Lo que vas a aprender
Una proporción dice que dos razones son iguales. Es una de las herramientas más útiles en el GED®: si sabes cómo se relacionan dos cantidades en una situación, una proporción te dice la cantidad que falta en otra situación. La conversión de unidades (cambiar pies a pulgadas, galones a tazas o millas por hora a pies por segundo) es la misma idea disfrazada.
En esta lección vas a aprender a:
- escribir y resolver una proporción con la multiplicación cruzada;
- distinguir las razones parte a parte (niños a niñas) de las razones parte a todo (niños a estudiantes);
- repartir un total en partes usando una razón como 1:2:4;
- convertir unidades multiplicando por factores de conversión, incluso conversiones de dos pasos;
- convertir unidades cuadradas correctamente (1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados, no 3);
- encadenar varios pasos en problemas verbales al estilo del GED®.
Por qué es importante en el GED®: Las recetas, las dosis de medicina, el costo de la gasolina, las telas, las alfombras, las mezclas de pintura y las tasas de trabajo son problemas de proporciones, y muchas preguntas agregan un cambio de unidades en medio. El GED® normalmente te da la conversión (como "1 yarda = 3 pies"), pero tú debes usarla en la dirección correcta.
Vocabulario
- Razón — una comparación de dos cantidades: 3:5, "3 a 5" o \tfrac{3}{5}.
- Razón parte a parte — compara una parte con otra parte (3 niños por cada 5 niñas).
- Razón parte a todo — compara una parte con el total (3 niños de 8 estudiantes, \tfrac{3}{8}).
- Proporción — una ecuación que dice que dos razones son iguales: \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}.
- Multiplicación cruzada — en \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}, los productos cruzados son iguales: ad = bc. (2 \times 15 = 5 \times 6 = 30).
- Factor de conversión — una fracción igual a 1 que cambia las unidades, como \dfrac{12\text{ in}}{1\text{ ft}} o \dfrac{1\text{ ft}}{12\text{ in}}.
- Análisis dimensional — escribir las unidades como parte de las fracciones para que se cancelen; así ves si debes multiplicar o dividir.
- Unidades del sistema inglés — las unidades de EE. UU.: pulgadas, pies, yardas, millas; tazas, pintas, cuartos de galón, galones; onzas, libras.
- Unidad cuadrada — una unidad de área, como un pie cuadrado (\text{ft}^2): un cuadrado de 1 ft por lado.
Proporciones y multiplicación cruzada
Cómo plantear una proporción. Escribe la razón conocida y la razón desconocida como fracciones, con el mismo tipo de cantidad en la misma posición en los dos lados.
\frac{3\text{ tazas}}{24\text{ galletas}} = \frac{x\text{ tazas}}{60\text{ galletas}}Con 3 tazas de harina se hacen 24 galletas. ¿Cuánta harina se necesita para 60 galletas?
Las tazas están arriba en los dos lados; las galletas están abajo en los dos lados. ✔
Para resolver: multiplica en cruz y luego divide.
24x = 3 \times 60 = 180 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{180}{24} = 7.5\text{ tazas}El atajo de la tasa unitaria. También puedes encontrar primero la cantidad para una: 3 \div 24 = 0.125 taza por galleta, y luego 0.125 \times 60 = 7.5 tazas. Los dos métodos siempre coinciden; usa el que te parezca más natural.
El atajo de aumentar la receta. Si los números son fáciles, encuentra el multiplicador: 60 galletas son 60 \div 24 = 2.5 veces la receta, así que la harina es 3 \times 2.5 = 7.5 tazas.
Cómo comprobar una proporción. Dos razones son iguales si sus productos cruzados coinciden: \tfrac{4}{6} y \tfrac{10}{15} → 4 \times 15 = 60 y 6 \times 10 = 60 ✔.
Problemas de varios pasos. Las proporciones muchas veces llevan a otro paso. Un carro usa 9 galones para 252 millas. La gasolina cuesta $3.60 por galón. ¿Cuánto cuesta un viaje de 420 millas?
