The y-intercept is where the graph crosses the vertical axis.
Solución paso a paso
The y-intercept is the point where the graph crosses the y-axis. Every point on the y-axis has x = 0.
Follow the y-axis (the vertical line through 0) until it meets the curve.
The curve crosses it at y = -3.
The y-intercept is (0,\ -3).
Check: The function graphed is y = (x - 1)^2 - 4. At x = 0: (0 - 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 ✓
Tip: A function has at most oney-intercept but may have several x-intercepts. If you see two answers, you're probably looking at the x-axis.
Explicación
La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica cruza el eje y. Todos los puntos del eje y tienen x = 0.
Sigue el eje y (la recta vertical que pasa por 0) hasta que toque la curva.
La curva lo cruza en y = -3.
La intersección con el eje y es (0,\ -3).
Comprobación: La función graficada es y = (x - 1)^2 - 4. En x = 0: (0 - 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 ✓
Consejo: Una función tiene como máximo una intersección con el eje y, pero puede tener varias con el eje x. Si ves dos respuestas, probablemente estás mirando el eje x.
Ver en español
Pregunta
¿Cuál es la intersección con el eje y de la gráfica que se muestra?
Opciones
A.(-1,\ 0)
B.(0,\ -3)
C.(1,\ -4)
D.(-3,\ 0)
Pista
La intersección con el eje y es donde la gráfica cruza el eje vertical.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadoraZona activa
Click the minimum point of the graph.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
The minimum is the lowest point on the whole graph — the bottom of the U.
Solución paso a paso
The graph is a U-shaped curve opening upward, so it has a lowest point and no highest point.
Trace the curve: it falls from the upper left, reaches the bottom, then rises.
The bottom of the U is at x = 1, y = -4.
The minimum point is (1,\ -4); the minimum value of the function is -4.
Check: The graph is symmetric about the vertical line x = 1: the x-intercepts -1 and 3 are each 2 units from x = 1, and \frac{-1 + 3}{2} = 1 ✓
Tip: The minimum (or maximum) of a parabola is always on its line of symmetry — halfway between the x-intercepts.
Explicación
La gráfica es una curva en forma de U que abre hacia arriba, así que tiene un punto más bajo y no tiene punto más alto.
Recorre la curva: baja desde arriba a la izquierda, llega al fondo y luego sube.
El fondo de la U está en x = 1, y = -4.
El punto mínimo es (1,\ -4); el valor mínimo de la función es -4.
Comprobación: La gráfica es simétrica respecto a la recta vertical x = 1: las intersecciones con el eje x, -1 y 3, están cada una a 2 unidades de x = 1, y \frac{-1 + 3}{2} = 1 ✓
Consejo: El mínimo (o máximo) de una parábola siempre está en su eje de simetría, a la mitad entre las intersecciones con el eje x.
Ver en español
Pregunta
Haz clic en el punto mínimo de la gráfica.
Pista
El mínimo es el punto más bajo de toda la gráfica: el fondo de la U.
Pregunta 3 de 36
The graph shows the height of a ball thrown straight up from the ground.
Ball height vs time
What is the maximum height of the ball?
Pista
Height is on the vertical axis. Find the top of the curve and read across to that axis.
Solución paso a paso
The highest point of the curve is its maximum.
The top of the curve is directly above t = 2 seconds.
Read across from the top to the vertical (height) axis: it lines up with 64.
The maximum height is 64 feet (reached at 2 seconds).
Check: The curve is symmetric: it leaves the ground at t = 0 and lands at t = 4, so the top is halfway, at t = 2. The formula h = -16t^2 + 64t gives h(2) = -64 + 128 = 64 ✓
Tip: "Maximum height" asks for a y-value; "when is it highest" asks for an x-value. Underline which one the question wants.
Explicación
El punto más alto de la curva es su máximo.
La parte más alta de la curva está justo encima de t = 2 segundos.
Lee de forma horizontal desde la cima hasta el eje vertical (de la altura): coincide con 64.
La altura máxima es 64 pies (se alcanza a los 2 segundos).
Comprobación: La curva es simétrica: sale del suelo en t = 0 y cae en t = 4, así que la cima está a la mitad, en t = 2. La fórmula h = -16t^2 + 64t da h(2) = -64 + 128 = 64 ✓
Consejo: "Altura máxima" pide un valor de y; "¿cuándo está más alta?" pide un valor de x. Subraya cuál quiere la pregunta.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la altura de una pelota lanzada directamente hacia arriba desde el suelo.
¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
Opciones
A. 2 pies
B. 4 pies
C. 64 pies
D. 80 pies
Pista
La altura está en el eje vertical. Busca la parte más alta de la curva y lee de forma horizontal hasta ese eje.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadoraZona activa
The graph of a function f is shown. Click the point where the graph crosses the y-axis.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
The y-axis is the vertical axis. Every point on it has the same x-value.
Solución paso a paso
The y-axis is the vertical axis, where x = 0.
Follow the y-axis up from the origin until it meets the curve. The curve crosses it at height 8.
So the y-intercept is (0,\ 8).
The other marked points are different features:
(-1,\ 9) is the maximum (highest point). It is 1 unit left of the y-axis.
(-4,\ 0) and (2,\ 0) are the x-intercepts (on the horizontal axis).
Click (0,\ 8).
