
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
For each expression, write radicand < 0 and solve. Watch out when the x-term is negative.
Solución paso a paso
A square root is not real when its radicand is negative.
\sqrt{x - 3}: x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3.
\sqrt{3 - x}: 3 - x < 0 \Rightarrow -x < -3 \Rightarrow x > 3 (dividing by -1 flips the sign).
\sqrt{x + 3}: x + 3 < 0 \Rightarrow x < -3.
The set x > -3 is not used.
Answer:\sqrt{x - 3} → x < 3; \sqrt{3 - x} → x > 3; \sqrt{x + 3} → x < -3.
Check: Test one value in each: x = 0 gives \sqrt{-3} ✓ (not real, and 0 < 3); x = 4 gives \sqrt{3 - 4} = \sqrt{-1} ✓ (and 4 > 3); x = -4 gives \sqrt{-1} ✓ (and -4 < -3).
Tip: When the x-term is subtracted (3 - x), the "bad" values are the large ones. Testing one number is the fastest way to confirm the direction.
Explicación
Una raíz cuadrada no es real cuando su radicando es negativo.
\sqrt{x - 3}: x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3.
\sqrt{3 - x}: 3 - x < 0 \Rightarrow -x < -3 \Rightarrow x > 3 (dividir entre -1 invierte el signo).
\sqrt{x + 3}: x + 3 < 0 \Rightarrow x < -3.
El conjunto x > -3 no se usa.
Respuesta:\sqrt{x - 3} → x < 3; \sqrt{3 - x} → x > 3; \sqrt{x + 3} → x < -3.
Comprobación: prueba un valor en cada una: x = 0 da \sqrt{-3} ✓ (no es real, y 0 < 3); x = 4 da \sqrt{3 - 4} = \sqrt{-1} ✓ (y 4 > 3); x = -4 da \sqrt{-1} ✓ (y -4 < -3).
Consejo: cuando el término con x se resta (3 - x), los valores “malos” son los grandes. Probar un número es la manera más rápida de confirmar la dirección.
Ver en español
Pregunta
Arrastra el conjunto correcto de valores de x a cada casilla para mostrar dónde cada expresión no es un número real. Un conjunto no se usa.
\sqrt{x - 3}
\sqrt{3 - x}
\sqrt{x + 3}
_____
_____
_____
Opciones
x < 3
x > 3
x < -3
x > -3
Pista
Para cada expresión, escribe radicando < 0 y resuelve. Ten cuidado cuando el término con x es negativo.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Let x = -2. Drag each expression into the box that describes its value.
Undefined: division by zero
Not real: even root of a negative
A real number
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Substitute x = -2 into each expression. Check the denominator, then the number under the root, and note which kind of root it is.
Solución paso a paso
Substitute x = -2 into each expression.
\dfrac{x + 2}{x^2 - 4}: denominator (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0. (The numerator is also 0, but a zero denominator makes it undefined anyway.) → Undefined: division by zero.
\sqrt{x^2 - 8}: radicand (-2)^2 - 8 = 4 - 8 = -4, so \sqrt{-4}. → Not real: even root of a negative.
\sqrt[3]{4x}: \sqrt[3]{4(-2)} = \sqrt[3]{-8} = -2. → A real number (odd roots of negatives are fine).
Answer:\dfrac{x + 2}{x^2 - 4} → division by zero; \sqrt{x^2 - 8} → even root of a negative; \sqrt[3]{4x} → real number.
Tip: Squaring -2 gives +4 — a common slip is writing (-2)^2 = -4, which would make the first denominator -8 and hide the problem. Substitute with parentheses.
Explicación
Sustituye x = -2 en cada expresión.
\dfrac{x + 2}{x^2 - 4}: denominador (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0. (El numerador también es 0, pero un denominador igual a cero hace que no esté definida de todos modos). → No definida: división entre cero.
\sqrt{x^2 - 8}: radicando (-2)^2 - 8 = 4 - 8 = -4, así que queda \sqrt{-4}. → No real: raíz par de un negativo.
\sqrt[3]{4x}: \sqrt[3]{4(-2)} = \sqrt[3]{-8} = -2. → Un número real (las raíces impares de negativos no causan problema).