- Galones: \dfrac{9}{252} = \dfrac{g}{420} → g = \dfrac{9 \times 420}{252} = 15 galones.
- Costo: 15 \times 3.60 = \$54.
Razones parte a parte: cómo repartir un total
Una razón como niños : niñas = 3 : 5 compara dos partes. El total tiene 3 + 5 = 8 partes.
Para repartir un total según una razón:
- Suma los números de la razón para obtener el número total de partes.
- Divide el total entre el número de partes para obtener el tamaño de una parte.
- Multiplica una parte por cada número de la razón.
Ejemplo. En una clase de 32, la razón de niños a niñas es 3:5.
- Total de partes: 3 + 5 = 8. Una parte: 32 \div 8 = 4 estudiantes.
- Niños: 3 \times 4 = 12. Niñas: 5 \times 4 = 20. ✔ 12 + 20 = 32.
Visto como fracción. Las niñas son \tfrac{5}{8} de la clase: \tfrac{5}{8} \times 32 = 20. (No \tfrac{5}{3} ni \tfrac{3}{5}; esas comparan parte con parte).
Las razones de tres partes funcionan igual. Un concreto mezclado como cemento : arena : grava = 1 : 2 : 4 tiene 1 + 2 + 4 = 7 partes. Para 420 lb: una parte = 420 \div 7 = 60 lb, así que hay 60 lb de cemento, 120 lb de arena y 240 lb de grava.
Cuando conoces una parte y no el total. Si la razón es 3:5 y hay 15 niñas, una parte es 15 \div 5 = 3, así que niños = 3 \times 3 = 9 y el total es 8 \times 3 = 24.
Conversión de unidades con factores de conversión
Conversiones comunes de EE. UU. (el GED® normalmente te da las que necesitas, pero conoce estas):
| Longitud | Volumen | Peso | Tiempo |
|---|---|---|---|
| 12 in = 1 ft | 8 fl oz = 1 taza | 16 oz = 1 lb | 60 s = 1 min |
| 3 ft = 1 yd | 2 tazas = 1 pinta | 2,000 lb = 1 tonelada | 60 min = 1 h |
| 5,280 ft = 1 mi | 2 pintas = 1 cuarto de galón | 24 h = 1 día | |
| 4 cuartos de galón = 1 galón (16 tazas) | 7 días = 1 semana |
Regla de la dirección. Si pasas a una unidad más pequeña, necesitas más de ellas → multiplica. Si pasas a una unidad más grande → divide.
- 4.5 ft a pulgadas (unidad más pequeña): 4.5 \times 12 = 54 in.
- 7,920 ft a millas (unidad más grande): 7{,}920 \div 5{,}280 = 1.5 mi.
El análisis dimensional hace que la dirección sea automática. Multiplica por un factor de conversión acomodado para que la unidad anterior se cancele:
14\text{ ft} \times \frac{1\text{ yd}}{3\text{ ft}} = \frac{14}{3}\text{ yd} \approx 4.67\text{ yd}Conversiones de dos pasos (en cadena). Convierte una unidad a la vez. De 60 millas por hora a pies por segundo:
60\ \frac{\text{mi}}{\text{h}} \times \frac{5{,}280\text{ ft}}{1\text{ mi}} \times \frac{1\text{ h}}{3{,}600\text{ s}} = \frac{316{,}800}{3{,}600} = 88\ \frac{\text{ft}}{\text{s}}Las millas se cancelan con millas, las horas con horas, y quedan pies por segundo. (1 h = 60 min × 60 s = 3,600 s).
Unidades cuadradas. Una yarda cuadrada mide 3 ft por 3 ft, así que 1\text{ yd}^2 = 3 \times 3 = 9\text{ ft}^2. De la misma forma, 1\text{ ft}^2 = 12 \times 12 = 144\text{ in}^2. Para cambiar 180 pies cuadrados a yardas cuadradas, divide entre 9: 180 \div 9 = 20 yardas cuadradas.