Check: The function is f(x) = -x^2 - 2x + 8. Then f(0) = 8 ✓
Tip: A function has at most oney-intercept but can have several x-intercepts. The y-intercept is often near the maximum, so look carefully at which point is exactly on the axis.
Explicación
El eje y es el eje vertical, donde x = 0.
Sigue el eje y hacia arriba desde el origen hasta que toque la curva. La curva lo cruza a la altura 8.
Así que la intersección con el eje y es (0,\ 8).
Los otros puntos marcados son características distintas:
(-1,\ 9) es el máximo (el punto más alto). Está 1 unidad a la izquierda del eje y.
(-4,\ 0) y (2,\ 0) son las intersecciones con el eje x (en el eje horizontal).
Haz clic en (0,\ 8).
Comprobación: La función es f(x) = -x^2 - 2x + 8. Entonces f(0) = 8 ✓
Consejo: Una función tiene como máximo una intersección con el eje y, pero puede tener varias intersecciones con el eje x. La intersección con el eje y suele estar cerca del máximo, así que fíjate bien en qué punto está exactamente sobre el eje.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de una función f. Haz clic en el punto donde la gráfica cruza el eje y.
Pista
El eje y es el eje vertical. Todos sus puntos tienen el mismo valor de x.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadoraCompletar
The graph of a function g is made of straight segments.
Zigzag graph through (−5, −3), (−2, 3), (1, −3) and (4, 3)
What is the y-intercept of g?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the place where the graph meets the vertical axis. Count grid squares carefully from the origin.
Solución paso a paso
The y-intercept is where the graph crosses the y-axis (x = 0).
The segment from (-2,\ 3) to (1,\ -3) passes the y-axis. Reading the grid, it crosses at y = -1.
Confirm with the slope of that segment:
m = \frac{-3 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2
From (-2, 3), moving right 2 units to x = 0 changes y by 2 \times (-2) = -4: 3 - 4 = -1.
The y-intercept is -1 (the point (0,\ -1)).
Check: From the other end, (1, -3): moving left 1 unit raises y by 2: -3 + 2 = -1 ✓
Tip: If a crossing point is hard to read, use the segment's slope from a clearly marked point — the same idea as the "rise over run" walk.
Explicación
La intersección con el eje y es donde la gráfica cruza el eje y (x = 0).
El segmento de (-2,\ 3) a (1,\ -3) pasa por el eje y. Leyendo la cuadrícula, lo cruza en y = -1.
Confírmalo con la pendiente de ese segmento:
m = \frac{-3 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2
Desde (-2, 3), al moverte 2 unidades a la derecha hasta x = 0, y cambia 2 \times (-2) = -4: 3 - 4 = -1.
La intersección con el eje y es -1 (el punto (0,\ -1)).
Comprobación: Desde el otro extremo, (1, -3): al moverte 1 unidad a la izquierda, y sube 2: -3 + 2 = -1 ✓
Consejo: Si un punto de cruce es difícil de leer, usa la pendiente del segmento desde un punto bien marcado: es la misma idea de caminar con el cambio vertical sobre el cambio horizontal.
Ver en español
Pregunta
La gráfica de una función g está formada por segmentos rectos.
¿Cuál es la intersección de g con el eje y?
Pista
Busca el lugar donde la gráfica toca el eje vertical. Cuenta con cuidado los cuadros desde el origen.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Use the graph of g again.
Zigzag graph through (−5, −3), (−2, 3), (1, −3) and (4, 3)
Over which interval is gdecreasing?
Pista
Read the graph from left to right. Where does it go downhill? Write the interval using x-values.
Solución paso a paso
Read from left to right:
From x = -5 to x = -2 the graph climbs from -3 to 3 (increasing).
From x = -2 to x = 1 it falls from 3 to -3 (decreasing).
From x = 1 to x = 4 it climbs again (increasing).
Intervals are written with x-values, so the decreasing interval is -2 < x < 1.
Answer: -2 < x < 1.
Check: Pick x = -1 and x = 0 inside the interval: g(-1) = 1 and g(0) = -1. As x grows, g shrinks ✓
Tip: Increasing/decreasing intervals describe where on the x-axis the change happens. The heights -3 and 3 describe how far it falls, not where.
Explicación
Lee de izquierda a derecha:
De x = -5 a x = -2 la gráfica sube de -3 a 3 (creciente).
De x = -2 a x = 1 baja de 3 a -3 (decreciente).
De x = 1 a x = 4 vuelve a subir (creciente).
Los intervalos se escriben con valores de x, así que el intervalo decreciente es -2 < x < 1.
Respuesta: -2 < x < 1.
Comprobación: Elige x = -1 y x = 0 dentro del intervalo: g(-1) = 1 y g(0) = -1. Cuando x crece, g disminuye ✓
Consejo: Los intervalos crecientes o decrecientes describen en qué parte del eje x ocurre el cambio. Las alturas -3 y 3 dicen cuánto baja, no dónde.
Ver en español
Pregunta
Usa otra vez la gráfica de g.
¿En qué intervalo es decrecienteg?
Opciones
A.-3 < x < 3
B.-5 < x < -2
C.-2 < x < 4
D.-2 < x < 1
Pista
Lee la gráfica de izquierda a derecha. ¿Dónde va cuesta abajo? Escribe el intervalo con valores de x.
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
The graph shows the height of one seat on a Ferris wheel during a ride.
Ferris wheel seat height wave
What is the period of the graph?
