Lo que vas a aprender
Esta lección toma lo que sabes sobre rectángulos y triángulos y lo extiende a otras figuras planas:
- paralelogramos (un rectángulo "empujado" hacia un lado),
- trapecios (un par de lados paralelos), y
- polígonos regulares (todos los lados iguales, como una señal de alto o una celda de panal).
Hallarás su perímetro y su área, y vas a trabajar al revés para hallar una base, una altura o un lado que falta.
Por qué es importante en el GED®: Las fórmulas de paralelogramos y trapecios están en la hoja de fórmulas, así que el GED® evalúa si sabes elegir las medidas correctas, sobre todo la altura, que muchas veces es una línea punteada mientras un lado inclinado aparece rotulado para distraerte. Los polígonos regulares aparecen sobre todo en preguntas de perímetro (cercar un quiosco hexagonal, el borde de una señal de alto).
En la vida real: las terrazas, los lotes y los canteros muchas veces son trapecios; las baldosas de piso y las piedras de patio son hexágonos; las señales de alto son octágonos.
Palabras que debes saber
- Polígono: una figura plana y cerrada hecha de lados rectos (los triángulos, los rectángulos y los hexágonos son polígonos).
- Paralelas: dos líneas que van una al lado de la otra y nunca se juntan (las vías del tren).
- Paralelogramo: una figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos; los lados opuestos son iguales (un rectángulo empujado hacia un lado).
- Rombo: un paralelogramo con sus cuatro lados iguales (un diamante).
- Trapecio: una figura de cuatro lados con exactamente un par de lados paralelos.
- Bases (b_1, b_2): los dos lados paralelos de un trapecio (arriba 6 in, abajo 10 in).
- Lados no paralelos (legs): los dos lados de un trapecio que no son paralelos.
- Altura (h): la distancia directa entre los lados paralelos, medida en ángulo recto; muchas veces es una línea punteada.
- Polígono regular: un polígono con todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales (una señal de alto).
- Pentágono / hexágono / octágono: polígonos de 5 / 6 / 8 lados.
- Apotema (a): en un polígono regular, la distancia del centro directo al punto medio de un lado.
Paralelogramos: área = base × altura
Corta el triángulo de un extremo de un paralelogramo y deslízalo al otro extremo: obtienes un rectángulo con la misma base y la misma altura. Por eso
A = bh- Base de 9 cm, altura de 5 cm, lado inclinado de 6 cm: A = 9 \times 5 = 45\text{ cm}^2.
El lado inclinado NO es la altura. La altura es la línea punteada que se une con la base en ángulo recto. Usar el lado inclinado (6 cm) daría 54 cm², que es demasiado. La altura siempre es más corta que el lado inclinado.
Perímetro: los lados opuestos son iguales, así que suma la base y el lado inclinado y duplica: P = 2(9 + 6) = 30\text{ cm}. Aquí el lado inclinado sí se usa y la altura no, lo contrario del área.
No hay \tfrac{1}{2} en la fórmula del paralelogramo. Un triángulo es la mitad de un paralelogramo; un paralelogramo es uno completo.
Rombo: es un paralelogramo, así que A = bh funciona; su perímetro es 4s.
Trapecios: saca el promedio de las bases
Las dos bases de un trapecio tienen longitudes diferentes. Saca su promedio y luego multiplica por la altura:
A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2)- Bases de 6 in y 10 in, altura de 4 in: A = \tfrac{1}{2}(4)(6 + 10) = \tfrac{1}{2}(4)(16) = 2 \times 16 = 32\text{ in}^2.
- Lo mismo sacando el promedio: (6 + 10) \div 2 = 8, y 8 \times 4 = 32 ✓.
Orden de los pasos: suma las bases primero (están entre paréntesis), luego multiplica por la altura y después saca la mitad.
¿Cuáles números son las bases? Los dos lados paralelos, por lo general el de arriba y el de abajo. Los lados inclinados no son bases y tampoco son la altura.
