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Puntos en el plano de coordenadas

Ubica, lee, mueve y refleja puntos, y nombra su cuadrante según los signos de las coordenadas.

Practicar esta destreza 18 min Puntos en el plano de coordenadas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a leer y ubicar puntos en el plano de coordenadas: la cuadrícula sobre la que se construyen casi todas las preguntas de gráficas del GED®.

Podrás:

  • nombrar las partes del plano de coordenadas (ejes, origen, cuadrantes);
  • ubicar cualquier punto (x,\ y), incluso con negativos, ceros, fracciones y decimales;
  • leer las coordenadas de un punto en una gráfica, aunque la cuadrícula tenga escala;
  • saber en qué cuadrante está un punto solo por sus signos;
  • mover, reflejar y unir puntos para responder preguntas de geometría y de mapas.

Por qué importa en el GED®. El examen usa esta destreza directamente en las preguntas de "haz clic en la gráfica" (zona activa o hot spot), donde debes hacer clic en el lugar exacto de un punto. También aparece escondida en muchas otras preguntas: hallar la pendiente, graficar una recta, leer una gráfica, hallar la esquina que falta de un rectángulo o medir distancias en un mapa. Si ubicas puntos rápido y bien, todas esas preguntas se vuelven más fáciles.

En la vida real. Los mapas, los planos de asientos, las hojas de cálculo, las ubicaciones de GPS y las pantallas de videojuegos usan la misma idea: un número para "a lo ancho" y otro para "arriba o abajo".

Vocabulario

  • plano de coordenadas — una cuadrícula plana formada por dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto (la cuadrícula del papel cuadriculado).
  • eje x (x-axis) — la recta numérica horizontal. Hacia la derecha es positivo; hacia la izquierda, negativo.
  • eje y (y-axis) — la recta numérica vertical. Hacia arriba es positivo; hacia abajo, negativo.
  • origen — el punto donde se cruzan los ejes, (0,\ 0).
  • par ordenado — dos números entre paréntesis, (x,\ y), que nombran un punto. El orden importa: (2, 5) y (5, 2) son puntos diferentes.
  • coordenada x — el primer número; cuánto se aleja a la izquierda o a la derecha del origen (por ejemplo, en (-4, 1) es -4, 4 a la izquierda).
  • coordenada y — el segundo número; cuánto sube o baja (en (-4, 1) es 1, 1 hacia arriba).
  • cuadrante — cada una de las cuatro regiones en que los ejes dividen el plano, numeradas I, II, III, IV en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando arriba a la derecha.
  • ubicar (graficar) — marcar un punto en su lugar en la cuadrícula.
  • escala — cuántas unidades representa cada cuadro de la cuadrícula (por ejemplo, 1, 2, 5 o 10).
  • reflexión — un "giro de espejo" de un punto sobre un eje (por ejemplo, (3, 2) reflejado sobre el eje x es (3, -2)).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

La cuadrícula y el par ordenado

Coordinate plane from −5 to 5 on both axes with the four quadrants labeled: Quadrant I (+, +) upper right, Quadrant II (−, +) upper left, Quadrant III (−, −) lower left, Quadrant IV (+, −) lower right. Point P(3, 2) is plotted with a dashed path from the origin 3 units right then 2 units up. Point Q(−4, −1) is plotted in Quadrant III.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xyQuadrant I(+, +)Quadrant II(−, +)Quadrant III(−, −)Quadrant IV(+, −)P(3, 2)Q(−4, −1)

El plano de coordenadas son dos rectas numéricas unidas en el cero.

  • El eje x va de izquierda a derecha. Los números a la derecha del cero son positivos; a la izquierda, negativos.
  • El eje y va de arriba abajo. Los números por encima del cero son positivos; por debajo, negativos.
  • Se cruzan en el origen, (0, 0).

Cada punto tiene una dirección escrita como un par ordenado (x,\ y):

  1. El primer número, x, dice cuánto moverte a la izquierda o a la derecha desde el origen.
  2. El segundo número, y, dice cuánto moverte hacia arriba o hacia abajo.

