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Triángulos y rectángulos: área y perímetro

Halla el perímetro y el área de rectángulos, cuadrados y triángulos, y trabaja al revés para hallar un lado que falta.

Practicar esta destreza 30 min Triángulos y rectángulos: área y perímetro Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección aprenderás a hallar el perímetro (la distancia alrededor) y el área (el espacio de adentro) de rectángulos, cuadrados y triángulos. También aprenderás a trabajar al revés: si sabes el área o el perímetro, puedes hallar un lado que falta.

Por qué es importante en el GED®: Casi todos los exámenes de Matemáticas del GED® tienen dos o tres preguntas sobre estas figuras. Aparecen como figuras simples ("halla el área del triángulo"), como problemas verbales (alfombra, pintura, cerca, un jardín) y como problemas de "lado que falta" ("el área es 84 pies cuadrados y el ancho es 7 pies; ¿cuánto mide de largo?"). Estas mismas destrezas son la base para los círculos, los polígonos, las figuras compuestas y el volumen en 3-D más adelante.

En la vida real: Usas el área cuando compras piso, pintura, césped en rollo o tela. Usas el perímetro cuando compras cerca, zócalo o un marco para cuadros. Saber cuál necesita cada trabajo te ahorra dinero de verdad.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Rectángulo: una figura de cuatro lados con cuatro ángulos rectos; los lados opuestos son iguales (una puerta, una hoja de papel).
  • Cuadrado: un rectángulo con sus cuatro lados iguales (una baldosa de 5 in por 5 in).
  • Triángulo: una figura con tres lados rectos (una porción de pizza cortada recta, el frontón de un techo).
  • Ángulo recto: una esquina cuadrada de 90^\circ, que se marca con un cuadradito en las figuras.
  • Triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo recto.
  • Largo (l) y ancho (w): las dos dimensiones de un rectángulo (un cuarto de 12 ft por 8 ft tiene l = 12, w = 8).
  • Base (b): el lado del triángulo sobre el que eliges "apoyar" el triángulo.
  • Altura (h): la distancia vertical desde la base hasta la esquina opuesta, medida en ángulo recto con la base. A menudo se dibuja como una línea punteada.
  • Perímetro (P): la distancia total alrededor de una figura; suma todos los lados. Se mide en unidades simples (ft, in, m).
  • Área (A): la cantidad de superficie plana dentro de una figura. Se mide en unidades cuadradas (sq ft, ft², in²).
  • Unidad cuadrada: un cuadrado de 1 \times 1; una alfombra de 3 ft por 2 ft contiene 6 de ellos, así que su área es 6\text{ ft}^2.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Perímetro: camina por el borde

El perímetro es una longitud. Imagina que caminas por cada borde de la figura y sumas la distancia.

Cualquier figura: suma todos los lados.

  • Triángulo con lados de 5, 7 y 9 in: P = 5 + 7 + 9 = 21\text{ in}.

Rectángulo: hay dos largos y dos anchos, así que

P = l + w + l + w = 2l + 2w
  • Un jardín de 12 ft por 8 ft: P = 2(12) + 2(8) = 24 + 16 = 40\text{ ft}.

Cuadrado: los cuatro lados son iguales, así que P = 4s.

  • Una baldosa cuadrada con lados de 6 in: P = 4 \times 6 = 24\text{ in}.
Perimeter means adding every side. A triangle with sides 5, 7 and 9 inches has perimeter 21 inches. A 12 ft by 8 ft rectangular garden has perimeter 2(12) + 2(8) = 40 ft. A square tile with 6 inch sides has perimeter 4 × 6 = 24 inches. 9 in 5 in 7 in P = 5 + 7 + 9 = 21 in 12 ft 12 ft 8 ft 8 ft P = 2(12) + 2(8) = 40 ft 6 in 6 in 6 in 6 in P = 4 × 6 = 24 in
Triángulo, rectángulo y cuadrado con perímetros de 21 in, 40 ft y 24 in

Lados que faltan en una figura. A veces solo algunos lados tienen rótulo. Los lados opuestos de un rectángulo son iguales, así que si el de arriba mide 15 ft, el de abajo también mide 15 ft.