Pista
The period is the time for one full cycle — from a low point to the next low point (or peak to next peak).
Solución paso a paso
A period is the horizontal length of one complete cycle.
The seat is at its lowest (5 ft) at t = 0, rises to 85 ft at t = 4, and is back at its lowest at t = 8.
Peak to peak gives the same result: peaks at t = 4 and t = 12, so 12 - 4 = 8.
The period is 8 minutes: the wheel makes one full turn every 8 minutes.
Check: Low points at t = 0, 8, 16, 24 — each 8 minutes apart ✓
Tip: The period is measured along the horizontal (time) axis. The distance between the max and min heights (85 - 5 = 80 ft) is a vertical measurement and has nothing to do with the period.
Explicación
Un período es la longitud horizontal de un ciclo completo.
El asiento está en su punto más bajo (5 ft) en t = 0, sube a 85 ft en t = 4 y vuelve a su punto más bajo en t = 8.
De pico a pico se obtiene lo mismo: picos en t = 4 y t = 12, así que 12 - 4 = 8.
El período es 8 minutos: la rueda da una vuelta completa cada 8 minutos.
Comprobación: Puntos más bajos en t = 0, 8, 16, 24, cada uno separado por 8 minutos ✓
Consejo: El período se mide a lo largo del eje horizontal (tiempo). La distancia entre la altura máxima y la mínima (85 - 5 = 80 ft) es una medida vertical y no tiene nada que ver con el período.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la altura de un asiento de una rueda de la fortuna durante un paseo.
¿Cuál es el período de la gráfica?
Opciones
A. 8 minutos
B. 4 minutos
C. 24 minutos
D. 80 minutos
Pista
El período es el tiempo de un ciclo completo: de un punto bajo al siguiente punto bajo (o de un pico al siguiente pico).
Pregunta 8 de 36
Use the graph of the ball's height again.
Ball height vs time
Over which interval is the ball's height decreasing?
Pista
Read the graph from left to right. Where is the curve going down? Give the interval in terms of time (the x-axis).
Solución paso a paso
A function is decreasing where its graph goes down as you move left to right.
From t = 0 to t = 2 the curve goes up (increasing).
From t = 2 to t = 4 the curve goes down (decreasing), until the ball hits the ground.
Intervals are written with x-values (here, times).
The height is decreasing for 2 < t < 4.
Check: Pick t = 3: h = -16(9) + 64(3) = -144 + 192 = 48, which is less than the 64 ft at t = 2 — still going down ✓
Tip: Increasing/decreasing intervals are always described with x-values, read left to right, and they change at the maximum or minimum.
Explicación
Una función es decreciente donde su gráfica baja al moverte de izquierda a derecha.
De t = 0 a t = 2 la curva sube (creciente).
De t = 2 a t = 4 la curva baja (decreciente), hasta que la pelota toca el suelo.
Los intervalos se escriben con valores de x (aquí, tiempos).
La altura es decreciente para 2 < t < 4.
Comprobación: Elige t = 3: h = -16(9) + 64(3) = -144 + 192 = 48, que es menor que los 64 ft en t = 2; sigue bajando ✓
Consejo: Los intervalos crecientes y decrecientes siempre se describen con valores de x, leídos de izquierda a derecha, y cambian en el máximo o el mínimo.
Ver en español
Pregunta
Usa otra vez la gráfica de la altura de la pelota.
¿En qué intervalo es decreciente la altura de la pelota?
Opciones
A.0 < t < 2
B.0 < t < 4
C. de h = 64 a h = 0
D.2 < t < 4
Pista
Lee la gráfica de izquierda a derecha. ¿Dónde baja la curva? Da el intervalo en términos del tiempo (el eje x).
Pregunta 9 de 36
Varias respuestas
The graph of a function f is shown.
Cubic-shaped curve with turning points (−1, 2) and (1, −2)
Assume the graph continues in the same way beyond the grid. Select all true statements.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Trace the curve from left to right. Note where it turns, where it crosses the axes, and where it heads at both ends.
Solución paso a paso
Check each statement against the graph:
"f is increasing for x < -1." From the far left up to x = -1, the curve rises ✓
"f has a local maximum at (-1,\ 2)." The curve rises to (-1, 2), then falls — a peak ✓
"The graph has three x-intercepts." It crosses the x-axis near -1.7, at 0, and near 1.7 ✓
"f is decreasing for -2 < x < 2." ✗ It is decreasing only for -1 < x < 1; it rises on -2 < x < -1 and 1 < x < 2.
"The y-intercept is 2." ✗ The curve crosses the y-axis at the origin, so the y-intercept is 0. (2 is the local maximum value.)
"As x increases without bound, f(x) increases without bound." At the right end the curve keeps going up ✓
True: statements 1, 2, 3 and 6.
Check: The function is f(x) = x^3 - 3x: f(-1) = -1 + 3 = 2 ✓, f(0) = 0 ✓, and f(x) = 0 at x = 0, \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73 ✓
Tip: "Local" max/min means highest/lowest nearby, not on the whole graph — this graph goes higher than 2 on the far right.