Un buen truco para recordarlo: "Camina hasta el elevador y luego súbete." Primero caminas por el piso (x) y después subes o bajas (y).

Ejemplo. Ubica (3,\ 2): empieza en el origen, camina 3 a la derecha y luego sube 2.

Ejemplo. Ubica (-4,\ -1): empieza en el origen, camina 4 a la izquierda y luego baja 1.

Coordinate plane from −6 to 6 on the x-axis and −5 to 5 on the y-axis. To plot (3, 2), a blue arrow walks 3 units right along the x-axis from the origin, then a second arrow rides 2 units up to the point (3, 2). To plot (−4, −1), a red arrow walks 4 units left, then rides 1 unit down to the point (−4, −1).−6−5−3−2−112456−5−4−3−2−1123450xy3 right2 up4 left1 down(3, 2)(−4, −1)
Cómo ubicar (3, 2) y (−4, −1): camina y luego sube o baja
Signo del númerox (primero) significay (segundo) significa
positivomoverse a la derechamoverse hacia arriba
negativomoverse a la izquierdamoverse hacia abajo
cerono moverse a la izquierda/derechano moverse hacia arriba/abajo

Puntos sobre un eje. Si una coordenada es 0, te saltas ese movimiento.

  • (0,\ -3): no te mueves a la izquierda ni a la derecha, bajas 3 → el punto está sobre el eje y.
  • (5,\ 0): 5 a la derecha, no subes ni bajas → el punto está sobre el eje x.

Fracciones y decimales. (1.5,\ -2.5) queda a la mitad entre las líneas de la cuadrícula: 1.5 a la derecha y 2.5 hacia abajo. \left(-\tfrac{1}{2},\ 3\right) está medio cuadro a la izquierda y 3 hacia arriba.

Coordinate plane from −6 to 6 by −5 to 5. Four plotted points: (0, −3) lies on the y-axis; (5, 0) lies on the x-axis; (1.5, −2.5) sits halfway between grid lines, 1.5 right and 2.5 down; (−1/2, 3) is half a square left of the y-axis and 3 up.−6−5−4−3−2−112346−5−4−3−2−112340xy(0, −3) on the y-axis(5, 0)on the x-axis(1.5, −2.5)(−½, 3)
Puntos sobre los ejes y entre las líneas de la cuadrícula

Leer un punto en una gráfica es el mismo proceso al revés: baja (o sube) en línea recta hasta el eje x para leer x; luego ve en línea recta hasta el eje y para leer y.

Los cuatro cuadrantes y sus signos

Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Se numeran con números romanos, empezando arriba a la derecha y en sentido contrario a las agujas del reloj (al revés de como giran las manecillas):

CuadranteUbicaciónSigno de xSigno de yEjemplo
Iarriba a la derecha++(3,\ 2)
IIarriba a la izquierda-+(-4,\ 2)
IIIabajo a la izquierda--(-4,\ -1)
IVabajo a la derecha+-(5,\ -1)
Coordinate plane from −6 to 6 on both axes, divided into four quadrants numbered counter-clockwise. Quadrant I (upper right) has signs (+, +) and contains (3, 2). Quadrant II (upper left) has (−, +) and contains (−4, 2). Quadrant III (lower left) has (−, −) and contains (−4, −1). Quadrant IV (lower right) has (+, −) and contains (5, −1). The points (0, 4) and (−6, 0) lie on the axes and are in no quadrant.−6−5−4−3−2−1123456−6−5−4−3−2−11234560xyI (+, +)II (−, +)III (−, −)IV (+, −)(3, 2)(−4, 2)(−4, −1)(5, −1)(0, 4)(−6, 0)Green points lie on an axis: no quadrant.
Los cuatro cuadrantes con sus patrones de signos y puntos de ejemplo

Así puedes nombrar el cuadrante sin dibujar nada: solo mira los signos.

