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Características clave de gráficas y tablas

Lee y dibuja intersecciones, intervalos donde la gráfica crece y decrece, máximos y mínimos, simetría, comportamiento en los extremos y períodos.

Practicar esta destreza 22 min Características clave de gráficas y tablas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una gráfica cuenta una historia. En esta lección aprenderás a leer las características clave de una gráfica o una tabla, y a dibujar una gráfica cuando te dan sus características.

Las características clave son:

  • intersecciones — donde la gráfica cruza los ejes;
  • intervalos crecientes / decrecientes — donde la gráfica sube o baja;
  • puntos máximos / mínimos — los puntos más altos y más bajos (picos y valles);
  • simetría — si un lado es el reflejo del otro;
  • comportamiento en los extremos — qué pasa en el extremo izquierdo y en el extremo derecho;
  • periodicidad — si la gráfica se repite en ciclos.

Por qué importa en el GED®. Verás gráficas de situaciones reales —la altura de una pelota, las temperaturas de un día, las mareas, las ganancias— y tendrás que responder "¿Cuál es el máximo?", "¿Cuándo es decreciente?", "¿Qué significa la intersección?", o hacer clic en una característica. Estas preguntas sirven para rectas y para curvas (funciones no lineales).

En la vida real. Encontrar la hora pico del tráfico, el precio más bajo de una acción, cuándo el nivel de una medicina es más alto o cuándo un tanque está vacío son preguntas de características clave.

Vocabulario

  • función — una regla que da exactamente una salida y (o f(x)) para cada entrada x.
  • intersección con el eje x (x-intercept) — un punto donde la gráfica cruza el eje x; ahí y = 0 (por ejemplo, (3, 0)). También se llama cero.
  • intersección con el eje y (y-intercept) — el punto donde la gráfica cruza el eje y; ahí x = 0 (por ejemplo, (0, -3)).
  • creciente — la gráfica sube cuando avanzas de izquierda a derecha.
  • decreciente — la gráfica baja cuando avanzas de izquierda a derecha.
  • intervalo — un tramo de valores de x, como 2 < x < 4.
  • máximo — el punto más alto (pico); el valor máximo es su valor de y.
  • mínimo — el punto más bajo (valle); el valor mínimo es su valor de y.
  • máximo/mínimo local (relativo) — el punto más alto/más bajo comparado solo con los puntos cercanos.
  • eje de simetría — una recta vertical sobre la cual la gráfica se refleja como en un espejo (por ejemplo, x = 1).
  • comportamiento en los extremos — lo que hace y cuando x va muy a la derecha o muy a la izquierda (por ejemplo, "sube sin límite").
  • periódica — que repite el mismo patrón una y otra vez; el período es la longitud de un ciclo (por ejemplo, 12 horas).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Intersecciones, máximos y mínimos

Graph of an upside-down U-shaped curve (parabola opening downward) on a coordinate plane from −5 to 5. Labeled key features: maximum point (−1, 4); x-intercepts (−3, 0) and (1, 0); y-intercept (0, 3); dashed line of symmetry x = −1. The graph increases for x < −1 and decreases for x > −1.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xymaximum (−1, 4)x-int (−3, 0)x-int (1, 0)y-int (0, 3)symmetry: x = −1

Intersecciones.

  • Intersección con el eje y: donde la gráfica toca el eje vertical. Haz x = 0. Una función tiene una como máximo.
  • Intersecciones con el eje x: donde la gráfica toca el eje horizontal. Haz y = 0. Puede haber cero, una o muchas.

En la vida real, las intersecciones suelen ser puntos de "inicio" y de "fin". En la gráfica de la altura de una pelota contra el tiempo, las intersecciones con el eje t son cuando la pelota sale del suelo y cuando cae.

Máximo y mínimo.

