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Graficar ecuaciones lineales

Grafica rectas a partir de la forma pendiente-intersección, de las intersecciones o de una tabla, y escribe la ecuación de una recta a partir de su gráfica.

Practicar esta destreza 22 min Graficar ecuaciones lineales Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a dibujar la gráfica de una ecuación lineal y a hacer lo contrario: pasar de una gráfica a su ecuación.

Podrás:

  • graficar y = mx + b usando la intersección con el eje y y la pendiente;
  • graficar Ax + By = C usando las dos intersecciones;
  • graficar a partir de una tabla de valores;
  • decidir si un punto está en una recta;
  • escribir la ecuación de una recta a partir de su gráfica o de dos puntos;
  • explicar qué significan la pendiente y la intersección en una situación real.

Por qué importa en el GED®. Te pueden pedir que hagas clic en un punto de una recta, que escojas qué gráfica corresponde a una ecuación, qué ecuación corresponde a una gráfica, o que expliques qué significa el valor inicial en una gráfica de costos. La hoja de fórmulas del GED® te da y = mx + b y la forma punto-pendiente; esta lección te enseña a usarlas.

En la vida real. Los planes de teléfono, las tarifas de taxi, las membresías de gimnasio y los trabajos por hora con una cuota de inscripción tienen una cantidad inicial más una tasa: una gráfica en línea recta.

Vocabulario

  • ecuación lineal — una ecuación cuya gráfica es una línea recta (por ejemplo, y = 2x - 1, 3x + 4y = 24).
  • forma pendiente-intersección — y = mx + b, con pendiente m e intersección con el eje y en b (y = 4x - 5: m = 4, b = -5).
  • forma estándar — Ax + By = C (3x + 4y = 24).
  • forma punto-pendiente — y - y_1 = m(x - x_1), para una recta con pendiente m que pasa por (x_1, y_1).
  • intersección con el eje y (y-intercept) — donde la recta cruza el eje y; ahí x = 0 (por ejemplo, (0, -5)).
  • intersección con el eje x (x-intercept) — donde la recta cruza el eje x; ahí y = 0 (por ejemplo, (3, 0)).
  • solución de una ecuación — un punto (x, y) que hace verdadera la ecuación; toda solución está en la gráfica.
  • tabla de valores — una lista de valores de x y los valores de y que da la ecuación para ellos.
  • valor inicial — la intersección con el eje y en un problema de la vida real (una tarifa o cantidad inicial).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Método 1: pendiente e intersección con el eje y

Graph of y = (2/3)x − 1 on a coordinate plane from −5 to 5. The line starts at the y-intercept (0, −1); a dashed step goes right 3 and up 2 to the point (3, 1). The line also passes through (−3, −3).−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xyright 3up 2start (0, −1)(3, 1)

Cuando la ecuación está en la forma y = mx + b:

  1. Ubica la intersección con el eje y, (0,\ b), sobre el eje y.
  2. Usa la pendiente m = \frac{\text{subida}}{\text{avance}} para llegar a un segundo punto. Sube si es positiva, baja si es negativa; avanza hacia la derecha.
  3. Repite una vez más para obtener un tercer punto (una comprobación incluida).
  4. Traza una línea recta por los puntos, a lo largo de toda la cuadrícula.

Ejemplo. Grafica y = \frac{2}{3}x - 1.

  • Empieza en (0, -1).
  • Pendiente \frac{2}{3}: sube 2, avanza 3 a la derecha → (3, 1).
  • En el otro sentido (baja 2, 3 a la izquierda) → (-3, -3).

Pendientes con números enteros. Escríbelas sobre 1: m = -3 = \frac{-3}{1} → baja 3, 1 a la derecha.

Pendientes con fracciones negativas. m = -\frac{2}{5} → baja 2, 5 a la derecha (o sube 2, 5 a la izquierda: es la misma recta).

Sin b. y = 4x significa b = 0: empieza en el origen. Sin x. y = 3 es una recta horizontal que pasa por (0, 3). Sin y. x = -2 es una recta vertical que pasa por (-2, 0).

