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Tasas unitarias y la mejor compra

Convierte cualquier tasa en un número "por uno" para comparar precios, rapideces y salarios, y elegir la mejor compra.

Practicar esta destreza 22 min Tasas unitarias Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una tasa unitaria te dice cuánto obtienes de algo por una unidad de otra cosa: millas por hora, dólares por libra, palabras por minuto. Cuando sabes encontrar una tasa unitaria, muchísimas preguntas de la vida diaria se vuelven una simple división o multiplicación.

En esta lección vas a aprender a:

  • encontrar una tasa unitaria a partir de cualquier par de números, incluso decimales y fracciones;
  • usar una tasa unitaria para predecir un total ("a este ritmo, ¿qué distancia recorres en 6 horas?");
  • trabajar hacia atrás desde una tasa unitaria para hallar una cantidad que falta;
  • leer una tasa unitaria en una tabla o una gráfica;
  • comparar precios y elegir la mejor compra.

Por qué es importante en el GED®: Las tasas unitarias aparecen por todas partes en el examen de Razonamiento Matemático: en preguntas de compras ("¿Qué paquete es la mejor oferta?"), de trabajo y salario, de rapidez y de rendimiento de gasolina, y en gráficas donde la tasa está escondida como la pendiente de una recta. Muchas de estas preguntas están en la sección con calculadora, pero algunas sencillas están en la parte corta sin calculadora, así que también debes sentirte cómodo dividiendo a mano.

Por qué es importante en la vida: La etiqueta del estante en el supermercado, la etiqueta de millas por galón de un carro y tu pago por hora son tasas unitarias. Saber encontrarlas protege tu bolsillo.

Vocabulario

  • Razón — una comparación de dos cantidades, como 3 tazas de harina por cada 2 tazas de azúcar (3:2 o \tfrac{3}{2}).
  • Tasa — una razón que compara dos cantidades con unidades diferentes, como 120 millas en 2 horas.
  • Tasa unitaria — una tasa en la que la segunda cantidad es exactamente 1: 60 millas por 1 hora, que se escribe 60\text{ mi/h} o 60 mph.
  • Por — significa "para cada" o "dividido entre". "$12 por hora" significa $12 por cada hora.
  • Precio unitario — una tasa unitaria de dinero: el costo de un artículo, una onza, una libra, etc. ($3.00 por 6 latas → $0.50 por lata).
  • Mejor compra — la opción con el precio unitario más bajo (pagas menos por cada unidad).
  • Tasa constante — una tasa que no cambia, de modo que cantidades iguales de tiempo (o de artículos) siempre dan cantidades iguales de la otra cantidad.
  • Proporcional — dos cantidades son proporcionales cuando su razón es siempre la misma tasa unitaria (2 h → 120 mi, 3 h → 180 mi: siempre 60 mph).
  • Pendiente — en una gráfica de línea recta que pasa por el origen, la tasa unitaria es la pendiente: cambio vertical ÷ cambio horizontal (rise/run).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Cómo encontrar una tasa unitaria: divide entre la cantidad del "por"

Regla: Para encontrar una tasa unitaria, divide la primera cantidad entre la segunda cantidad, la que viene después de la palabra por.

\text{tasa unitaria} = \frac{\text{cantidad de A}}{\text{cantidad de B}} \quad\text{da}\quad \text{A por 1 B}

Las unidades viajan con los números. Millas ÷ horas = millas por hora. Dólares ÷ libras = dólares por libra.

Ejemplos

  • 150 millas en 3 horas: 150 \div 3 = 50 → 50 millas por hora.
Tape diagram: a bar for 150 miles is split into 3 equal parts, one per hour. Each part is 50 miles, so the unit rate is 150 divided by 3 = 50 miles per hour.150 miles in 3 hours50 mihour 150 mihour 250 mihour 3total: 150 mi ÷ 3 h = 50 miles per 1 hour
150 millas divididas en 3 horas iguales de 50 millas
  • $84 por 7 horas de trabajo: 84 \div 7 = 12 → $12 por hora.
  • $4.50 por 6 manzanas: 4.50 \div 6 = 0.75 → $0.75 por manzana.

¿Qué número va arriba? Pregúntate de qué quiere la pregunta el "por uno". Si pide dólares por libra, las libras van abajo. Si pide libras por dólar, los dólares van abajo. Las dos son tasas correctas; solo responden preguntas diferentes.