  • Un máximo es un pico: la gráfica sube hasta él y luego baja.
  • Un mínimo es un valle: la gráfica baja hasta él y luego sube.
  • Escribe el punto como (x, y); el valor es la coordenada y. "La altura máxima es 64 ft" (un valor de y) es diferente de "el máximo ocurre a los 2 s" (un valor de x).
  • Un máximo/mínimo local es un pico o un valle comparado con los puntos cercanos; en otra parte la gráfica puede subir o bajar más.

Ejemplo (gráfica de abajo). La parábola que abre hacia abajo tiene un máximo en (-1, 4), intersecciones con el eje x en (-3, 0) y (1, 0), e intersección con el eje y en (0, 3).

Las rectas no tienen máximo ni mínimo (a menos que el dominio esté limitado): suben o bajan para siempre.

Creciente, decreciente y tasa de cambio

Lee siempre una gráfica de izquierda a derecha, como una oración.

  • Creciente en un intervalo: cuando x aumenta, y aumenta (la gráfica sube).
  • Decreciente: cuando x aumenta, y disminuye (la gráfica baja).
  • Constante: un tramo plano, horizontal.

Los intervalos se escriben con valores de x. Para la parábola de arriba: creciente para x < -1, decreciente para x > -1. El cambio ocurre en el máximo.

Graph of the downward parabola with maximum (−1, 4), x-intercepts (−3, 0) and (1, 0) and y-intercept (0, 3). The region x < −1 is shaded green and labelled increasing: the curve climbs from left to right. The region x > −1 is shaded red and labelled decreasing: the curve falls. The switch happens at the maximum, x = −1.−5−4−2234−5−4−3−2−11250xyincreasing: x < −1decreasing: x > −1max (−1, 4)(−3, 0)(1, 0)(0, 3)↗↘
Creciente para x < −1, decreciente para x > −1

En una tabla, mira las salidas a medida que x aumenta:

x-3-2-10123
f(x)50-3-4-305

Las salidas bajan de 5 a -4 (decreciente para x < 0) y luego suben (creciente para x > 0). Mínimo -4 en x = 0; intersecciones con el eje x en \pm 2; intersección con el eje y en -4.

The table x = −3 to 3 with f(x) = 5, 0, −3, −4, −3, 0, 5 is plotted as seven points on an upward parabola. Outputs fall until x = 0 (decreasing for x < 0) and rise after it (increasing for x > 0). The minimum is (0, −4), which is also the y-intercept, and the x-intercepts are (−2, 0) and (2, 0).x−3−2−10123f(x)50−3−4−305falls: 5 → −4then rises: −4 → 5−4−3−1134−5−3−2−1123460xymin (0, −4)(−2, 0)(2, 0)
Valores de la tabla graficados: mínimo (0, −4), ceros en ±2

¿Qué tan rápido? En una gráfica de líneas formada por segmentos, el segmento que sube de forma más inclinada es el aumento más rápido. Halla el cambio (o la pendiente) de cada segmento y compáralos. Un punto alto no es lo mismo que un aumento rápido.

Lineal o no lineal. Una función lineal aumenta (o disminuye) a una tasa constante: pasos iguales en x dan cambios iguales en y. En una función no lineal, la tasa cambia: la curva se dobla.

Simetría, comportamiento en los extremos y periodicidad

Simetría. Una gráfica es simétrica respecto a una recta vertical si al doblarla por esa recta las dos mitades coinciden. Las parábolas siempre son simétricas respecto a la recta vertical que pasa por su máximo o su mínimo.

