Factores de escala y dibujos a escala

1. La escala dice que 1 pulgada en el mapa = 20 millas reales.
2. Los pueblos están a 3.5 pulgadas, así que multiplica: 3.5 \times 20 = 70

Los pueblos están a 70 millas de distancia.

Comprobación: 3 pulgadas son 3 \times 20 = 60 millas y media pulgada son 10 millas; 60 + 10 = 70 ✓

Consejo: Del mapa a la vida real significa multiplicar por las millas por pulgada. Las distancias reales siempre son mayores que las del mapa, así que puedes descartar rápido cualquier respuesta menor que 3.5 (como 5.7) o apenas mayor (como 23.5).

1. La escala es 1 pulgada = 4 pies.
2. El ancho en el plano es de 3.5 pulgadas. Del plano a la vida real, así que multiplica: 3.5 \times 4 = 14

La sala mide 14 pies de ancho.

Comprobación: Divide para regresar: 14 \div 4 = 3.5 in en el plano ✓ (El largo es 5 \times 4 = 20 ft, y una sala de 20 ft por 14 ft tiene un tamaño razonable).

Consejo: En un plano, usa la medida que pide la pregunta. Lee las etiquetas con cuidado: el lado de 5 in es el largo, y el lado de 3.5 in es el ancho.

1. Cada pulgada del mapa representa 2.5 millas, así que multiplica la longitud en el mapa por 2.5: 4.4 \times 2.5
2. Sepáralo: 4 \times 2.5 = 10 y 0.4 \times 2.5 = 1.
3. Suma: 10 + 1 = 11 millas.

El sendero real mide 11 millas.

Comprobación: Proporción: \frac{1\text{ in}}{2.5\text{ mi}} = \frac{4.4\text{ in}}{11\text{ mi}}, porque 2.5 \times 4.4 = 11 ✓

Consejo: De longitud en el mapa → longitud real: multiplica por las millas por pulgada. Las longitudes reales casi siempre son mucho mayores que las del mapa, así que una respuesta menor que 4.4 millas es una señal de alerta.

1. Factor de escala = longitud nueva ÷ longitud original: k = \frac{9\text{ in}}{36\text{ in}}
2. Simplifica dividiendo arriba y abajo entre 9: \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

El factor de escala es \tfrac{1}{4}.

Comprobación: 36 \times \tfrac{1}{4} = 9 pulgadas ✓

Consejo: Siempre pon la figura nueva arriba: k = \dfrac{\text{nueva}}{\text{original}}. Una reducción tiene un factor de escala menor que 1; una ampliación tiene un factor de escala mayor que 1. Si obtuviste 4 para una reducción, dividiste al revés.

1. Plantea una proporción de altura entre sombra (en el mismo orden en los dos lados): \frac{6\text{ ft}}{4\text{ ft}} = \frac{h}{22\text{ ft}}
2. La altura de cada objeto es \tfrac{6}{4} = 1.5 veces su sombra.
3. h = 1.5 \times 22 = 33\text{ ft}

El árbol mide 33 pies de alto.

Comprobación: \frac{33}{22} = 1.5 y \frac{6}{4} = 1.5; las razones coinciden ✓

Consejo: En las figuras semejantes, los lados correspondientes se relacionan multiplicando por el mismo factor, no sumando la misma cantidad. Mantén el mismo orden (altura sobre sombra) en las dos fracciones.

1. Escala: 1 pulgada = 40 millas.
2. De la vida real al mapa, así que divide entre las millas por pulgada: \frac{150\text{ mi}}{40\ \text{mi por in}} = 3.75\text{ in}

La carretera mide 3.75 pulgadas en el mapa.

Comprobación: 3.75 \times 40 = 150 millas ✓

Consejo: Plantea una proporción para no confundir la dirección: \dfrac{1\text{ in}}{40\text{ mi}} = \dfrac{x\text{ in}}{150\text{ mi}}, así que x = \dfrac{150}{40} = 3.75. Si dejas las pulgadas arriba en los dos lados, evitas una respuesta al revés como 0.27.