Unidades: El perímetro se da en unidades comunes (ft, in, yd, m). Si los lados están en unidades diferentes, primero conviértelos: un rectángulo de 2 ft por 18 in mide 24 in por 18 in, así que P = 2(24) + 2(18) = 84\text{ in}.

Área: cuenta los cuadrados de adentro

El área te dice cuántos cuadrados de 1 por 1 cubren la figura.

Rectángulo: un rectángulo de 4 por 3 tiene 4 cuadrados en cada una de sus 3 filas, o sea, 12 cuadrados.

A = l \times w
  • Un jardín de 12 ft por 8 ft: A = 12 \times 8 = 96\text{ ft}^2.
A 4 by 3 rectangle covered by 12 numbered unit squares: 4 squares in each of 3 rows, so the area is 4 × 3 = 12 square units. 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 4 units 3 units 4 × 3 = 12 square units
Un rectángulo de 4 por 3 formado por 12 cuadrados unitarios

Cuadrado: A = s \times s = s^2.

  • Una baldosa de 6 in: A = 6^2 = 36\text{ in}^2.

Triángulo: todo triángulo es exactamente la mitad de un rectángulo (o paralelogramo) con la misma base y la misma altura. Por eso aparece \tfrac{1}{2}:

A = \tfrac{1}{2} b h
  • Base de 10 cm, altura de 7 cm: A = \tfrac{1}{2}(10)(7) = \tfrac{1}{2}(70) = 35\text{ cm}^2.
A triangle with base 10 cm and height 7 cm drawn inside a dashed 10 by 7 rectangle. The triangle fills exactly half of the rectangle: half of 70 is 35 square centimetres. b = 10 cm h = 7 cm Rectangle 10 × 7 = 70; triangle = ½ of 70 = 35 cm²
Triángulo con base de 10 cm y altura de 7 cm que llena la mitad de un rectángulo de 10 por 7

Cómo hallar la altura de un triángulo. La altura debe formar un ángulo recto con la base. Por lo general no es un lado inclinado.

  • En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman la esquina cuadrada son la base y la altura. El lado más largo (el opuesto al ángulo recto) nunca es la altura.
  • En un triángulo obtusángulo, la altura puede caer fuera del triángulo; la base se prolonga con una línea punteada.

Unidades cuadradas. Cuando multiplicas pies por pies obtienes pies cuadrados. Siempre escribe el área con unidades cuadradas: \text{ft}^2, \text{in}^2, sq yd. Si en el GED® tu respuesta tiene el tipo de unidad equivocado, es una señal de que usaste la fórmula equivocada.

FiguraPerímetroÁrea
Rectángulo2l + 2wlw
Cuadrado4ss^2
Triángulos_1 + s_2 + s_3\tfrac{1}{2}bh
Three triangles with base b and dashed height h. Left: height inside the triangle. Middle: right triangle where the height is the vertical side. Right: obtuse triangle where the height falls outside and the base is extended with a dashed line. b h Height inside b h Height is a side b h Height outside

Tres formas en que puede verse la altura de un triángulo. En todos los casos, la altura (height) se une con la base (o con su prolongación) en ángulo recto.

Trabajar al revés: halla un lado que falta

Muchas preguntas del GED® te dan el área o el perímetro y te piden un lado. Escribe la fórmula, pon lo que sabes y luego deshaz las operaciones.

Rectángulo, con el área conocida. A = lw, así que divide: l = A \div w.

  • Área de 84 ft², ancho de 7 ft: l = 84 \div 7 = 12\text{ ft}. Comprobación: 12 \times 7 = 84 ✓.

Rectángulo, con el perímetro conocido. P = 2l + 2w. Resta los dos lados conocidos y luego divide entre 2.