La pregunta pideDivideEjemplo ($6 por 3 lb)
precio por libradólares ÷ libras6 \div 3 = \$2 por lb
libras por dólarlibras ÷ dólares3 \div 6 = 0.5 lb por dólar

Decimales y dinero. Los precios unitarios suelen ser decimales pequeños. Conserva al menos tres o cuatro lugares decimales mientras comparas, y redondea solo al final. Por ejemplo, $2.99 por 12 oz es 2.99 \div 12 = 0.2491\ldots dólares por onza, unos 24.9 centavos por onza.

Fracciones. Las tasas pueden tener fracciones: "Ella camina \tfrac{1}{2} milla en \tfrac{1}{4} de hora". Divide las fracciones igual que los números enteros:

\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{1} = 2 \text{ millas por hora}

Recuerda: dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco (voltea la segunda fracción).

Unidades de tiempo. Fíjate si son minutos u horas. 30 millas en 40 minutos es 30 \div 40 = 0.75 millas por minuto. Para obtener millas por hora, multiplica por 60: 0.75 \times 60 = 45 mph. (O primero cambia 40 minutos a \tfrac{2}{3} de hora: 30 \div \tfrac{2}{3} = 45).

Cómo usar una tasa unitaria: multiplica hacia adelante, divide hacia atrás

Cuando conoces la tasa unitaria, puedes responder dos tipos de preguntas.

1. Encontrar un total (multiplica).

\text{total} = \text{tasa unitaria} \times \text{número de unidades}
  • Un carro rinde 32 millas por galón. ¿Qué distancia recorre con 11 galones? 32 \times 11 = 352 millas.
  • Las uvas cuestan $2.40 por libra. ¿Cuánto cuestan 3.5 libras? 2.40 \times 3.5 = \$8.40.

2. Trabajar hacia atrás para hallar el número de unidades (divide).

\text{número de unidades} = \frac{\text{total}}{\text{tasa unitaria}}
  • Una impresora imprime 18 páginas por minuto. ¿Cuánto tarda en imprimir 270 páginas? 270 \div 18 = 15 minutos.
  • Ganas $16.50 por hora. ¿Cuántas horas necesitas para ganar $495? 495 \div 16.50 = 30 horas.

Problemas de dos pasos. Muchas preguntas del GED® esconden la tasa unitaria. Primero la encuentras en una situación y luego la usas en otra:

Una máquina llena 420 botellas en 6 minutos. ¿Cuántas botellas llena en 25 minutos?

Paso 1: 420 \div 6 = 70 botellas por minuto. Paso 2: 70 \times 25 = 1{,}750 botellas.

Double number line for bottles and minutes, drawn to scale. 0 minutes = 0 bottles, 1 minute = 70 bottles, 6 minutes = 420 bottles, 25 minutes = 1,750 bottles. The unit rate 70 bottles per minute times 25 gives 1,750.420 bottles in 6 minutes → 70 per minuteminutesbottles001706420251,750
Recta numérica doble: 1 min = 70 botellas, 25 min = 1,750 botellas

Tasas en tablas. Si una tabla muestra dos cantidades proporcionales, divide cualquier fila para obtener la tasa unitaria: todas las filas dan la misma respuesta.

Horas trabajadas5812
Pago ($)92.50148.00222.00

92.50 \div 5 = 18.50, 148 \div 8 = 18.50, 222 \div 12 = 18.50. La tasa unitaria es $18.50 por hora.

Graph of pay versus hours worked from the table. A straight line from the origin passes through (5, 92.50), (8, 148) and (12, 222). Each point gives pay divided by hours = 18.50, so the slope and unit rate is 18.50 dollars per hour.Pay = $18.50 per hour02468101214$0$40$80$120$160$200$240$280Hours workedPay (dollars)(5, 92.50)(8, 148)(12, 222)
Recta que pasa por (5, 92.50), (8, 148), (12, 222): pendiente de 18.50 dólares por hora

Tasas en gráficas. En una gráfica de línea recta que empieza en el origen (0, 0), elige cualquier punto marcado (x, y). La tasa unitaria es y \div x: es la pendiente de la recta. Si la recta pasa por (3, 45) con x = horas y y = dólares, la tasa es 45 \div 3 = \$15 por hora.

La mejor compra: compara precios unitarios

Las tiendas venden el mismo producto en diferentes tamaños. Lo más grande no siempre es más barato por unidad. Para encontrar la mejor compra:

  1. Para cada opción, divide precio ÷ cantidad para obtener el precio unitario.
  2. Asegúrate de que todos los precios unitarios usen la misma unidad (todos por onza, o todos por lata).
  3. El precio unitario más bajo es la mejor compra.