Respuesta:\dfrac{x + 2}{x^2 - 4} → división entre cero; \sqrt{x^2 - 8} → raíz par de un negativo; \sqrt[3]{4x} → número real.
Comprobación:(-2)^3 = -8, lo que confirma que \sqrt[3]{-8} = -2 ✓; 4 - 4 = 0 ✓; 4 - 8 = -4 ✓.
Consejo: Elevar -2 al cuadrado da +4. Un error común es escribir (-2)^2 = -4, lo que haría que el primer denominador fuera -8 y escondería el problema. Sustituye usando paréntesis.
Ver en español
Pregunta
Sea x = -2. Arrastra cada expresión a la casilla que describe su valor.
No definida: división entre cero
No real: raíz par de un negativo
Un número real
_____
_____
_____
Opciones
\dfrac{x + 2}{x^2 - 4}
\sqrt{x^2 - 8}
\sqrt[3]{4x}
Pista
Sustituye x = -2 en cada expresión. Revisa el denominador, luego el número dentro de la raíz, y fíjate qué tipo de raíz es.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadoraCompletar
Let x = 4. How many of the six expressions below are undefined (division by zero or an even root of a negative number)?
Check: The two real ones are -2 (since (-2)^3 = -8) and 0 ✓; the other four each have a zero denominator or a negative under a square root ✓.
Tip: Be systematic: write the substituted value for every expression before counting. Traps here are the cube root (real) and the zero numerator (real).
Comprobación: las dos reales son -2 (porque (-2)^3 = -8) y 0 ✓; cada una de las otras cuatro tiene un denominador cero o un negativo dentro de una raíz cuadrada ✓.
Consejo: sé ordenado: escribe el valor sustituido de cada expresión antes de contar. Aquí las trampas son la raíz cúbica (es real) y el numerador cero (es real).
Ver en español
Pregunta
Sea x = 4. ¿Cuántas de las seis expresiones de abajo no están definidas (división entre cero o raíz par de un número negativo)?
Sustituye 4 en cada expresión con cuidado. Eleva al cuadrado antes de restar, y recuerda qué raíces aceptan negativos.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
A hose fills a pool at 12 gallons per minute, while a leak drains water at r gallons per minute. The time, in minutes, to fill the pool is
T = \frac{V}{12 - r}
where V is the pool's volume in gallons. For what value of r is the formula undefined, and what does that mean?
Pista
Find the r that makes the denominator zero. Then think: if the leak drains exactly as fast as the hose fills, what happens to the water level?
Solución paso a paso
The formula is undefined when the denominator is 0: 12 - r = 0, so r = 12.
Meaning: when r = 12, water drains out at 12 gallons per minute while the hose adds 12 gallons per minute. The net fill rate is 12 - 12 = 0 gallons per minute.
At a net rate of 0, the water level never rises, so the pool never fills. No finite time works, which matches \tfrac{V}{0} having no value.
(For comparison: r = 0 means no leak, and T = \tfrac{V}{12}, an ordinary time.)
Answer:r = 12; the leak drains as fast as the hose fills, so the pool never fills.
Check: With V = 600 and r = 10: T = \tfrac{600}{2} = 300 min. With r = 11.9: T = \tfrac{600}{0.1} = 6000 min — the time grows huge as r approaches 12 ✓.
Tip: On the GED, an "undefined" value in a real formula usually means a situation that cannot happen or never ends. Explain it with the units of the denominator.
Explicación
La fórmula no está definida cuando el denominador es 0: 12 - r = 0, así que r = 12.
Significado: cuando r = 12, el agua sale a 12 galones por minuto mientras la manguera agrega 12 galones por minuto. La tasa neta de llenado es 12 - 12 = 0 galones por minuto.
Con una tasa neta de 0, el nivel del agua nunca sube, así que la piscina nunca se llena. Ningún tiempo finito sirve, lo cual coincide con que \tfrac{V}{0} no tiene valor.
(Para comparar: r = 0 significa que no hay fuga, y T = \tfrac{V}{12}, un tiempo común.)
Respuesta:r = 12; la fuga saca agua tan rápido como la manguera la llena, así que la piscina nunca se llena.
