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Hallar la pendiente en una gráfica, una tabla o una ecuación

Halla y compara la pendiente de una recta a partir de una gráfica, dos puntos, una tabla o una ecuación.

Practicar esta destreza 20 min Pendiente a partir de una gráfica, ecuación o tabla Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

La pendiente es el número más importante de una recta. Te dice qué tan inclinada está la recta y hacia dónde va.

En esta lección vas a hallar la pendiente de tres maneras:

  • en una gráfica (cuenta la subida y el avance);
  • con dos puntos o una tabla (usa la fórmula de la pendiente);
  • en una ecuación (despeja y y lee m).

También aprenderás los cuatro tipos de pendiente (positiva, negativa, cero e indefinida), cómo comparar qué tan inclinadas están las rectas y cómo trabajar al revés para hallar una coordenada que falta.

Por qué importa en el GED®. La pendiente aparece en varias preguntas de casi todos los exámenes de Matemáticas: "¿Cuál es la pendiente de la recta que se muestra?", "¿Qué ecuación tiene la mayor pendiente?", "Halla el valor que falta si la pendiente es …". También es la base de las tasas unitarias, de graficar rectas y de escribir ecuaciones; todas las lecciones siguientes se apoyan en ella.

En la vida real. La inclinación de un techo, la pendiente de una carretera o de una rampa para silla de ruedas, el precio por galón en un recibo y la rapidez de un carro en una gráfica de distancia y tiempo son pendientes.

Vocabulario

  • pendiente (m) (slope) — la tasa a la que una recta sube o baja: el cambio en y dividido entre el cambio en x (una pendiente de 2 significa subir 2 por cada 1 hacia la derecha).
  • subida (rise) — el cambio vertical entre dos puntos (de y = 1 a y = 7, la subida es 6).
  • avance (run) — el cambio horizontal entre dos puntos (de x = 2 a x = 5, el avance es 3).
  • pendiente positiva — la recta sube de izquierda a derecha (por ejemplo, m = 3).
  • pendiente negativa — la recta baja de izquierda a derecha (por ejemplo, m = -\tfrac{1}{2}).
  • pendiente cero — una recta horizontal, como y = 4.
  • pendiente indefinida — una recta vertical, como x = -2 (el avance es 0 y no se puede dividir entre 0).
  • forma pendiente-intersección — y = mx + b; m es la pendiente y b es la intersección con el eje y (por ejemplo, y = 5x - 1 tiene m = 5).
  • forma estándar — Ax + By = C (por ejemplo, 4x + 2y = 10); hay que reorganizarla para ver la pendiente.
  • intersección con el eje y (y-intercept) — donde la recta cruza el eje y (en y = 5x - 1 es (0, -1)).
  • inclinación — el tamaño de la pendiente sin tomar en cuenta su signo, \lvert m \rvert.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

La pendiente en una gráfica: subida entre avance

Coordinate plane from −5 to 5. A line passes through the points (−3, −1) and (3, 3). A dashed right triangle shows the run of 6 units to the right from (−3, −1) to (3, −1) and the rise of 4 units up from (3, −1) to (3, 3). Slope = 4/6 = 2/3.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xyrun = 6rise = 4(−3, −1)(3, 3)

La pendiente compara el cambio hacia arriba o abajo con el cambio hacia la izquierda o derecha:

m = \frac{\text{subida}}{\text{avance}} = \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}

Pasos con una gráfica:

  1. Escoge dos puntos donde la recta pase exactamente por esquinas de la cuadrícula.
  2. Ve del punto de la izquierda al punto de la derecha. Cuenta la subida (hacia arriba es +, hacia abajo es -).
  3. Cuenta el avance (hacia la derecha; siempre es + cuando vas de izquierda a derecha).
  4. Divide la subida entre el avance y simplifica.

Ejemplo. La recta de abajo pasa por (-3, -1) y (3, 3). Subida = 3 - (-1) = 4; avance = 3 - (-3) = 6. Entonces m = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Revisa el signo con la vista. Lee la gráfica de izquierda a derecha, como una oración. Cuesta arriba → positiva. Cuesta abajo → negativa.