  • (-7,\ 0.5): (-,\ +) → Cuadrante II.
  • (2,\ -9): (+,\ -) → Cuadrante IV.

Los puntos sobre los ejes no están en ningún cuadrante. (0,\ 4) está sobre el eje y y (-6,\ 0) está sobre el eje x. Están en las líneas que separan los cuadrantes. El origen está sobre los dos ejes.

Trabajar al revés. Si una pregunta dice "(a,\ b) está en el Cuadrante II", sabes que a < 0 y b > 0, aunque no haya números. También puedes razonar: "(a, b) está en el Cuadrante II, así que (-a, b) está en el Cuadrante I", porque al cambiar el signo de a se vuelve positivo.

Mover, reflejar y medir puntos

Mover (trasladar) un punto.

  • k unidades a la derecha: suma k a x. k a la izquierda: resta k a x.
  • k unidades hacia arriba: suma k a y. k hacia abajo: resta k a y.

Ejemplo: empieza en (-2,\ 1), muévete 5 a la derecha y 3 hacia abajo → (-2 + 5,\ 1 - 3) = (3,\ -2).

Coordinate plane from −5 to 5. The point (−2, 1) moves 5 units right (blue arrow) to (3, 1), then 3 units down (red arrow) to its new position (3, −2). The x-coordinate goes −2 + 5 = 3 and the y-coordinate goes 1 − 3 = −2.−5−4−3−2−11245−4−3−2−12340xy5 right3 downstart (−2, 1)end (3, −2)
Mover (−2, 1) cinco a la derecha y tres hacia abajo hasta (3, −2)

Reflejar (voltear) un punto.

  • Sobre el eje x: deja x igual y cambia el signo de y. (5,\ -1) \to (5,\ 1).
  • Sobre el eje y: deja y igual y cambia el signo de x. (5,\ -1) \to (-5,\ -1).
Coordinate plane from −6 to 6 by −3 to 3. The point (5, −1) is reflected across the x-axis to (5, 1): same x, opposite y. It is reflected across the y-axis to (−5, −1): same y, opposite x. Dashed lines show each mirror flip crossing the axis at a right angle.−6−4−3−2−112346−3−2230xy(5, −1)(5, 1)(−5, −1)across x-axisacross y-axis
Reflexión de (5, −1) sobre cada eje

Distancia a lo largo de una línea de la cuadrícula. Cuando dos puntos tienen la misma coordenada x o la misma coordenada y, el segmento entre ellos es vertical u horizontal. Su longitud es la diferencia de las otras coordenadas (la mayor menos la menor).

  • De (-3,\ 2) a (4,\ 2): misma y, longitud 4 - (-3) = 7.
  • De (4,\ 2) a (4,\ -3): misma x, longitud 2 - (-3) = 5.

Cuando el segmento cruza un eje, en realidad estás sumando dos partes: 3 unidades a un lado del cero más 4 al otro lado dan 7.

Coordinate plane from −5 to 6 by −5 to 4. A horizontal segment from (−3, 2) to (4, 2) has length 7: 3 units left of the y-axis plus 4 units right of it. A vertical segment from (4, 2) to (4, −3) has length 5: 2 units above the x-axis plus 3 units below it.−5−4−2−112356−5−4−3−2−11340xy34length 723length 5(−3, 2)(4, 2)(4, −3)
Longitud horizontal de 7 y longitud vertical de 5 en la cuadrícula

Cuadrículas con escala. No todas las cuadrículas cuentan de 1 en 1. Antes de contar cuadros, lee los números de los ejes. Si dicen 2, 4, 6, \dots cada cuadro vale 2 unidades; si dicen 10, 20, 30, \dots cada cuadro vale 10. Un punto 3 cuadros a la izquierda y 2 cuadros hacia arriba en una cuadrícula "de 2 en 2" es (-6,\ 4), no (-3,\ 2).

