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El teorema de Pitágoras

Usa a² + b² = c² para hallar un lado que falta de un triángulo rectángulo, resolver problemas de la vida real y hallar distancias en una cuadrícula.

Practicar esta destreza 35 min Teorema de Pitágoras Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo. Si conoces dos lados, siempre puedes hallar el tercero. En esta lección vas a:

  • reconocer los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
  • hallar una hipotenusa que falta (sumar los cuadrados) o un cateto que falta (restar los cuadrados),
  • resolver problemas verbales con escaleras, rampas, pantallas de TV, techos y atajos a pie,
  • hallar la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de coordenadas, y
  • comprobar si tres longitudes forman un triángulo rectángulo.

Por qué es importante en el GED®: El teorema de Pitágoras está en la hoja de fórmulas y aparece en casi todos los exámenes de Matemáticas del GED®, muchas veces como un problema verbal en el que tú mismo debes dibujar el triángulo. También está escondido dentro de otras preguntas (la inclinación de un techo, la diagonal de un rectángulo, la distancia entre puntos).

En la vida real: los constructores lo usan para hacer esquinas cuadradas y cortar las vigas del techo; te dice hasta qué altura llega una escalera y qué tamaño tiene de verdad un televisor de "55 pulgadas".

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Triángulo rectángulo: un triángulo con una esquina de 90^\circ (cuadrada), marcada con un cuadradito.
  • Catetos (a y b): los dos lados que forman el ángulo recto (el piso y la pared debajo de una escalera).
  • Hipotenusa (c): el lado opuesto al ángulo recto; siempre es el lado más largo (la escalera misma).
  • Cuadrado de un número: el número multiplicado por sí mismo: 7^2 = 49.
  • Raíz cuadrada (\sqrt{\ }): el número que, elevado al cuadrado, te devuelve el número original: \sqrt{49} = 7.
  • Cuadrado perfecto: un número entero cuya raíz cuadrada es entera: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
  • Terna pitagórica: tres números enteros que cumplen a^2 + b^2 = c^2 (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25).
  • Diagonal: un segmento que une esquinas opuestas de un rectángulo; divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos.
  • Cuadrícula de coordenadas: el plano x-y donde los puntos se escriben (x, y).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Right triangle: the two sides that form the right angle are leg a and leg b; the longest side, across from the right angle, is the hypotenuse c leg b leg a hypotenuse c

La hipotenusa c siempre está enfrente del cuadradito que marca el ángulo recto. Los dos catetos (legs) forman la esquina cuadrada.

El teorema y cómo hallar la hipotenusa

En todo triángulo rectángulo,

a^2 + b^2 = c^2

"El cuadrado de un cateto más el cuadrado del otro cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa."

Cómo hallar la hipotenusa (se conocen los dos catetos): eleva al cuadrado, suma y saca la raíz cuadrada.

  • Catetos de 6 y 8: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, así que c = \sqrt{100} = 10.
A right triangle with legs 6 and 8 and hypotenuse 10, with a square drawn on each side. The green square on the 6 leg has area 36, the blue square on the 8 leg has area 64, and the red square on the hypotenuse has area 100: 36 + 64 = 100. 8² = 64 6² = 36 10² = 100 8 6 10 36 + 64 = 100, so c = √100 = 10
Triángulo rectángulo de 6-8-10 con cuadrados de área 36, 64 y 100 sobre sus lados
  • Catetos de 48 y 27 (una pantalla de TV): c^2 = 2304 + 729 = 3033, así que c = \sqrt{3033} \approx 55.1.

Si el número dentro de la raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, usa la calculadora y redondea como lo pida la pregunta.

¿Por qué no simplemente sumar los catetos? Porque el atajo que cruza una esquina siempre es más corto que ir por los dos lados. 6 + 8 = 14, pero la hipotenusa mide solo 10. La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos, pero más corta que los dos catetos sumados; es una comprobación rápida para cada respuesta.

Cómo hallar un cateto que falta

Si conoces la hipotenusa y un cateto, el lado que falta es un cateto. Pon los números en la fórmula con cuidado: la hipotenusa siempre va sola en el lado derecho:

a^2 + b^2 = c^2 \quad\Rightarrow\quad a^2 = c^2 - b^2

Eleva al cuadrado, resta y saca la raíz cuadrada.

