Lo que vas a aprender
Los mapas, los planos, los planos de una casa, los carros de modelo y las fotos ampliadas tienen algo en común: cada longitud se multiplica por el mismo número. Ese número es el factor de escala, y la regla que conecta el dibujo con la vida real es la escala.
En esta lección vas a aprender a:
- encontrar un factor de escala y saber si una figura se amplió o se redujo;
- usar la escala de un mapa o dibujo para encontrar una distancia real (y al revés);
- cambiar una escala como "\tfrac{1}{4} de pulgada = 1 pie" a una razón pura como 1:48;
- encontrar lados que faltan en figuras semejantes;
- resolver el giro difícil del GED®: las áreas cambian según el cuadrado del factor de escala.
Por qué es importante en el GED®: Espera preguntas con un mapa y una barra de escala, un plano de una casa con escala, un modelo hecho "a escala 1:24" o dos triángulos semejantes en los que debes encontrar un lado que falta. Suelen venir con una figura, y las respuestas trampa salen de dividir cuando debías multiplicar o de olvidar convertir unidades.
Por qué es importante en la vida: Leer un mapa de carreteras, ver si un sofá cabe en un plano o pedir la ampliación de una foto son cosas que usan la escala.
Vocabulario
- Dibujo a escala — un dibujo de un objeto real en el que cada longitud se reduce (o se amplía) en la misma cantidad. El plano de una casa es un dibujo a escala.
- Escala — la regla que conecta las longitudes del dibujo con las longitudes reales, como "1 pulgada = 20 millas" o 1:50.
- Barra de escala — una pequeña regla impresa en un mapa que muestra la escala, por ejemplo una barra de 1 pulgada con la etiqueta "12 miles" (12 millas).
- Factor de escala (k) — el número por el que multiplicas cada longitud original para obtener la nueva longitud. k = \dfrac{\text{longitud nueva}}{\text{longitud original}}. Una foto de 4 in ampliada a 10 in tiene k = 2.5.
- Ampliación — una copia más grande que el original (k > 1).
- Reducción — una copia más pequeña que el original (0 < k < 1). Reducir cada lado a la mitad significa k = \tfrac{1}{2}.
- Figuras semejantes — figuras con la misma forma pero distinto tamaño: ángulos iguales y lados proporcionales.
- Lados correspondientes — lados que están en la misma posición en dos figuras semejantes (el más corto con el más corto, el más largo con el más largo).
- Escala de razón — una escala sin unidades, como 1:24, que significa que 1 unidad en el modelo = 24 de la misma unidad en la vida real.
Cómo leer una escala: dibujo ↔ vida real
Una escala como 1 pulgada = 15 pies es una tasa unitaria: cada pulgada del dibujo representa 15 pies reales.
Del dibujo a la vida real: multiplica.
\text{longitud real} = \text{longitud en el dibujo} \times \text{unidades reales por unidad del dibujo}- Una pared mide 4 in en el plano: 4 \times 15 = 60 ft.
- Un pasillo mide 2.5 in: 2.5 \times 15 = 37.5 ft.
De la vida real al dibujo: divide.
\text{longitud en el dibujo} = \frac{\text{longitud real}}{\text{unidades reales por unidad del dibujo}}- Un cuarto de 45 ft en el plano: 45 \div 15 = 3 in.
Cuando la escala tiene una fracción. Los planos suelen decir "\tfrac{1}{4} de pulgada = 1 pie". Primero cámbiala a "1 pulgada = ? pies": 1 pulgada contiene cuatro cuartos de pulgada, así que 1 pulgada = 4 pies. Entonces una pared de 3\tfrac{1}{2} in mide 3.5 \times 4 = 14 ft.
Cómo plantear una proporción. Siempre puedes escribir la escala y la incógnita como dos razones iguales, con las mismas unidades arriba:
\frac{1\text{ in}}{15\text{ ft}} = \frac{4.2\text{ in}}{x\text{ ft}} \quad\Rightarrow\quad x = 4.2 \times 15 = 63\text{ ft}Barras de escala en mapas. Si la barra muestra 1 pulgada = 12 millas y dos pueblos están a 2.25 pulgadas de distancia, la distancia real es 2.25 \times 12 = 27 millas. Para un viaje con varios tramos, suma primero las longitudes en el mapa y luego multiplica (o multiplica cada tramo y suma; obtienes el mismo total).
Factores de escala, ampliaciones y escalas de razón
Cómo encontrar el factor de escala. Divide una longitud nueva entre la longitud original que le corresponde:
k = \frac{\text{nueva}}{\text{original}}| Original | Nueva | k | Tipo |
|---|---|---|---|
| 4 in | 10 in | 10 \div 4 = 2.5 | ampliación |
| 12 ft | 3 ft | 3 \div 12 = 0.25 | reducción |
| 6 cm | 6 cm | 1 | mismo tamaño |
Cada longitud de la figura se multiplica por el mismo k. Si una foto de 4 por 6 se amplía con k = 2.5, queda de 10 por 15.