Explicación
Compara cada afirmación con la gráfica:
"f es creciente para x < -1." Desde el extremo izquierdo hasta x = -1, la curva sube ✓
"f tiene un máximo local en (-1,\ 2)." La curva sube hasta (-1, 2) y luego baja: es una cima ✓
"La gráfica tiene tres intersecciones con el eje x." Cruza el eje x cerca de -1.7, en 0 y cerca de 1.7 ✓
"f es decreciente para -2 < x < 2." ✗ Solo es decreciente para -1 < x < 1; sube en -2 < x < -1 y en 1 < x < 2.
"La intersección con el eje y es 2." ✗ La curva cruza el eje y en el origen, así que la intersección con el eje y es 0. (2 es el valor máximo local.)
"A medida que x aumenta sin límite, f(x) aumenta sin límite." En el extremo derecho la curva sigue subiendo ✓
Verdaderas: las afirmaciones 1, 2, 3 y 6.
Comprobación: La función es f(x) = x^3 - 3x: f(-1) = -1 + 3 = 2 ✓, f(0) = 0 ✓, y f(x) = 0 en x = 0, \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73 ✓
Consejo: Máximo o mínimo "local" significa el más alto o el más bajo en los alrededores, no en toda la gráfica: esta gráfica sube más de 2 en el extremo derecho.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de una función f.
Supón que la gráfica continúa de la misma manera más allá de la cuadrícula. Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
Opciones
A.f es creciente para x < -1.
B.f tiene un máximo local en (-1,\ 2).
C. La gráfica tiene tres intersecciones con el eje x.
D.f es decreciente para -2 < x < 2.
E. La intersección con el eje y es 2.
F. Cuando x aumenta sin límite, f(x) aumenta sin límite.
Pista
Recorre la curva de izquierda a derecha. Fíjate dónde cambia de dirección, dónde cruza los ejes y hacia dónde va en los dos extremos.
Pregunta 10 de 36
Completar
The graph shows the water depth at a harbor over one day.
Tide depth vs hours after midnight
The pattern repeats. What is the period of this graph, in hours?
hours
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The period is the length of time for one full cycle — for example, from one high point to the next high point.
Solución paso a paso
A periodic graph repeats the same shape over and over. The period is the horizontal length of one complete cycle.
Find two neighboring high points (maximums): t = 6 and t = 18.
Period = distance between them:
18 - 6 = 12 \text{ hours}
Same result from the low points: t = 0 and t = 12 → 12 - 0 = 12.
The period is 12 hours.
Check: Two full cycles fit in the 24 hours shown: 24 \div 12 = 2 ✓
Tip: Measure the period peak-to-peak or valley-to-valley — the height of the peaks (8 ft) is not the period.
Explicación
Una gráfica periódica repite la misma forma una y otra vez. El período es la longitud horizontal de un ciclo completo.
Busca dos puntos altos (máximos) vecinos: t = 6 y t = 18.
Período = distancia entre ellos:
18 - 6 = 12 \text{ horas}
Los puntos bajos dan el mismo resultado: t = 0 y t = 12 → 12 - 0 = 12.
El período es de 12 horas.
Comprobación: Caben dos ciclos completos en las 24 horas que se muestran: 24 \div 12 = 2 ✓
Consejo: Mide el período de cima a cima o de valle a valle; la altura de las cimas (8 ft) no es el período.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la profundidad del agua en un puerto durante un día.
El patrón se repite. ¿Cuál es el período de esta gráfica, en horas?
_____ horas
Pista
El período es el tiempo que dura un ciclo completo; por ejemplo, de un punto alto al siguiente punto alto.
Pregunta 11 de 36
Sin calculadora
The table shows values of a function f.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
5
0
-3
-4
-3
0
5
Which statement about f is true?
Pista
Look for the smallest f(x) value, where f(x) = 0, and the pattern on each side of x = 0.
Solución paso a paso
Minimum: the smallest output is -4, at x = 0. The values go down to -4 and then back up. So the minimum value -4 occurs at x = 0.
Tip: In a table, the y-intercept is the output in the x = 0 column, and the x-intercepts are the columns where the output is 0.
Explicación
Mínimo: la salida más pequeña es -4, en x = 0. Los valores bajan hasta -4 y luego vuelven a subir. Así que el valor mínimo, -4, ocurre en x = 0.
Simetría:f(-1) = f(1) = -3, f(-2) = f(2) = 0, f(-3) = f(3) = 5: son reflejos respecto a x = 0.
Intersecciones con el eje x:f(x) = 0 en x = -2 y en x = 2.
Intersección con el eje y:f(0) = -4.
La afirmación verdadera es "El valor mínimo de f es -4, en x = 0."
Comprobación: La tabla coincide con f(x) = x^2 - 4: (-3)^2 - 4 = 5, 0^2 - 4 = -4 ✓
Consejo: En una tabla, la intersección con el eje y es la salida en la columna de x = 0, y las intersecciones con el eje x son las columnas donde la salida es 0.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra valores de una función f.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
5
0
-3
-4
-3
0
5
¿Qué afirmación sobre f es verdadera?
Opciones
A. El valor mínimo de f es -4, en x = 0.
B. El mínimo de f ocurre en x = -4.
C. La intersección de f con el eje y es 0.
D.f es creciente para x < 0.
Pista
Busca el valor más pequeño de f(x), dónde f(x) = 0, y el patrón a cada lado de x = 0.
Pregunta 12 de 36
Menú
Use the harbor tide graph.
Tide depth vs hours after midnight
The maximum water depth is feet, and it first occurs hours after midnight.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Find the highest point of the curve. Read its height on the vertical axis and its time on the horizontal axis.