Fórmulas que debes saber
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \;\Longleftrightarrow\; ad = bc \qquad\qquad x = \frac{b \cdot c}{d}\ \text{ cuando } \frac{x}{b} = \frac{c}{d} \text{una parte} = \frac{\text{total}}{\text{suma de los números de la razón}} \qquad\qquad \text{cantidad nueva} = \text{cantidad anterior} \times \frac{\text{unidades nuevas}}{\text{unidades anteriores}}\ \text{(factor de conversión, p. ej. } \tfrac{12\text{ in}}{1\text{ ft}}\text{)}- a, b, c, d — los cuatro números de una proporción; uno de ellos es desconocido.
- factor de conversión — una fracción igual a 1, como \dfrac{12\text{ in}}{1\text{ ft}}.
¿Está en la hoja de fórmulas del GED®? No. Las proporciones, el reparto según una razón y los factores de conversión no están en la hoja; debes saber usarlos. Las equivalencias de unidades como 5,280 ft = 1 mi normalmente se dan en la pregunta; aun así, aprende de memoria las más comunes de la tabla de arriba para ahorrar tiempo.
Ejemplo 1 (fácil): una proporción en una receta
2 tazas de arroz alcanzan para 6 personas. ¿Cuántas tazas se necesitan para 15 personas?
- Plantea la proporción (tazas sobre personas): \frac{2}{6} = \frac{x}{15}
- Multiplica en cruz: 6x = 2 \times 15 = 30
- Divide: x = 30 \div 6 = 5
Respuesta: 5 tazas de arroz.
Comprobación: Las dos razones se simplifican al mismo valor: \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3} y \tfrac{5}{15} = \tfrac{1}{3} ✓
Ejemplo 2: repartir un total según una razón
Una pintora mezcla pintura azul y blanca en la razón 2:3 para hacer 20 galones de pintura azul claro. ¿Cuántos galones de cada color usa?
- Total de partes: 2 + 3 = 5.
- Una parte: 20 \div 5 = 4 galones.
- Azul: 2 \times 4 = 8 galones. Blanco: 3 \times 4 = 12 galones.
Respuesta: 8 galones de azul y 12 galones de blanco.
Comprobación: 8 + 12 = 20 ✓ y 8:12 = 2:3 ✓
Ejemplo 3: convertir a una unidad más grande
Un sendero mide 7,920 pies de largo. ¿Cuántas millas son? (1 milla = 5,280 pies)
- Las millas son más grandes que los pies, así que el número se hace más pequeño: divide. Con un factor de conversión: 7{,}920\text{ ft} \times \frac{1\text{ mi}}{5{,}280\text{ ft}} = \frac{7{,}920}{5{,}280}\text{ mi}
- 7{,}920 \div 5{,}280 = 1.5
Respuesta: 1.5 millas.
Comprobación: 1.5 \times 5{,}280 = 7{,}920 ft ✓
Ejemplo 4 (varios pasos): el costo de un viaje por carretera
El carro de Rosa rinde 28 millas por galón. Ella planea un viaje de 378 millas, y la gasolina cuesta $3.40 por galón. ¿Cuánto le costará la gasolina?
- Galones necesarios: 378 \div 28 = 13.5\text{ galones}
- Costo: 13.5 \times \$3.40 = \$45.90
Respuesta: $45.90.
Comprobación: 13.5 \times 28 = 378 millas ✓, y al estimar: unos 14 galones a unos $3.50 son unos $49, cerca de $45.90 ✓
Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajar hacia atrás): un tanque con fuga
Un tanque de agua pierde 2 cuartos de galón cada 5 minutos. A este ritmo, ¿cuántas horas tardará en perder 60 galones? (4 cuartos de galón = 1 galón)
- Tasa de la fuga por minuto: 2 \div 5 = 0.4\text{ cuarto de galón por minuto}
- Por hora: 0.4 \times 60 = 24\text{ cuartos de galón por hora}
- En galones por hora: 24 \div 4 = 6\text{ galones por hora}
- Trabaja hacia atrás; tiempo = cantidad ÷ tasa: 60 \div 6 = 10\text{ horas}
Respuesta: 10 horas.