Coordinate plane from −5 to 5 with three special lines. y = 4x (blue) has b = 0, so it starts at the origin and rises 4 for every 1 to the right. y = 3 (green) is a horizontal line through (0, 3). x = −2 (red) is a vertical line through (−2, 0).−5−4−12345−5−41250xy41(0, 3)(−2, 0)y = 4xy = 3x = −2
Las rectas y = 4x, y = 3 y x = −2

Si la ecuación no está despejada para y, despéjala primero: 4x + 2y = 10 \to y = -2x + 5.

Método 2: las dos intersecciones

Graph of 2x + 3y = 6 on a coordinate plane from −5 to 5. The line crosses the x-axis at the x-intercept (3, 0) and the y-axis at the y-intercept (0, 2).−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xyx-intercept (3, 0)y-intercept (0, 2)

Cuando la ecuación está en la forma estándar Ax + By = C, las intersecciones suelen ser lo más rápido.

  1. Intersección con el eje x: haz y = 0 y despeja x.
  2. Intersección con el eje y: haz x = 0 y despeja y.
  3. Ubica los dos puntos y traza la recta que pasa por ellos.

Ejemplo. Grafica 2x + 3y = 6.

  • y = 0: 2x = 6, así que x = 3 → (3, 0).
  • x = 0: 3y = 6, así que y = 2 → (0, 2).
  • Traza la recta que pasa por (3, 0) y (0, 2). (Su pendiente es \frac{0 - 2}{3 - 0} = -\frac{2}{3}).

Esto se llama el método de tapar: tapa el término con y y despeja x con lo que queda; tapa el término con x y despeja y.

Cuidado con los signos. En 5x - 2y = 10: x = 0 da -2y = 10, así que y = -5 (no +5).

Graph of 5x − 2y = 10 on a plane from −3 to 5 by −6 to 4. Covering the y-term gives 5x = 10, so the x-intercept is (2, 0). Covering the x-term gives −2y = 10, so the y-intercept is (0, −5), below the x-axis, not (0, 5). The line through them rises with slope 5/2.−3−2−11345−6−4−3−2−112340xy(2, 0)(0, −5)Cover y (y = 0): 5x = 10 → x = 2Cover x (x = 0): −2y = 10 → y = −5
Intersecciones (2, 0) y (0, −5) de 5x − 2y = 10

Método 3: una tabla de valores. Escoge 3 valores fáciles de x (como -2, 0, 2), calcula y para cada uno, ubica los puntos y únelos. Con pendientes fraccionarias, escoge valores de x que sean múltiplos del denominador para que y salga entero.

x-303
y = \tfrac{2}{3}x - 1-3-11

Si tus tres puntos no quedan en línea, cometiste un error de cálculo.

A table of values for y = (2/3)x − 1 with x = −3, 0, 3 gives y = −3, −1, 1. The three points (−3, −3), (0, −1) and (3, 1) are plotted and lie on one straight line, which checks the arithmetic.x−303y−3−11y = (2/3)x − 1x = multiples of 3so y comes out whole−5−4−2−11245−5−4−223450xy(−3, −3)(0, −1)(3, 1)
Tabla de valores de y = (2/3)x − 1 y su gráfica

De una gráfica (o dos puntos) a una ecuación

A partir de una gráfica.

  1. Lee b donde la recta cruza el eje y.
  2. Halla la pendiente con dos puntos claros de la cuadrícula.
  3. Escribe y = mx + b.

Ejemplo: una recta cruza en (0, 2) y pasa por (4, -1) → b = 2, m = \frac{-1 - 2}{4 - 0} = -\frac{3}{4} → y = -\frac{3}{4}x + 2.

A line crosses the y-axis at (0, 2), so b = 2. It also passes through (4, −1). A dashed right triangle from (0, 2) runs 4 right and drops 3, so m = −3/4. The equation is y = −(3/4)x + 2.−3−2−112356−4−3−213450xyrun = 4rise = −3b = 2(4, −1)y = −(3/4)x + 2
Cómo leer b = 2 y m = −3/4 en una gráfica

A partir de dos puntos (sin la intersección con el eje y).

  1. Halla m con la fórmula de la pendiente.
  2. Sustituye m y uno de los puntos en y = mx + b, y despeja b.

Ejemplo: (-2, 7) y (4, -5) → m = \frac{-12}{6} = -2. Luego 7 = -2(-2) + b \Rightarrow b = 3 → y = -2x + 3.

