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Figuras compuestas y regiones sombreadas

Halla el área y el perímetro de figuras formadas por rectángulos, triángulos y círculos sumando y restando piezas simples.

Practicar esta destreza 35 min Figuras compuestas en 2-D Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una figura compuesta es una figura formada al unir figuras simples (un cuarto en forma de L, una pared con forma de casa, una ventana con medio círculo arriba) o al recortar una figura de otra (un césped con un cantero redondo, un cuadro dentro de un marco).

En esta lección aprenderás a:

  • sumar las áreas de piezas que están unidas,
  • restar el área de una pieza que se recorta (un problema de región sombreada),
  • hallar el perímetro de una figura compuesta, solo el borde de afuera, y
  • trabajar al revés para hallar una pieza que falta.

Por qué es importante en el GED®: Las figuras compuestas son una de las formas favoritas de hacer que una pregunta de área sea "de nivel difícil del GED®", porque combinan dos o tres fórmulas de la hoja de fórmulas en un solo problema. Espera por lo menos una, muchas veces con un círculo o un semicírculo.

En la vida real: los cuartos casi nunca son rectángulos perfectos, y casi todos los trabajos de piso, césped o pavimento tienen un recorte (una isla de cocina, un árbol, una piscina).

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Figura compuesta: una figura formada por dos o más figuras simples (una L = dos rectángulos).
  • Descomponer: dividir una figura en figuras simples que sabes medir.
  • Región sombreada: la parte de una figura que está coloreada; por lo general es "figura grande menos la figura sin sombrear".
  • Recorte (hueco): una pieza que se quita de una figura (un hueco cuadrado en una tabla).
  • Semicírculo: la mitad de un círculo; su área es \tfrac{1}{2}\pi r^2 y su borde curvo es \tfrac{1}{2}\pi d.
  • Cuarto de círculo: una cuarta parte de un círculo (una porción con una esquina cuadrada).
  • Borde interior: una línea donde dos piezas se juntan dentro de la figura; no es parte del perímetro.
  • Borde exterior: el borde por el que caminarías para darle la vuelta a toda la figura; este es el perímetro.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Estrategia 1: dividir y sumar

  1. Traza líneas punteadas para dividir la figura en rectángulos, triángulos, círculos o medios círculos.
  2. Halla las longitudes de los lados que faltan. En una L, el lado largo es igual a la suma de los dos lados cortos con los que se alinea. Si el de abajo mide 12 ft y el de arriba mide 7 ft, el escalón de la derecha mide 12 - 7 = 5 ft de ancho.
  3. Halla el área de cada pieza con su propia fórmula.
  4. Suma las piezas.

Ejemplo: cuarto en forma de L: bordes exteriores de 14 ft por 10 ft, con una esquina de 6 ft por 4 ft que falta.

  • Divide con una línea vertical: pieza izquierda 8 \times 10 = 80; pieza derecha 6 \times 6 = 36. (La pieza derecha mide 10 - 4 = 6 ft de alto.)
  • Total: 80 + 36 = 116\text{ ft}^2.

Ejemplo: figura de "casa": un cuadrado de 10 ft con un triángulo encima (base de 10 ft, altura de 4 ft).

  • Cuadrado 10 \times 10 = 100; triángulo \tfrac{1}{2}(10)(4) = 20; total 120\text{ ft}^2.
A house shape: a 10 ft square with a triangle on top whose base is 10 ft and whose dashed height is 4 ft. Square 100 plus triangle ½ × 10 × 4 = 20 gives 120 square feet. 4 ft 10 × 10 = 100 10 ft 10 ft ½(10)(4) = 20 Total = 100 + 20 = 120 ft²
Figura de casa: cuadrado de 10 ft con un triángulo de 4 ft de altura encima

Por lo general hay más de una forma de dividir una figura. Toda división correcta da el mismo total, y esa es una excelente manera de comprobar tu trabajo.

