Lo que vas a aprender
Una tasa unitaria te dice cuánto obtienes de una cosa por una unidad de otra: $15 por hora, 29 millas por galón, $0.67 por onza. En esta lección verás que una tasa unitaria y la pendiente de una recta son la misma idea.
Aprenderás a:
- reconocer una relación proporcional en una tabla, una gráfica y una ecuación y = kx;
- hallar la tasa unitaria (la constante de proporcionalidad, k) y explicar qué significa con sus unidades;
- comparar dos tasas dadas de formas diferentes (gráfica, ecuación o tabla);
- usar la tasa unitaria para predecir valores y decidir qué puntos están en una recta.
Por qué importa en el GED®. Al examen le encantan las preguntas de tasas de la vida real: comparar dos planes de teléfono, dos impresoras o dos carros; "¿qué representa la pendiente?"; "¿cuál es la mejor compra?". Muchas veces verás una tasa en una gráfica y la otra como ecuación o tabla, y tendrás que compararlas.
En la vida real. Los precios unitarios en los estantes de las tiendas, el pago por hora, las millas por galón, la rapidez y la dosis por libra de peso corporal son tasas unitarias.
Vocabulario
- tasa — una comparación de dos cantidades con unidades diferentes (120 millas con 4 galones).
- tasa unitaria — una tasa por 1 unidad de la segunda cantidad (30 millas por galón).
- por (per) — "por cada"; significa dividir (millas por galón = millas ÷ galones).
- relación proporcional — dos cantidades cuya razón \frac{y}{x} es siempre la misma (2 lb cuestan $3, 4 lb cuestan $6).
- constante de proporcionalidad (k) — esa razón constante; k = \frac{y}{x} (en y = 3x, k = 3).
- origen — el punto (0, 0); toda gráfica proporcional pasa por él (0 horas → $0).
- pendiente — subida entre avance; en una gráfica proporcional, pendiente = k = tasa unitaria.
- precio unitario — una tasa unitaria en dólares por artículo, por onza, por libra, etc. ($0.67 por onza).
Tasa unitaria = pendiente
Una relación es proporcional cuando al duplicar una cantidad se duplica la otra, al triplicarla se triplica, y cero da cero. Su gráfica es una recta que pasa por el origen, y su ecuación es
y = kxdonde k es la tasa unitaria.
Por qué la tasa unitaria es la pendiente. Piensa en la caminante de la gráfica: camina 3 millas cada hora. Desde cualquier punto, avanza 1 hora a la derecha y la recta sube 3 millas. Subida entre avance = \frac{3}{1} = 3. Así que la pendiente es exactamente la tasa unitaria: 3 millas por hora.
Tres maneras rápidas de leer la tasa unitaria en una gráfica proporcional:
- Busca el valor de y cuando x = 1: ese valor es la tasa unitaria. (En 1 hora, 3 millas).
- Divide las coordenadas de cualquier punto marcado: \frac{y}{x}. (\frac{12}{4} = 3).
- Usa la fórmula de la pendiente con dos puntos: \frac{12 - 3}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3.
Unidades de la pendiente: siempre son "unidades de y por unidad de x". Distancia (millas) en el eje y y tiempo (horas) en el eje x → millas por hora.
Hallar la tasa unitaria en una tabla, una ecuación o con palabras
En una tabla. Divide y entre x en cada columna. Si todas las razones son iguales, la relación es proporcional y esa razón es la tasa unitaria.
| Galones (x) | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Millas (y) | 87 | 145 | 232 |
\frac{87}{3} = 29, \frac{145}{5} = 29, \frac{232}{8} = 29 → 29 millas por galón.
En una ecuación. En y = kx, lee k directamente. y = 1.85x (costo de x libras) → $1.85 por libra. Si la ecuación se ve como 3y = 51x, primero divide los dos lados entre 3: y = 17x, así que k = 17.
Con palabras. "Una bolsa de 12 oz cuesta $8.04" → \frac{8.04}{12} = \$0.67 por onza. La unidad que va después de "por" se pone abajo.
Fracciones. "\frac{2}{3} de milla cada \frac{1}{4} de hora" → \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} mph. Una fracción sobre otra fracción sigue siendo solo numerador ÷ denominador.