Solución paso a paso
The highest points of the wave are its maximums.
Read across from a peak to the depth axis: 8 ft.
The first peak is directly above t = 6 on the time axis. (The next is at t = 18.)
The maximum depth is 8 feet, first at 6 hours after midnight (6 a.m.).
Check: The lowest depth is 2 ft at t = 0 and t = 12; the peaks fall halfway between low points: \frac{0 + 12}{2} = 6 ✓
Tip: The middle level (5 ft) is the average of max and min, \frac{8 + 2}{2} = 5 — it's not the maximum.
Explicación
Los puntos más altos de la onda son sus máximos.
Lee de forma horizontal desde una cima hasta el eje de la profundidad: 8 ft.
La primera cima está justo encima de t = 6 en el eje del tiempo. (La siguiente está en t = 18.)
La profundidad máxima es de 8 pies, primero a las 6 horas después de la medianoche (6 a.m.).
Comprobación: La profundidad mínima es de 2 ft en t = 0 y en t = 12; las cimas caen a la mitad entre los puntos bajos: \frac{0 + 12}{2} = 6 ✓
Consejo: El nivel medio (5 ft) es el promedio del máximo y el mínimo, \frac{8 + 2}{2} = 5; no es el máximo.
Ver en español
Pregunta
Usa la gráfica de la marea del puerto.
La profundidad máxima del agua es de _____ pies, y ocurre por primera vez _____ horas después de la medianoche.
Opciones
8
6
2
5
6
8
0
12
Pista
Busca el punto más alto de la curva. Lee su altura en el eje vertical y su hora en el eje horizontal.
Pregunta 13 de 36
The graph shows the temperature in a town during one day.
Temperature vs hours after midnight
During which 4-hour period did the temperature increase the fastest?
Pista
The fastest increase is the steepest upward segment. Compare the change in temperature for each 4-hour period.
Solución paso a paso
Each segment covers 4 hours, so compare the temperature changes:
0–4: 42 - 48 = -6 (falling)
4–8: 50 - 42 = +8
8–12: 66 - 50 = +16
12–16: 70 - 66 = +4
16–20: 58 - 70 = -12 (falling)
20–24: 50 - 58 = -8 (falling)
The biggest increase is +16°F, from 8 to 12 hours after midnight (8 a.m. to noon). That is \frac{16}{4} = 4 degrees per hour.
Check: On the graph the 8–12 segment is the steepest one going up ✓
Tip: "Fastest increase" = steepest rising segment = greatest positive slope. The highest point (70°F) is not where the change is fastest.
Explicación
Cada segmento abarca 4 horas, así que compara los cambios de temperatura:
0–4: 42 - 48 = -6 (baja)
4–8: 50 - 42 = +8
8–12: 66 - 50 = +16
12–16: 70 - 66 = +4
16–20: 58 - 70 = -12 (baja)
20–24: 50 - 58 = -8 (baja)
El mayor aumento es de +16°F, de las 8 a las 12 horas después de la medianoche (de 8 a.m. al mediodía). Eso es \frac{16}{4} = 4 grados por hora.
Comprobación: En la gráfica, el segmento de 8 a 12 es el que sube con más inclinación ✓
Consejo: "Aumento más rápido" = el segmento que sube con más inclinación = la mayor pendiente positiva. El punto más alto (70°F) no es donde el cambio es más rápido.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la temperatura de un pueblo durante un día.
¿Durante qué período de 4 horas aumentó más rápido la temperatura?
Opciones
A. de 4 a 8 horas después de la medianoche
B. de 8 a 12 horas después de la medianoche
C. de 12 a 16 horas después de la medianoche
D. de 16 a 20 horas después de la medianoche
Pista
El aumento más rápido es el segmento que sube con más inclinación. Compara el cambio de temperatura en cada período de 4 horas.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadora
A new food truck tracks its monthly profit, in thousands of dollars. A negative profit is a loss.
Month
1
2
3
4
5
6
7
8
Profit ($ thousands)
-4
-1
2
3
3
1
-2
-5
If the profit changed smoothly, between which two months did it first change from a loss to a gain?
Pista
An x-intercept in a table shows up as a change of sign. Find the first place the profit goes from negative to positive.
Solución paso a paso
A graph of the profit crosses the horizontal axis (profit = 0) wherever the values change sign.
Scan the row from left to right:
Month 1 to 2: -4 \to -1 (still a loss).
Month 2 to 3: -1 \to 2 — negative to positive. The profit passes through 0 here.
The later sign change, month 6 to 7 (1 \to -2), goes from a gain back to a loss.
The profit first changed from a loss to a gain between months 2 and 3.
Check:-1 < 0 < 2, so 0 lies between the month-2 and month-3 values ✓
Tip: In a table, zeros (intercepts) hide between rows when the sign flips. The largest value (here 3, the maximum) is a different feature.
Explicación
Una gráfica de la ganancia cruza el eje horizontal (ganancia = 0) donde los valores cambian de signo.
Recorre la fila de izquierda a derecha:
Del mes 1 al 2: -4 \to -1 (todavía es pérdida).
Del mes 2 al 3: -1 \to 2: de negativo a positivo. Aquí la ganancia pasa por 0.
El cambio de signo posterior, del mes 6 al 7 (1 \to -2), va de ganancia a pérdida otra vez.
La ganancia pasó por primera vez de pérdida a ganancia entre los meses 2 y 3.
