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Problemas de porcentaje: impuestos, descuentos, aumentos de precio, interés y cambio porcentual

Resuelve problemas de porcentaje de uno y dos pasos con dinero: impuestos, propinas, descuentos, recargos, comisiones, interés simple y cambio porcentual.

Practicar esta destreza 25 min Problemas de porcentaje: interés, impuesto, aumento de precio, cambio porcentual Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Los porcentajes están en todas partes donde se mueve dinero: impuestos sobre las ventas, propinas, precios en oferta, aumentos de precio en las tiendas, comisiones, aumentos de sueldo, intereses de préstamos y ahorros. El GED® evalúa todo esto, normalmente con problemas de dos pasos: encontrar un porcentaje de algo y luego sumarlo o restarlo, o deshacer un cambio porcentual para encontrar una cantidad original.

En esta lección vas a aprender a:

  • pasar de porcentajes a decimales y fracciones, y al revés;
  • encontrar una parte, un porcentaje o un total con una sola ecuación sencilla;
  • calcular impuestos, propinas, descuentos, aumentos de precio y comisiones en un solo paso usando multiplicadores;
  • encontrar el aumento y la disminución porcentual;
  • manejar cambios porcentuales sucesivos y trabajar hacia atrás para hallar un precio original;
  • usar la fórmula de interés simple I = Prt (está en la hoja de fórmulas) con el tiempo en meses o en años.

Por qué es importante en el GED®: Los problemas de porcentaje están entre las preguntas más comunes del examen de Razonamiento Matemático. Las respuestas trampa salen de errores previsibles: detenerse después del primer paso, dividir entre el número equivocado o tratar "20% y luego 20%" como "40%". Aprende las trampas y ganarás puntos fáciles.

Vocabulario

  • Porcentaje (%) — "por cada cien". 35\% = \tfrac{35}{100} = 0.35.
  • Base (total) — la cantidad de la que sacas un porcentaje (el precio original, el valor anterior).
  • Parte — el resultado de sacar un porcentaje de la base. El 20% de $50 es la parte $10.
  • Impuesto sobre las ventas — un porcentaje del precio que se suma a la cuenta. Un impuesto de 7% sobre $20 es $1.40.
  • Propina — un porcentaje de la cuenta que se agrega por el servicio.
  • Descuento / rebaja — un porcentaje que se resta de un precio. Un 25% de descuento sobre $80 te ahorra $20.
  • Aumento de precio (markup) — un porcentaje que se suma al costo de la tienda para fijar el precio de venta.
  • Comisión — un pago que es un porcentaje de las ventas. El 5% de $4,000 en ventas es $200.
  • Cambio porcentual — cuánto creció o disminuyó un valor, como porcentaje del valor original.
  • Multiplicador — el decimal por el que multiplicas para aplicar un cambio en un solo paso: 1.08 para +8%, 0.75 para −25%.
  • Interés simple — interés que se paga solo sobre la cantidad original: I = Prt.
  • Capital (P) — la cantidad que se pide prestada o que se invierte.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Lo básico del porcentaje: una ecuación para tres tipos de preguntas

Cómo convertir. De porcentaje a decimal: mueve el punto decimal dos lugares a la izquierda (8\% = 0.08, 12.5\% = 0.125, 150\% = 1.5). De decimal a porcentaje: dos lugares a la derecha (0.045 = 4.5\%). Fracciones útiles: 25\% = \tfrac{1}{4}, 50\% = \tfrac{1}{2}, 20\% = \tfrac{1}{5}, 10\% = \tfrac{1}{10}, 33\tfrac{1}{3}\% = \tfrac{1}{3}.