Comprobación: En 10 horas (600 minutos) hay 600 \div 5 = 120 periodos de cinco minutos; 120 \times 2 = 240 cuartos de galón = 240 \div 4 = 60 galones ✓
Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)
- Para resolver una proporción: para \dfrac{3}{24} = \dfrac{x}{60}, escribe
3×60÷24enter→ 7.5. (Multiplica los dos números que están en diagonal y luego divide entre el tercero). - Conversiones en cadena: escribe toda la cadena de una vez:
60×5280÷3600enter→ 88. Cada factor que va arriba se multiplica; cada factor de abajo se divide. - Respuestas en fracción: si la respuesta aparece como fracción, por ejemplo \tfrac{14}{3}, oprime
togglepara ver 4.666… - Cuándo no usarla: las conversiones sencillas (4.5 ft × 12) y los repartos con números fáciles son más rápidos a mano, y pueden aparecer en la sección sin calculadora.
Errores comunes
- Proporción mal acomodada. \dfrac{3\text{ tazas}}{24\text{ galletas}} = \dfrac{60\text{ galletas}}{x\text{ tazas}} ¡da 480 tazas! ✔ Mantén las mismas unidades en la misma posición en los dos lados.
- Usar una razón parte a parte como parte a todo. Con niños : niñas = 3:5 y 32 estudiantes, las niñas no son \tfrac{3}{5} \times 32. ✔ Hay 8 partes, así que niñas = \tfrac{5}{8} \times 32 = 20.
- Convertir en la dirección equivocada. 14 ft a yardas no es 14 \times 3 = 42 yd. ✔ Las yardas son más grandes, así que divide: 14 \div 3 \approx 4.67 yd.
- Usar un factor de longitud para el área. 180 pies cuadrados no son 180 \div 3 = 60 yardas cuadradas. ✔ 1\text{ yd}^2 = 9\text{ ft}^2, así que 180 \div 9 = 20 yardas cuadradas.
- Detenerse antes de tiempo. En un problema de varios pasos, la respuesta intermedia (como 15 galones) suele ser una trampa. ✔ Vuelve a leer la pregunta: pedía dólares.
- Olvidar un paso de la cadena. De mph a ft/s se necesitan los dos cambios, de millas a pies y de horas a segundos. ✔ Verifica que todas las unidades anteriores se hayan cancelado.
Estrategia para el examen GED®
- Escribe la unidad junto a cada número en tu pizarra borrable. Las unidades te dicen qué se cancela y qué hacer después.
- Estima antes de calcular. Si 3 tazas dan 24 galletas, 60 galletas necesitan un poco más del doble: unas 7 u 8 tazas. Una respuesta de 480 o de 20 está claramente mal.
- ¿Pregunta de razones? Pregúntate "¿parte o todo?" Si te dan un total, primero suma los números de la razón.
- Sustituye las respuestas. En un reparto según una razón, comprueba que las partes sumen el total y que se simplifiquen a la razón dada.
- Fíjate en la conversión que da el enunciado: el GED® normalmente la da, muchas veces entre paréntesis. Usa exactamente ese factor.
- Lee dos veces la última oración para ver en qué unidad debe estar la respuesta (¿pulgadas o pies? ¿dólares o galones?).
Compruébalo
A cookie recipe uses 3 cups of flour to make 24 cookies. How many cups of flour are needed to make 60 cookies?
Pista
Write a proportion with cups on top and cookies on the bottom on both sides.
Solución paso a paso
- Set up the proportion (cups over cookies on both sides): \frac{3}{24} = \frac{x}{60}
- Cross-multiply: 24x = 3 \times 60 = 180
- Divide both sides by 24: x = \frac{180}{24} = 7.5
You need 7.5 cups of flour.
Check: \tfrac{3}{24} = 0.125 and \tfrac{7.5}{60} = 0.125 — equal ratios ✓ (Also: 60 is 2.5 times 24, and 3 \times 2.5 = 7.5.)