Comprobación:-1 < 0 < 2, así que el 0 está entre los valores del mes 2 y del mes 3 ✓
Consejo: En una tabla, los ceros (intersecciones) se esconden entre las columnas donde cambia el signo. El valor más grande (aquí 3, el máximo) es otra característica.
Ver en español
Pregunta
Un nuevo camión de comida lleva el registro de su ganancia mensual, en miles de dólares. Una ganancia negativa es una pérdida.
Mes
1
2
3
4
5
6
7
8
Ganancia (miles de $)
-4
-1
2
3
3
1
-2
-5
Si la ganancia cambió de forma continua, ¿entre qué dos meses pasó por primera vez de pérdida a ganancia?
Opciones
A. Entre los meses 6 y 7
B. Entre los meses 2 y 3
C. Entre los meses 4 y 5
D. Entre los meses 1 y 2
Pista
En una tabla, una intersección con el eje x aparece como un cambio de signo. Busca el primer lugar donde la ganancia pasa de negativa a positiva.
Pregunta 15 de 36
The graph shows the height of a tomato plant during the first 8 weeks after planting.
Plant height line graph
During which 2-week period did the plant grow the slowest?
Pista
Slowest growth means the smallest change in height over 2 weeks — the flattest segment, not the lowest one.
Solución paso a paso
Find the change in height for each 2-week period:
Weeks 0–2: 5 - 2 = 3 inches
Weeks 2–4: 12 - 5 = 7 inches
Weeks 4–6: 15 - 12 = 3 inches
Weeks 6–8: 16 - 15 = 1 inch
The smallest change is 1 inch, so the plant grew slowest during weeks 6–8 (a rate of \frac{1}{2} inch per week).
Check: On the graph, the segment from (6, 15) to (8, 16) is the flattest ✓
Tip: Rate of change is about steepness. A segment can be high on the graph and still be nearly flat. Weeks 0–2 are the lowest heights, but the plant grew 3 inches then.
Explicación
Encuentra el cambio de altura en cada período de 2 semanas:
Semanas 0–2: 5 - 2 = 3 pulgadas
Semanas 2–4: 12 - 5 = 7 pulgadas
Semanas 4–6: 15 - 12 = 3 pulgadas
Semanas 6–8: 16 - 15 = 1 pulgada
El cambio más pequeño es 1 pulgada, así que la planta creció más despacio en las semanas 6–8 (a una tasa de \frac{1}{2} pulgada por semana).
Comprobación: En la gráfica, el segmento de (6, 15) a (8, 16) es el más plano ✓
Consejo: La tasa de cambio tiene que ver con la inclinación. Un segmento puede estar alto en la gráfica y aun así ser casi plano. En las semanas 0–2 están las alturas más bajas, pero en ese tiempo la planta creció 3 pulgadas.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la altura de una planta de tomate durante las primeras 8 semanas después de sembrarla.
¿Durante qué período de 2 semanas creció más despacio la planta?
Opciones
A. Semanas 0–2
B. Semanas 2–4
C. Semanas 6–8
D. Semanas 4–6
Pista
Crecer más despacio significa el menor cambio de altura en 2 semanas: el segmento más plano, no el más bajo.
Pregunta 16 de 36
Sin calculadora
The graph of f is shown. Assume the graph keeps going in the same way beyond the grid.
Downward parabola
As x increases without bound, what happens to f(x)?
Pista
Follow the right end of the curve. Is it heading up, heading down, or levelling off?
Solución paso a paso
"As x increases without bound" means: follow the graph far to the right.
Past the maximum at (-1, 9), the curve keeps falling. It crosses the x-axis at (2, 0) and keeps going down, faster and faster.
Nothing stops it: the right end points downward forever.
So f(x) decreases without bound (it goes toward -\infty).
Tip: A parabola that opens down has both ends pointing down; one that opens up has both ends pointing up. Crossing the x-axis does not mean the graph stops there.
Explicación
"Cuando x aumenta sin límite" significa: sigue la gráfica muy a la derecha.
Después del máximo en (-1, 9), la curva sigue bajando. Cruza el eje x en (2, 0) y continúa hacia abajo, cada vez más rápido.
Nada la detiene: el extremo derecho apunta hacia abajo para siempre.
Así que f(x) disminuye sin límite (tiende a -\infty).
Comprobación:f(x) = -x^2 - 2x + 8: f(5) = -25 - 10 + 8 = -27, f(10) = -100 - 20 + 8 = -112, cada vez más negativo ✓
Consejo: Una parábola que abre hacia abajo tiene los dos extremos apuntando hacia abajo; una que abre hacia arriba tiene los dos extremos apuntando hacia arriba. Cruzar el eje x no significa que la gráfica se detenga ahí.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de f. Supón que la gráfica sigue de la misma manera más allá de la cuadrícula.
Cuando x aumenta sin límite, ¿qué pasa con f(x)?
Opciones
A.f(x) aumenta sin límite.
B.f(x) se acerca a 0.
C.f(x) se acerca a 9.
D.f(x) disminuye sin límite.
Pista
Sigue el extremo derecho de la curva. ¿Va hacia arriba, va hacia abajo o se vuelve plana?
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
A function f has all of these features:
It is increasing for x < 0 and decreasing for x > 0.
Its maximum point is (0,\ 4).
Its x-intercepts are -2 and 2.