¿Proporcional o no? Una recta que no pasa por (0, 0) —por ejemplo, y = 4x + 1— tiene pendiente constante pero no es proporcional, porque \frac{y}{x} cambia (\frac{5}{1} = 5, \frac{9}{2} = 4.5). En la vida real, ese "+1" es una tarifa inicial o una cantidad inicial.
Comparar tasas dadas de formas diferentes
Las preguntas del GED® muchas veces dan una tasa como gráfica y otra como ecuación o tabla. El plan siempre es el mismo:
- Convierte cada una en una tasa unitaria con las mismas unidades.
- Compara los números (tasa mayor = más rápido, más por unidad, etc.).
- Responde exactamente lo que se pregunta; puede preguntar "por cuánto por minuto" o "cuántos más en 4 horas".
Ejemplo. La gráfica de la impresora A pasa por (5, 90) → \frac{90}{5} = 18 páginas/min. Impresora B: y = 20x → 20 páginas/min. B es más rápida: imprime 20 - 18 = 2 páginas más por minuto. En 10 minutos, B imprime 2 \times 10 = 20 páginas más.
En una gráfica con dos rectas proporcionales, la recta más inclinada tiene la mayor tasa unitaria. En "millas contra galones", más inclinada = más millas por galón = más eficiente.
Mejor compra. Con precios, el precio unitario más bajo es la mejor compra: 16 oz por $4.00 ($0.25/oz) es mejor que 12 oz por $3.36 ($0.28/oz).
Fórmulas
\text{tasa unitaria} = k = \frac{y}{x} \qquad\qquad y = kx- k = tasa unitaria (constante de proporcionalidad), en unidades de y por unidad de x
- x = la entrada (horas, galones, libras…), y = la salida (dólares, millas…)
- En una relación proporcional, la pendiente m es igual a k.
En la hoja de fórmulas del GED®: la fórmula de la pendiente y y = mx + b (una recta proporcional es simplemente b = 0), y distancia = tasa × tiempo, d = rt. No están en la hoja: y = kx y k = \frac{y}{x}; memorízalas (son fáciles: "por" significa dividir).
Ejemplo 1 — La tasa unitaria en una gráfica
Problema. Usa la gráfica de la caminata. ¿Qué distancia recorre la caminante en 2.5 horas?
- Tasa unitaria con (4, 12): \frac{12}{4} = 3 millas por hora.
- Ecuación: y = 3x.
- Con x = 2.5: y = 3(2.5) = 7.5.
Respuesta: 7.5 millas.
Comprobación: 7.5 está a la mitad entre los valores de 2 horas (6 mi) y 3 horas (9 mi) ✓
Ejemplo 2 — La mejor compra (vida real)
Problema. El detergente para ropa viene en una botella de 64 oz por $9.60 o en una de 100 oz por $13.00. ¿Cuál es la mejor compra?
- Pequeña: \frac{\$9.60}{64 \text{ oz}} = \$0.15 por oz.
- Grande: \frac{\$13.00}{100 \text{ oz}} = \$0.13 por oz.
- 0.13 < 0.15.
Respuesta: la botella de 100 oz es la mejor compra (2 centavos menos por onza).
Comprobación: 0.15 \times 64 = 9.60 ✓ y 0.13 \times 100 = 13.00 ✓
Ejemplo 3 — Interpretar la pendiente
Problema. Una enfermera usa y = 0.6x, donde x es el peso del paciente en kilogramos y y es la dosis en miligramos. ¿Qué significa 0.6 y qué dosis recibe un paciente de 70 kg?
- La pendiente 0.6 tiene unidades de mg por kg: 0.6 miligramos de medicina por cada kilogramo de peso corporal.
- Dosis: y = 0.6 \times 70 = 42.
Respuesta: 42 mg.
Comprobación: \frac{42}{70} = 0.6 ✓
Ejemplo 4 — Comparar una tabla y una ecuación
Problema. El trabajo A paga según la tabla. El trabajo B paga y = 17.25x dólares por x horas. En una semana de 40 horas, ¿qué trabajo paga más y por cuánto?
| Horas | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|
| Pago ($) | 88 | 176 | 352 |
- Tasa del trabajo A: \frac{88}{5} = 17.60 dólares por hora (comprobación: \frac{352}{20} = 17.60 ✓).