La ecuación del porcentaje:

\text{parte} = \text{porcentaje (como decimal)} \times \text{base}

Responde tres tipos de preguntas, según lo que falte:

Lo que faltaEjemploCálculo
parte¿Cuánto es el 15% de 60?0.15 \times 60 = 9
porcentaje¿9 es qué porcentaje de 60?9 \div 60 = 0.15 = 15\%
base¿9 es el 15% de qué número?9 \div 0.15 = 60
Percent bar model drawn to scale: a bar for the base 60 is marked from 0% to 100% in steps of 10%, with matching values 0, 6, 12, up to 60. The first 15% of the bar is shaded and equals 9.15% of 60 = 90%010%620%1230%1840%2450%3060%3670%4280%4890%54100%609base = 60 (100%)each 10% = 6, so 15% = 6 + 3 = 9
Modelo de barra: el 15% de 60 es 9

"De" normalmente señala la base. "Es" normalmente está junto a la parte.

Cálculo mental con el 10%. Para sacar el 10% de un número, mueve el punto decimal un lugar a la izquierda: el 10% de $64 es $6.40. Entonces el 5% es la mitad ($3.20), el 20% es el doble ($12.80) y el 15% es 6.40 + 3.20 = \$9.60. Es excelente para propinas y para estimar.

Sumar o restar un porcentaje: impuestos, propinas, descuentos, aumentos de precio y comisiones

Método de dos pasos. Encuentra el porcentaje de la base y luego súmalo o réstalo.

  • Camisa de $45, impuesto de 8%: impuesto = 0.08 \times 45 = \$3.60; total = 45 + 3.60 = \$48.60.
Bar model drawn to scale: a bar for the 45 dollars price is 100%; a small added piece of 8% is the 3.60 dollars tax. Together they make 108% of 45 dollars, which is 45 × 1.08 = 48.60 dollars.$45 shirt with 8% tax$45 (100%)$3.600%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%110%total = 108% of $45 = 45 × 1.08 = $48.60
Barra: 45 dólares son el 100%, más un impuesto de 8% de 3.60 dólares, total 108%
  • Chaqueta de $80, 25% de descuento: descuento = 0.25 \times 80 = \$20; precio en oferta = 80 - 20 = \$60.
Bar model drawn to scale: the 80 dollars price is the whole bar, 100%. The last 25%, 20 dollars, is taken off; the remaining 75% is the 60 dollars sale price, 80 × 0.75.$80 jacket at 25% offpay $60 (75%)off $200%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%sale price = 75% of $80 = 80 × 0.75 = $60
Barra: 80 dólares divididos en 75% pagado (60 dólares) y 25% de descuento (20 dólares)

Método de un paso: multiplicadores.

SituaciónMultiplicadorEjemplo
Aumento de r (impuesto, propina, aumento de precio, aumento de sueldo)1 + r$45 con 8% de impuesto: 45 \times 1.08 = \$48.60
Disminución de r (descuento, rebaja, baja)1 - r$80 con 25% de descuento: 80 \times 0.75 = \$60

Por qué funciona: pagar el precio más el 8% es pagar el 100\% + 8\% = 108\% del precio.

El aumento de precio es un porcentaje del costo de la tienda: una tienda compra una lámpara a $40 y le aumenta el 35% → 40 \times 1.35 = \$54.

La comisión es simplemente "parte = tasa × ventas": el 6% de $3,250 es 0.06 \times 3{,}250 = \$195. Con sueldo base: pago total = sueldo base + comisión.

Lee con cuidado: ¿cuál es la base? La propina es un porcentaje de la cuenta que indica la pregunta (muchas veces, la cantidad antes de impuestos); un descuento es un porcentaje del precio original; un aumento de precio es un porcentaje del costo.

Cambio porcentual, cambios sucesivos y trabajar hacia atrás

Cambio porcentual:

\text{cambio porcentual} = \frac{\text{nuevo} - \text{original}}{\text{original}} \times 100\%

Un resultado positivo es un aumento; un resultado negativo es una disminución. Siempre divide entre el valor original (el anterior).

