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Círculos: área y circunferencia

Halla la circunferencia y el área de un círculo, y trabaja al revés para hallar el radio o el diámetro.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección aprenderás las partes de un círculo y dos medidas clave:

  • la circunferencia: la distancia alrededor de un círculo (como el perímetro), y
  • el área: el espacio dentro de un círculo.

También aprenderás a trabajar al revés: dada la circunferencia o el área, hallar el radio o el diámetro.

Por qué es importante en el GED®: Las preguntas sobre círculos aparecen en casi todos los exámenes: pizzas, ruedas, mesas redondas, aspersores, jardines y piscinas circulares. También vuelven a aparecer en figuras compuestas (un semicírculo encima de una ventana) y en figuras de 3-D (los cilindros y los conos usan el área de un círculo). El error más común en el examen es confundir el radio con el diámetro, así que lo vamos a practicar con cuidado.

En la vida real: La circunferencia te dice cuánto avanza una rueda en una vuelta o cuánto borde se necesita alrededor de un cantero redondo. El área te dice cuánto césped riega un aspersor o qué pizza es la mejor oferta.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Círculo: todos los puntos que están a la misma distancia de un punto central (la cara de un reloj, una pizza).
  • Centro: el punto del medio del círculo.
  • Radio (r): la distancia del centro al borde (un radio de 5 in significa que el borde está a 5 in del medio). Plural: radios.
  • Diámetro (d): la distancia de lado a lado del círculo pasando por el centro. Es igual a dos radios: d = 2r (radio de 5 in → diámetro de 10 in).
  • Circunferencia (C): la distancia alrededor del círculo (el largo de la orilla de una pizza).
  • Área (A): el espacio dentro del círculo, en unidades cuadradas (in², ft²).
  • Pi (\pi): el número que obtienes al dividir la circunferencia de cualquier círculo entre su diámetro; aproximadamente 3.14. La TI-30XS tiene una tecla \pi.
  • Semicírculo: la mitad de un círculo (una ventana de media luna).
  • Cuerda: un segmento que une dos puntos del círculo; el diámetro es la cuerda más larga.
  • "En términos de \pi": deja \pi como símbolo en la respuesta, como 16\pi, en lugar de multiplicarlo.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Circle showing the center, a radius r from the center to the edge, a diameter d across through the center (d = 2r), and the circumference C as the distance around center diameter d radius r circumference C = distance around

El radio (radius) va del centro al borde. El diámetro (diameter) cruza todo el círculo pasando por el centro, así que mide el doble que el radio.

Radio y diámetro: lo primero que debes revisar

Todas las fórmulas de círculos del GED® se escriben con el radio r (o con el diámetro d para la circunferencia). Antes de hacer cualquier otra cosa, pregúntate: "¿Me dieron el radio o el diámetro?"

  • De diámetro a radio: divide entre 2. Una pizza de 16 in (el tamaño de una pizza es su diámetro) tiene r = 16 \div 2 = 8 in.
  • De radio a diámetro: multiplica por 2. Un aspersor que llega a 15 ft de su centro riega un círculo con d = 30 ft.
Two circles. Left: a 16-inch pizza; the size is the diameter, 16 in (red, straight across through the center), so the radius (blue, center to edge) is 8 in. Right: a sprinkler that reaches 15 ft from its center; that is the radius, 15 ft, so the diameter is 30 ft. d = 16 in r = 8 in 16-inch pizza: d = 16, r = 16 ÷ 2 = 8 in d = 30 ft r = 15 ft Sprinkler reaches 15 ft: r = 15, d = 30 ft
Pizza de 16 pulgadas y aspersor de 15 ft con el radio y el diámetro marcados

Pistas en los problemas verbales:

  • "de lado a lado", "de ancho", "una pizza de 12 pulgadas", "una rueda de bicicleta de 26 pulgadas" → diámetro.
  • "desde el centro", "llega a 15 ft", "una cuerda atada a un poste" → radio.

Circunferencia: la distancia alrededor

En todo círculo, la circunferencia es un poco más de 3 veces el diámetro. Ese "poco más de 3" es \pi \approx 3.14.

C = \pi d \qquad \text{o} \qquad C = 2\pi r

Las dos fórmulas son iguales porque d = 2r.