- Tasa del trabajo B: 17.25 dólares por hora.
- Diferencia por hora: 17.60 - 17.25 = 0.35.
- Por semana de 40 horas: 0.35 \times 40 = 14.
Respuesta: el trabajo A paga $14 más por semana.
Comprobación: 17.60 \times 40 = 704 y 17.25 \times 40 = 690; 704 - 690 = 14 ✓
Ejemplo 5 — Nivel difícil del GED®: trabajar al revés desde la tasa
Problema. La distancia que recorre un carro es proporcional a la gasolina que usa. La gráfica de millas contra galones pasa por (6, 171). ¿Cuántos galones se necesitan para manejar 247 millas?
- Tasa unitaria: k = \frac{171}{6} = 28.5 millas por galón. Entonces y = 28.5x.
- Haz y = 247: 247 = 28.5x.
- Divide: x = \frac{247}{28.5} = 8.\overline{6} \approx 8.67.
Respuesta: unos 8.67 galones (exactamente 8\frac{2}{3}).
Comprobación: 28.5 \times 8\frac{2}{3} = 28.5 \times \frac{26}{3} = \frac{741}{3} = 247 ✓
Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)
- Las tasas unitarias son divisiones:
8.04÷12enter→ 0.67. - Para tasas con fracciones, usa la tecla n/d para cada fracción:
n/d2▼3▶÷n/d1▼4enterda \frac{8}{3}. Oprime toggle para ver 2.666\ldots. - Para "cuántas más en 12 galones", puedes hacerlo en una sola línea:
(120÷4−110÷5)×12enter→ 96. - Cuándo NO usarla: para leer el valor de y en x = 1 en una gráfica, o para leer k en y = kx. Además, con números fáciles como \frac{60}{4}, el cálculo mental es más rápido.
Errores comunes
- Dividir al revés. "Millas por galón" es millas ÷ galones, no galones ÷ millas. ✗ \frac{4}{60} ✓ \frac{60}{4}. La unidad que va después de "por" va abajo.
- Usar el valor de y de un punto como la tasa. El punto (4, 60) no significa $60 por hora. ✗ Significa $60 por 4 horas, así que \frac{60}{4} = \$15 por hora. ✓
- Creer que toda recta es proporcional. y = 4x + 1 tiene pendiente 4 pero no pasa por (0, 0). ✗ Para ser proporcional necesita un \frac{y}{x} constante y pasar por el origen. ✓
- Sumar en vez de multiplicar. Desde (8, 6), sumar 2 a los dos da (10, 8), que no está en la recta. ✗ Multiplica los dos por el mismo factor: (16, 12), (4, 3). ✓
- Quedarse en la tasa. "Cuántas millas más en 4 horas" necesita (diferencia de tasas) × 4, no solo la diferencia de tasas. ✓
- Comparar totales en tiempos diferentes. Compara tasas unitarias, o compara totales con el mismo valor de x. ✓
Estrategia para el examen
- Escribe las unidades en todo. Poner "mi/gal" o "$/h" junto a cada número te muestra de inmediato si dividiste en el orden correcto.
- Usa el atajo de x = 1 en gráficas proporcionales: la altura de la recta en x = 1 es la tasa unitaria.
- Primero estima. Si un carro recorre 120 millas con 4 galones, la respuesta debe ser "unas 30 mpg"; tacha opciones como 0.03 o 480.
- Sustituye los puntos para comprobar. Para decidir si un punto está en y = kx, multiplica k por el valor de x y compáralo con y.
- Responde lo que se pregunta. Las preguntas de tasas muchas veces tienen un segundo paso (una diferencia, un total para varias horas, una "mejor compra"). Vuelve a leer la última oración antes de escoger.
- Preguntas de interpretación: convierte la pendiente en una oración con unidades ("4.5 galones por minuto") y escoge la opción que diga lo mismo.
Compruébalo
The graph shows how much Dana earns for the hours she works.
What is Dana's hourly pay rate?