1. Convierte la longitud real a pulgadas: 15\text{ ft} \times 12\ \tfrac{\text{in}}{\text{ft}} = 180\text{ in}
2. El modelo mide \tfrac{1}{24} del tamaño del carro real: 180 \div 24 = 7.5\text{ in}

El modelo mide 7.5 pulgadas de largo.

Comprobación: 7.5 \times 24 = 180 in, y 180 \div 12 = 15 ft ✓

Consejo: 15 \div 24 = 0.625 es correcto solo en pies (0.625 ft). Como la respuesta se pide en pulgadas, convierte antes (o después) de usar la escala. Un modelo debe ser pequeño: respuestas como 360 o 4,320 pulgadas van en la dirección equivocada.

1. Distancia total en el mapa: 2.25 + 1.5 = 3.75\text{ in}
2. Escala: 1 pulgada = 12 millas. Del mapa a la vida real, así que multiplica: 3.75 \times 12 = 45\text{ mi}

Jamal maneja 45 millas.

Comprobación: Tramo por tramo: 2.25 \times 12 = 27 mi y 1.5 \times 12 = 18 mi; 27 + 18 = 45 ✓

Consejo: Con varios tramos, puedes sumar primero las longitudes del mapa y multiplicar una sola vez, o convertir cada tramo y luego sumar; la propiedad distributiva garantiza el mismo total. Lee en la pregunta todos los tramos del viaje para no detenerte después de una sola carretera.

1. Distancia total en el mapa: 1.75 + 1.25 = 3\text{ in}
2. La escala es \tfrac{1}{2} pulgada = 3 millas, así que 1 pulgada = 6 millas (duplica las dos partes).
3. Distancia real: 3\text{ in} \times 6\ \tfrac{\text{mi}}{\text{in}} = 18\text{ millas}

Kara camina 18 millas.

Comprobación: En 3 pulgadas hay 3 \div \tfrac{1}{2} = 6 medias pulgadas, y cada media pulgada son 3 millas: 6 \times 3 = 18 ✓

Consejo: Cuando una escala empieza con una fracción de pulgada, primero escríbela como "1 pulgada = ___". Aquí \tfrac{1}{2} in = 3 mi se convierte en 1 in = 6 mi. Luego suma las longitudes del mapa y convierte una sola vez.

1. Convierte la longitud real a pulgadas para que las dos longitudes estén en la misma unidad: 58 \times 12 = 696\text{ in}
2. La escala 1 : 87 significa modelo : real. Divide la longitud real entre 87: 696 \div 87 = 8\text{ in}

La locomotora de modelo mide 8 pulgadas de largo.

Comprobación: 8 \times 87 = 696 pulgadas, y 696 \div 12 = 58 pies ✓

Consejo: Una escala de razón como 1 : 87 no tiene unidades; solo funciona cuando las dos longitudes están en la misma unidad. Primero convierte y luego divide (de real → modelo) o multiplica (de modelo → real).

1. Halla la longitud real del lado. El área de un cuadrado es lado², así que s = \sqrt{576} = 24\text{ ft}
2. 4 pulgadas en el plano representan 24 pies: \frac{24\text{ ft}}{4\text{ in}} = 6\text{ ft por pulgada}

La escala es 1 pulgada = 6 pies.

Comprobación: El patio real mide 4 \times 6 = 24 ft por lado, y 24 \times 24 = 576 ft² ✓

Consejo: Una escala compara longitudes. Si te dan un área, primero saca la raíz cuadrada para volver a una longitud y luego divide entre la longitud del dibujo.

1. Escala = distancia real ÷ distancia en el mapa (millas por pulgada): \frac{210\text{ mi}}{3.5\text{ in}}
2. Multiplica arriba y abajo por 2 para quitar el decimal: \frac{420}{7} = 60

La escala es 1 pulgada = 60 millas.