L-shaped figure: left side 9 ft, bottom 12 ft, right side 5 ft, top 7 ft, with a cut-out corner whose edges are 4 ft and 5 ft. A dashed vertical line splits it into rectangle A (left, 7 ft wide and 9 ft tall) and rectangle B (right, 5 ft wide and 5 ft tall) A B 7 ft 4 ft 5 ft 5 ft 12 ft 9 ft

Una L dividida en dos rectángulos. El rectángulo A usa toda la altura de 9 ft; el rectángulo B mide de alto solo lo que mide el escalón de la derecha.

Estrategia 2: figura grande menos el hueco (regiones sombreadas)

Cuando una pieza falta o está sin sombrear, muchas veces lo más fácil es hallar el área de toda la figura exterior y restar el hueco:

A_{\text{sombreada}} = A_{\text{exterior}} - A_{\text{hueco}}
  • La L de la otra manera: el cuarto de 14 por 10 es un rectángulo completo (140) menos la esquina de 6 por 4 (24): 140 - 24 = 116\text{ ft}^2, igual que al dividir ✓.
  • Césped con un cantero: patio de 40 ft por 25 ft, cantero redondo con radio de 5 ft. Césped = 1{,}000 - 3.14(5^2) = 1{,}000 - 78.5 = 921.5\text{ ft}^2.
A 40 ft by 25 ft yard shaded green with a round flower bed of radius 5 ft cut out. Grass area = 1,000 − 3.14 × 25 = 921.5 square feet. 5 flower bed r = 5 ft grass 40 ft 25 ft Grass = 1,000 − 3.14(5²) = 921.5 ft²
Patio de 40 por 25 ft con un cantero redondo de radio 5 ft
  • Círculo dentro de un cuadrado: un círculo que cabe justo dentro de un cuadrado de 10 cm tiene un diámetro de 10, así que r = 5. Las cuatro esquinas tienen un área de 100 - 78.5 = 21.5\text{ cm}^2.
A circle that just fits inside a 10 cm square, so its diameter is 10 and radius 5. The four blue shaded corners outside the circle have area 100 − 78.5 = 21.5 square centimetres. d = 10, r = 5 10 cm 10 cm Corners = 100 − 78.5 = 21.5 cm² (shaded blue)
Círculo dentro de un cuadrado de 10 cm con las esquinas sombreadas
  • Borde (marco o pasillo): un pasillo de 3 ft alrededor de una piscina de 20 ft por 10 ft. El rectángulo exterior mide 20 + 3 + 3 = 26 por 10 + 3 + 3 = 16. Pasillo = 26 \times 16 - 20 \times 10 = 416 - 200 = 216\text{ ft}^2. (Recuerda sumar el ancho en ambos lados.)
A 20 ft by 10 ft pool surrounded by a 3 ft walkway on every side, shaded green. The outer rectangle is 20 + 3 + 3 = 26 ft by 10 + 3 + 3 = 16 ft. Walkway area = 416 − 200 = 216 square feet. pool 20 × 10 20 ft 10 ft 3 3 3 3 26 ft = 20 + 3 + 3 16 ft Walkway = 26 × 16 − 20 × 10 = 416 − 200 = 216 ft²
Piscina de 20 por 10 ft con un pasillo de 3 ft alrededor

¿Varios huecos? Resta cada uno.

Perímetro de una figura compuesta

El perímetro es la distancia alrededor solo por afuera.

  • No incluyas líneas punteadas ni bordes donde se juntan dos piezas; esos están dentro de la figura.
  • En una L, halla cada lado exterior (algunos pueden faltar y debes hallarlos restando) y súmalos todos.
  • Partes curvas: el borde curvo de un semicírculo es media circunferencia: \tfrac{1}{2}\pi d. Dos semicírculos en extremos opuestos de un rectángulo forman juntos un círculo completo: \pi d.

Ejemplo: pista de atletismo: dos lados rectos de 100 m y un semicírculo en cada extremo con diámetro de 60 m.