Ejemplo. Detergente para ropa:

TamañoPrecioPrecio unitario (precio ÷ oz)
16 oz$3.293.29 \div 16 \approx \$0.2056
32 oz$5.995.99 \div 32 \approx \$0.1872
48 oz$8.498.49 \div 48 \approx \$0.1769

La botella de 48 oz tiene el precio por onza más bajo, así que es la mejor compra, aunque sea la que más cuesta en la caja.

Unidades diferentes. Si un paquete se mide en libras y otro en onzas, primero convierte (1 libra = 16 onzas). Si una oferta es "3 por $5" y otra es "$1.75 cada uno", cambia las dos a precio por artículo: 5 \div 3 \approx \$1.67 contra $1.75.

Bar chart comparing price per item: 3 for 5 dollars is 5 dollars divided by 3, about 1.67 dollars per item; the other deal is 1.75 dollars each. The 3 for 5 dollars bar is shorter, so it is the better buy.Price per item3 for $5≈ $1.67$1.75 each$1.75$5 ÷ 3 ≈ $1.67 < $1.75
Barras: 3 por 5 dólares ≈ 1.67 dólares cada uno contra 1.75 dólares cada uno

Cupones y ofertas. Aplica el cupón o el descuento al precio primero y después divide entre la cantidad. Un cupón de $1 en una botella de 50 oz que cuesta $7.00 la deja en 6.00 \div 50 = \$0.12 por onza.

El atajo "por dólar". También puedes comparar cantidad por dólar (onzas ÷ precio). En ese caso, el número más alto es la mejor compra, porque obtienes más por cada dólar. Solo no mezcles los dos métodos en el mismo problema.

Fórmula

Fórmulas que debes saber

\text{tasa unitaria} = \frac{\text{cantidad A}}{\text{cantidad B}} \qquad\qquad \text{precio unitario} = \frac{\text{precio total}}{\text{número de unidades}} \text{costo total} = (\text{número de unidades}) \times (\text{precio por unidad}) \qquad\qquad d = rt
  • tasa unitaria — cantidad de A por una B (por ejemplo, millas por hora).
  • precio unitario — costo de una unidad (una onza, una lata, una libra).
  • d — distancia, r — tasa (rapidez), t — tiempo. Asegúrate de que la unidad de tiempo coincida con la tasa (horas con millas por hora).

¿Está en la hoja de fórmulas del GED®? La hoja incluye la distancia d = rt y el costo total = número de unidades \times precio por unidad. La idea básica de la tasa unitaria ("divide entre la cantidad del por") no está escrita ahí; debes saberla. Despejar también te toca a ti: r = \dfrac{d}{t} y t = \dfrac{d}{r}.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): rapidez

Un autobús recorre 357 millas en 7 horas a rapidez constante. ¿Cuál es su rapidez en millas por hora?

  1. La pregunta pide millas por hora, así que las horas van abajo.
  2. \frac{357\text{ mi}}{7\text{ h}} = 51\text{ mi/h}
Double number line for the bus: 7 hours matches 357 miles. The 7 hours are split into 7 equal steps, and 1 hour matches 357 divided by 7 = 51 miles.Bus: 357 miles in 7 hourshoursmiles001517357
Recta numérica doble: 7 h = 357 mi, 1 h = 51 mi

Respuesta: 51 millas por hora.

Comprobación: 51 \times 7 = 357 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: la mejor compra en el supermercado

La crema de cacahuate viene en tres tamaños: 16 oz por $3.29, 32 oz por $5.99 y 48 oz por $8.49. ¿Qué tamaño es la mejor compra?

  1. Precio unitario de 16 oz: 3.29 \div 16 \approx 0.2056 dólares por onza.
  2. Precio unitario de 32 oz: 5.99 \div 32 \approx 0.1872 dólares por onza.
  3. Precio unitario de 48 oz: 8.49 \div 48 \approx 0.1769 dólares por onza.
  4. Compara: 0.1769 < 0.1872 < 0.2056.
Bar chart of unit prices for peanut butter: 16 oz for 3.29 dollars is about 20.56 cents per ounce, 32 oz for 5.99 dollars is about 18.72 cents per ounce, 48 oz for 8.49 dollars is about 17.69 cents per ounce. The 48-ounce jar has the shortest bar and is the best buy.Unit price (cents per ounce)16 oz, $3.2920.56¢32 oz, $5.9918.72¢48 oz, $8.4917.69¢Shortest bar = lowest unit price = best buy (48 oz)
Precios unitarios: 20.56¢, 18.72¢, 17.69¢ por onza

Respuesta: el frasco de 48 oz (unos 17.7¢ por onza).