  • El eje de simetría está a la mitad entre las intersecciones con el eje x: intersecciones -3 y 1 → x = \frac{-3 + 1}{2} = -1.
  • Los puntos que están a la misma distancia del eje tienen el mismo valor de y. Puedes usar esto para completar valores que faltan en una tabla.
  • Algunas gráficas (como f(x) = x^3 - 3x) son simétricas respecto al origen: si giras la gráfica media vuelta, se ve igual.
The downward parabola with x-intercepts (−3, 0) and (1, 0). The line of symmetry x = −1 is halfway between them: (−3 + 1)/2 = −1, and each intercept is 2 units from it. Mirror points are the same distance from the line and have the same y-value: (−2, 3) and (0, 3).−5−4234−31250xyx = −122(−3, 0)(1, 0)(−2, 3)(0, 3)
Eje de simetría x = −1, a la mitad entre las intersecciones
Graph of f(x) = x³ − 3x on a plane from −3 to 3 by −4 to 4. It has a local maximum at (−1, 2) and a local minimum at (1, −2), and passes through the origin. It is symmetric about the origin: turning it half a turn about (0, 0) maps (−1, 2) onto (1, −2). Its left end goes down and its right end goes up.−3−223−4−3340xylocal max (−1, 2)local min (1, −2)originsymmetry
x³ − 3x: máximo local, mínimo local y simetría respecto al origen

Comportamiento en los extremos. Describe lo que hace y en los extremos:

  • "Cuando x aumenta sin límite, y aumenta sin límite" (el extremo derecho sube).
  • "Cuando x disminuye sin límite, y disminuye sin límite" (el extremo izquierdo baja).
  • Una parábola que abre hacia abajo baja en los dos extremos; una que abre hacia arriba sube en los dos extremos; una recta con pendiente positiva baja a la izquierda y sube a la derecha.
Three sketches of end behavior. Left: a downward parabola goes down on both ends. Middle: an upward parabola goes up on both ends. Right: a line with positive slope goes down on the left end and up on the right end.Downward parabolaleft end: downright end: downUpward parabolaleft end: upright end: upLine, positive slopeleft end: downright end: up
Comportamiento en los extremos de dos parábolas y una recta que sube

Periodicidad. Una gráfica periódica repite la misma forma: las mareas, las estaciones, la altura de una rueda de la fortuna. El período es la longitud horizontal de un ciclo; mídelo de pico a pico o de valle a valle. Ejemplo: máximos a las 6 y a las 18 horas → período 18 - 6 = 12 horas.

Dibujar a partir de las características. Ubica primero las intersecciones y los puntos de cambio que te dan, luego únelos subiendo o bajando donde lo diga la descripción, y termina los extremos según el comportamiento en los extremos.

Fórmula

Fórmulas y reglas

\text{intersección con el eje } x\text{: haz } y = 0 \qquad \text{intersección con el eje } y\text{: haz } x = 0 \text{eje de simetría (parábola)} = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{(promedio de las intersecciones con el eje } x\text{)} \text{punto de cambio de } y = ax^2 + bx + c: \quad x = -\frac{b}{2a} \text{período} = \text{distancia entre dos picos vecinos}
  • x_1, x_2 = las intersecciones con el eje x; a, b, c = coeficientes; a < 0 → máximo, a > 0 → mínimo.

La hoja de fórmulas del GED® muestra la forma estándar de una cuadrática y = ax^2 + bx + c y la fórmula cuadrática, pero ninguna de las reglas de arriba; memorízalas. La mayoría de las preguntas de características clave se responden leyendo la gráfica o la tabla, no con una fórmula.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 — Leer características en una gráfica

Problema. Para la parábola que abre hacia arriba, da las intersecciones con el eje x, el mínimo y el eje de simetría.