Trapecio rectángulo: si uno de los lados no paralelos se une con las bases en ángulo recto, ese lado es la altura.
Perímetro: suma los cuatro lados: bases de 7 y 11 con lados no paralelos de 5 y 4.1 → P = 7 + 11 + 5 + 4.1 = 27.1.
Los polígonos regulares tienen lados iguales. Cuenta los lados para obtener el perímetro: P = n \times s.
Polígonos regulares: perímetro y área
Perímetro. Los n lados son iguales, así que
P = n \times s| Nombre | Lados n | Ejemplo: s = 10 |
|---|---|---|
| Pentágono | 5 | P = 50 |
| Hexágono | 6 | P = 60 |
| Octágono | 8 | P = 80 |
Al revés: un pentágono regular con perímetro de 65 m tiene s = 65 \div 5 = 13 m.
Área. Traza líneas desde el centro hasta cada esquina. Un polígono regular de n lados se divide en n triángulos idénticos. Cada triángulo tiene base s y una altura igual a la apotema a.
A = n \times \tfrac{1}{2}sa = \tfrac{1}{2}aP- Hexágono regular, lado de 10 in, apotema de 8.66 in: un triángulo = \tfrac{1}{2}(10)(8.66) = 43.3; seis triángulos = 6 \times 43.3 = 259.8\text{ in}^2.
- Lo mismo con \tfrac{1}{2}aP: P = 60, así que A = \tfrac{1}{2}(8.66)(60) = 259.8\text{ in}^2 ✓.
Si el GED® te pide esta área, te dará la apotema (o la altura del triángulo).
Uno de los seis triángulos idénticos de un hexágono regular. Su base es un lado (10 in) y su altura es la apotema (apothem) (8.66 in).
Fórmulas
A_{\text{paralelogramo}} = bh \qquad A_{\text{trapecio}} = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) P_{\text{polígono regular}} = ns \qquad A_{\text{polígono regular}} = \tfrac{1}{2}aP- b = base; h = altura (en ángulo recto con la base); b_1, b_2 = los dos lados paralelos de un trapecio.
- n = número de lados; s = longitud de un lado; a = apotema; P = perímetro.
En la hoja de fórmulas del GED®: las fórmulas del área del paralelogramo y del trapecio sí están en la hoja. Las fórmulas de los polígonos regulares no están, pero no necesitas memorizarlas: el perímetro es simplemente "sumar los lados iguales", y el área es "dividir en triángulos" usando \tfrac{1}{2}bh (que sí está en la hoja).
Ejemplo 1 (fácil): un paralelogramo
Un paralelogramo tiene una base de 15 cm, un lado inclinado de 10 cm y una altura de 8 cm. Halla su área y su perímetro.
- El área usa base × altura: A = 15 \times 8 = 120.
- El perímetro usa los lados: P = 2(15 + 10) = 2(25) = 50.
Respuesta: área de 120 cm²; perímetro de 50 cm
Comprobación: la altura (8) es más corta que el lado inclinado (10), como debe ser ✓.
Ejemplo 2 (fácil): un trapecio
Un trapecio tiene bases de 9 in y 15 in y una altura de 6 in. Halla su área.
- Suma las bases: 9 + 15 = 24.
- Multiplica por la altura: 24 \times 6 = 144.
- Saca la mitad: 144 \div 2 = 72.
Respuesta: 72 in²
Comprobación: base promedio = 12; 12 \times 6 = 72 ✓.
Ejemplo 3 (problema verbal): baranda para un quiosco
El piso de un quiosco de jardín es un octágono regular con lados de 5 ft. Se pondrá una baranda en todos los lados menos uno, que queda abierto como entrada. ¿Cuántos pies de baranda se necesitan?
- Un octágono tiene 8 lados; uno está abierto, así que la baranda cubre 8 - 1 = 7 lados.
- Baranda: 7 \times 5 = 35.
Respuesta: 35 ft
Comprobación: el perímetro completo es 8 \times 5 = 40 ft; menos los 5 ft de la entrada da 35 ft ✓.