  • Partes rectas: 100 + 100 = 200 m.
  • Dos semicírculos = un círculo: \pi d = 3.14 \times 60 = 188.4 m.
  • Total: 200 + 188.4 = 388.4 m. Los diámetros de 60 m están dentro de la pista y no se suman.
A running track: two straight sides of 100 m with a semicircle on each end of diameter 60 m. The blue outside edge is the perimeter: 200 m of straights plus one full circle, 3.14 × 60 = 188.4 m, for 388.4 m. The dashed 60 m diameters are inside the shape. 100 m 100 m 60 m 60 m semicircle P = 100 + 100 + π(60) = 200 + 188.4 = 388.4 m (the dashed 60 m diameters are inside, not added)
Pista de atletismo con rectas de 100 m y extremos semicirculares de 60 m

El área y el perímetro usan piezas diferentes. Para el área de una ventana con un semicírculo arriba, sumas el rectángulo y el medio círculo. Para su perímetro, sumas tres lados del rectángulo y el arco curvo; el borde de abajo del semicírculo queda adentro.

Fórmula

Fórmulas que combinas (las básicas están en la hoja de fórmulas del GED®)

A_{\text{rectángulo}} = lw \quad A_{\text{triángulo}} = \tfrac{1}{2}bh \quad A_{\text{círculo}} = \pi r^2 \quad C = \pi d = 2\pi r A_{\text{paralelogramo}} = bh \qquad A_{\text{trapecio}} = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2)

Partes de círculos (no están impresas; dedúcelas de las fórmulas del círculo):

A_{\text{semicírculo}} = \tfrac{1}{2}\pi r^2 \qquad \text{borde curvo de un semicírculo} = \tfrac{1}{2}\pi d
  • l, w = largo y ancho; b, h = base y altura perpendicular; r = radio; d = diámetro.

En la hoja de fórmulas del GED®: todas las fórmulas básicas de área y circunferencia están en la hoja. No hay una fórmula para figuras compuestas; la destreza que se evalúa es elegir las piezas y decidir si hay que sumar o restar.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): un cuarto en forma de L

Un cuarto en forma de L mide 14 ft por 10 ft en sus bordes exteriores, y le falta una esquina de 6 ft por 4 ft. Halla su área.

  1. Rectángulo completo: 14 \times 10 = 140.
  2. Esquina que falta: 6 \times 4 = 24.
  3. Resta: 140 - 24 = 116.
Two copies of an L-shaped room whose outer edges are 14 ft by 10 ft with a 6 ft by 4 ft corner missing at the top right. Left: the whole 14 by 10 rectangle (140) minus the red dashed 6 by 4 corner (24) gives 116 square feet. Right: a dashed vertical line splits it into rectangle A, 8 by 10 = 80, and rectangle B, 6 by 6 = 36; 80 + 36 = 116. 6 × 4 14 ft 10 ft 6 ft 4 ft Subtract: 140 − 24 = 116 ft² A 8 × 10 = 80 B 6 × 6 = 36 8 ft 6 ft 8 ft 10 ft 6 ft Split: 80 + 36 = 116 ft²
Cuarto en forma de L de 14 por 10 ft, calculado restando y dividiendo

Respuesta: 116 ft²

Comprobación: divide en lugar de restar: 8 \times 10 = 80 y 6 \times 6 = 36; 80 + 36 = 116 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (problema verbal): una ventana en arco

Una ventana es un rectángulo de 8 ft de ancho y 5 ft de alto con un semicírculo arriba cuyo diámetro es el ancho de 8 ft. ¿Cuánto vidrio se necesita? Usa \pi \approx 3.14.

  1. Rectángulo: 8 \times 5 = 40 ft².
  2. Semicírculo: diámetro 8, así que r = 4. Medio círculo: \tfrac{1}{2} \times 3.14 \times 4^2 = \tfrac{1}{2} \times 50.24 = 25.12 ft².
  3. Suma: 40 + 25.12 = 65.12.
An arched window: an 8 ft wide, 5 ft tall rectangle with a semicircle on top whose diameter is the 8 ft width (radius 4 ft). Rectangle 40 plus semicircle 25.12 gives 65.12 square feet of glass. r = 4 8 × 5 = 40 25.12 8 ft 5 ft Glass = 40 + ½(3.14)(4²) = 40 + 25.12 = 65.12 ft²
Ventana: rectángulo de 8 por 5 ft con un semicírculo arriba

Respuesta: 65.12 ft² de vidrio

Comprobación: el semicírculo (25.12) es menor que un rectángulo de 8 por 4 (32) que lo contendría ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: el perímetro de la misma ventana

¿Cuánto ribete va alrededor del borde exterior de la ventana del Ejemplo 2?