Tip: Keep the same units in the same positions. Mixing them (\tfrac{3}{24} = \tfrac{60}{x}) gives 480 cups — always ask whether your answer makes sense for a batch of cookies.
Explicación
- Plantea la proporción (tazas sobre galletas en los dos lados): \frac{3}{24} = \frac{x}{60}
- Multiplica en cruz: 24x = 3 \times 60 = 180
- Divide los dos lados entre 24: x = \frac{180}{24} = 7.5
Necesitas 7.5 tazas de harina.
Comprobación: \tfrac{3}{24} = 0.125 y \tfrac{7.5}{60} = 0.125: razones iguales ✓ (También: 60 es 2.5 veces 24, y 3 \times 2.5 = 7.5).
Consejo: Deja las mismas unidades en las mismas posiciones. Si las mezclas (\tfrac{3}{24} = \tfrac{60}{x}), obtienes 480 tazas; siempre pregúntate si tu respuesta tiene sentido para una tanda de galletas.
Ver en español
Pregunta
Una receta de galletas usa 3 tazas de harina para hacer 24 galletas. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para hacer 60 galletas?
Opciones
Pista
Escribe una proporción con las tazas arriba y las galletas abajo en los dos lados.
Compruébalo
A shelf is 4.5 feet long. How long is the shelf in inches? (1 foot = 12 inches)
inches
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Inches are smaller than feet, so you will need more of them. Multiply or divide?
Solución paso a paso
- Inches are a smaller unit than feet, so the number of inches will be larger — multiply.
- Use the conversion factor \dfrac{12\text{ in}}{1\text{ ft}}: 4.5\text{ ft} \times \frac{12\text{ in}}{1\text{ ft}} = 54\text{ in}
- By hand: 4 \times 12 = 48 and 0.5 \times 12 = 6; 48 + 6 = 54.
The shelf is 54 inches long.
Check: 54 \div 12 = 4.5 ft ✓
Tip: Smaller unit → bigger number → multiply. Larger unit → smaller number → divide. If you divided (4.5 \div 12 = 0.375), you'd claim a 4.5-ft shelf is less than half an inch long — a quick sense check catches that.
Explicación
- Las pulgadas son una unidad más pequeña que los pies, así que el número de pulgadas será mayor: multiplica.
- Usa el factor de conversión \dfrac{12\text{ in}}{1\text{ ft}}: 4.5\text{ ft} \times \frac{12\text{ in}}{1\text{ ft}} = 54\text{ in}
- A mano: 4 \times 12 = 48 y 0.5 \times 12 = 6; 48 + 6 = 54.
El estante mide 54 pulgadas de largo.
Comprobación: 54 \div 12 = 4.5 ft ✓
Consejo: Unidad más pequeña → número más grande → multiplica. Unidad más grande → número más pequeño → divide. Si dividieras (4.5 \div 12 = 0.375), estarías diciendo que un estante de 4.5 ft mide menos de media pulgada; una revisión rápida de sentido común lo detecta.
Ver en español
Pregunta
Un estante mide 4.5 pies de largo. ¿Cuánto mide el estante en pulgadas? (1 pie = 12 pulgadas)
_____ pulgadas
Pista
Las pulgadas son más pequeñas que los pies, así que necesitarás más de ellas. ¿Multiplicas o divides?
Puntos clave
- Una proporción iguala dos razones; mantén las mismas unidades en las mismas posiciones, luego multiplica en cruz y divide.
- Para repartir un total según una razón, suma las partes, encuentra una parte y luego multiplica.
- Para convertir a una unidad más pequeña → multiplica; a una unidad más grande → divide. Los factores de conversión que cancelan unidades lo hacen automático.
- Haz las conversiones en cadena una unidad a la vez (mi → ft, h → s).
- Las unidades cuadradas usan el factor al cuadrado: 1\text{ yd}^2 = 9\text{ ft}^2, 1\text{ ft}^2 = 144\text{ in}^2.
- Nada de esto está en la hoja de fórmulas: practica hasta que te salga automático.