Revisa la escala. Si cada cuadro vale 5 unidades en el eje y y 1 unidad en el eje x, no basta con contar cuadros: usa los números de los ejes para hallar la subida y el avance reales.

Los cuatro tipos de pendiente

Four lines on a coordinate plane: a line rising from left to right labeled positive slope, a line falling from left to right labeled negative slope, a horizontal line labeled zero slope, and a vertical line labeled undefined slope.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xypositivenegativezeroundefined
Cómo se ve la rectaPendienteEjemploPor qué
sube ↗positivay = 2x + 1y aumenta cuando x aumenta
baja ↘negativay = -3x + 4y disminuye cuando x aumenta
plana —ceroy = 4subida = 0, así que \frac{0}{\text{avance}} = 0
recta hacia arriba y abajo |indefinidax = -2avance = 0, y \frac{\text{subida}}{0} no es un número
Four small graphs comparing the kinds of slope. Top left: y = 2x + 1 rises from left to right; from (0, 1) the run is 1 and the rise is 2, so the slope is positive, 2. Top right: y = −3x + 4 falls; from (0, 4) the run is 1 and the rise is −3, so the slope is negative, −3. Bottom left: y = 4 is horizontal; the rise is 0, so the slope is zero. Bottom right: x = −2 is vertical; the run is 0, so the slope is undefined.Positive slopexy = 2x + 1Negative slopexy = −3x + 4Zero slopexy = 4Undefined slopexx = −2rise 2run 1m = 2run 1rise −3m = −3rise = 0m = 0run = 0m = rise/0undefined
Pendiente positiva, negativa, cero e indefinida, una al lado de la otra

Inclinación. Un \lvert m \rvert más grande significa una recta más inclinada. m = -4 es más inclinada que m = 3 porque \lvert -4 \rvert = 4 > 3. Una pendiente entre -1 y 1 (como \frac{1}{4}) es suave.

Three lines through the origin compared for steepness. Left: slope 3, run 1 and rise 3. Middle: slope −4, run 1 and rise −4; it is the steepest because |−4| = 4 is the largest size. Right: slope 1/4, run 4 and rise 1; it is gentle because 1/4 is between −1 and 1.run 1rise 3m = 3|m| = 3run 1rise −4m = −4|m| = 4 steepestrun 4rise 1m = 1/4|m| = 1/4 gentle
Comparación de la inclinación de las pendientes 3, −4 y 1/4

Cuidado con las palabras: "la mayor pendiente" significa el número con signo más grande (3 > -4), pero "la más inclinada" significa el tamaño más grande (\lvert -4 \rvert > \lvert 3 \rvert).

La pendiente con dos puntos, una tabla o una ecuación

Dos puntos. Usa la fórmula de la pendiente con (x_1, y_1) y (x_2, y_2):

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Ejemplo: (-3, 5) y (1, -3) → m = \frac{-3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-8}{4} = -2. Puedes escoger cualquiera de los dos como "punto 1"; solo usa el mismo orden arriba y abajo.

Coordinate plane from −5 to 3 by −5 to 6. A falling line passes through (−3, 5) and (1, −3). A dashed right triangle shows the run of 1 − (−3) = 4 to the right and the rise of −3 − 5 = −8 (8 down). Slope = −8/4 = −2.−5−4−2−123−5−4−2−1123460xyrun = 4rise = −8(−3, 5)(1, −3)m = −8/4 = −2
Subida de −8 entre avance de 4, de (−3, 5) a (1, −3)

Una tabla. Escoge dos filas (o columnas) cualesquiera y usa la fórmula. Si x aumenta de 2 en 2 y y aumenta de 6 en 6, la pendiente es \frac{6}{2} = 3, no 6.

x246
y111723

m = \frac{17 - 11}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3.

Graph of the table x = 2, 4, 6 and y = 11, 17, 23. The points (2, 11), (4, 17) and (6, 23) lie on a line. Between neighbouring points the run is 2 and the rise is 6, so the slope is 6/2 = 3, not 6.123456748121620240xyrun 2rise 6run 2rise 6(2, 11)(4, 17)(6, 23)m = 6/2 = 3
Puntos de la tabla con avance de 2 y subida de 6

Si el cambio en y no es el mismo para cambios iguales en x, la tabla no es una recta y no tiene una sola pendiente.