  • Hipotenusa de 13, cateto de 5: a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144, así que a = 12.
  • Escalera de 20 ft, con la base a 6 ft de la pared: h^2 = 20^2 - 6^2 = 400 - 36 = 364, así que h = \sqrt{364} \approx 19.1 ft.
A 20 ft ladder leaning against a wall with its base 6 ft from the wall. The wall and ground form the right angle; the ladder is the hypotenuse. The height h = √(400 − 36) = √364 ≈ 19.1 ft. h = ? 6 ft ladder 20 ft wall h² = 20² − 6² = 364, h = √364 ≈ 19.1 ft
Escalera de 20 ft apoyada en una pared con la base a 6 ft

Cómo saber cuál caso tienes: busca el lado opuesto al ángulo recto. Si ese lado es el desconocido, suma los cuadrados. Si es conocido, resta.

Las ternas pitagóricas ahorran tiempo. Aprende 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25. Los múltiplos también funcionan: 6-8-10, 9-12-15, 15-20-25, 30-40-50. Si ves catetos de 9 y 12, puedes predecir que la hipotenusa es 15.

Problemas verbales y la cuadrícula de coordenadas

Problemas verbales: dibuja el triángulo. Busca un ángulo recto en la historia: una pared que se une con el suelo, el norte que se une con el este, la esquina de un rectángulo.

  • Escalera: la pared y el suelo son los catetos; la escalera es la hipotenusa.
  • Caminar/manejar hacia el norte y luego hacia el este: las dos direcciones son los catetos; la distancia en línea recta de regreso es la hipotenusa. Si hay varios movimientos, primero combina todos los movimientos este–oeste y todos los movimientos norte–sur.
  • Rectángulos (pantallas, portones, campos): el largo y el ancho son los catetos; la diagonal es la hipotenusa. Un "televisor de 55 pulgadas" mide 55 in en diagonal.
  • Techo o triángulo isósceles: la altura divide la base a la mitad. Usa la mitad de la base como cateto.

Distancia entre dos puntos en una cuadrícula. Forma un triángulo rectángulo:

  1. Cateto horizontal: la diferencia de los valores de x.
  2. Cateto vertical: la diferencia de los valores de y.
  3. Usa a^2 + b^2 = c^2.
  • De (-3, -2) a (3, 6): horizontal 3 - (-3) = 6; vertical 6 - (-2) = 8; distancia = \sqrt{36 + 64} = 10.
Coordinate grid with points (−3, −2) and (3, 6). A right triangle is drawn: the horizontal leg is 3 − (−3) = 6, the vertical leg is 6 − (−2) = 8, and the distance between the points is the hypotenuse, √(36 + 64) = 10. x y -4 -2 2 4 2 4 (−3, −2) (3, 6) 6 8 10 distance = √(6² + 8²) = √100 = 10
Triángulo rectángulo en la cuadrícula de (−3, −2) a (3, 6) con catetos de 6 y 8

Cuidado con los signos: restar un número negativo es sumar. Cuenta los cuadros de la cuadrícula para comprobar.

¿Es un triángulo rectángulo? Prueba las longitudes: si (el más corto)² + (el del medio)² = (el más largo)², es un triángulo rectángulo. 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 ✓. 4, 5, 6: 16 + 25 = 41 \ne 36 ✗.

Fórmula

Fórmula (en la hoja de fórmulas del GED®)

a^2 + b^2 = c^2 c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}
  • a, b = los catetos (los dos lados que forman el ángulo recto).
  • c = la hipotenusa (opuesta al ángulo recto; el lado más largo).

En la hoja de fórmulas del GED®: sí, a^2 + b^2 = c^2 está impresa en la hoja. La hoja no te dice cuál lado es c (debes buscar el lado opuesto al ángulo recto) y no da una fórmula aparte para la distancia; en el GED® formas un triángulo rectángulo en la cuadrícula.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): hipotenusa que falta

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

A right triangle with legs 5 cm and 12 cm drawn to scale. The hypotenuse c, across from the right angle, is unknown. 12 cm 5 cm c = ?
Triángulo rectángulo con catetos de 5 cm y 12 cm
  1. c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.
  2. c = \sqrt{169} = 13.

Respuesta: 13 cm

Comprobación: 13 es más largo que 12 pero más corto que 5 + 12 = 17 ✓ (y 5-12-13 es una terna conocida).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (fácil): cateto que falta

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 in y un cateto de 6 in. Halla el otro cateto.