Coordinate plane from −3 to 5 by −6 to 8. A line passes through (−2, 7) and (4, −5). A dashed right triangle shows run 6 and rise −12, so m = −12/6 = −2. Substituting gives b = 3, and the line crosses the y-axis at (0, 3): y = −2x + 3.−3−11235−6−4−3−2−11245680xyrun = 6rise = −12(−2, 7)(4, −5)(0, 3): b = 3m = −12/6 = −2 → y = −2x + 3
Recta que pasa por (−2, 7) y (4, −5): y = −2x + 3

¿Está un punto en la recta? Sustituye su x y su y. Si la ecuación es verdadera, el punto está en la gráfica; si no, no lo está. ¿Está (2, 4) en y = 3x - 2? 3(2) - 2 = 4 ✓

Significado en la vida real.

  • b = valor inicial (cuota de inscripción, saldo inicial, cargo fijo).
  • m = tasa de cambio (por mes, por milla, por hora).

Un gimnasio que cobra $50 de inscripción más $25 al mes: C = 25m + 50.

Fórmula

Fórmulas (en la hoja de fórmulas del GED®)

y = mx + b
  • m = pendiente, b = intersección con el eje y, (x, y) = cualquier punto de la recta.
y - y_1 = m(x - x_1)
  • forma punto-pendiente: m = pendiente, (x_1, y_1) = un punto conocido de la recta.
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Las tres están en la hoja de fórmulas del GED®. Memoriza estas reglas adicionales (no están en la hoja): intersección con el eje x → haz y = 0; intersección con el eje y → haz x = 0; y = k es horizontal; x = k es vertical.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 — Graficar con la pendiente y la intersección

Problema. Grafica y = -3x + 2. Nombra dos puntos por los que pasa la recta, además de la intersección con el eje y.

  1. Intersección con el eje y: (0, 2).
  2. Pendiente -3 = \frac{-3}{1}: baja 3, 1 a la derecha → (1, -1).
  3. Otra vez: baja 3, 1 a la derecha → (2, -4).
Graph of y = −3x + 2 on a plane from −3 to 4 by −6 to 5. It starts at the y-intercept (0, 2). Two dashed steps each go right 1 and down 3, reaching (1, −1) and then (2, −4).−3−2−134−6−5−3−213450xy1−31−3(0, 2)(1, −1)(2, −4)y = −3x + 2down 3, right 1
Gráfica de y = −3x + 2 con pasos de 3 hacia abajo y 1 a la derecha

Respuesta: por ejemplo, (1, -1) y (2, -4).

Comprobación: -3(2) + 2 = -4 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 — Graficar con las intersecciones

Problema. Halla las intersecciones de 4x - 3y = 12 y describe la gráfica.

  1. y = 0: 4x = 12 \Rightarrow x = 3 → (3, 0).
  2. x = 0: -3y = 12 \Rightarrow y = -4 → (0, -4).
  3. Pendiente = \frac{0 - (-4)}{3 - 0} = \frac{4}{3}, así que la recta sube.
Graph of 4x − 3y = 12 on a plane from −3 to 6 by −6 to 3. The x-intercept is (3, 0) and the y-intercept is (0, −4). A dashed right triangle from (0, −4) runs 3 right and rises 4 up to (3, 0), so the slope is 4/3 and the line rises.−3−2−112456−6−5−3−2−11230xyrun = 3rise = 4(3, 0)(0, −4)4x − 3y = 12m = 4/3
Intersecciones (3, 0) y (0, −4) de 4x − 3y = 12

Respuesta: intersecciones (3, 0) y (0, -4); una recta que sube.

Comprobación: atajo -\frac{A}{B} = -\frac{4}{-3} = \frac{4}{3} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 — Vida real: tarifa de taxi

Problema. Un taxi cobra un cargo fijo de $3.50 más $2.25 por milla. Escribe la ecuación, halla el costo de un viaje de 8 millas y di qué significa la intersección con el eje y.