Una ecuación. Despeja y para obtener y = mx + b; entonces m es el coeficiente de x.

  • y = -3x + 7 → m = -3 (ya está despejada).
  • 4x + 2y = 10 → 2y = -4x + 10 → y = -2x + 5 → m = -2.
  • y = 6 - \frac{1}{2}x → cambia el orden: y = -\frac{1}{2}x + 6 → m = -\frac{1}{2}.
  • Atajo para Ax + By = C: m = -\frac{A}{B}.

Trabajar al revés. Si conoces la pendiente y falta una coordenada, pon una letra en la fórmula y resuelve. Ejemplo: pendiente \frac{5}{2} que pasa por (2, k) y (6, 13) → \frac{13 - k}{4} = \frac{5}{2} → 13 - k = 10 → k = 3.

First-quadrant grid from 0 to 7 by 0 to 14. A line with slope 5/2 passes through (2, k) and (6, 13). The run from x = 2 to x = 6 is 4, so the rise must be 5/2 × 4 = 10, and k = 13 − 10 = 3. The lower point is (2, 3).123456724681012140xyrun = 4rise = 10(2, k)(6, 13)10/4 = 5/2k = 13 − 10 = 3
Cómo hallar k con pendiente 5/2: avance de 4, subida de 10
Fórmula

Fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • m = pendiente
  • (x_1, y_1) y (x_2, y_2) = dos puntos cualesquiera de la recta
y = mx + b
  • m = pendiente, b = intersección con el eje y (el valor de y cuando x = 0)

Las dos fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED® (bajo pendiente y forma pendiente-intersección), así que no necesitas memorizarlas, pero sí necesitas saber usarlas rápido. No están en la hoja (memorízalas): las rectas horizontales tienen pendiente 0, las rectas verticales tienen pendiente indefinida, y el atajo m = -\frac{A}{B} para Ax + By = C.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 — Con dos puntos

Problema. Halla la pendiente de la recta que pasa por (2, -1) y (6, 7).

  1. y_2 - y_1 = 7 - (-1) = 8.
  2. x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4.
  3. m = \frac{8}{4} = 2.
Coordinate plane from −1 to 7 by −2 to 8. The line through (2, −1) and (6, 7). A dashed right triangle shows run 6 − 2 = 4 and rise 7 − (−1) = 8, so the slope is 8/4 = 2. Green steps show right 1, up 2 four times through (3, 1), (4, 3) and (5, 5).−112457−212345680xyrun = 4rise = 8steps: right 1, up 2(2, −1)(6, 7)m = 8/4 = 2
Avance de 4 y subida de 8, de (2, −1) a (6, 7)

Respuesta: m = 2.

Comprobación: Desde (2, -1), ve 1 a la derecha y 2 hacia arriba cuatro veces: (3, 1), (4, 3), (5, 5), (6, 7) ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 — Con una ecuación en forma estándar

Problema. ¿Cuál es la pendiente de 5x - 3y = 12?

  1. Resta 5x: -3y = -5x + 12.
  2. Divide cada término entre -3: y = \frac{5}{3}x - 4.
  3. Lee el coeficiente de x: m = \frac{5}{3}.
Graph of 5x − 3y = 12, rewritten as y = (5/3)x − 4, on a plane from −2 to 7 by −6 to 4. The line crosses the y-axis at (0, −4). A dashed right triangle from (0, −4) runs 3 right and rises 5 up to (3, 1), showing the slope 5/3.−2−1124567−6−5−3−2−12340xyrun = 3rise = 5(0, −4)(3, 1)y = (5/3)x − 4m = 5/3
Gráfica de y = (5/3)x − 4 con avance de 3 y subida de 5

Respuesta: m = \tfrac{5}{3}.