Ejemplo 4 (trabajar al revés): altura de un lote en forma de trapecio
Un lote en forma de trapecio tiene un área de 120 ft². Sus lados paralelos miden 10 ft y 14 ft. ¿A qué distancia están los lados paralelos?
- "A qué distancia están los lados paralelos" es la altura.
- 120 = \tfrac{1}{2}h(10 + 14) = \tfrac{1}{2}h(24) = 12h.
- Divide entre 12: h = 120 \div 12 = 10.
Respuesta: 10 ft
Comprobación: \tfrac{1}{2}(10)(24) = 120 ✓.
Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): área de una baldosa hexagonal
Una baldosa de piso es un hexágono regular con lados de 6 in. La distancia del centro al punto medio de un lado (la apotema) es de aproximadamente 5.2 in. ¿Cuál es el área de una baldosa? ¿Cuántas pulgadas cuadradas cubre una caja de 50 baldosas?
- Divide el hexágono en 6 triángulos, cada uno con base 6 y altura 5.2.
- Un triángulo: \tfrac{1}{2}(6)(5.2) = 15.6.
- Seis triángulos: 6 \times 15.6 = 93.6 in².
- Una caja de 50 baldosas: 50 \times 93.6 = 4{,}680 in².
Respuesta: 93.6 in² por baldosa; 4,680 in² por caja
Comprobación: \tfrac{1}{2}aP = \tfrac{1}{2}(5.2)(36) = 93.6 ✓.
Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView
- Trapecio: usa paréntesis para que las bases se sumen primero:
0.5 × 4 × ( 6 + 10 )enter→32. Sin los paréntesis, la calculadora multiplica antes de sumar y da una respuesta equivocada. - Área de un polígono regular:
6 × 0.5 × 10 × 8.66enter→259.8. - Trabajar al revés: para el lote en forma de trapecio,
2 × 120 ÷ ( 10 + 14 )enter→10. - Fracciones: la tecla
n/dsirve para escribir fracciones;togglecambia las respuestas entre fracción y decimal.
Cuándo no usarla: el perímetro de un polígono regular (6 \times 8) y la mayoría de las áreas de paralelogramos son cálculo mental rápido; guarda el tiempo de calculadora para los decimales.
Errores comunes
- Usar el lado inclinado como altura. Paralelogramo con base 9, lado 6 y altura 5: el área es 9 \times 5 = 45, no 9 \times 6 = 54.
- Sacar la mitad en un paralelogramo. \tfrac{1}{2}bh es para triángulos. Paralelogramo con base 9 y altura 5 → 45, no 22.5.
- Olvidar el \tfrac{1}{2} en un trapecio. Bases de 12 y 18, altura de 10: \tfrac{1}{2}(10)(30) = 150, no 300.
- Multiplicar las dos bases. En un trapecio las bases se suman: \tfrac{1}{2}(4)(7 + 11) = 36, no \tfrac{1}{2}(4)(7)(11) = 154.
- Contar mal los lados. Pentágono 5, hexágono 6, octágono 8. Una señal de alto (octágono) con lados de 12.4 in tiene P = 8 \times 12.4 = 99.2 in.
- Elevar el lado al cuadrado para el perímetro. Un hexágono con lados de 8 in tiene P = 6 \times 8 = 48 in, no 8^2 = 64.
Estrategia para el examen GED®
- Busca primero el ángulo recto. Busca el cuadradito: el segmento sobre el que está es la altura. Tacha las longitudes inclinadas cuando busques el área.
- Usa la hoja de fórmulas para paralelogramos y trapecios, pero escribe los números con cuidado, con las bases dentro de los paréntesis.
- Estima: el área de un trapecio está entre (base corta × altura) y (base larga × altura). Bases de 12 y 18, altura de 10 → entre 120 y 180. Las respuestas de 300 o de 40 quedan descartadas.
- Prueba las opciones en las preguntas de longitud que falta: pon cada opción de respuesta en la fórmula.