Graph of a U-shaped curve (parabola opening upward) on a coordinate plane from −5 to 5. It crosses the x-axis at (−1, 0) and (3, 0), crosses the y-axis at (0, −3), and its lowest point is (1, −4). It is symmetric about the vertical line x = 1.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xy
Parábola que abre hacia arriba
  1. La curva cruza el eje x en x = -1 y x = 3 → (-1, 0) y (3, 0).
  2. El punto más bajo es (1, -4) → valor mínimo -4.
  3. Eje de simetría: x = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
The upward parabola y = (x + 1)(x − 3) with key features labelled: x-intercepts (−1, 0) and (3, 0), y-intercept (0, −3), minimum (1, −4) on the dashed line of symmetry x = 1. Decreasing for x < 1 (red) and increasing for x > 1 (green).−3−2245−5−2−1123450xydecreasing: x < 1increasing: x > 1x = 1(−1, 0)(3, 0)(0, −3)min (1, −4)
Intersecciones, mínimo, simetría e intervalos señalados

Respuesta: intersecciones (-1, 0), (3, 0); mínimo (1, -4); simetría x = 1.

Comprobación: El mínimo está sobre el eje de simetría, x = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 — Vida real: la altura de una pelota

Problema. La altura de una pelota se muestra en la gráfica. ¿Cuándo cae al suelo, cuál es su altura máxima y cuándo está subiendo?

Graph of a ball's height in feet (vertical axis, 0 to 80, labeled every 16) versus time in seconds (horizontal axis, 0 to 5). The curve starts at (0, 0), rises to its highest point (2, 64), and falls back to the ground at (4, 0). It is symmetric about t = 2.01234501632486480Time (seconds)Height (feet)
Altura de la pelota contra el tiempo
  1. Cae al suelo cuando la altura vuelve a 0: la segunda intersección con el eje t, t = 4 s.
  2. Punto más alto: (2, 64) → altura máxima de 64 ft a los 2 s.
  3. Sube (es creciente) de t = 0 a t = 2.
Ball height h = −16t² + 64t in feet against time t in seconds. It leaves the ground at (0, 0), rises to the maximum (2, 64) and lands at (4, 0). The rising part 0 < t < 2 is shaded green; the falling part 2 < t < 4 is shaded red. The dashed line t = 2 is the line of symmetry.135163248800Time t (seconds)Height (ft)rising 0 < t < 2falling 2 < t < 4max (2, 64)lands (4, 0)6424
La pelota sube para 0 < t < 2 y baja para 2 < t < 4

Respuesta: cae a los 4 s; máximo 64 ft; sube para 0 < t < 2.

Comprobación: El pico está a la mitad entre 0 y 4: es simétrica ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 — Vida real: mareas periódicas

Problema. Usa la gráfica de la marea. ¿Cuáles son el período y las profundidades máxima y mínima, y cuándo sube el agua en la mañana?

Graph of water depth in feet (vertical axis, 0 to 10) at a harbor versus hours after midnight (horizontal axis, 0 to 24). The wave-shaped curve starts at its lowest depth 2 ft at t = 0, rises to its highest depth 8 ft at t = 6, falls to 2 ft at t = 12, rises to 8 ft at t = 18 and returns to 2 ft at t = 24. The pattern repeats every 12 hours.0246810121416182022240246810Hours after midnightWater depth (feet)
Profundidad de la marea contra horas después de la medianoche
  1. Picos en t = 6 y t = 18 → período = 12 horas.
  2. Profundidad máxima de 8 ft; profundidad mínima de 2 ft.
  3. Desde la medianoche (t = 0, marea baja) hasta las 6 a. m. (t = 6, marea alta) la profundidad aumenta.
Tide depth in feet against hours after midnight, from 0 to 24 hours. The wave has lows of 2 ft at t = 0, 12 and 24 and highs of 8 ft at t = 6 and 18. An arrow from peak to peak shows the period, 18 − 6 = 12 hours. The rising stretch 0 < t < 6 is shaded green. Dashed lines mark the maximum 8 ft and minimum 2 ft.612182446100Hours after midnight (t)Depth (ft)rising0 < t < 682period = 18 − 6 = 12 hmax 8 ftmin 2 ft
Período de la marea 12 h, máximo 8 ft, mínimo 2 ft

Respuesta: período de 12 h; máximo 8 ft, mínimo 2 ft; sube para 0 < t < 6.