  • La renta sube de $1,250 a $1,350: \dfrac{100}{1{,}250} = 0.08 → aumento de 8%.
  • Un precio baja de $250 a $210: \dfrac{-40}{250} = -0.16 → disminución de 16%.

Los porcentajes sucesivos se multiplican, no se suman. Subir 20% y luego bajar 20%: 1.20 \times 0.80 = 0.96, una disminución de 4% en total, no "sin cambio". Un aumento de precio de 50% y luego 20% de descuento: 1.5 \times 0.8 = 1.2, un aumento de 20%, no de 30%.

Bar chart drawn to scale: a value of 100 rises 20% to 120, then falls 20% of 120 to 96. A dashed line at 100 shows the final 96 is below the start: 1.20 × 0.80 = 0.96, a 4% decrease.Up 20% then down 20% (start at 100)start100up 20%120then down 20%1.20 × 0.80 = 0.96 → a 4% decrease, not 0%96
Barras: 100 → 120 → 96

Trabajar hacia atrás (encontrar el original). Si conoces un precio después de un cambio, divide entre el multiplicador:

  • Con 15% de descuento, un abrigo cuesta $51. Original = 51 \div 0.85 = \$60.
Bar model drawn to scale for working backwards: the whole bar is the unknown original price, 100%. The 51 dollars sale price fills 85% of it and the 15% discount, 9 dollars, fills the rest. So the original is 51 divided by 0.85 = 60 dollars.After 15% off, the coat costs $51$51 = 85%$9 off0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%original = 100% = 51 ÷ 0.85 = $60
Barra: 51 dólares son el 85% del original de 60 dólares
  • Con 6% de impuesto, el total es $63.60. Precio antes de impuestos = 63.60 \div 1.06 = \$60.

No vuelvas a sumar el porcentaje: 51 \times 1.15 = \$58.65 está mal, porque el 15% se sacó del precio original, que es más grande, no de $51.

Interés simple

I = Prt
  • I = interés (dólares que ganas o que debes)
  • P = capital (la cantidad inicial)
  • r = tasa de interés anual como decimal (3.5\% = 0.035)
  • t = tiempo en años
Labelled formula I = P × r × t: I is the interest in dollars, P is the principal in dollars, r is the yearly rate written as a decimal, and t is the time in years. Example: 5,000 × 0.04 × 3 = 600 dollars.Simple interestIinterest ($)=Pprincipal ($)×ryearly rateas decimal×ttime in yearsexample: 5,000 × 0.04 × 3 = $600
Fórmula con etiquetas I = P r t

Tiempo en meses: divide entre 12. 18 meses = \tfrac{18}{12} = 1.5 años; 9 meses = 0.75 año; 2 años 6 meses = 2.5 años (¡no 2.6!).

  • $5,000 al 4% durante 3 años: I = 5{,}000 \times 0.04 \times 3 = \$600.
  • $1,800 al 5% durante 9 meses: I = 1{,}800 \times 0.05 \times 0.75 = \$67.50.

Cantidad total (lo que tienes o debes al final) = P + I. Lee la pregunta: ¿pide el interés o el total?

Cómo encontrar un valor que falta. Despeja: r = \dfrac{I}{Pt}, t = \dfrac{I}{Pr}, P = \dfrac{I}{rt}. Si $3,200 ganan $360 en 2.5 años: r = \dfrac{360}{3{,}200 \times 2.5} = \dfrac{360}{8{,}000} = 0.045 = 4.5\%.

Fórmula

Fórmulas que debes saber

\text{parte} = \text{tasa} \times \text{base} \qquad \text{precio nuevo} = \text{precio} \times (1 \pm r) \qquad \text{original} = \frac{\text{precio nuevo}}{1 \pm r} \text{cambio porcentual} = \frac{\text{nuevo} - \text{original}}{\text{original}} \times 100\% \qquad\qquad I = Prt
  • r — el porcentaje escrito como decimal.
  • P — capital, t — tiempo en años, I — interés simple.