  • Perímetro de 54 ft, largo de 15 ft: 54 - 2(15) = 54 - 30 = 24; w = 24 \div 2 = 12\text{ ft}. Atajo: la mitad del perímetro es l + w, así que 27 - 15 = 12.

Cuadrado, con el área conocida. A = s^2, así que saca la raíz cuadrada: área de 49 in² → s = \sqrt{49} = 7\text{ in}.

Triángulo, con el área conocida. A = \tfrac{1}{2}bh. Primero multiplica el área por 2 y luego divide entre el lado que conoces:

h = \frac{2A}{b} \qquad b = \frac{2A}{h}
  • Área de 54 ft², base de 12 ft: h = \dfrac{2(54)}{12} = \dfrac{108}{12} = 9\text{ ft}.
Working backwards. Left: a rectangle with area 84 square feet and width 7 ft; the missing length is 84 ÷ 7 = 12 ft. Right: a triangle with area 54 square feet and base 12 ft; the missing height is 2 × 54 ÷ 12 = 9 ft. A = 84 ft² l = ? (84 ÷ 7 = 12 ft) 7 ft Rectangle: l = A ÷ w b = 12 ft h = ? A = 54 ft² Triangle: h = 2A ÷ b = 108 ÷ 12 = 9 ft
Rectángulo con área de 84 y ancho de 7; triángulo con área de 54 y base de 12

Cuando los lados están relacionados con palabras ("el largo es 3 más que el doble del ancho"), llama w al ancho, escribe el largo como una expresión (2w + 3), pon ambos en la fórmula y resuelve la ecuación.

Fórmula

Fórmulas (todas están en la hoja de fórmulas del GED®)

P_{\text{rectángulo}} = 2l + 2w \qquad A_{\text{rectángulo}} = lw P_{\text{cuadrado}} = 4s \qquad A_{\text{cuadrado}} = s^2 P_{\text{triángulo}} = s_1 + s_2 + s_3 \qquad A_{\text{triángulo}} = \tfrac{1}{2}bh
  • l = largo, w = ancho, s = lado de un cuadrado, s_1, s_2, s_3 = los tres lados de un triángulo.
  • b = base del triángulo, h = altura, medida en ángulo recto con la base.
  • P se da en unidades simples (ft); A se da en unidades cuadradas (ft²).

En la hoja de fórmulas del GED®: sí; todas estas fórmulas están impresas en la hoja de fórmulas que te dan durante el examen. Aun así, necesitas saber cuál usar y qué significa cada letra, sobre todo la altura de un triángulo.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): un cuarto

Un dormitorio mide 15 ft de largo y 9 ft de ancho. Halla su perímetro y su área.

A rectangular bedroom 15 ft long and 9 ft wide, with every side labelled. 15 ft 15 ft 9 ft 9 ft bedroom
Dormitorio rectangular de 15 ft por 9 ft
  1. Perímetro: P = 2l + 2w = 2(15) + 2(9) = 30 + 18 = 48.
  2. Área: A = lw = 15 \times 9 = 135.

Respuesta: perímetro de 48 ft; área de 135 ft²

Comprobación: la mitad del perímetro, 24, debe ser igual a l + w = 15 + 9 = 24 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (fácil): un triángulo

Un triángulo tiene una base de 14 in y una altura de 12 in. Sus lados inclinados miden 13 in y 15 in. Halla su área.

A triangle with base 14 in, slanted sides 13 in and 15 in, and a dashed height of 12 in meeting the base at a right angle. base 14 in 13 in 15 in h = 12 in
Triángulo con base de 14 in, altura de 12 in y lados inclinados de 13 in y 15 in
  1. Usa solo la base y la altura: A = \tfrac{1}{2}bh.
  2. A = \tfrac{1}{2}(14)(12) = \tfrac{1}{2}(168) = 84.
  3. Los lados inclinados (13 in y 15 in) no se necesitan para el área; solo se usarían para el perímetro.

Respuesta: 84 in²

Comprobación: un rectángulo de 14 por 12 tiene un área de 168; el triángulo es la mitad de eso, 84 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): cercar un patio

Un patio rectangular mide 40 ft de largo y 25 ft de ancho. La cerca cuesta $12 por pie. ¿Cuánto costará cercar todo el patio?