  1. Valor inicial b = 3.50; tasa m = 2.25 por milla → C = 2.25d + 3.50.
  2. d = 8: C = 2.25(8) + 3.50 = 18 + 3.50 = 21.50.
  3. La intersección con el eje y, (0,\ 3.50), es el costo antes de recorrer ninguna milla: el cargo fijo.
Graph of taxi cost C = 2.25d + 3.50 against miles d, from 0 to 10 miles. The line starts at the y-intercept (0, 3.50), the flat fee before driving. Each mile adds 2.25 dollars (dashed step from 2 to 3 miles). At 8 miles the cost is 21.50 dollars, marked at (8, 21.50).123456789104812162024280Miles driven (d)Cost C ($)1 mi$2.25(0, 3.50) flat fee(8, 21.50)C = 2.25d + 3.50
Recta del costo del taxi C = 2.25d + 3.50

Respuesta: C = 2.25d + 3.50; un viaje de 8 millas cuesta $21.50.

Comprobación: 21.50 - 3.50 = 18 = 2.25 \times 8 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 — Ecuación a partir de una gráfica (vida real)

Problema. La gráfica del costo de un gimnasio pasa por (0, 50) y (4, 150) (meses, dólares). Escribe la ecuación y halla el costo de un año.

Graph of total gym cost in dollars (vertical axis, 0 to 250, grid every 25) versus months of membership (horizontal axis, 0 to 6). A straight line starts at the marked point (0, 50) and passes through the marked point (4, 150).0123456050100150200250Months of membershipTotal cost (dollars)(0, 50)(4, 150)
Gráfica del costo del gimnasio
  1. b = 50 (cuota de inscripción).
  2. m = \frac{150 - 50}{4 - 0} = 25 dólares por mes.
  3. C = 25m + 50. Para 12 meses: 25(12) + 50 = 350.
Graph of gym cost C = 25m + 50 against months, from 0 to 12 months. The line starts at (0, 50), the sign-up fee. A dashed triangle from (0, 50) to (4, 150) shows a run of 4 months and a rise of 100 dollars, so m = 100/4 = 25 dollars per month. At 12 months the cost is 350 dollars, marked at (12, 350).123456789101112131001502002503003504000Months (m)Cost C ($)run 4 monthsrise $100(0, 50)(4, 150)(12, 350)100/4 = $25 per month
Costo del gimnasio: subida de 100 dólares en 4 meses; 350 dólares a los 12 meses

Respuesta: C = 25m + 50; un año cuesta $350.

Comprobación: A los 4 meses: 25(4) + 50 = 150 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 — Nivel difícil del GED®: con dos puntos, trabajar al revés

Problema. Una recta pasa por (3, 1) y (-6, 7). Halla su ecuación y su intersección con el eje x.

  1. m = \frac{7 - 1}{-6 - 3} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}.
  2. Usa (3, 1): 1 = -\frac{2}{3}(3) + b \Rightarrow 1 = -2 + b \Rightarrow b = 3. Entonces y = -\frac{2}{3}x + 3.
  3. Intersección con el eje x: 0 = -\frac{2}{3}x + 3 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 3 \Rightarrow x = 3 \times \frac{3}{2} = 4.5.
Coordinate plane from −7 to 6 by −2 to 8. A line passes through (−6, 7) and (3, 1). A dashed right triangle shows run 9 and rise −6, so m = −6/9 = −2/3. The line crosses the y-axis at (0, 3) and the x-axis at (4.5, 0): y = −(2/3)x + 3.−7−5−4−3−2−1126−2−1245680xyrun = 9rise = −6(−6, 7)(3, 1)(0, 3)(4.5, 0)y = −(2/3)x + 3
Recta que pasa por (−6, 7) y (3, 1), con sus intersecciones

Respuesta: y = -\tfrac{2}{3}x + 3; intersección con el eje x en (4.5,\ 0).