Trabajar hacia atrás. Si conoces la longitud nueva y k, divide: original = \text{nueva} \div k. Una copia hecha con k = 0.75 mide 9 in de ancho, así que el original medía 9 \div 0.75 = 12 in.
Las escalas de razón no tienen unidades. Un carro de modelo hecho a escala 1:24 significa que cada pulgada del modelo equivale a 24 pulgadas del carro real (o 1 cm equivale a 24 cm). Las unidades son las mismas en los dos lados, así que debes convertir antes de usarla.
- Un camión real mide 18 ft de largo. En pulgadas: 18 \times 12 = 216 in. Modelo: 216 \div 24 = 9 in.
Cómo convertir una escala con unidades en una razón. "\tfrac{1}{4} in = 1 ft" significa \tfrac{1}{4} in : 12 in. Multiplica los dos lados por 4: 1 : 48. Así, un plano a 1:48 es lo mismo que "\tfrac{1}{4} de pulgada = 1 pie".
Figuras semejantes y lo que pasa con el área
Las figuras semejantes tienen lados correspondientes proporcionales. Para encontrar un lado que falta:
- Empareja los lados correspondientes (el más corto con el más corto, el más largo con el más largo).
- Encuentra k con un par del que conozcas las dos longitudes.
- Multiplica (o divide) el lado que necesitas.
Ejemplo. El triángulo 1 tiene lados de 6, 8 y 10. Un triángulo 2 semejante tiene como lado más corto 15. Entonces k = 15 \div 6 = 2.5, y el lado que corresponde a 8 mide 8 \times 2.5 = 20.
El perímetro cambia según k. El perímetro es una longitud, así que también se multiplica por k. El perímetro del triángulo 1 es 24; el del triángulo 2 es 24 \times 2.5 = 60.
El área cambia según k^2: la parte difícil del GED®. El área usa dos longitudes multiplicadas, y cada una se multiplica por k:
\text{área nueva} = k^2 \times \text{área original}| Factor de escala k | Longitudes | Área |
|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 |
| 3 | × 3 | × 9 |
| \tfrac{1}{2} | × \tfrac{1}{2} | × \tfrac{1}{4} |
Ejemplo. Un rectángulo de 3 por 5 (área 15) se amplía con k = 2. Los lados nuevos miden 6 y 10, y el área nueva es 60 = 4 \times 15, no 30.
El área real a partir de un dibujo a escala. El método más seguro es convertir primero cada longitud a la vida real y después multiplicar. Un plano de 6 in por 4 in a escala 1 in = 10 ft es un cuarto de 60 ft por 40 ft: 60 \times 40 = 2{,}400 pies cuadrados. (Usar el área del dibujo, 24 pulgadas cuadradas \times\,10, daría un resultado incorrecto de 240).
Trabajar hacia atrás desde el área. Si el área nueva es 9 veces la anterior, entonces k^2 = 9 y k = \sqrt{9} = 3.
Fórmulas que debes saber
k = \frac{\text{longitud nueva}}{\text{longitud original}} \qquad \text{real} = \text{dibujo} \times \text{tasa de escala} \qquad \text{dibujo} = \frac{\text{real}}{\text{tasa de escala}} \text{perímetro nuevo} = k \times \text{perímetro anterior} \qquad \text{área nueva} = k^2 \times \text{área anterior}- k — factor de escala (k > 1 amplía, k < 1 reduce).
- tasa de escala — unidades reales por cada unidad del dibujo (por ejemplo, 15 ft por pulgada).
¿Está en la hoja de fórmulas del GED®? No. Ninguna de estas fórmulas de escala está en la hoja; debes recordarlas. La hoja sí da las fórmulas de área de rectángulos, triángulos y círculos, que puedes necesitar cuando ya tengas las longitudes reales. Las conversiones de unidades (12 in = 1 ft) normalmente se dan en la pregunta cuando hacen falta, pero conoce las más comunes.
Un plano típico del GED®. Cada pulgada del dibujo representa 4 pies reales, así que el lado de 5 in mide 5 \times 4 = 20 ft.
Ejemplo 1 (fácil): distancia en un mapa
En un mapa, 1 pulgada representa 15 millas. Dos ciudades están a 4.25 pulgadas de distancia en el mapa. ¿A qué distancia están en realidad?
- Del mapa a la vida real, así que multiplica por las millas por pulgada.
- 4.25 \times 15 = 63.75
Respuesta: 63.75 millas.