Pista
The unit rate is the amount earned for 1 hour. Use the marked point and divide.
Solución paso a paso
- The line starts at (0, 0), so this is a proportional relationship: 0 hours → \$0.
- The marked point (4,\ 60) means 4 hours of work earns \$60.
- Unit rate = dollars ÷ hours: \frac{60 \text{ dollars}}{4 \text{ hours}} = 15 \text{ dollars per hour}
- This is also the slope of the line: m = \frac{60 - 0}{4 - 0} = 15.
Dana earns $15 per hour.
Check: At 8 hours the line reaches \$120, and 120 \div 8 = 15 ✓
Tip: In a proportional graph, the unit rate = slope = the y-value when x = 1. Here, at 1 hour the line is at \$15.
Explicación
- La recta empieza en (0, 0), así que es una relación proporcional: 0 horas → \$0.
- El punto marcado (4,\ 60) significa que 4 horas de trabajo dan \$60.
- Tasa unitaria = dólares ÷ horas: \frac{60 \text{ dólares}}{4 \text{ horas}} = 15 \text{ dólares por hora}
- Esta es también la pendiente de la recta: m = \frac{60 - 0}{4 - 0} = 15.
Dana gana $15 por hora.
Comprobación: A las 8 horas, la recta llega a \$120, y 120 \div 8 = 15 ✓
Consejo: En una gráfica proporcional, la tasa unitaria = la pendiente = el valor de y cuando x = 1. Aquí, a 1 hora la recta está en \$15.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra cuánto gana Dana según las horas que trabaja.
¿Cuál es el pago por hora de Dana?
Opciones
Pista
La tasa unitaria es lo que se gana en 1 hora. Usa el punto marcado y divide.
Compruébalo
At a farm stand, the cost y (in dollars) of buying x pounds of apples is given by y = 1.85x.
What does the number 1.85 represent?
Pista
In y = kx, k is how much y changes when x goes up by 1.
Solución paso a paso
- The equation has the form y = kx, a proportional relationship with constant k = 1.85.
- k is the slope: when x increases by 1 pound, y increases by 1.85 dollars.
- Test it: x = 1 \Rightarrow y = 1.85(1) = 1.85. One pound costs \$1.85.
So 1.85 is the price per pound of apples, in dollars.
Check: 2 pounds: 1.85 \times 2 = \$3.70, which is twice the cost of 1 pound — consistent with a constant price per pound ✓
Tip: Read the units of the slope as "y-units per x-unit": dollars per pound.
Explicación
- La ecuación tiene la forma y = kx, una relación proporcional con constante k = 1.85.
- k es la pendiente: cuando x aumenta 1 libra, y aumenta 1.85 dólares.
- Pruébalo: x = 1 \Rightarrow y = 1.85(1) = 1.85. Una libra cuesta \$1.85.
Así que 1.85 es el precio por libra de manzanas, en dólares.
Comprobación: 2 libras: 1.85 \times 2 = \$3.70, que es el doble del costo de 1 libra; esto concuerda con un precio constante por libra ✓
Consejo: Lee las unidades de la pendiente como "unidades de y por unidad de x": dólares por libra.
Ver en español
Pregunta
En un puesto de una granja, el costo y (en dólares) de comprar x libras de manzanas está dado por y = 1.85x.
¿Qué representa el número 1.85?
Opciones
Pista
En y = kx, k es cuánto cambia y cuando x aumenta 1.
Resumen
- Una tasa unitaria es una cantidad por una unidad; "por" significa dividir, con la unidad que sigue a "por" abajo.
- Una relación proporcional tiene la forma y = kx; su gráfica es una recta que pasa por el origen.
- La tasa unitaria k es la pendiente de la gráfica: k = \frac{y}{x} para cualquier punto, o el valor de y en x = 1.
- Las unidades de la pendiente son "unidades de y por unidad de x"; úsalas para interpretar la pendiente con palabras.
- Para comparar tasas dadas en gráficas, tablas y ecuaciones, primero conviértelas todas en tasas unitarias; la recta más inclinada tiene la mayor tasa.
- Una recta con una cantidad inicial (y = kx + b, b \ne 0) es lineal pero no es proporcional.