  • Diámetro de 26 in: C = 3.14 \times 26 = 81.64 in.
A wheel with diameter 26 in rolled out flat for one full turn. The unrolled blue line is the circumference, a little more than 3 diameters: C = 3.14 × 26 = 81.64 in. d = 26 in 1 d 1 d 1 d 0.14d one turn rolls C = π × 26 ≈ 3.14 × 26 = 81.64 in
Rueda con diámetro de 26 in desenrollada a lo largo de su circunferencia
  • Radio de 7 ft: C = 2 \times 3.14 \times 7 = 43.96 ft.
  • Radio de 4 m, en términos de \pi: C = 2\pi(4) = 8\pi m.

La circunferencia es una longitud, así que usa unidades simples (in, ft, m).

Ruedas: en una vuelta completa, una rueda avanza exactamente una circunferencia. 50 vueltas de una rueda con C = 75.36 in avanzan 50 \times 75.36 = 3{,}768 in.

Área: el espacio de adentro

A = \pi r^2

Eleva primero el radio al cuadrado y luego multiplica por \pi. (\pi r^2 significa \pi \times r \times r; no significa (\pi r)^2 y no significa \pi \times r \times 2.)

  • Radio de 5 in: A = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 in².
A circle of radius 5 in with a red square of side 5 drawn from the center to the edge; the square has area r squared = 25. The circle area is 3.14 × 25 = 78.5 square inches, about 3.14 of those squares. r = 5 r = 5 r² = 25 A = 3.14 × 25 = 78.5 in² (about 3.14 of the red r × r squares)
Círculo de radio 5 con un cuadrado de r por r
  • Diámetro de 16 in: primero r = 8; A = 3.14 \times 8^2 = 3.14 \times 64 = 200.96 in².
  • Radio de 4 m, en términos de \pi: A = \pi(4^2) = 16\pi m².

El área usa unidades cuadradas (in², ft²). Si tu respuesta está en pies simples, hallaste la circunferencia.

Por qué el radio importa tanto: como se eleva al cuadrado, usar el diámetro por error hace que el área sea 4 veces más grande de lo que es. Con la pizza de 16 in, 3.14 \times 16^2 = 803.84, que es cuatro veces 200.96.

Trabajar al revés: halla r o d

A partir de la circunferencia: divide entre \pi para obtener el diámetro.

d = \frac{C}{\pi} \qquad r = \frac{C}{2\pi}
  • C = 62.8 ft: d = 62.8 \div 3.14 = 20 ft, así que r = 10 ft.

A partir del área: divide entre \pi y luego saca la raíz cuadrada.

r^2 = \frac{A}{\pi} \qquad r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
  • A = 113.04 m²: r^2 = 113.04 \div 3.14 = 36, así que r = \sqrt{36} = 6 m y d = 12 m.

Del área a la circunferencia (dos pasos): halla r a partir del área y luego usa C = 2\pi r.

  • A = 50.24 ft² → r^2 = 16 → r = 4 → C = 2(3.14)(4) = 25.12 ft.

Cuando la respuesta está "en términos de \pi": A = 49\pi significa r^2 = 49, así que r = 7. C = 18\pi significa d = 18, así que r = 9.

Fórmula

Fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)

C = 2\pi r = \pi d \qquad A = \pi r^2 \qquad d = 2r \qquad \pi \approx 3.14
  • r = radio (del centro al borde), d = diámetro (de lado a lado pasando por el centro).
  • C = circunferencia (distancia alrededor, unidades simples); A = área (unidades cuadradas).
  • \pi = pi, aproximadamente 3.14 (usa 3.14 o la tecla \pi de la calculadora, según lo que diga la pregunta).

En la hoja de fórmulas del GED®: sí; el área y la circunferencia de un círculo y \pi \approx 3.14 están impresos en la hoja. La relación d = 2r no está impresa; debes recordarla.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): las dos medidas

Un círculo tiene un radio de 6 cm. Halla su circunferencia y su área. Usa \pi \approx 3.14.

A circle with radius 6 cm drawn from the center to the edge. r = 6 cm
Círculo con radio de 6 cm
  1. Circunferencia: C = 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 6 = 37.68.
  2. Área: A = \pi r^2 = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113.04.