- Redondea hacia arriba cuando compres materiales que se venden en unidades enteras (cubetas, cajas, rollos).
Compruébalo
What is the area of the parallelogram?
Pista
Which labeled length meets the base at a right angle? Only that one is used with the base.
Solución paso a paso
- Area of a parallelogram: A = bh (on the formula sheet).
- The base is b = 9 cm.
- The height is the dashed segment that meets the base at a right angle: h = 5 cm.
- The slanted side (6 cm) is not the height, so it is not used for area.
- A = 9 \times 5 = 45.
The area is 45 cm².
Check: slide the left triangle over to the right side and the parallelogram becomes a 9 by 5 rectangle: 9 \times 5 = 45 ✓.
Tip: For parallelograms, area = base × perpendicular height. The slanted side is always longer than the height, so using it makes the area too big.
Explicación
- Área de un paralelogramo: A = bh (está en la hoja de fórmulas).
- La base es b = 9 cm.
- La altura es el segmento punteado que forma un ángulo recto con la base: h = 5 cm.
- El lado inclinado (6 cm) no es la altura, así que no se usa para el área.
- A = 9 \times 5 = 45.
El área es 45 cm².
Comprobación: pasa el triángulo de la izquierda al lado derecho y el paralelogramo se convierte en un rectángulo de 9 por 5: 9 \times 5 = 45 ✓.
Consejo: En los paralelogramos, área = base × altura perpendicular. El lado inclinado siempre es más largo que la altura, así que si lo usas el área sale demasiado grande.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es el área del paralelogramo?
Opciones
Pista
¿Cuál longitud rotulada se une con la base en ángulo recto? Solo esa se usa junto con la base.
Compruébalo
Find the area of the trapezoid.
Area = in²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use the trapezoid formula from the formula sheet. Which two sides are parallel?
Solución paso a paso
- Trapezoid area: A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) (on the formula sheet).
- The parallel sides (bases) are b_1 = 6 in and b_2 = 10 in.
- The height is the dashed segment: h = 4 in.
- Add the bases: 6 + 10 = 16.
- A = \tfrac{1}{2}(4)(16) = 2 \times 16 = 32.
The area is 32 in².
Check: the average base is (6 + 10) \div 2 = 8, and 8 \times 4 = 32 ✓. The answer is also between 6 \times 4 = 24 and 10 \times 4 = 40, as it should be ✓.
Tip: Think of a trapezoid as a rectangle whose width is the average of the two bases. Add the bases first, then multiply by the height, then halve.
Explicación
- Área del trapecio: A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) (está en la hoja de fórmulas).
- Los lados paralelos (bases) son b_1 = 6 in y b_2 = 10 in.
- La altura es el segmento punteado: h = 4 in.
- Suma las bases: 6 + 10 = 16.
- A = \tfrac{1}{2}(4)(16) = 2 \times 16 = 32.
El área es 32 in².
Comprobación: la base promedio es (6 + 10) \div 2 = 8, y 8 \times 4 = 32 ✓. La respuesta también está entre 6 \times 4 = 24 y 10 \times 4 = 40, como debe ser ✓.
Consejo: Piensa en un trapecio como un rectángulo cuyo ancho es el promedio de las dos bases. Primero suma las bases, luego multiplica por la altura y después saca la mitad.
Ver en español
Pregunta
Halla el área del trapecio.
Área = _____ in²
Pista
Usa la fórmula del trapecio de la hoja de fórmulas. ¿Cuáles dos lados son paralelos?
Resumen
- Paralelogramo: A = bh con la altura perpendicular (sin \tfrac{1}{2}); el perímetro usa los lados inclinados.
- Trapecio: A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2): suma las bases paralelas, multiplica por la altura y luego saca la mitad.
- Polígono regular: P = ns; área = n triángulos = \tfrac{1}{2}aP.
- Trabaja al revés deshaciendo: h = A \div b (paralelogramo); h = 2A \div (b_1 + b_2) (trapecio); s = P \div n.
- La altura nunca es un lado inclinado; busca la marca del ángulo recto.