Comprobación: 4 pulgadas serían 60 millas y un cuarto de pulgada es 15 \div 4 = 3.75 millas; 60 + 3.75 = 63.75 ✓
Ejemplo 2: de la vida real al dibujo
Un plano de jardín usa la escala 1.5 in = 12 ft. Un patio mide 21 ft de largo. ¿Cuánto debe medir en el plano?
- Encuentra la escala por 1 pulgada: 12 \div 1.5 = 8, así que 1 in = 8 ft.
- De lo real al dibujo, así que divide: 21 \div 8 = 2.625
Respuesta: 2.625 pulgadas (es decir, 2\tfrac{5}{8} in).
Comprobación: 2.625 \times 8 = 21 ft ✓
Ejemplo 3 (trabajar hacia atrás): encuentra el factor de escala
Una fotocopiadora reduce un póster. Un lado de 12 pulgadas queda de 8 pulgadas. ¿Cuál es el factor de escala y cuánto medirá un lado de 15 pulgadas?
- k = \frac{\text{nueva}}{\text{original}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
- k < 1, así que es una reducción.
- Nueva longitud del lado de 15 in: 15 \times \tfrac{2}{3} = 10\text{ in}
Respuesta: k = \tfrac{2}{3}; el lado de 15 in queda de 10 in.
Comprobación: \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}, la misma razón que \tfrac{8}{12} ✓
Ejemplo 4: una escala de razón con conversión de unidades
La maqueta de un arquitecto usa la escala 1:48. Un edificio real mide 33 ft de ancho. ¿Cuánto mide de ancho la maqueta, en pulgadas?
- Una escala de razón tiene las mismas unidades en los dos lados, así que convierte pies a pulgadas: 33 \times 12 = 396\text{ in}
- Divide entre 48: 396 \div 48 = 8.25\text{ in}
Respuesta: 8.25 pulgadas.
Comprobación: 8.25 \times 48 = 396 in, y 396 \div 12 = 33 ft ✓
Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): el área de una ampliación
Un logotipo tiene un área de 18 pulgadas cuadradas. Se amplía de modo que cada longitud es 2.5 veces más larga. ¿Cuál es el área del logotipo ampliado?
- Las longitudes cambian según k = 2.5, así que el área cambia según k^2.
- k^2 = 2.5^2 = 6.25
- \text{área nueva} = 6.25 \times 18 = 112.5
Respuesta: 112.5 pulgadas cuadradas.
Comprobación: Imagina el logotipo como un rectángulo de 3 in × 6 in (área 18). Ampliado: 7.5 in × 15 in, y 7.5 \times 15 = 112.5 ✓
Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)
- Escalas con fracciones: usa
n/dpara escribir una fracción como \tfrac{1}{4} (escribe 1, oprime la flecha hacia abajo, escribe 4 y luego la flecha derecha para salir de la fracción). Para un número mixto como 3\tfrac{3}{4}, lo más sencillo es escribir el decimal 3.75. Oprimetogglepara cambiar una respuesta en fracción a decimal. - Factor de área: eleva al cuadrado el factor de escala con la tecla
x²:2.5x²da 6.25. - Trabajar hacia atrás desde el área: saca la raíz cuadrada con
2nd+x²(√). Si el área creció de 24 a 216, calcula 216 \div 24 = 9 y luego √9 = 3. - Cuándo no usarla: la mayoría de las preguntas de mapas usan números fáciles (3 \times 20, 45 \div 15). Hazlas mentalmente y estima para comprobar cualquier resultado de la calculadora.
Errores comunes
- Dividir cuando debes multiplicar. 3.5 in a 1 in = 20 mi no es 20 \div 3.5 \approx 5.7 mi. ✔ Del dibujo a lo real: multiplica (3.5 \times 20 = 70 mi).
- Invertir el factor de escala. Una foto de 4 in queda de 10 in. 4 \div 10 = 0.4 la reduciría. ✔ k = \text{nueva} \div \text{original} = 2.5.
- Ignorar las unidades en una escala de razón. A 1:24, un carro de 15 ft no mide 15 \div 24 = 0.625 "pulgadas". ✔ Convierte primero a pulgadas: 180 \div 24 = 7.5 in.
- Cambiar el área según k en vez de k^2. Duplicar los lados de un rectángulo de 15 pulgadas cuadradas no da 30 pulgadas cuadradas. ✔ Da 2^2 \times 15 = 60 pulgadas cuadradas.
- Multiplicar el área del dibujo por la escala de longitud. 24 pulgadas cuadradas a 1 in = 10 ft no son 240 pies cuadrados. ✔ Convierte cada lado y luego multiplica: 60 \times 40 = 2{,}400 pies cuadrados.
- Emparejar los lados equivocados en figuras semejantes. ✔ El más corto con el más corto, el más largo con el más largo, y usa las etiquetas de la figura.