Comprobación: 3.5 \times 60 = 210 millas ✓

Consejo: Para hallar una escala, divide la distancia real entre la distancia en el mapa, de modo que el resultado sea "millas por 1 pulgada". Quitar un decimal (aquí, ×2) hace que la división sea fácil sin calculadora.

1. Largo real: 8 \times 30 = 240\text{ ft}
2. Ancho real: 5 \times 30 = 150\text{ ft}
3. Área real: 240 \times 150 = 36{,}000\text{ ft}^2

El área del parque es de 36,000 pies cuadrados.

Comprobación: Con la regla del área: el área del dibujo = 8 \times 5 = 40 pulgadas cuadradas, y el área cambia por 30^2 = 900: 40 \times 900 = 36{,}000 ✓

Consejo: Nunca multipliques el área de un dibujo por la escala de longitud (eso da 1,200). Convierte primero cada lado a pies reales, o multiplica el área del dibujo por el cuadrado de la escala.

1. Medidas reales: 6 \times 25 = 150\text{ ft}, \quad 3.2 \times 25 = 80\text{ ft}
2. Área real: 150 \times 80 = 12{,}000\text{ ft}^2
3. Costo: 12{,}000 \times \$2.50 = \$30{,}000

Repavimentar costará $30,000.

Comprobación: El área del dibujo es 6 \times 3.2 = 19.2 in², y cada pulgada cuadrada representa 25^2 = 625 ft²: 19.2 \times 625 = 12{,}000 ft² ✓

Consejo: Convierte las longitudes a unidades reales antes de hallar el área. Si primero hallas el área del dibujo, multiplica por la escala al cuadrado (625), no por 25.

1. Cuenta cuántos grupos de 10 millas hay en 65 millas: 65 \div 10 = 6.5
2. Cada grupo de 10 millas mide \tfrac{3}{4} de pulgada en el mapa: 6.5 \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{13}{2} \times \tfrac{3}{4} = \tfrac{39}{8} = 4\tfrac{7}{8}\text{ in}

Los pueblos están a 4\tfrac{7}{8} pulgadas de distancia en el mapa.

Comprobación: 4\tfrac{7}{8} = 4.875 in. Al convertir de regreso: 4.875 \div 0.75 = 6.5 grupos, y 6.5 \times 10 = 65 millas ✓

Consejo: Escribe la proporción con las mismas unidades arriba: \frac{3/4\text{ in}}{10\text{ mi}} = \frac{x\text{ in}}{65\text{ mi}}, así que x = 65 \times \tfrac{3}{4} \div 10. Ignorar el \tfrac{3}{4} (como si la escala fuera de 1 pulgada) es el error más común.

1. Cuando cada longitud se multiplica por k, el área se multiplica por k^2: k^2 = 2.5^2 = 6.25
2. Área nueva: 18 \times 6.25 = 112.5\text{ ft}^2

El letrero nuevo tiene un área de 112.5 pies cuadrados.

Comprobación: Prueba con un letrero de 3 ft por 6 ft (área de 18 ft²). El letrero nuevo mide 7.5 ft por 15 ft, y 7.5 \times 15 = 112.5 ft² ✓

Consejo: El área es largo × ancho, y los dos crecen por el factor de escala, así que el área crece por el factor dos veces (k \times k). Cuando no te dan las medidas, elegir números de ejemplo fáciles es una forma rápida de comprobar.

1. Halla la longitud real. Cada \tfrac{1}{4} de pulgada es 1 pie, así que hay 4 pies por pulgada: 3\tfrac{1}{2} \times 4 = 14\text{ ft}
2. En el plano nuevo, cada pie mide \tfrac{3}{8} de pulgada: 14 \times \tfrac{3}{8} = \tfrac{42}{8} = 5\tfrac{1}{4}\text{ in}

La habitación mide 5\tfrac{1}{4} pulgadas de largo en el plano nuevo.