Comprobación: Si el frasco de 48 oz costara lo mismo por onza que el de 32 oz, costaría 0.1872 \times 48 \approx \$8.99. En realidad cuesta $8.49, que es menos ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: una tasa con fracciones

Un pintor cubre \tfrac{3}{4} de una pared en \tfrac{1}{6} de hora. A este ritmo, ¿cuántas paredes puede pintar por hora?

  1. Paredes por hora significa paredes ÷ horas.
  2. \frac{3}{4} \div \frac{1}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{1} = \frac{18}{4} = 4.5
Painter rate model drawn to scale. Top row: 6 pieces, each 1/6 hour long and each covering 3/4 of a wall. Bottom row: the same length is 4 whole walls and one half wall. So 6 times 3/4 = 4.5 walls per hour.Each 1/6 hour paints 3/4 of a wall1/6 h1/6 h1/6 h1/6 h1/6 h1/6 hwall 1wall 2wall 3wall 4½ wall6 × 3/4 = 4.5 walls in 1 hour
Seis sextos de hora, cada uno de 3/4 de pared, dan 4.5 paredes

Respuesta: 4.5 paredes por hora.

Comprobación: En \tfrac{1}{6} de hora pinta 4.5 \times \tfrac{1}{6} = 0.75 = \tfrac{3}{4} de pared ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (dos pasos): el pago a partir de una tasa

Darnell ganó $1,035 por 45 horas de trabajo con un salario por hora constante. ¿Cuánto ganará por 32 horas?

  1. Encuentra la tasa unitaria: \frac{\$1{,}035}{45\text{ h}} = \$23\text{ por hora}
  2. Multiplica por el nuevo número de horas: 23 \times 32 = 736
Graph of Darnell pay at 23 dollars per hour. A straight line from the origin passes through (45 hours, 1,035 dollars). Dashed guide lines show that 32 hours gives 736 dollars.Darnell: $23 per hour01020304050$0$200$400$600$800$1,000$1,200Hours workedPay (dollars)(45, $1,035)(32, $736)
Recta de pago a 23 dólares/h que pasa por (45, 1035) y (32, 736)

Respuesta: $736.

Comprobación: 32 horas es un poco más de \tfrac{2}{3} de 45 horas, y $736 es un poco más de \tfrac{2}{3} de $1,035 (unos $690) ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): compara y luego trabaja hacia atrás

La tienda A vende un paquete de 18 botellas de agua por $6.30. La tienda B vende un paquete de 32 por $11.52. María necesita 160 botellas para un evento. (a) ¿Qué tienda tiene el precio unitario más bajo? (b) ¿Cuánto ahorra si compra las 160 botellas al precio más barato en vez del otro? (c) Con los $1.60 que le sobran, ¿cuántas botellas más podría comprar al precio más barato?

  1. Tienda A: 6.30 \div 18 = 0.35 → $0.35 por botella.
  2. Tienda B: 11.52 \div 32 = 0.36 → $0.36 por botella.
  3. La tienda A es más barata por botella, aunque la tienda B tiene el paquete más grande.
  4. Costo de 160 botellas: A: 0.35 \times 160 = \$56.00; B: 0.36 \times 160 = \$57.60.
  5. Ahorro: 57.60 - 56.00 = \$1.60.
  6. Trabaja hacia atrás: 1.60 \div 0.35 \approx 4.57, así que le alcanza para 4 botellas enteras más.
Bar chart of price per bottle: Store A sells 18 for 6.30 dollars, which is 0.35 dollars per bottle; Store B sells 32 for 11.52 dollars, which is 0.36 dollars per bottle. For 160 bottles Store A costs 56.00 dollars and Store B costs 57.60 dollars, a saving of 1.60 dollars.Price per bottleStore A: 18 for $6.30$0.35Store B: 32 for $11.52$0.36160 bottles: A $56.00 vs B $57.60 → save $1.60
Tienda A 0.35 dólares contra tienda B 0.36 dólares por botella

Respuesta: (a) la tienda A; (b) $1.60; (c) 4 botellas.

Comprobación: 4 \times 0.35 = \$1.40 \le \$1.60, pero 5 \times 0.35 = \$1.75 > \$1.60 ✓ (Redondea hacia abajo: no puedes comprar una parte de una botella).