A rectangular yard 40 ft long and 25 ft wide with a fence drawn all the way around its edge. yard fence goes around 40 ft 40 ft 25 ft 25 ft
Patio de 40 ft por 25 ft con una cerca alrededor del borde
  1. La cerca va alrededor del patio, así que necesitas el perímetro.
  2. P = 2(40) + 2(25) = 80 + 50 = 130\text{ ft}.
  3. Costo: 130 \times 12 = 1{,}560.

Respuesta: $1,560

Comprobación: estima 130 \times 10 = 1{,}300, un poco menos que nuestra respuesta, como se esperaba, ya que el precio es $12 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (trabajar al revés): un letrero triangular

Un letrero triangular tiene un área de 60 cm². Su base mide 15 cm. ¿Qué altura tiene el letrero?

A triangular sign with base 15 cm and area 60 square centimetres. The dashed height h is unknown. base 15 cm h = ? A = 60 cm²
Letrero triangular con base de 15 cm, área de 60 cm² y altura desconocida
  1. Escribe la fórmula: 60 = \tfrac{1}{2}(15)h.
  2. Multiplica ambos lados por 2: 120 = 15h.
  3. Divide entre 15: h = 120 \div 15 = 8.

Respuesta: 8 cm

Comprobación: \tfrac{1}{2}(15)(8) = \tfrac{1}{2}(120) = 60 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): lados relacionados con palabras

El largo de un patio rectangular es 4 ft más que su ancho. El perímetro es de 52 ft. ¿Cuál es el área del patio?

A rectangular patio with width w and length w + 4; its perimeter is 52 ft. length = w + 4 w P = 52 ft
Patio rectangular con ancho w y largo w + 4
  1. Llama w al ancho. Entonces el largo es w + 4.
  2. Perímetro: 2(w + 4) + 2w = 52.
  3. Simplifica: 2w + 8 + 2w = 52, así que 4w + 8 = 52.
  4. Resta 8: 4w = 44. Divide entre 4: w = 11. Largo = 11 + 4 = 15.
  5. Área: A = 15 \times 11 = 165.

Respuesta: 165 ft²

Comprobación: perímetro 2(15) + 2(11) = 30 + 22 = 52 ✓, y 15 es 4 más que 11 ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

La mayoría de las preguntas de rectángulos y triángulos usan números enteros pequeños y se pueden hacer a mano; algunas aparecen en la parte del examen sin calculadora. Cuando uses la TI-30XS:

  • Área de un triángulo: escribe 0.5 × 14 × 5 y luego enter → 35. O escribe 14 × 5 ÷ 2. Las dos formas funcionan; el orden de la multiplicación no importa.
  • Perímetro: usa paréntesis: 2 × ( 15 + 9 ) enter → 48.
  • Lado de un cuadrado a partir del área: oprime 2nd y luego x² para obtener √, escribe 49, enter → 7.
  • Fracciones: si un lado mide 3\tfrac{1}{2} ft, escríbelo como 3.5, o usa la tecla n/d para fracciones. La tecla toggle cambia una respuesta entre fracción y decimal.

No abuses de ella: la calculadora no te dice si debes sumar o multiplicar. Decide primero: alrededor = perímetro (sumar), cubrir = área (multiplicar).