¿Está en la hoja de fórmulas del GED®? Solo el interés simple, I = Prt, está en la hoja. La ecuación del porcentaje, los multiplicadores y la fórmula del cambio porcentual no están; debes aprenderlos de memoria.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): la propina en un restaurante

La cuenta de una cena es de $42. Ming deja una propina de 15%. ¿Cuánto es la propina y cuál es el total?

  1. El 10% de $42 es $4.20; el 5% es la mitad, $2.10.
  2. Propina: 4.20 + 2.10 = \$6.30 \quad (\text{o } 0.15 \times 42 = 6.30)
  3. Total: 42 + 6.30 = \$48.30 \quad (\text{o } 42 \times 1.15 = 48.30)
Bar model drawn to scale: the 42 dollars bill is 100%. Added on are 10% = 4.20 dollars and 5% = 2.10 dollars, half of 10%. The tip is 6.30 dollars and the total, 115% of the bill, is 48.30 dollars.15% tip on a $42 billbill $42 (100%)$4.20$2.100%20%40%60%80%100%120%tip = 10% + 5% = 4.20 + 2.10 = $6.30; total = $48.30
Barra: 42 dólares más 10% (4.20 dólares) más 5% (2.10 dólares)

Respuesta: propina de $6.30; total de $48.30.

Comprobación: 6.30 \div 42 = 0.15 = 15\% ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: aumento porcentual de la renta

La renta mensual pasó de $1,250 a $1,350. ¿Cuál fue el aumento porcentual?

  1. Cambio: 1{,}350 - 1{,}250 = 100
  2. Divide entre el original: \frac{100}{1{,}250} = 0.08
  3. Como porcentaje: 0.08 = 8\%.
Bar chart drawn to scale: old rent 1,250 dollars and new rent 1,350 dollars. The extra piece of 100 dollars is marked. Dividing the change by the original gives 100 ÷ 1,250 = 0.08, an 8% increase.Rent: $1,250 → $1,350old rent$1,250new rent$1,350change $100 ÷ original $1,250 = 0.08 = 8% increase+$100
Barras: de 1,250 dólares a 1,350 dólares, un cambio de 100 dólares

Respuesta: un aumento de 8%.

Comprobación: 1{,}250 \times 1.08 = 1{,}350 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: interés simple con años y meses

(a) Ray invierte $5,000 a un interés simple de 4% durante 3 años. ¿Cuánto interés gana? (b) Dana pide prestados $1,800 a un interés simple de 5% durante 9 meses. ¿Cuánto interés debe?

  1. (a) I = Prt = 5{,}000 \times 0.04 \times 3 = \$600
  2. (b) Cambia los meses a años: t = \tfrac{9}{12} = 0.75. I = 1{,}800 \times 0.05 \times 0.75 = \$67.50
Two bar models. (a) 5,000 dollars at 4% earns 200 dollars each year: three equal 200 dollars blocks for 3 years make 600 dollars. (b) 1,800 dollars at 5% earns 90 dollars in a full year, shown as four 22.50 dollars quarters; 9 months is 3 of the 4 quarters, 0.75 year, so the interest is 67.50 dollars.Simple interest builds the same amount each year(a) $5,000 at 4%: $200 per year$200year 1$200year 2$200year 33 × $200 = $600(b) $1,800 at 5%: $90 per year$22.50$22.50$22.50$22.509 months¾ × $90 = $67.50(t = 9/12 = 0.75 year)
Bloques: 3 × 200 dólares = 600 dólares; 3/4 de 90 dólares = 67.50 dólares

Respuesta: (a) $600; (b) $67.50.