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • División simple: escribe la primera cantidad, oprime ÷, escribe la cantidad del "por" y oprime enter. Para 5.99 \div 32 verás 0.1871875.
  • Fracciones: oprime n/d para formar una fracción como \tfrac{3}{4} y luego usa la flecha derecha para salir de la fracción antes de escribir ÷. Si la respuesta aparece como fracción, por ejemplo \tfrac{9}{2}, oprime toggle para ver el decimal 4.5.
  • Mejor compra: calcula cada precio unitario en su propia línea. Usa la flecha hacia arriba para regresar y comparar los resultados; no los redondees antes.
  • Cuándo no hace falta: las tasas sencillas como 150 \div 3 o 84 \div 7 son más rápidas de hacer mentalmente, y pueden aparecer en la parte sin calculadora del examen. Practica la división a mano.
Error común

Errores comunes

  • Dividir al revés. $6 por 3 lb: 3 \div 6 = 0.5 son libras por dólar, no dólares por libra. ✔ Pon la unidad del "por" abajo: 6 \div 3 = \$2 por lb.
  • Creer que el paquete más grande siempre es la mejor compra. ✔ Calcula siempre todos los precios unitarios; a veces gana el tamaño mediano.
  • Redondear demasiado pronto. $0.2749 y $0.2701 parecen "27¢" si redondeas primero a centavos. ✔ Conserva 3 o 4 lugares decimales hasta comparar.
  • Mezclar unidades de tiempo. 12 millas en 20 minutos no son 0.6 mph. 12 \div 20 = 0.6 millas por minuto, que son 0.6 \times 60 = 36 mph. ✔ Revisa las unidades en las opciones de respuesta.
  • Detenerse después del primer paso. En un problema de dos pasos, la tasa unitaria ($23 por hora) suele ser una opción incorrecta. ✔ Vuelve a leer lo que realmente pide la pregunta.
  • Olvidar el cupón o la oferta. ✔ Resta el cupón del precio antes de dividir entre la cantidad.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Subraya la palabra "por" (o "cada", "por cada"). Lo que viene después va abajo en la fracción.
  • Estima primero. 357 millas en 7 horas es aproximadamente 350 \div 7 = 50. Si obtienes 2,499 o 0.02, multiplicaste o invertiste la división.
  • Sustituye las respuestas. Si una opción dice 51 mph, comprueba: ¿51 \times 7 da 357?
  • Revisa las unidades de las opciones. Si las opciones están en dólares por onza y tu paquete está en libras, convierte.
  • Elimina las respuestas trampa. La respuesta que obtienes si te detienes en el primer paso, o si multiplicas en vez de dividir, casi siempre está entre las opciones.
  • Tablas de mejor compra: haz una lista rápida de precios unitarios en tu pizarra borrable antes de mirar las opciones.
  • Tiempo: la mayoría de las preguntas de tasa unitaria deberían tomarte más o menos un minuto. Si una te está tomando más, márcala y regresa después.

Compruébalo

Tasas unitariasSin calculadora

Keisha drove 240 miles and used 8 gallons of gas. How many miles per gallon did her car get?

Opciones de respuesta
Pista

"Miles per gallon" means miles for each one gallon. Which quantity should go on the bottom?

Ver en español

Pregunta

Keisha manejó 240 millas y usó 8 galones de gasolina. ¿Cuántas millas por galón rindió su carro?

Opciones

  • A. 1,920 millas por galón
  • B. 232 millas por galón
  • C. unas 0.03 millas por galón
  • D. 30 millas por galón
Pista

"Millas por galón" significa millas por cada galón. ¿Qué cantidad debe ir abajo?

Compruébalo

Tasas unitariasSin calculadoraCompletar

A 12-pack of sparkling water costs $5.40. What is the price of one can?

$

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

You want the cost per can. Divide the total price by the number of cans.

Ver en español

Pregunta

Un paquete de 12 latas de agua con gas cuesta $5.40. ¿Cuál es el precio de una lata?

$_____

Pista

Quieres el costo por lata. Divide el precio total entre el número de latas.

Resumen

Puntos clave

  • Una tasa unitaria es una cantidad por una unidad: divide entre la cantidad que viene después de "por".
  • Multiplica por la tasa unitaria para encontrar un total; divide entre la tasa unitaria para trabajar hacia atrás.
  • La mejor compra tiene el precio por unidad más bajo: calcula todos los precios unitarios, en las mismas unidades, antes de elegir.
  • Conserva lugares decimales extra mientras comparas; redondea solo al final.
  • En una gráfica de línea recta que pasa por el origen, la tasa unitaria es y \div x (la pendiente).
  • La hoja del GED® da d = rt y costo total = unidades \times precio por unidad; la idea de "dividir entre la cantidad del por" la tienes que recordar.
Practicar esta destreza →