  1. Bordes exteriores rectos: el de abajo (8 ft) y los dos lados (5 ft cada uno): 8 + 5 + 5 = 18 ft. El borde de arriba del rectángulo está dentro de la ventana, así que no lo cuentes.
  2. Borde curvo: media circunferencia: \tfrac{1}{2} \times 3.14 \times 8 = 12.56 ft.
  3. Suma: 18 + 12.56 = 30.56.
The same arched window with its outer edge drawn thick in blue: bottom 8 ft, two sides 5 ft each, and the curved arc of ½ × 3.14 × 8 = 12.56 ft. The red dashed top of the rectangle is inside the window and is not trim. Total trim 30.56 ft. inside: not trim 8 ft 5 ft 5 ft arc = ½(3.14)(8) = 12.56 ft Trim = 8 + 5 + 5 + 12.56 = 30.56 ft
Contorno de la ventana que muestra los bordes con ribete y el arco

Respuesta: 30.56 ft de ribete

Comprobación: el arco (12.56) es más largo que los 8 ft rectos que reemplaza, como debe ser una curva ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (trabajar al revés): el cuadrado que falta

Un patio en forma de L se hizo quitando una esquina cuadrada de un rectángulo de 12 ft por 15 ft. El área del patio es de 144 ft². ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado que se quitó?

A 15 ft by 12 ft rectangle with a red dashed square corner of side s removed, leaving an L-shaped patio of 144 square feet. The side s is unknown. s × s s = ? patio 144 ft² 15 ft 12 ft
Patio en forma de L: rectángulo de 15 por 12 ft con una esquina cuadrada quitada
  1. Rectángulo completo: 12 \times 15 = 180 ft².
  2. Área quitada: 180 - 144 = 36 ft².
  3. Lado del cuadrado: s^2 = 36, así que s = \sqrt{36} = 6.

Respuesta: 6 ft

Comprobación: 180 - 6 \times 6 = 180 - 36 = 144 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): poner césped en un patio

Un patio trasero rectangular mide 30 ft por 20 ft. Tiene un cobertizo cuadrado de 8 ft por 8 ft y una piscina redonda sobre el suelo con un radio de 6 ft. El césped en rollo cuesta $0.45 por pie cuadrado. ¿Cuánto costará poner césped en el resto del patio? Usa \pi \approx 3.14.

A 30 ft by 20 ft backyard shaded green for sod, containing a red 8 ft by 8 ft square shed and a blue round pool of radius 6 ft. shed 8 × 8 r = 6 pool sod 30 ft 20 ft
Patio trasero de 30 por 20 ft con un cobertizo y una piscina redonda
  1. Patio: 30 \times 20 = 600 ft².
  2. Cobertizo: 8 \times 8 = 64 ft².
  3. Piscina: 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113.04 ft².
  4. Área de césped: 600 - 64 - 113.04 = 422.96 ft².
  5. Costo: 422.96 \times 0.45 = 190.332 \approx 190.33.

Respuesta: aproximadamente $190.33

Comprobación: estima: 600 - 64 - 113 \approx 423; 423 \times 0.45 \approx 190 ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

Los problemas de figuras compuestas tienen varios pasos, así que la calculadora ahorra tiempo, pero organiza el trabajo primero.

  • Una línea a la vez: escribe toda la expresión en una sola línea: 30 × 20 − 8 x² − 3.14 × 6 x² enter → 422.96. La calculadora eleva al cuadrado y multiplica antes de restar.
  • Semicírculo: 0.5 × 3.14 × 4 x² enter → 25.12.
  • Usa la tecla \pi solo si la pregunta lo indica; si dice "usa 3.14", escribe 3.14 para que tu respuesta coincida con las opciones.
  • Desplázate hacia arriba en la pantalla MultiView para volver a usar una respuesta anterior en lugar de escribirla de nuevo.

No dejes que la calculadora decida si sumar o restar. Dibuja las piezas y escribe "+" o "−" al lado de cada una antes de teclear.