Which graph could be the graph of f?
Four graphs labeled A to D
Pista
Check one feature at a time and cross out any graph that fails it.
Solución paso a paso
Test the graphs feature by feature.
Maximum at (0, 4): Graph B has a minimum at (0, -4) — out. Graph C peaks at (2, 4) — out. A and D both peak at (0, 4).
x-intercepts -2 and 2: Graph A crosses at (-2, 0) and (2, 0) ✓. Graph D crosses at (-4, 0) and (4, 0) — out.
Increasing then decreasing: Graph A rises up to x = 0 and falls after ✓.
Tip: With "which graph" questions, use the most specific feature first (a named point like the maximum), then eliminate. Make sure the final choice satisfies every feature.
Explicación
Prueba las gráficas característica por característica.
Máximo en (0, 4): la Gráfica B tiene un mínimo en (0, -4): descartada. La Gráfica C tiene su pico en (2, 4): descartada. A y D tienen su pico en (0, 4).
Intersecciones con el eje x en -2 y 2: la Gráfica A cruza en (-2, 0) y (2, 0) ✓. La Gráfica D cruza en (-4, 0) y (4, 0): descartada.
Creciente y luego decreciente: la Gráfica A sube hasta x = 0 y baja después ✓.
La gráfica es la Gráfica A.
Comprobación: La Gráfica A coincide con f(x) = 4 - x^2: f(0) = 4 ✓, f(\pm 2) = 4 - 4 = 0 ✓
Consejo: En las preguntas de "qué gráfica", usa primero la característica más específica (un punto con nombre, como el máximo) y luego descarta. Asegúrate de que la opción final cumpla todas las características.
Ver en español
Pregunta
Una función f tiene todas estas características:
Es creciente para x < 0 y decreciente para x > 0.
Su punto máximo es (0,\ 4).
Sus intersecciones con el eje x son -2 y 2.
¿Qué gráfica podría ser la gráfica de f?
Opciones
A. Gráfica A
B. Gráfica B
C. Gráfica C
D. Gráfica D
Pista
Revisa una característica a la vez y tacha cualquier gráfica que no la cumpla.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
The graph of a function h is shown for -4 \le x \le 4.
W-shaped graph
Select all true statements.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
List the features first: where the graph crosses each axis, its lowest points, and where it rises or falls (left to right).
Solución paso a paso
Features of the graph:
x-intercepts at -3, -1, 1 and 3; y-intercept at 3.
Lowest points (-2, -3) and (2, -3), so the minimum value is -3.
Decreasing on -4 < x < -2 and 0 < x < 2; increasing on -2 < x < 0 and 2 < x < 4.
The left half is a mirror image of the right half: symmetric about the y-axis.
Judge each statement:
"Four x-intercepts" ✓
"Symmetric about the y-axis" ✓
"Increasing for 0 < x < 2" ✗ — it falls from (0, 3) to (2, -3).
"Minimum value is -3" ✓
"y-intercept is -3" ✗ — the graph crosses the y-axis at 3.
"Decreasing for -4 < x < -2" ✓
True: statements 1, 2, 4 and 6.
Check: Folding along the y-axis matches (-2, -3) with (2, -3) and (-4, 3) with (4, 3) ✓
Tip: The minimum value is a y-value (height). The y-intercept is a different feature: the height at x = 0.
Explicación
Características de la gráfica:
Intersecciones con el eje x en -3, -1, 1 y 3; intersección con el eje y en 3.
Puntos más bajos (-2, -3) y (2, -3), así que el valor mínimo es -3.
Decreciente en -4 < x < -2 y 0 < x < 2; creciente en -2 < x < 0 y 2 < x < 4.
La mitad izquierda es el reflejo de la mitad derecha: es simétrica respecto al eje y.
Evalúa cada afirmación:
"Cuatro intersecciones con el eje x" ✓
"Simétrica respecto al eje y" ✓
"Creciente para 0 < x < 2" ✗: baja de (0, 3) a (2, -3).
"El valor mínimo es -3" ✓
"La intersección con el eje y es -3" ✗: la gráfica cruza el eje y en 3.
"Decreciente para -4 < x < -2" ✓
Verdaderas: las afirmaciones 1, 2, 4 y 6.
Comprobación: Al doblar por el eje y, (-2, -3) coincide con (2, -3) y (-4, 3) con (4, 3) ✓
Consejo: El valor mínimo es un valor de y (una altura). La intersección con el eje y es otra característica: la altura en x = 0.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de una función h para -4 \le x \le 4.
Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
Opciones
A. La gráfica tiene cuatro intersecciones con el eje x.
B. La gráfica es simétrica respecto al eje y.
C.h es creciente para 0 < x < 2.
D. El valor mínimo de h es -3.
E. La intersección con el eje y es -3.
F.h es decreciente para -4 < x < -2.
Pista
Primero haz una lista de las características: dónde cruza la gráfica cada eje, sus puntos más bajos y dónde sube o baja (de izquierda a derecha).
Pregunta 19 de 36
Completar
What is the minimum value of the function f(x) = x^2 - 8x + 10?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The minimum happens at the vertex. Find its x-value with x = -\frac{b}{2a}, then find f there.
Solución paso a paso
Here a = 1, b = -8, c = 10. Since a > 0, the parabola opens up and has a minimum.
x-value of the vertex:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(1)} = \frac{8}{2} = 4
What do the x-intercepts (5,\ 0) and (35,\ 0) represent?