Comprobación: (a) El 4% de $5,000 es $200 por año, y 3 años dan $600 ✓ (b) El 5% de $1,800 es $90 por año, y \tfrac{3}{4} de $90 es $67.50 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (varios pasos): aumento de precio, oferta e impuesto

Una tienda paga $60 por un par de botas y les aumenta el precio un 50%. Después, las botas salen en oferta con 20% de descuento. Un cliente paga un impuesto sobre las ventas de 6% sobre el precio en oferta. ¿Cuánto paga el cliente?

  1. Precio de venta después del aumento: 60 \times 1.50 = \$90
  2. Precio en oferta (20% de descuento): 90 \times 0.80 = \$72
  3. Con 6% de impuesto: 72 \times 1.06 = \$76.32
Bar chart drawn to scale of the boot price at each step: store cost 60 dollars, after a 50% markup 90 dollars, after 20% off 72 dollars, and after 6% tax 76.32 dollars. In one chain, 60 × 1.5 × 0.8 × 1.06 = 76.32.Boots: each step multiplies the pricecost$60.00+50% markup$90.00−20% sale$72.00+6% tax$76.3260 × 1.5 × 0.8 × 1.06 = $76.32
Barras: 60 dólares → 90 dólares → 72 dólares → 76.32 dólares

Respuesta: $76.32.

Comprobación: En una sola cadena: 60 \times 1.5 \times 0.8 \times 1.06 = 76.32 ✓ (Nota: +50% y luego −20% no es +30%; 1.5 \times 0.8 = 1.2, así que es +20% antes de impuestos).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajar hacia atrás): encuentra el precio original

Leah compró una chaqueta con 25% de descuento. También pagó un impuesto sobre las ventas de 8% sobre el precio en oferta. Su total fue de $97.20. ¿Cuál era el precio original?

  1. Deshaz el impuesto; divide entre 1.08: 97.20 \div 1.08 = \$90 \quad\text{(precio en oferta)}
  2. Deshaz el descuento de 25%; el precio en oferta es el 75% del original, así que divide entre 0.75: 90 \div 0.75 = \$120
Flowchart: going forward, the original 120 dollars times 0.75 gives the 90 dollars sale price, and times 1.08 gives the 97.20 dollars total. Working backwards, divide 97.20 dollars by 1.08 to get 90 dollars, then divide by 0.75 to get the original 120 dollars.Work backwards: undo each step by dividing$120original$90sale price$97.20total paid× 0.75× 1.08÷ 0.75÷ 1.0897.20 ÷ 1.08 = 90; 90 ÷ 0.75 = 120
120 dólares ×0.75 → 90 dólares ×1.08 → 97.20 dólares, deshecho dividiendo

Respuesta: el precio original era de $120.

Comprobación: 120 \times 0.75 = 90, y 90 \times 1.08 = 97.20 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • Escribe los porcentajes como decimales. Para 8%, escribe 0.08 (o .08). No pierdas tiempo buscando una tecla de %: el decimal siempre funciona.
  • Usa multiplicadores en una sola línea: 60 × 1.5 × 0.8 × 1.06 enter → 76.32.
  • Trabajar hacia atrás: 97.2 ÷ 1.08 ÷ 0.75 enter → 120.
  • Cambio porcentual: usa paréntesis: ( 1350 − 1250 ) ÷ 1250 enter → 0.08, y léelo como 8%. Si es una disminución verás un número negativo; usa la tecla (−) solo para escribir un valor negativo, no para restar.
  • Interés: 2400 × 0.035 × 1.5 enter → 126.
  • Cuándo no usarla: el 10%, el 25% y el 50% de números fáciles se calculan más rápido mentalmente, y estimar con el 10% es la forma más rápida de comprobar cualquier respuesta.
Error común