Comprobación: con V = 600 y r = 10: T = \tfrac{600}{2} = 300 min. Con r = 11.9: T = \tfrac{600}{0.1} = 6000 min — el tiempo se vuelve enorme a medida que r se acerca a 12 ✓.
Consejo: en el GED®, un valor “no definido” en una fórmula de la vida real por lo general significa una situación que no puede ocurrir o que nunca termina. Explícalo con las unidades del denominador.
Ver en español
Pregunta
Una manguera llena una piscina a 12 galones por minuto, mientras que una fuga saca agua a r galones por minuto. El tiempo, en minutos, para llenar la piscina es
T = \frac{V}{12 - r}
donde V es el volumen de la piscina en galones. ¿Para qué valor de r la fórmula no está definida, y qué significa eso?
Opciones
A.r = 0; sin fuga, la piscina se llena al instante.
B.r = 12; la piscina se llena al instante.
C.r = -12; la fuga agrega agua.
D.r = 12; la fuga saca agua tan rápido como la manguera la llena, así que la piscina nunca se llena.
Pista
Halla el r que hace que el denominador sea cero. Luego piensa: si la fuga saca agua exactamente tan rápido como la manguera la llena, ¿qué pasa con el nivel del agua?
Pregunta 34 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
Each listed value of x is plugged into the expression below. Choose all inputs that produce a real-number output.
\frac{\sqrt{6 - x}}{x^2 - 4}
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Two conditions: the number under the root must not be negative, and the denominator must not be 0. Test each value against both.
Solución paso a paso
Conditions: 6 - x \ge 0 (so x \le 6) andx^2 - 4 \ne 0 (so x \ne 2 and x \ne -2).
x = -3: \dfrac{\sqrt{9}}{9 - 4} = \dfrac{3}{5} → real.
Check: Each chosen value passes both tests; each rejected value fails exactly one ✓.
Tip: With two rules, make a mini checklist for every value: root OK? denominator OK? A value must pass both. Here \sqrt{0} is in the numerator, so x = 6 is fine.
Explicación
Condiciones: 6 - x \ge 0 (así que x \le 6) yx^2 - 4 \ne 0 (así que x \ne 2 y x \ne -2).
x = -3: \dfrac{\sqrt{9}}{9 - 4} = \dfrac{3}{5} → es real.
x = -2: denominador 4 - 4 = 0 → no definida.
x = 0: \dfrac{\sqrt{6}}{-4} \approx -0.61 → es real.
x = 2: denominador 4 - 4 = 0 → no definida.
x = 6: \dfrac{\sqrt{0}}{36 - 4} = \dfrac{0}{32} = 0 → es real.
x = 7: \sqrt{6 - 7} = \sqrt{-1} → no es real.
Respuesta:x = -3, x = 0, x = 6.
Comprobación: cada valor elegido pasa las dos pruebas; cada valor descartado falla exactamente una ✓.
Consejo: con dos reglas, haz una pequeña lista de control para cada valor: ¿la raíz está bien? ¿el denominador está bien? Un valor tiene que pasar las dos. Aquí \sqrt{0} está en el numerador, así que x = 6 sirve.
Ver en español
Pregunta
Cada valor de x de la lista se sustituye en la siguiente expresión. Elige todas las entradas que producen como resultado un número real.
\frac{\sqrt{6 - x}}{x^2 - 4}
Opciones
A.x = -3
B.x = -2
C.x = 0
D.x = 2
E.x = 6
F.x = 7
Pista
Dos condiciones: el número dentro de la raíz no debe ser negativo y el denominador no debe ser 0. Prueba cada valor con las dos.
Pregunta 35 de 36
Sin calculadoraCompletar
A line passes through the points (2k - 6,\ 1) and (10,\ 9). The slope of the line is undefined. What is the value of k?
k =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
An undefined slope means the run is 0. What must be true about the two x-coordinates?
Solución paso a paso
Slope = \dfrac{9 - 1}{10 - (2k - 6)}. It is undefined when the run (denominator) is 0.
So the x-coordinates must be equal: 2k - 6 = 10.
Add 6 to both sides: 2k = 16.
Divide by 2: k = 8.