Comprobación: 5\tfrac{1}{4} \div \tfrac{3}{8} = \tfrac{21}{4} \times \tfrac{8}{3} = 14 ft ✓. La escala nueva da más pulgadas por pie, así que el dibujo debe ser más grande que 3\tfrac{1}{2} in, y lo es.

Consejo: Atajo: dibujo nuevo = dibujo anterior × (pulgadas por pie nuevas ÷ pulgadas por pie anteriores) = 3\tfrac{1}{2} \times \tfrac{3/8}{1/4} = 3\tfrac{1}{2} \times 1.5. Pasar por la longitud real es más seguro si no estás seguro de hacia dónde va la razón.

1. Una razón sin unidades necesita las dos longitudes en la misma unidad. Convierte 30 pies a pulgadas: 30 \times 12 = 360\text{ in}
2. Escribe dibujo : real y divide las dos partes entre 7.5: 7.5 : 360 = 1 : 48

La escala es 1 : 48.

Comprobación: 7.5 \times 48 = 360 in, y 360 \div 12 = 30 ft ✓. (Es la escala de arquitecto común de "\tfrac{1}{4} de pulgada = 1 pie").

Consejo: Antes de escribir una escala de razón, convierte las dos longitudes a una misma unidad. Luego divide las dos partes entre la longitud del dibujo para que la razón empiece con 1.

1. Distancia real (con el mapa 1): 3.2 \times 25 = 80\text{ mi}
2. En el mapa 2, esas 80 millas se muestran como 5 pulgadas. Millas por pulgada: \frac{80\text{ mi}}{5\text{ in}} = 16\text{ mi por in}

La escala del mapa 2 es 1 pulgada = 16 millas.

Comprobación: 5 \times 16 = 80 mi, la misma distancia real que en el mapa 1 ✓ El mapa 2 muestra los lagos más separados (5 in contra 3.2 in), así que cada pulgada debe abarcar menos millas que en el mapa 1, y 16 < 25 ✓

Consejo: Cuando dos escalas describen el mismo objeto real, la distancia real es el puente entre ellas. Hállala primero y luego divide entre la nueva longitud del mapa.

1. Diferencia en la maqueta: 9 - 1.75 = 7.25\text{ in}
2. Pasa al tamaño real (real = 48 × maqueta): 7.25 \times 48 = 348\text{ in}
3. Convierte a pies: 348 \div 12 = 29\text{ ft}

La casa real es 29 pies más alta que la puerta principal.

Comprobación: Casa real: 9 \times 48 = 432 in = 36 ft. Puerta real: 1.75 \times 48 = 84 in = 7 ft. 36 - 7 = 29 ft ✓

Consejo: Una escala de razón no tiene unidades: la longitud real es 48 veces la longitud de la maqueta en la misma unidad. Haz el paso de la escala y la conversión de unidades como dos pasos separados, y lee la pregunta dos veces; aquí pide una diferencia.

1. Triángulo pequeño: la estatura de la mujer es de 5 ft y su base es su sombra, de 8 ft.
2. Triángulo grande: la altura de la lámpara es h, y su base va desde el poste hasta la punta de la sombra: 12 + 8 = 20\text{ ft}
3. Proporción (altura : base): \frac{5}{8} = \frac{h}{20}
4. Resuelve: h = 20 \times \frac{5}{8} = \frac{100}{8} = 12.5\text{ ft}

El poste de luz mide 12.5 pies de alto.

Comprobación: \frac{12.5}{20} = 0.625 y \frac{5}{8} = 0.625 ✓

Consejo: Haz un dibujo. Los dos triángulos comparten la punta de la sombra, así que la base del triángulo grande es toda la distancia desde el poste hasta la punta (12 + 8), no solo 12. Emparejar los lados equivocados es el error más común en los problemas de sombras.