Coordinate plane whose grid squares are 2 units each: the x-axis is labelled −10, −8, …, 8, 10 and the y-axis −8, …, 8. A point is 3 squares left and 2 squares up from the origin. Because each square is 2 units, the point is (−6, 4), not (−3, 2).−10−8−6−4−2246810−8−6−424680xy3 squares × 2 = 6 left2 squares × 2 = 4 up(−6, 4)1 square = 2 units
En una cuadrícula de 2 en 2, 3 cuadros a la izquierda y 2 hacia arriba es (−6, 4)
Fórmula

Reglas para memorizar (no están en la hoja de fórmulas)

No hay una sola fórmula para ubicar puntos, pero estas reglas se usan todo el tiempo. No vienen en la hoja de fórmulas del GED®, así que memorízalas:

\text{punto} = (x,\ y) = (\text{izquierda/derecha},\ \text{arriba/abajo}) \text{Cuadrantes: } \ \text{I}\,(+,+) \quad \text{II}\,(-,+) \quad \text{III}\,(-,-) \quad \text{IV}\,(+,-) \text{Reflejar sobre el eje } x\text{: } (x,\ y) \to (x,\ -y) \qquad \text{Reflejar sobre el eje } y\text{: } (x,\ y) \to (-x,\ y) \text{Distancia horizontal} = \lvert x_2 - x_1 \rvert \qquad \text{Distancia vertical} = \lvert y_2 - y_1 \rvert
  • x = posición horizontal, y = posición vertical.
  • \lvert \ \rvert significa valor absoluto: calcula la diferencia y quita cualquier signo menos.

(La fórmula general de la distancia para segmentos inclinados viene del teorema de Pitágoras, que sí está en la hoja de fórmulas; eso se ve en una lección posterior).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 — Ubicar un punto con un negativo

Problema. Ubica el punto (2,\ -4). ¿En qué cuadrante está?

  1. Empieza en el origen (0, 0).
  2. x = 2 es positivo → muévete 2 unidades a la derecha.
  3. y = -4 es negativo → muévete 4 unidades hacia abajo.
  4. Marca el punto. Está a la derecha del eje y y debajo del eje x.
Coordinate plane from −5 to 5 by −6 to 3. Starting at the origin, an arrow moves 2 units right, then a second arrow moves 4 units down to the plotted point (2, −4). The lower-right region, Quadrant IV with signs (+, −), is shaded.−5−4−3−2−11345−6−5−4−3−2−11230xyQuadrant IV (+, −)2 right4 down(2, −4)
Ubicación de (2, −4) en el Cuadrante IV

Respuesta: el punto está en el Cuadrante IV.

Comprobación: El patrón de signos (+,\ -) corresponde al Cuadrante IV ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 — Un problema con mapa (vida real)

Problema. En la cuadrícula del mapa de una ciudad, cada unidad es 1 cuadra. El apartamento de María está en (-5,\ -1). La tienda de comestibles está en (-5,\ 6). Ella camina en línea recta hacia el norte por la calle. ¿Cuántas cuadras camina?

  1. Los dos lugares tienen x = -5, así que el camino es vertical.
  2. Distancia vertical = diferencia de las coordenadas y: 6 - (-1) = 6 + 1 = 7
City map grid, each unit 1 block, x from −7 to 3 and y from −3 to 7. Maria's apartment is at (−5, −1) and the grocery store is at (−5, 6). She walks straight north: 1 block from y = −1 up to the x-axis, then 6 more blocks up to y = 6, for 7 blocks in all.−7−6−3−2−1123−3−2−112345670xy161 + 6 = 7 blockshome (−5, −1)store (−5, 6)
María camina 7 cuadras al norte, de (−5, −1) a (−5, 6)

Respuesta: 7 cuadras.

Comprobación: De y = -1 hasta 0 hay 1 cuadra, y de 0 hasta 6 hay 6 más: 1 + 6 = 7 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 — Trabajar al revés: la esquina que falta

Problema. Tres esquinas de un rectángulo son J(-3,\ 2), K(4,\ 2) y L(4,\ -3). Halla la cuarta esquina M y luego el perímetro del rectángulo en unidades.