Comprobación: -\frac{2}{3}(-6) + 3 = 4 + 3 = 7 ✓ y -\frac{2}{3}(4.5) + 3 = -3 + 3 = 0 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • Usa la calculadora para llenar rápido una tabla de valores: por ejemplo, para y = 2.25x + 3.5 escribe 2.25 × 8 + 3.5 enter → 21.5.
  • Escribe las pendientes fraccionarias con n/d: n/d 2 ▼ 3 ▶ × 9 − 1 enter → 5. Usa toggle para cambiar entre fracción y decimal.
  • Usa la tecla (−) para coordenadas negativas: -2(-2) es (−) 2 × (−) 2.
  • Cuándo NO usarla: para ubicar puntos, contar la subida y el avance, o hallar las intersecciones de ecuaciones como 3x + 4y = 24; son divisiones mentales de un solo paso. En el GED®, la calculadora no puede dibujar la gráfica por ti.
Error común

Errores comunes

  • Empezar en el lugar equivocado. Ubicar b sobre el eje x: (3, 0) en vez de (0, 3). ✗ La intersección con el eje y siempre es (0, b). ✓
  • Intercambiar subida y avance. Con m = -\frac{2}{5}, bajar 5 y avanzar 2 a la derecha. ✗ Numerador = arriba/abajo, denominador = a lo ancho. ✓
  • Perder un negativo. En 5x - 2y = 10, hacer x = 0 da -2y = 10, así que y = -5, no 5. ✓
  • Intercambiar m y b. Escribir y = 2x - \frac{3}{4} para una recta con pendiente -\frac{3}{4} e intersección 2. ✗ El coeficiente de x es la pendiente. ✓
  • Tratar toda recta como proporcional. Usar \frac{150}{4} como pendiente cuando la recta empieza en $50. ✗ La pendiente usa dos puntos: \frac{150 - 50}{4 - 0}. ✓
  • Ubicar solo dos puntos. Un pequeño error da una recta equivocada. ✗ Ubica un tercer punto para comprobar. ✓

Estrategia para el examen

  • Relaciona una gráfica con una ecuación por eliminación. Revisa primero la intersección con el eje y (descarta opciones rápido), luego el signo de la pendiente y después su tamaño.
  • Sustituye puntos. Cuando las opciones son ecuaciones, prueba 2 puntos de la gráfica en cada una; las intersecciones dan las cuentas más fáciles.
  • Usa la hoja de fórmulas para y = mx + b y la forma punto-pendiente cuando escribas una ecuación.
  • Lee con cuidado las gráficas de la vida real: revisa los nombres de los ejes y la escala; identifica el valor inicial (intersección) y la tasa (pendiente) con sus unidades.
  • Graficar en zona activa (hot spot): calcula las coordenadas exactas en tu pizarra borrable antes de hacer clic.
  • Tiempo: estas preguntas deben tomarte 1 o 2 minutos. Si una ecuación no está en la forma y = mx + b, reescríbela primero; en total ahorras tiempo.

Compruébalo

Graficar ecuaciones linealesSin calculadora

Where does the graph of y = 4x - 5 cross the y-axis?

Opciones de respuesta
Pista

On the y-axis, x = 0. What is y when x = 0?

Ver en español

Pregunta

¿Dónde cruza el eje y la gráfica de y = 4x - 5?

Opciones

  • A. (0,\ -5)
  • B. (0,\ 4)
  • C. (-5,\ 0)
  • D. (0,\ 5)
Pista

En el eje y, x = 0. ¿Cuánto vale y cuando x = 0?

Compruébalo

Graficar ecuaciones linealesZona activa

Click the point where the graph of y = -x + 3 crosses the x-axis.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes-5-5-4-4-3-3-2-2-1-11122334455xy
Pista

On the x-axis, y = 0. Set y = 0 and solve for x.

Ver en español

Pregunta

Haz clic en el punto donde la gráfica de y = -x + 3 cruza el eje x.

Pista

En el eje x, y = 0. Haz y = 0 y despeja x.

Resumen

  • y = mx + b: ubica (0, b) y luego usa la subida/avance de la pendiente para ubicar más puntos.
  • Ax + By = C: halla las intersecciones; y = 0 da la intersección con el eje x, x = 0 da la intersección con el eje y.
  • Un punto está en una recta exactamente cuando sus coordenadas hacen verdadera la ecuación.
  • A partir de una gráfica: lee b, calcula m con dos puntos de la cuadrícula y escribe y = mx + b. A partir de dos puntos: halla m y luego despeja b.
  • En la vida real, b es el valor inicial y m es la tasa por unidad.
  • Las rectas horizontales son y = k; las verticales son x = k.
Practicar esta destreza →