Comprobación: Los valles en t = 0 y t = 12 también dan 12 - 0 = 12 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 — Trabajar al revés con la simetría

Problema. Una parábola tiene intersecciones con el eje x en (-5, 0) y (1, 0), y pasa por (0, -5). Halla su eje de simetría y otro punto con y = -5.

  1. Eje de simetría: x = \frac{-5 + 1}{2} = -2.
  2. (0, -5) está 2 unidades a la derecha de x = -2.
  3. Su punto reflejado está 2 unidades a la izquierda: x = -2 - 2 = -4 → (-4, -5).
The parabola y = (x + 5)(x − 1) with x-intercepts (−5, 0) and (1, 0). Its line of symmetry is x = −2, halfway between. The point (0, −5) is 2 units right of the line; its mirror point (−4, −5) is 2 units left, at the same height. The minimum is (−2, −9).−7−6−3−123−10−8−4−3−2−11230xyx = −222(−5, 0)(1, 0)(0, −5)(−4, −5)min (−2, −9)
Puntos reflejados (0, −5) y (−4, −5) respecto a x = −2

Respuesta: eje de simetría x = -2; el punto (-4,\ -5) también está en la gráfica.

Comprobación: La función es y = (x + 5)(x - 1): en x = -4, (1)(-5) = -5 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 — Nivel difícil del GED®: el máximo a partir de una ecuación

Problema. La ganancia diaria de una compañía es P(x) = -2x^2 + 40x - 150 dólares, donde x es el número de artículos fabricados. ¿Cuántos artículos dan la ganancia máxima y cuál es esa ganancia?

  1. a = -2 < 0, así que la gráfica abre hacia abajo y tiene un máximo.
  2. x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = 10 artículos.
  3. P(10) = -2(100) + 40(10) - 150 = -200 + 400 - 150 = 50.
Graph of daily profit P(x) = −2x² + 40x − 150 dollars against items made x, from 0 to 20. The parabola opens down. It crosses zero profit at x = 5 and x = 15, and its maximum is (10, 50), on the line x = −b/(2a) = 10. Nearby points (9, 48) and (11, 48) are equal and lower on both sides.51520−50−40−30−20−10102030405060Items made (x)Profit P ($)x = −40/(2(−2)) = 10max (10, 50)(9, 48)(11, 48)(5, 0)(15, 0)
Parábola de la ganancia con máximo en (10, 50)

Respuesta: 10 artículos dan la ganancia máxima de $50.

Comprobación: P(9) = -162 + 360 - 150 = 48 y P(11) = -242 + 440 - 150 = 48: iguales y menores a los dos lados ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

  • La mayoría de las preguntas de características clave se leen en la gráfica; no necesitas calculadora.
  • Para evaluar una función en un punto, escríbela con paréntesis y la tecla x²: -16(2.5)^2 + 80(2.5) es (−) 16 × 2.5 x² + 80 × 2.5 enter → 100.
  • Usa la tecla (−) para el negativo inicial, no la tecla de resta.
  • Para hallar un punto de cambio, calcula -\frac{b}{2a} con la tecla n/d, o evalúa la función en varios valores de x cercanos y busca dónde las salidas dejan de subir y empiezan a bajar.
  • Cuándo NO usarla: para leer intersecciones, intervalos, el período o la simetría en un dibujo.
Error común

Errores comunes

  • Confundir respuestas de x y de y. "La altura máxima" es un valor de y (64 ft), no el momento en que ocurre (2 s). ✗ Vuelve a leer si la pregunta pide "qué" (salida) o "cuándo/dónde" (entrada). ✓
  • Confundir las intersecciones. Dar f(x) = 0 como la intersección con el eje y. ✗ f(x) = 0 da las intersecciones con el eje x; la intersección con el eje y es f(0). ✓
  • Describir intervalos con valores de y. "Decreciente de 64 a 0". ✗ Usa valores de x: decreciente para 2 < t < 4. ✓
  • Alargar los intervalos más allá de los puntos de cambio. Decir que f decrece para -2 < x < 2 cuando solo baja entre -1 y 1. ✗ Los intervalos cambian exactamente en un máximo o un mínimo. ✓
  • Más alto ≠ más rápido. El pico (70°F) no es donde la temperatura subió más rápido. ✗ Aumento más rápido = segmento que sube con más inclinación. ✓
  • Medir el período en vertical. La altura del pico (8 ft) no es el período. ✗ El período es una distancia horizontal: de pico a pico (12 h). ✓