  1. J y K tienen la misma y = 2: lado de arriba. K y L tienen la misma x = 4: lado derecho.
  2. M es la esquina de abajo a la izquierda: misma x que J (-3) y misma y que L (-3). Entonces M = (-3,\ -3).
  3. Longitud de los lados: JK = 4 - (-3) = 7 y KL = 2 - (-3) = 5.
  4. Perímetro = 2\ell + 2w = 2(7) + 2(5) = 14 + 10 = 24.
Coordinate plane from −5 to 6 by −5 to 4 showing rectangle JKLM. J(−3, 2), K(4, 2) and L(4, −3) are given; the missing corner is M(−3, −3). The top side JK is 7 units long and the right side KL is 5 units long, so the perimeter is 7 + 5 + 7 + 5 = 24 units. Each corner is a right angle.−5−4−2−112356−5−4−2−11340xyJ(−3, 2)K(4, 2)L(4, −3)M(−3, −3)7575
Rectángulo JKLM con lados de 7 y 5

Respuesta: M = (-3,\ -3); perímetro de 24 unidades.

Comprobación: ML = 4 - (-3) = 7 es igual a JK, y JM = 2 - (-3) = 5 es igual a KL ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 — Nivel difícil del GED®: mover y luego reflejar

Problema. El punto A(-1,\ 3) se mueve 4 unidades a la derecha y 6 unidades hacia abajo hasta el punto B. Luego B se refleja sobre el eje y hasta el punto C. ¿Cuáles son las coordenadas de C y en qué cuadrante está?

  1. 4 a la derecha: x = -1 + 4 = 3. 6 hacia abajo: y = 3 - 6 = -3. Entonces B = (3,\ -3).
  2. Reflejar sobre el eje y: deja y igual y cambia el signo de x. C = (-3,\ -3).
  3. Signos (-,\ -) → Cuadrante III.
Coordinate plane from −5 to 5. Point A(−1, 3) moves 4 units right (blue arrow) to (3, 3) and then 6 units down (blue arrow) to B(3, −3). B is then reflected across the y-axis (red dashed line) to C(−3, −3) in Quadrant III. B and C are each 3 units from the y-axis at the same height.−5−4−3−2−11245−5−4−2−112450xy4 right6 down33reflect across y-axisA(−1, 3)B(3, −3)C(−3, −3)
A se mueve a B y luego B se refleja en C

Respuesta: C = (-3,\ -3), en el Cuadrante III.

Comprobación: B(3, -3) y C(-3, -3) están ambos a 3 unidades del eje y, en lados opuestos y a la misma altura ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Ubicar y leer puntos es una destreza de lápiz y vista: no necesitas la calculadora, y usarla te hace perder tiempo.

Usa la TI-30XS solo para las operaciones alrededor de un punto cuando los números se complican:

  • Para escribir una coordenada negativa, usa la tecla (−) (la tecla de negativo, en la fila de abajo), no la tecla de resta. Ejemplo: 4 - (-3) se escribe 4 − (−) 3 enter → 7.
  • Para coordenadas con fracciones, la tecla n/d escribe una fracción y la tecla toggle cambia la respuesta entre fracción y decimal, así puedes ver que \tfrac{5}{2} es 2.5: a la mitad entre 2 y 3 en la cuadrícula.

Cuándo NO usarla: para decidir cuadrantes, leer coordenadas en una gráfica y movimientos simples como "3 a la izquierda, 2 hacia arriba". Hazlos mentalmente o en la pizarra de borrador.