Errores comunes

  • Detenerse después del primer paso. Un impuesto de 8% sobre $45 es $3.60, pero la pregunta pedía el total. ✔ Súmalo: $48.60 (o multiplica por 1.08).
  • Dividir entre el valor nuevo en el cambio porcentual. De $80 a $92 no es 12 \div 92 \approx 13\%. ✔ Divide entre el original: 12 \div 80 = 15\%.
  • Sumar porcentajes sucesivos. +20% y luego −20% no es 0%. ✔ Multiplica: 1.2 \times 0.8 = 0.96, una disminución de 4%.
  • Trabajar hacia atrás sumando el porcentaje. Un precio en oferta de $51 después de 15% de descuento no viene de 51 \times 1.15 = \$58.65. ✔ Divide: 51 \div 0.85 = \$60.
  • Usar meses como años en I = Prt. 18 meses es t = 1.5, no 18. Y 2 años 6 meses es 2.5, no 2.6. ✔ Divide los meses entre 12.
  • Errores con el punto decimal. 8% es 0.08, no 0.8. 4.5% es 0.045. ✔ Mueve el punto decimal exactamente dos lugares.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Estima con el 10%. El 10% de $212 es $21.20, así que el 20% es unos $42 y una propina de 18% es un poco menos (unos $38). Elimina las opciones que estén muy lejos.
  • Pregúntate "¿la respuesta debe ser mayor o menor?" Después de un descuento, el precio baja; después de un impuesto o un aumento, sube; un precio original antes de un descuento es mayor que el precio en oferta.
  • Encuentra la base de cada porcentaje: ¿el precio original? ¿el precio en oferta? ¿el costo? ¿la cuenta antes de impuestos? Subráyala.
  • Sustituye las respuestas en las preguntas de trabajar hacia atrás: aplica el o los porcentajes a la opción y fíjate si llegas al número dado.
  • Preguntas de interés: encierra en un círculo la unidad de tiempo y fíjate si dice interés o cantidad total. I = Prt está en la hoja de fórmulas: úsala.
  • Espera trampas: el resultado del primer paso, la respuesta de "sumar los porcentajes" y la de "dividir entre el valor nuevo" suelen aparecer todas como opciones.

Compruébalo

Problemas de porcentaje: interés, impuesto, aumento de precio, cambio porcentualSin calculadora

A shirt costs $45. The sales tax rate is 8%. What is the total cost of the shirt, including tax?

Opciones de respuesta
Pista

Find 8% of $45 first. Does the question want only the tax, or the price plus the tax?

Ver en español

Pregunta

Una camisa cuesta $45. La tasa del impuesto sobre las ventas es de 8%. ¿Cuál es el costo total de la camisa, con el impuesto incluido?

Opciones

  • A. $3.60
  • B. $48.60
  • C. $53.00
  • D. $81.00
Pista

Primero encuentra el 8% de $45. ¿La pregunta pide solo el impuesto, o el precio más el impuesto?

Compruébalo

Problemas de porcentaje: interés, impuesto, aumento de precio, cambio porcentualSin calculadoraCompletar

A salesperson earns a 6% commission on her sales. This week she sold $3,250 worth of furniture. How much commission did she earn?

$

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Commission is a percent of the sales. Change 6% to a decimal and multiply.

Ver en español

Pregunta

Una vendedora gana una comisión de 6% sobre sus ventas. Esta semana vendió $3,250 en muebles. ¿Cuánto ganó de comisión?

$_____

Pista

La comisión es un porcentaje de las ventas. Cambia 6% a decimal y multiplica.

Resumen

Puntos clave

  • \text{parte} = \text{tasa} \times \text{base}; "de" señala la base.
  • Para aumentar en r: multiplica por 1 + r. Para disminuir en r: multiplica por 1 - r.
  • Cambio porcentual = \dfrac{\text{nuevo} - \text{original}}{\text{original}}: siempre divide entre el original.
  • Los porcentajes sucesivos se multiplican; para deshacer un cambio, divide entre su multiplicador.
  • Interés simple: I = Prt (está en la hoja de fórmulas) con r como decimal y t en años.
  • Vuelve a leer la pregunta: ¿interés o total? ¿impuesto o total? ¿precio en oferta u original?
Practicar esta destreza →