Estrategia para el examen

  • Recorre la gráfica con el dedo (o con el puntero del mouse) de izquierda a derecha, diciendo en tu mente "sube… pico… baja…". Marca los puntos de cambio en tu pizarra borrable.
  • Revisa los ejes: nombres, unidades y escala. Muchas trampas vienen de leer el eje equivocado.
  • Descarta por la dirección. En preguntas de creciente/decreciente, prueba un valor de x dentro del intervalo de cada respuesta; si la gráfica va en la dirección equivocada ahí, táchala.
  • Usa la simetría para comprobar respuestas: en una parábola, el máximo o mínimo debe estar a la mitad entre las intersecciones con el eje x.
  • En preguntas de "selecciona todas las que apliquen", juzga cada afirmación por separado como verdadera o falsa; no supongas un número fijo de respuestas correctas.
  • Cuando te dan una ecuación, una tabla de valores rápida (3 a 5 puntos) muchas veces responde la pregunta más rápido que el álgebra.

Compruébalo

Características clave de gráficas y tablasSin calculadora

What is the y-intercept of the graph shown?

Graph of a U-shaped curve (parabola opening upward) on a coordinate plane from −5 to 5. It crosses the x-axis at (−1, 0) and (3, 0), crosses the y-axis at (0, −3), and its lowest point is (1, −4). It is symmetric about the vertical line x = 1.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xy
Upward parabola
Opciones de respuesta
Pista

The y-intercept is where the graph crosses the vertical axis.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es la intersección con el eje y de la gráfica que se muestra?

Opciones

  • A. (-1,\ 0)
  • B. (0,\ -3)
  • C. (1,\ -4)
  • D. (-3,\ 0)
Pista

La intersección con el eje y es donde la gráfica cruza el eje vertical.

Compruébalo

Características clave de gráficas y tablasSin calculadoraZona activa

Click the minimum point of the graph.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Graph of a U-shaped curve (parabola opening upward) on a coordinate plane from −5 to 5. It crosses the x-axis at (−1, 0) and (3, 0), crosses the y-axis at (0, −3), and its lowest point is (1, −4). It is symmetric about the vertical line x = 1.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xy
Pista

The minimum is the lowest point on the whole graph — the bottom of the U.

Ver en español

Pregunta

Haz clic en el punto mínimo de la gráfica.

Pista

El mínimo es el punto más bajo de toda la gráfica: el fondo de la U.

Resumen

  • Intersección con el eje y: haz x = 0 (solo hay una). Intersecciones con el eje x: haz y = 0 (puede haber varias).
  • Creciente = la gráfica sube de izquierda a derecha; decreciente = baja. Da los intervalos en valores de x; cambian en un máximo o un mínimo.
  • Máximo/mínimo = pico/valle; el valor es la coordenada y. Parábolas: a < 0 → máximo, a > 0 → mínimo, en x = -\frac{b}{2a}.
  • Simetría: el eje de simetría de una parábola está a la mitad entre sus intersecciones con el eje x; los puntos reflejados tienen el mismo valor de y.
  • El comportamiento en los extremos describe el extremo izquierdo y el derecho; las gráficas periódicas se repiten, y el período = distancia de pico a pico.
  • Lee la pregunta dos veces: "qué" pide una salida; "cuándo/dónde" pide una entrada.
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