Comprobación: Atajo -\frac{A}{B} = -\frac{5}{-3} = \frac{5}{3} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 — Vida real: una rampa para silla de ruedas

Problema. El código de construcción dice que una rampa para silla de ruedas puede tener una pendiente de \frac{1}{12} como máximo. Una rampa sube 2 pies a lo largo de una distancia horizontal de 20 pies. ¿Cumple con el código?

  1. Pendiente = \frac{\text{subida}}{\text{avance}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0.1.
  2. El límite es \frac{1}{12} \approx 0.083.
  3. Compara: 0.1 > 0.083, así que la rampa está demasiado inclinada.
Side view of two ramps drawn to scale, each rising 2 feet to the same landing. The real ramp (blue) has a run of 20 feet, so its slope is 2/20 = 1/10, which is too steep. The code-limit ramp (green, dashed) needs a run of 24 feet, so its slope is 2/24 = 1/12, which just meets the code.landingrise 2 ftreal ramp: run 20 ft → slope 2/20 = 1/10 (too steep)code limit: run 24 ft → slope 2/24 = 1/12 (OK)Side view, drawn to scale
Rampa con avance de 20 ft comparada con la rampa del código, con avance de 24 ft

Respuesta: No: su pendiente, \frac{1}{10}, es mayor que \frac{1}{12}. (Una subida de 2 ft necesita un avance de al menos 2 \times 12 = 24 ft).

Comprobación: \frac{2}{24} = \frac{1}{12} cumple exactamente con el límite ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 — Vida real: una tabla de costos

Problema. La factura de un plomero depende de las horas trabajadas.

Horas235
Factura ($)190255385

¿Cuál es la pendiente y qué significa?

  1. Usa las dos primeras columnas: \frac{255 - 190}{3 - 2} = \frac{65}{1} = 65.
  2. Confirma con las dos últimas: \frac{385 - 255}{5 - 3} = \frac{130}{2} = 65 ✓ (la misma pendiente, así que es lineal).
Graph of a plumber's bill against hours worked, with points (2, 190), (3, 255) and (5, 385) on a straight line. From 2 to 3 hours the run is 1 and the rise is 65 dollars; from 3 to 5 hours the run is 2 and the rise is 130 dollars. Both give a slope of 65 dollars per hour.123456501001502002503003504004500Hours workedBill ($)1652130(2, 190)(3, 255)(5, 385)65/1 = 130/2 = $65 per hour
Gráfica de la factura del plomero con triángulos de subida y avance

Respuesta: m = 65: la factura sube $65 por cada hora de trabajo.

Comprobación: 190 + 65 = 255 y 255 + 2(65) = 385 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 — Nivel difícil del GED®: trabajar al revés

Problema. Una recta tiene pendiente -\frac{3}{4} y pasa por (-2, 5) y (x, -1). Halla x.

  1. Subida de y = 5 a y = -1: -1 - 5 = -6.
  2. Pendiente = subida/avance, así que -\frac{3}{4} = \frac{-6}{\text{avance}}.
  3. Resuelve: \text{avance} = \frac{-6}{-3/4} = -6 \times \left(-\frac{4}{3}\right) = 8.
  4. x = -2 + 8 = 6.
Coordinate plane from −3 to 7 by −2 to 6. A line with slope −3/4 passes through (−2, 5) and (6, −1). A dashed right triangle shows the rise of −1 − 5 = −6 (6 down) and the run of 8, so x = −2 + 8 = 6.−3−2−1123457−2−1123460xyrun = 8rise = −6(−2, 5)(x, −1) = (6, −1)−6/8 = −3/4
Subida de −6 entre avance de 8, de (−2, 5) a (6, −1)

Respuesta: x = 6.