Error común

Errores comunes

  • Confundir el área con el perímetro. Para un jardín de 12 por 8, 12 + 8 + 12 + 8 = 40 es el perímetro; el área es 12 \times 8 = 96. Cerca, zócalo, marco → perímetro. Alfombra, pintura, césped, baldosas → área.
  • Olvidar el \tfrac{1}{2} en un triángulo. Base 10 y altura 7 da \tfrac{1}{2}(10)(7) = 35, no 70. Si el área de tu triángulo es igual al área del rectángulo completo, se te olvidó dividir entre 2.
  • Usar un lado inclinado como altura. La altura debe unirse con la base en ángulo recto. En un triángulo rectángulo de 9-12-15, el área es \tfrac{1}{2}(9)(12) = 54, no \tfrac{1}{2}(12)(15) = 90.
  • Sumar solo dos lados de un rectángulo. l + w es solo la mitad del perímetro. Un cuarto de 15 por 9 tiene P = 48, no 24.
  • Trabajar al revés con la operación equivocada. Si A = 84 y w = 7, entonces l = 84 \div 7 = 12, no 84 \times 7 ni 84 - 7.
  • Olvidar duplicar el área antes de dividir (triángulos). Si el área de un triángulo es 54 y su base es 12, la altura es \tfrac{2 \times 54}{12} = 9, no 54 \div 12 = 4.5.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee la pregunta dos veces y subraya lo que te pide. "Cuánta cerca" = perímetro; "cuánta alfombra" = área; "cuál es el ancho" = un lado.
  • Fíjate en las unidades de las respuestas. Las unidades cuadradas (ft²) indican área. Las unidades simples indican perímetro o un lado.
  • Estima primero. Un cuarto de 14 por 11 mide aproximadamente 14 \times 10 = 140 ft², así que una respuesta de 50 o de 500 queda descartada.
  • Prueba las respuestas en las preguntas de "lado que falta": pon cada opción en la fórmula y mira cuál da el área o el perímetro indicado.
  • Ignora los números de más. Las figuras del GED® muchas veces rotulan lados inclinados que no necesitas para el área. Usa solo la base y la altura.
  • Redondea solo al final, y cuando compres materiales (galones de pintura, cajas de baldosas) redondea hacia arriba: no puedes comprar parte de una lata.

Compruébalo

Triángulos y rectángulos: área y perímetroSin calculadora

A rectangular vegetable garden is shown below.

Rectangle garden 12 ft long and 8 ft wide 12 ft 8 ft
Rectangle 12 ft by 8 ft

What is the area of the garden?

Opciones de respuesta
Pista

Area measures the space inside the garden. Which operation combines the length and the width for a rectangle?

Ver en español

Pregunta

Abajo se muestra un huerto rectangular.

¿Cuál es el área del huerto?

Opciones

  • A. 40\text{ ft}^2
  • B. 96\text{ ft}^2
  • C. 20\text{ ft}^2
  • D. 48\text{ ft}^2
Pista

El área mide el espacio dentro del huerto. ¿Qué operación combina el largo y el ancho de un rectángulo?

Compruébalo

Triángulos y rectángulos: área y perímetroSin calculadoraCompletar

Find the area of the triangle.

Triangle with base 10 cm, a dashed height of 7 cm drawn from the top vertex straight down to the base, and slanted sides labeled 7.6 cm (left) and 9.9 cm (right) 10 cm 7 cm 7.6 cm 9.9 cm
Triangle with base 10 cm and height 7 cm

Area = cm²

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Only two of the labeled lengths belong in the area formula: the base and the length that meets the base at a right angle.

Ver en español

Pregunta

Halla el área del triángulo.

Área = _____ cm²

Pista

Solo dos de las longitudes rotuladas van en la fórmula del área: la base y la longitud que se une con la base en ángulo recto.

Resumen

  • Perímetro = distancia alrededor (suma los lados): rectángulo 2l + 2w, cuadrado 4s, triángulo s_1 + s_2 + s_3.
  • Área = superficie de adentro, en unidades cuadradas: rectángulo lw, cuadrado s^2, triángulo \tfrac{1}{2}bh.
  • La altura de un triángulo se une con la base en ángulo recto; puede ser un lado (triángulo rectángulo) o caer afuera (triángulo obtusángulo).
  • Trabaja al revés deshaciendo: l = A \div w; w = (P - 2l) \div 2; triángulo h = 2A \div b.
  • Relaciona el trabajo con la medida: cerca/zócalo → perímetro; alfombra/pintura/césped → área. Redondea hacia arriba cuando compres materiales.
Practicar esta destreza →