Error común

Errores comunes

  • Intercambiar x y y. Ubicar (2, -4) como "2 hacia abajo, 4 a la derecha" lo pone en (4, -2). ✗ Siempre muévete primero a lo ancho (x) y luego arriba/abajo (y). ✓
  • Olvidar el signo negativo. Ubicar (-4, 2) en (4, 2) pone el punto en el cuadrante equivocado. ✗ x negativa = izquierda; y negativa = abajo. ✓
  • Numerar los cuadrantes en el sentido de las agujas del reloj. Llamar "Cuadrante II" a la región de abajo a la derecha. ✗ Los cuadrantes van en sentido contrario a las agujas del reloj desde arriba a la derecha: I, II, III, IV. ✓
  • Poner puntos de los ejes en un cuadrante. Decir que (0, 4) está en el Cuadrante I o II. ✗ Un punto con una coordenada cero está sobre un eje y no está en ningún cuadrante. ✓
  • No fijarse en la escala. Contar 3 cuadros a la izquierda como x = -3 cuando cada cuadro vale 2 unidades. ✗ Lee primero los números de los ejes: 3 cuadros × 2 = 6, así que x = -6. ✓
  • Restar mal al cruzar el cero. Decir que la distancia de -3 a 4 es 4 - 3 = 1. ✗ Es 4 - (-3) = 7. ✓

Estrategia para el examen

  • Preguntas de zona activa (hot spot): di el movimiento en tu mente ("3 a la derecha, 2 hacia abajo") y señala con el mouse antes de hacer clic. Haz clic en el centro del cruce de las líneas de la cuadrícula, no cerca de él.
  • Lee la pregunta dos veces. "Reflejar sobre el eje x" y "reflejar sobre el eje y" dan respuestas distintas; "derecha" e "izquierda", "arriba" y "abajo" son fáciles de confundir con prisa.
  • Revisa la escala de cada gráfica antes de contar cuadros.
  • Descarta por los signos. En preguntas de "qué cuadrante" o "qué punto", tacha primero todas las opciones con el patrón de signos equivocado; muchas veces solo queda una.
  • Sustituye para comprobar. Después de hallar un vértice que falta o un punto movido, haz el movimiento al revés y asegúrate de volver al punto de partida.
  • Controla tu tiempo: una pregunta de ubicar puntos debe tomarte menos de un minuto. Si te atascas, márcala, sigue adelante y regresa después.

Compruébalo

Puntos en el plano de coordenadasZona activa

Click the point (-4,\ 2) on the coordinate plane.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes-5-5-4-4-3-3-2-2-1-11122334455xy
Pista

Read the ordered pair in order: the first number tells you left/right, the second tells you up/down.

Ver en español

Pregunta

Haz clic en el punto (-4,\ 2) en el plano de coordenadas.

Pista

Lee el par ordenado en orden: el primer número te dice izquierda/derecha y el segundo te dice arriba/abajo.

Compruébalo

Puntos en el plano de coordenadasSin calculadora

In which quadrant is the point (-3,\ -5) located?

Opciones de respuesta
Pista

Look at the sign of each coordinate, then picture where left/right and up/down send you.

Ver en español

Pregunta

¿En qué cuadrante está el punto (-3,\ -5)?

Opciones

  • A. Cuadrante I
  • B. Cuadrante II
  • C. Cuadrante IV
  • D. Cuadrante III
Pista

Mira el signo de cada coordenada y luego imagina hacia dónde te mandan izquierda/derecha y arriba/abajo.

Resumen

  • Un punto se escribe (x,\ y): primero a lo ancho (derecha +, izquierda -), luego arriba/abajo (arriba +, abajo -).
  • El origen es (0, 0). Los puntos con una coordenada 0 están sobre un eje y no están en ningún cuadrante.
  • Los cuadrantes van en sentido contrario a las agujas del reloj: I (+,+), II (-,+), III (-,-), IV (+,-).
  • Para mover un punto, suma o resta a x (izquierda/derecha) o a y (arriba/abajo). Para reflejar sobre el eje x, cambia el signo de y; sobre el eje y, cambia el signo de x.
  • Distancia horizontal/vertical = diferencia de las coordenadas; al cruzar el cero, 4 - (-3) = 7.
  • Lee siempre la escala antes de contar cuadros de la cuadrícula.
Practicar esta destreza →