Comprobación: \frac{-1 - 5}{6 - (-2)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • Escribe toda la pendiente como una sola fracción con la tecla n/d: oprime n/d, escribe el numerador (por ejemplo, 7 − (−) 1), oprime la flecha hacia abajo, escribe el denominador (6 − 2) y luego enter. La calculadora muestra 2.
  • Usa la tecla (−) para coordenadas negativas, no la tecla de resta. 1 - (-3) es 1 − (−) 3.
  • Oprime toggle para cambiar una respuesta como \frac{3}{50} a 0.06 (o al revés) y así compararla con las opciones.
  • Cuándo NO usarla: para leer la subida y el avance en una gráfica, o para leer m en una ecuación que ya está en la forma y = mx + b; las dos cosas son más rápidas a simple vista. Las preguntas de pendiente con números pequeños muchas veces se pueden hacer mentalmente.
Error común

Errores comunes

  • Avance entre subida. Escribir \frac{\text{cambio en } x}{\text{cambio en } y} da \frac{2}{3} en vez de \frac{3}{2}. ✗ y (la subida) siempre va arriba. ✓
  • Cambiar el orden. Usar y_2 - y_1 arriba pero x_1 - x_2 abajo cambia el signo. ✗ Empieza las dos restas con el mismo punto. ✓
  • Errores de signo con negativos. 1 - (-3) es 4, no -2. ✗ Pon los negativos entre paréntesis y cambia "menos un negativo" por "más". ✓
  • Leer la pendiente antes de despejar y. En 4x + 2y = 10 la pendiente no es 4. ✗ Despeja: y = -2x + 5, así que m = -2. ✓
  • Confundir m y b. En y = -3x + 7, 7 es la intersección con el eje y, no la pendiente. ✗ La pendiente es el número que acompaña a x. ✓
  • Confundir cero e indefinida. Las rectas horizontales (y = 5) tienen pendiente 0; las rectas verticales (x = -2) tienen pendiente indefinida. ✓

Estrategia para el examen

  • Primero el signo. Antes de calcular, decide si la recta sube o baja. Descarta todas las respuestas con el signo equivocado; muchas veces es la mitad de las opciones.
  • Espera las respuestas trampa. Las opciones suelen incluir el recíproco (\frac{2}{3} en vez de \frac{3}{2}), el signo opuesto y la intersección con el eje y. Revisa bien cuál calculaste.
  • Usa la hoja de fórmulas. La fórmula de la pendiente y y = mx + b están impresas ahí; míralas en vez de confiar en tu memoria bajo presión.
  • Sustituye para comprobar. En "halla la coordenada que falta", pon tu respuesta en la fórmula de la pendiente y verifica que da la pendiente indicada.
  • Simplifica antes de comparar. \frac{-4}{6} y -\frac{2}{3} son la misma pendiente; las opciones suelen estar en su mínima expresión.
  • Lee la pregunta dos veces: "la más inclinada", "la mayor pendiente" y "la menor pendiente" son preguntas diferentes.

Compruébalo

Pendiente a partir de una gráfica, ecuación o tabla

What is the slope of the line that passes through the points (1,\ 2) and (4,\ 8)?

Opciones de respuesta
Pista

Slope is the change in y divided by the change in x. Keep the points in the same order on top and bottom.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,\ 2) y (4,\ 8)?

Opciones

  • A. 2
  • B. \tfrac{1}{2}
  • C. -2
  • D. 6
Pista

La pendiente es el cambio en y dividido entre el cambio en x. Mantén los puntos en el mismo orden arriba y abajo.

Compruébalo

Pendiente a partir de una gráfica, ecuación o tablaSin calculadora

What is the slope of the line y = -3x + 7?

Opciones de respuesta
Pista

This equation is already in the form y = mx + b. Which letter is the slope?

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es la pendiente de la recta y = -3x + 7?

Opciones

  • A. 7
  • B. -3
  • C. 3
  • D. -\tfrac{1}{3}
Pista

Esta ecuación ya está en la forma y = mx + b. ¿Qué letra es la pendiente?

Resumen

  • Pendiente m = \dfrac{\text{subida}}{\text{avance}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (en la hoja de fórmulas).
  • Sube = positiva, baja = negativa, horizontal = 0, vertical = indefinida.
  • En una gráfica: escoge dos puntos exactos de la cuadrícula, cuenta la subida y el avance, y revisa la escala.
  • En una tabla: divide el cambio en y entre el cambio en x, no solo el salto de y.
  • En una ecuación: despeja y; la pendiente es el coeficiente de x (atajo -\frac{A}{B} para Ax + By = C).
  • La inclinación compara \lvert m \rvert: una pendiente de -4 es más inclinada que una de 3.
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