Estrategia para el examen GED®
- Pregúntate "¿más grande o más pequeño?" Los caminos reales son más largos que las líneas del mapa; los modelos son más pequeños que los carros. Elimina cualquier respuesta que vaya en la dirección equivocada.
- Escribe la escala como "1 unidad del dibujo = ___ unidades reales" antes de hacer cualquier otra cosa.
- Encierra en un círculo las unidades de la pregunta y de las opciones. Si las opciones están en pulgadas y la escala en pies, vas a tener que convertir.
- Comprueba sustituyendo: multiplica tu respuesta del dibujo por la escala y fíjate si obtienes la longitud real.
- ¿Es una pregunta de área? Busca las palabras área, pies cuadrados, pulgadas cuadradas o cubre. Esa es tu señal para elevar k al cuadrado, o para convertir primero los lados.
- Usa la figura. Las figuras de dibujos a escala del GED® tienen etiquetas; lee cada etiqueta y usa la barra de escala impresa en el mapa.
Compruébalo
On a state map, 1 inch represents 20 miles. Two towns are 3.5 inches apart on the map. What is the actual distance between the towns?
Pista
Each inch on the map stands for 20 real miles. Should the real distance be more or less than 3.5?
Solución paso a paso
- The scale says 1 inch on the map = 20 real miles.
- The towns are 3.5 inches apart, so multiply: 3.5 \times 20 = 70
The towns are 70 miles apart.
Check: 3 inches is 3 \times 20 = 60 miles and half an inch is 10 miles; 60 + 10 = 70 ✓
Tip: Map → real life means multiply by the miles per inch. Real distances are always bigger than map distances, so any answer smaller than 3.5 (like 5.7) or barely bigger (like 23.5) can be eliminated quickly.
Explicación
- La escala dice que 1 pulgada en el mapa = 20 millas reales.
- Los pueblos están a 3.5 pulgadas, así que multiplica: 3.5 \times 20 = 70
Los pueblos están a 70 millas de distancia.
Comprobación: 3 pulgadas son 3 \times 20 = 60 millas y media pulgada son 10 millas; 60 + 10 = 70 ✓
Consejo: Del mapa a la vida real significa multiplicar por las millas por pulgada. Las distancias reales siempre son mayores que las del mapa, así que puedes descartar rápido cualquier respuesta menor que 3.5 (como 5.7) o apenas mayor (como 23.5).
Ver en español
Pregunta
En un mapa del estado, 1 pulgada representa 20 millas. Dos pueblos están a 3.5 pulgadas de distancia en el mapa. ¿Cuál es la distancia real entre los pueblos?
Opciones
Pista
Cada pulgada del mapa representa 20 millas reales. ¿La distancia real debe ser mayor o menor que 3.5?
Compruébalo
A photo that is 4 inches wide is enlarged so that it is 10 inches wide. What is the scale factor of the enlargement?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Scale factor = new length ÷ original length.
Solución paso a paso
- Identify the lengths: original width = 4 in, new width = 10 in.
- Divide new by original: k = \frac{10}{4} = 2.5
- Since k > 1, the photo was enlarged, which matches the problem.
The scale factor is 2.5 (or \tfrac{5}{2}).
Check: 4 \times 2.5 = 10 in ✓
Tip: Always put the new length on top. If you divide the other way (4 \div 10 = 0.4) you get the factor that would shrink the big photo back to the small one — a reduction, which doesn't match "enlarged."
Explicación
- Identifica las longitudes: ancho original = 4 in, ancho nuevo = 10 in.
- Divide el nuevo entre el original: k = \frac{10}{4} = 2.5
- Como k > 1, la foto se amplió, lo cual coincide con el problema.
El factor de escala es 2.5 (o \tfrac{5}{2}).
Comprobación: 4 \times 2.5 = 10 in ✓
Consejo: Siempre pon la longitud nueva arriba. Si divides al revés (4 \div 10 = 0.4), obtienes el factor que volvería a reducir la foto grande a la pequeña: una reducción, que no coincide con "se amplía".
Ver en español
Pregunta
Una foto de 4 pulgadas de ancho se amplía hasta medir 10 pulgadas de ancho. ¿Cuál es el factor de escala de la ampliación?
Pista
Factor de escala = longitud nueva ÷ longitud original.
Puntos clave
- Una escala es una tasa unitaria: del dibujo a lo real, multiplica; de lo real al dibujo, divide.
- El factor de escala es k = \text{nueva} \div \text{original}; k > 1 amplía, k < 1 reduce.
- Una escala de razón (como 1:48) tiene las mismas unidades en los dos lados: convierte antes de usarla.
- Figuras semejantes: empareja los lados correspondientes, encuentra k y luego multiplica o divide.
- Las longitudes y los perímetros cambian según k; las áreas cambian según k^2.
- Las fórmulas de escala no están en la hoja de fórmulas del GED®: apréndelas de memoria.