Respuesta: C = 37.68 cm; A = 113.04 cm²

Comprobación: C debe ser un poco más que 3 \times 12 = 36 ✓; A debe ser un poco más que 3 \times 36 = 108 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (problema verbal): ribete para una mesa redonda

Una mesa redonda mide 4 ft de lado a lado. ¿Cuánto ribete decorativo se necesita para darle una vuelta al borde? Usa \pi \approx 3.14.

A round table 4 ft across: the red line through the center is the diameter, 4 ft. The thick blue edge is the trim, which is the circumference. d = 4 ft (across) trim = circumference
Mesa redonda de 4 ft de lado a lado con ribete alrededor del borde
  1. "4 ft de lado a lado" es el diámetro: d = 4.
  2. El ribete va alrededor del borde, así que halla la circunferencia: C = \pi d = 3.14 \times 4 = 12.56.

Respuesta: 12.56 ft de ribete

Comprobación: un poco más de 3 diámetros: 3 \times 4 = 12 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (trabajar al revés): a partir de la circunferencia

Un molde redondo para pastel tiene una circunferencia de 47.1 in. ¿Cuáles son su diámetro y su radio? Usa \pi \approx 3.14.

A round cake pan whose circumference (blue edge) is 47.1 in. The diameter (red, through the center) and the radius (green) are unknown. d = ? r = ? C = 47.1 in
Molde para pastel con circunferencia de 47.1 in; su diámetro y su radio son desconocidos
  1. C = \pi d, así que d = C \div \pi.
  2. d = 47.1 \div 3.14 = 15.
  3. r = d \div 2 = 15 \div 2 = 7.5.

Respuesta: diámetro de 15 in; radio de 7.5 in

Comprobación: 3.14 \times 15 = 47.1 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (trabajar al revés): a partir del área

Un aspersor de césped riega un círculo con un área de 314 ft². ¿Hasta qué distancia del aspersor llega el agua? Usa \pi \approx 3.14.

A sprinkler at the center of a watered circle of area 314 square feet. The dashed radius r is unknown. r = ? A = 314 ft² sprinkler
Círculo del aspersor con área de 314 ft² y radio desconocido
  1. "Qué distancia desde el aspersor" es el radio.
  2. A = \pi r^2, así que 314 = 3.14 r^2.
  3. Divide entre 3.14: r^2 = 314 \div 3.14 = 100.
  4. Raíz cuadrada: r = \sqrt{100} = 10.

Respuesta: 10 ft

Comprobación: 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): comprar semilla de césped

Un aspersor rocía agua a 15 ft en todas las direcciones. La semilla de césped se vende en bolsas que cubren 200 ft² cada una. ¿Cuántas bolsas se necesitan para sembrar todo el círculo regado? Usa \pi \approx 3.14.

  1. 15 ft "en todas las direcciones" desde el centro es el radio: r = 15.
  2. Área: A = 3.14 \times 15^2 = 3.14 \times 225 = 706.5 ft².
  3. Bolsas: 706.5 \div 200 = 3.5325.
  4. No puedes comprar parte de una bolsa, y 3 bolsas cubren solo 600 ft², así que redondea hacia arriba.
Left: a watered circle with radius 15 ft and area 3.14 × 225 = 706.5 square feet. Right: four bags of seed, 200 square feet each, laid end to end up to 800; the lawn bar of 706.5 goes past 3 bags (600), so 4 bags are needed. r = 15 ft A = 706.5 ft² bag 1 bag 2 bag 3 bag 4 lawn 706.5 ft² 0 800 600 3 bags = 600 < 706.5; 4 bags = 800 ✓
Círculo regado de radio 15 ft comparado con cuatro bolsas de semilla de 200 ft²

Respuesta: 4 bolsas

Comprobación: 4 \times 200 = 800 \ge 706.5 ✓ y 3 \times 200 = 600 < 706.5 ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

En las preguntas de círculos casi siempre se permite la calculadora.