Answer: k = 8
Check: With k = 8, the first point is (2 \cdot 8 - 6,\ 1) = (10,\ 1). Slope = \dfrac{9 - 1}{10 - 10} = \dfrac{8}{0} → undefined ✓. The line is vertical: x = 10.
Tip: "Undefined slope" is a clue in disguise: it tells you the two x-values are equal. Setting the y-values equal instead would give a slope of 0 — a different question.
Explicación
Pendiente = \dfrac{9 - 1}{10 - (2k - 6)}. No está definida cuando el cambio horizontal (el denominador) es 0.
Así que las coordenadas x tienen que ser iguales: 2k - 6 = 10.
Suma 6 a ambos lados: 2k = 16.
Divide entre 2: k = 8.
Respuesta: k = 8
Comprobación: con k = 8, el primer punto es (2 \cdot 8 - 6,\ 1) = (10,\ 1). Pendiente = \dfrac{9 - 1}{10 - 10} = \dfrac{8}{0} → no definida ✓. La recta es vertical: x = 10.
Consejo: “pendiente no definida” es una pista disfrazada: te dice que los dos valores de x son iguales. Si igualaras los valores de y, obtendrías una pendiente de 0 — esa es otra pregunta.
Ver en español
Pregunta
Una recta pasa por los puntos (2k - 6,\ 1) y (10,\ 9). La pendiente de la recta no está definida. ¿Cuál es el valor de k?
k = _____
Pista
Una pendiente no definida significa que el cambio horizontal es 0. ¿Qué debe ser cierto sobre las dos coordenadas x?
Pregunta 36 de 36
Sin calculadoraMenú
Select the correct answer from each drop-down menu.
Dana found where \sqrt{8 - 2x} is not a real number:
Step 1:8 - 2x < 0
Step 2:-2x < -8
Step 3:x < 4
Dana's first error is in .
The correct answer is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Check what happens to an inequality sign when you divide both sides by a negative number.
Solución paso a paso
Step 1 is correct: "not real" means the radicand is negative, 8 - 2x < 0.
Step 2 is correct: subtract 8 from both sides, -2x < -8.
Step 3 is wrong: dividing both sides by -2 (a negative number) must flip the inequality. Correct: x > 4.
Answer: the first error is in Step 3; the correct answer is x > 4.
Check: Test x = 5: \sqrt{8 - 10} = \sqrt{-2} → not real ✓ (and 5 > 4). Test x = 0: \sqrt{8} \approx 2.83 → real, so values less than 4 are fine ✓. At x = 4: \sqrt{0} = 0 → real, so 4 is excluded ✓.
Tip: Multiplying or dividing an inequality by a negative number flips the sign. Always test one value to catch a missed flip.
Explicación
El Paso 1 es correcto: “no es real” significa que el radicando es negativo, 8 - 2x < 0.
El Paso 2 es correcto: resta 8 de ambos lados, -2x < -8.
El Paso 3 está mal: al dividir ambos lados entre -2 (un número negativo) hay que invertir la desigualdad. Lo correcto es x > 4.
Respuesta: el primer error está en el Paso 3; la respuesta correcta es x > 4.
Comprobación: prueba x = 5: \sqrt{8 - 10} = \sqrt{-2} → no es real ✓ (y 5 > 4). Prueba x = 0: \sqrt{8} \approx 2.83 → es real, así que los valores menores que 4 están bien ✓. En x = 4: \sqrt{0} = 0 → es real, así que el 4 se excluye ✓.
Consejo: multiplicar o dividir una desigualdad entre un número negativo invierte el signo. Prueba siempre un valor para detectar si olvidaste invertirlo.
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Pregunta
Selecciona la respuesta correcta de cada menú desplegable.
Dana buscó dónde \sqrt{8 - 2x}no es un número real:
Paso 1:8 - 2x < 0
Paso 2:-2x < -8
Paso 3:x < 4
El primer error de Dana está en _____.
La respuesta correcta es _____.
Opciones
el Paso 1
el Paso 2
el Paso 3
ninguno de los pasos
x > 4
x < 4
x \ge 4
x > -4
Pista
Revisa qué le pasa al signo de una desigualdad cuando divides ambos lados entre un número negativo.