Error común

Errores comunes

  • Sumar el hueco en lugar de restarlo. Rectángulo de 9 por 7 con un hueco de 3 por 3: 63 - 9 = 54, no 63 + 9 = 72.
  • Olvidar el recorte por completo. El cuarto en L no es el rectángulo completo de 14 \times 10 = 140; hay que quitar la esquina de 6 por 4 que falta.
  • Usar la altura equivocada para una pieza. En una L, el rectángulo corto mide de alto solo lo que mide el escalón, no toda la altura (5 \times 5, no 5 \times 9).
  • Tratar un semicírculo como un círculo completo (u olvidar el segundo semicírculo). Dos semicírculos forman un círculo, no dos círculos.
  • Contar los bordes interiores en el perímetro. Para la pista de atletismo, suma los dos lados rectos y los extremos curvos; los diámetros de 60 m están adentro.
  • Sumar el ancho del pasillo una sola vez. Un borde de 3 ft alrededor de una piscina de 20 por 10 hace que el exterior mida 26 \times 16, no 23 \times 13.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Dibuja y rotula. Traza tus líneas punteadas en tu pizarra borrable y escribe las dimensiones de cada pieza antes de calcular.
  • Decide primero si sumar o restar. Piezas unidas → sumar. Huecos, partes sin sombrear o "el resto de" → restar.
  • Halla los lados que faltan restando a partir del lado opuesto, y revisa que cada lado que uses esté en la figura.
  • Comprueba con un segundo método. Divide de otra manera o usa "todo menos el hueco"; las respuestas deben coincidir.
  • Estima el tamaño final. La parte sombreada debe ser más pequeña que la figura exterior; un área compuesta debe ser más grande que cada pieza.
  • Vuelve a leer la última línea: ¿área o perímetro? ¿Costo? ¿Número de bolsas (redondea hacia arriba)?

Compruébalo

Figuras compuestas en 2-DSin calculadora

The floor plan of an L-shaped room is shown.

L-shaped room. Left side 8 ft, bottom 10 ft, right side 5 ft, top 6 ft; the cut-out corner at the top right has a 3 ft vertical edge and a 4 ft horizontal edge 6 ft 3 ft 4 ft 5 ft 10 ft 8 ft
L-shaped room

What is the area of the floor?

Opciones de respuesta
Pista

Picture the full 10 ft by 8 ft rectangle. What part of it is missing?

Ver en español

Pregunta

Se muestra el plano de un cuarto en forma de L.

¿Cuál es el área del piso?

Opciones

  • A. 80 ft²
  • B. 68 ft²
  • C. 92 ft²
  • D. 36 ft²
Pista

Imagina el rectángulo completo de 10 ft por 8 ft. ¿Qué parte le falta?

Compruébalo

Figuras compuestas en 2-DSin calculadoraCompletar

The front wall of a shed is a square with a triangle on top, as shown.

Shed front wall: a square 10 ft by 10 ft with a triangle on top whose base is 10 ft and whose dashed height is 4 ft 10 ft 10 ft 4 ft
Shed front: square with triangle on top

What is the total area of the front wall?

ft²

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Find the square's area and the triangle's area separately. The triangle's base is the top of the square.

Ver en español

Pregunta

La pared del frente de un cobertizo es un cuadrado con un triángulo encima, como se muestra.

¿Cuál es el área total de la pared del frente?

_____ ft²

Pista

Halla por separado el área del cuadrado y el área del triángulo. La base del triángulo es el lado de arriba del cuadrado.

Resumen

  • Divide una figura compuesta en rectángulos, triángulos y partes de círculos; suma las piezas unidas.
  • Para regiones sombreadas y huecos: área exterior − área del hueco.
  • Halla los lados que faltan restando a partir del lado opuesto; usa la altura correcta para cada pieza.
  • Perímetro = solo los bordes exteriores; el arco de un semicírculo es \tfrac{1}{2}\pi d, y dos semicírculos forman un círculo.
  • Comprueba con otra división, estima y vuelve a leer si la pregunta pide área, perímetro o costo.
Practicar esta destreza →