  • La tecla \pi: oprime π (en la TI-30XS tiene su propia tecla). π × 6 x² enter da 36\pi; oprime toggle para ver 113.0973355. Con 3.14 obtienes 113.04. La pregunta te dirá cuál usar; si dice "usa 3.14", escribe 3.14, porque las opciones de respuesta muchas veces están redondeadas a partir de 3.14.
  • Área: escribe 3.14 × 8 x² enter → 200.96. La calculadora eleva el 8 al cuadrado antes de multiplicar, que es exactamente lo que significa \pi r^2.
  • Radio a partir del área: 2nd x² da √. Escribe 113.04 ÷ 3.14 dentro de la raíz, oprime la flecha derecha para salir de ella y luego enter → 6. Toda la división debe quedar dentro de la raíz.
  • Respuestas en fracción: si un resultado aparece como fracción, la tecla toggle lo cambia a decimal.

Cuándo no usarla: si las respuestas están "en términos de \pi" (como 16\pi), no multipliques por 3.14; trabaja solo con el radio.

Error común

Errores comunes

  • Usar el diámetro como radio. Una pizza de 16 in tiene r = 8, así que A = 3.14 \times 64 = 200.96. Usar 16 da 803.84, 4 veces más grande.
  • Usar el radio en C = \pi d. Con r = 7, C = 2\pi(7) = 43.96, no \pi(7) = 21.98 (eso es solo media vuelta).
  • Confundir el área con la circunferencia. "Cerca/borde/ribete/cuánto avanza al rodar" → circunferencia. "Cubrir/sembrar/pintar/cuánta pizza" → área.
  • "Duplicar" en lugar de elevar al cuadrado. r^2 significa r \times r. Para r = 5: 5^2 = 25, no 5 \times 2 = 10.
  • Olvidar la raíz cuadrada al trabajar al revés. Si r^2 = 36, entonces r = 6, no 36.
  • Quedarte en el radio cuando te piden el diámetro (o al revés). Vuelve a leer la última línea de la pregunta antes de elegir.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Encierra en un círculo la palabra "radio" o "diámetro" en la pregunta y en las opciones de respuesta; quienes hacen el examen saben que esta es la trampa más común.
  • Estima con 3. C es un poco más que 3d; A es un poco más que 3r^2. Un círculo con radio de 10 ft tiene un área de poco más de 300 ft², así que 31.4 o 3,140 quedan descartados.
  • Revisa las unidades. Unidades cuadradas → área; unidades simples → circunferencia, radio o diámetro.
  • Prueba las respuestas en las preguntas de trabajar al revés: si una opción dice r = 6, comprueba que 3.14 \times 36 = 113.04.
  • Sigue las instrucciones sobre \pi: usa 3.14 si te lo indican; usa la tecla \pi si te lo indican; deja \pi en la respuesta si las opciones muestran \pi.

Compruébalo

Círculos: área y circunferencia

Find the area of the circle. Use \pi \approx 3.14.

Circle with center marked and a radius of 5 in drawn to the right 5 in
Circle with radius 5 in
Opciones de respuesta
Pista

The area formula uses the radius. What do you do to the radius before multiplying by 3.14?

Ver en español

Pregunta

Halla el área del círculo. Usa \pi \approx 3.14.

Opciones

  • A. 31.4\text{ in}^2
  • B. 15.7\text{ in}^2
  • C. 78.5\text{ in}^2
  • D. 314\text{ in}^2
Pista

La fórmula del área usa el radio. ¿Qué le haces al radio antes de multiplicar por 3.14?

Compruébalo

Círculos: área y circunferenciaCompletar

A bicycle wheel has a diameter of 26 inches. What is the circumference of the wheel? Use \pi \approx 3.14.

inches

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

You were given the diameter. Which circumference formula uses the diameter directly?

Ver en español

Pregunta

La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 26 pulgadas. ¿Cuál es la circunferencia de la rueda? Usa \pi \approx 3.14.

_____ pulgadas

Pista

Te dieron el diámetro. ¿Cuál fórmula de la circunferencia usa el diámetro directamente?

Resumen

  • Radio = del centro al borde; diámetro = de lado a lado = 2r. Primero revisa cuál de los dos te dieron.
  • Circunferencia (distancia alrededor): C = \pi d = 2\pi r, en unidades simples.
  • Área (adentro): A = \pi r^2; eleva el radio al cuadrado y luego multiplica por \pi; la respuesta va en unidades cuadradas.
  • Al revés: d = C \div \pi; r = \sqrt{A \div \pi}.
  • Una vuelta de rueda = una circunferencia. Usa 3.14, la tecla \pi o "en términos de \pi" exactamente como lo diga la pregunta.
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