A right triangle with hypotenuse 10 in and one leg 6 in. The other leg b is unknown. b = ? 6 in 10 in (hypotenuse)
Triángulo rectángulo con hipotenusa de 10 in y cateto de 6 in
  1. Se conoce la hipotenusa, así que resta: b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64.
  2. b = \sqrt{64} = 8.

Respuesta: 8 in

Comprobación: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): ¿hasta qué altura llega la escalera?

Una escalera de 16 ft está apoyada contra una casa con su base a 5 ft de la pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega, redondeando a la décima de pie más cercana?

A 16 ft ladder leaning against a house with its base 5 ft from the wall. The ladder is the hypotenuse and the ground distance is a leg; the height h up the wall is unknown. h = ? 5 ft ladder 16 ft wall
Escalera de 16 ft con la base a 5 ft de la pared
  1. La escalera es la hipotenusa (c = 16); la distancia en el suelo es un cateto (b = 5); la altura h es el otro cateto.
  2. h^2 = 16^2 - 5^2 = 256 - 25 = 231.
  3. h = \sqrt{231} \approx 15.199 \approx 15.2.

Respuesta: aproximadamente 15.2 ft

Comprobación: 15.2^2 + 5^2 = 231.04 + 25 = 256.04 \approx 256 = 16^2 ✓, y 15.2 < 16, como debe ser para un cateto ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (cuadrícula): distancia entre dos puntos

Halla la distancia entre P(-2, 1) y Q(3, -3), redondeando a la décima más cercana.

Coordinate grid with P(−2, 1) and Q(3, −3). A right triangle has a horizontal leg of 5 and a vertical leg of 4; the distance d from P to Q is the hypotenuse. x y -4 -2 2 4 -4 -2 2 P(−2, 1) Q(3, −3) 5 4 d = ?
Cuadrícula con P(−2, 1) y Q(3, −3) unidos por un triángulo rectángulo
  1. Cateto horizontal: 3 - (-2) = 5.
  2. Cateto vertical: 1 - (-3) = 4.
  3. d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41.
  4. d = \sqrt{41} \approx 6.4.

Respuesta: aproximadamente 6.4 unidades

Comprobación: la distancia debe ser mayor que el cateto más largo (5) y menor que 5 + 4 = 9 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajar al revés): ¿la esquina está a escuadra?

Una carpintera quiere comprobar que la esquina de una terraza forma un ángulo recto perfecto. Mide 6 ft a lo largo de un borde y 8 ft a lo largo del otro, y luego mide la diagonal entre esas dos marcas: 10 ft 2 in. ¿La esquina está a escuadra? Si no, ¿cuánto debería medir la diagonal?

  1. Si la esquina fuera un ángulo recto, la diagonal sería la hipotenusa: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, así que c = 10 ft exactos.
  2. Su medida es de 10 ft 2 in, que es más que 10 ft.
  3. Una diagonal demasiado larga significa que el ángulo es un poco más abierto que 90^\circ.
A deck corner with marks 6 ft along one edge and 8 ft along the other. For a square (90 degree) corner the blue diagonal between the marks must be exactly 10 ft, because 6² + 8² = 100. The measured diagonal of 10 ft 2 in is too long, so the corner is a little wider than 90 degrees. 8 ft 6 ft diagonal must be 10 ft measured: 10 ft 2 in (too long) → corner is wider than 90° 6² + 8² = 100, so a square corner has diagonal 10 ft
Esquina de una terraza con marcas a 6 ft y 8 ft; una esquina a escuadra necesita una diagonal de 10 ft

Respuesta: No; para que la esquina esté a escuadra, la diagonal debe medir exactamente 10 ft.

Comprobación: 6-8-10 es la terna 3-4-5 multiplicada por dos (3 \times 2, 4 \times 2, 5 \times 2) ✓. Los constructores le llaman la "regla 3-4-5".

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

  • Cuadrados: usa la tecla x²: 16 x² → 256.
  • Raíz cuadrada: oprime 2nd y luego x² para obtener la plantilla √.
  • Hipotenusa en una línea: 2nd x² y luego 48 x² + 27 x² y luego enter. Escribe toda la suma dentro de la raíz. La pantalla puede mostrar una raíz exacta (3\sqrt{337}); oprime toggle → 55.07267925.
  • Cateto que falta en una línea: 2nd x² y luego 20 x² − 6 x² enter, y luego toggle si hace falta → 19.07878403.
  • Coordenadas negativas: usa la tecla (−) para un número negativo, por ejemplo 3 − (−) 2, o simplemente recuerda que restar un negativo es sumar.

Cuándo no usarla: si los números son una terna pitagórica (3-4-5, 5-12-13, 6-8-10…), puedes responder en segundos sin calculadora. Algunas versiones fáciles aparecen en la sección sin calculadora.

Error común

Errores comunes

  • Sumar los catetos en lugar de sus cuadrados. Catetos de 6 y 8: la hipotenusa es \sqrt{36 + 64} = 10, no 6 + 8 = 14.
  • Olvidar la raíz cuadrada. c^2 = 100 significa c = 10. Una respuesta de 100 es c^2, no c.
  • Sumar cuando debes restar. Escalera de 20 ft (hipotenusa), base de 6 ft: la altura es \sqrt{400 - 36} \approx 19.1, no \sqrt{400 + 36} \approx 20.9. Un cateto nunca puede ser más largo que la hipotenusa.
  • Restar las longitudes en lugar de los cuadrados. 20 - 6 = 14 no es la altura; primero debes elevar al cuadrado.
  • Usar la base completa de un triángulo isósceles. La altura corta la base a la mitad: techo de 24 ft de ancho y 5 ft de alto → viga \sqrt{12^2 + 5^2} = 13, no \sqrt{24^2 + 5^2}.
An isosceles roof 24 ft wide and 5 ft tall. The dashed height splits the base into two halves of 12 ft, making right triangles with legs 12 and 5, so each rafter is √(144 + 25) = 13 ft. 12 ft 12 ft 24 ft wide 5 ft rafter 13 ft rafter = √(12² + 5²) = √169 = 13 ft
Techo isósceles de 24 ft de ancho y 5 ft de alto dividido en dos triángulos rectángulos de 12-5-13
  • Errores de signo en la cuadrícula. De x = -3 a x = 3 hay 3 - (-3) = 6 unidades, no 0.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Dibuja y rotula. Haz un dibujo del triángulo rectángulo, marca el ángulo recto y escribe c en el lado opuesto a él.
  • Pregúntate "¿sumo o resto?" Hipotenusa desconocida → suma los cuadrados. Cateto desconocido → resta.
  • Comprueba si es razonable: la hipotenusa es el lado más largo, pero más corta que los dos catetos sumados. Elimina las opciones que no cumplan esto.
  • Busca ternas (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y sus múltiplos) antes de usar la calculadora.
  • Prueba las respuestas: para una opción de 9 con hipotenusa de 15 y cateto de 12, comprueba que 81 + 144 = 225 = 15^2 ✓.
  • Lee la instrucción de redondeo ("a la décima más cercana") y las unidades, y responde exactamente lo que se pregunta (la diferencia, la nueva altura, la distancia total).

Compruébalo

Teorema de PitágorasSin calculadoraZona activa

Click the hypotenuse of the right triangle.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Right triangle with the right angle at the bottom left corner
Pista

Find the small square that marks the right angle. The hypotenuse does not touch that corner.

Ver en español

Pregunta

Haz clic en la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Pista

Busca el cuadradito que marca el ángulo recto. La hipotenusa no toca esa esquina.

Compruébalo

Teorema de PitágorasSin calculadora

Find the length of the hypotenuse c.

Right triangle with legs 6 m (vertical) and 8 m (horizontal); the hypotenuse c is unknown 8 m 6 m c
Right triangle with legs 6 m and 8 m
Opciones de respuesta
Pista

Square each leg, add, and then undo the squaring.

Ver en español

Pregunta

Halla la longitud de la hipotenusa c.

Opciones

  • A. 14 m
  • B. 100 m
  • C. 5.3 m
  • D. 10 m
Pista

Eleva cada cateto al cuadrado, suma y luego deshaz el cuadrado.

Resumen

  • En un triángulo rectángulo, a^2 + b^2 = c^2; c es la hipotenusa, opuesta al ángulo recto (está en la hoja de fórmulas).
  • Hipotenusa que falta: eleva al cuadrado, suma y saca la raíz cuadrada. Cateto que falta: eleva al cuadrado, resta y saca la raíz cuadrada.
  • En los problemas verbales, busca el ángulo recto: pared + suelo, norte + este, largo + ancho de un rectángulo; usa la mitad de la base de un triángulo isósceles.
  • Distancia en la cuadrícula: los catetos son las diferencias en x y en y; luego usa el teorema.
  • Conoce las ternas 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 y sus múltiplos; comprueba que c sea el lado más largo.
Practicar esta destreza →