Pista
On the x-axis the profit is 0. What do the x-values of these points measure?
Solución paso a paso
The horizontal axis is the ticket price; the vertical axis is the daily profit.
At an x-intercept the profit is 0: the theater breaks even (no gain, no loss).
The x-values are 5 and 35, so these are the ticket prices $5 and $35.
Between these prices the profit is positive; below $5 or above $35 the theater loses money.
Answer: At ticket prices of $5 and $35, the theater's profit is $0 (it breaks even).
Check: The model is P = -4(x - 5)(x - 35); at x = 5 or x = 35 one factor is 0, so P = 0 ✓
Tip: In context, always say what both numbers in an intercept mean, with units: (5, 0) = "price $5, profit $0". The best price is a different feature — the maximum (20, 900).
Explicación
El eje horizontal es el precio del boleto; el eje vertical es la ganancia diaria.
En una intersección con el eje x, la ganancia es 0: el teatro sale a mano (ni gana ni pierde).
Los valores de x son 5 y 35, así que son los precios de boleto de $5 y $35.
Entre esos precios la ganancia es positiva; por debajo de $5 o por encima de $35 el teatro pierde dinero.
Respuesta: Con precios de boleto de $5 y $35, la ganancia del teatro es $0 (sale a mano).
Comprobación: El modelo es P = -4(x - 5)(x - 35); en x = 5 o x = 35 uno de los factores es 0, así que P = 0 ✓
Consejo: En un contexto, di siempre qué significan los dos números de una intersección, con unidades: (5, 0) = "precio $5, ganancia $0". El mejor precio es otra característica: el máximo (20, 900).
Ver en español
Pregunta
Un teatro hace un modelo de su ganancia diaria P, en dólares, para distintos precios de boleto x, en dólares.
¿Qué representan las intersecciones con el eje x, (5,\ 0) y (35,\ 0)?
Opciones
A. Los precios de boleto con los que la ganancia es de $0
B. Los precios de boleto que dan la mayor ganancia
C. Las ganancias de $5 y $35 por día
D. La ganancia cuando los boletos son gratis
Pista
En el eje x, la ganancia es 0. ¿Qué miden los valores de x de estos puntos?
Pregunta 21 de 36
Function f is given by the table. Function g is given by g(x) = -x^2 + 6x + 1.
x
-1
0
1
2
3
f(x)
5
8
9
8
5
Both functions have a maximum. Which statement is true?
Pista
In the table, look for the symmetric pattern around the top value. For g, use x = -\frac{b}{2a} and then evaluate g there.
Solución paso a paso
Maximum of f: the values rise to 9 at x = 1 and fall again symmetrically (8, 8 and 5, 5). So the maximum of f is 9.
Maximum of g:a = -1, b = 6.
x = -\frac{6}{2(-1)} = 3, \qquad g(3) = -(3)^2 + 6(3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10
So the maximum of g is 10.
Compare: 10 > 9.
Answer: The maximum of g (10) is greater than the maximum of f (9).
Tip: Compare the same feature on both sides: maximum value against maximum value. The 1 in g(x) is its y-intercept, and 3 is where its maximum occurs — neither is the maximum value.
Explicación
Máximo de f: los valores suben hasta 9 en x = 1 y vuelven a bajar de forma simétrica (8, 8 y 5, 5). Así que el máximo de f es 9.
Máximo de g:a = -1, b = 6.
x = -\frac{6}{2(-1)} = 3, \qquad g(3) = -(3)^2 + 6(3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10
Así que el máximo de g es 10.
Compara: 10 > 9.
Respuesta: El máximo de g (10) es mayor que el máximo de f (9).
Consejo: Compara la misma característica en ambos lados: valor máximo contra valor máximo. El 1 de g(x) es su intersección con el eje y, y 3 es donde ocurre su máximo; ninguno de los dos es el valor máximo.
Ver en español
Pregunta
La función f está dada por la tabla. La función g está dada por g(x) = -x^2 + 6x + 1.
x
-1
0
1
2
3
f(x)
5
8
9
8
5
Las dos funciones tienen un máximo. ¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El máximo de f, 9, es mayor que el máximo de g, 1.
B. El máximo de g, 10, es mayor que el máximo de f, 9.
C. El máximo de f, 9, es mayor que el máximo de g, 3.
D. El máximo de g, 10, es mayor que el máximo de f, 8.
Pista
En la tabla, busca el patrón simétrico alrededor del valor más alto. Para g, usa x = -\frac{b}{2a} y luego evalúa g en ese punto.
Pregunta 22 de 36
Menú
Consider the function f(x) = -2x^3 + 6x + 1.
As x increases without bound, f(x) .
As x decreases without bound, f(x) .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
For very large positive or negative x, the term with the highest power is much bigger than the others. Find its sign at each end.
Solución paso a paso
For very large |x|, the leading term-2x^3 is much bigger than 6x + 1, so it decides the end behavior.
Right end (x \to +\infty):x^3 is a huge positive number; times -2 it is a huge negative number. So f(x)decreases without bound.
Left end (x \to -\infty):x^3 is a huge negative number; times -2 it is a huge positive number. So f(x)increases without bound.
Answers: decreases without bound; increases without bound.
Check: Use the calculator: f(10) = -2000 + 60 + 1 = -1939 and f(-10) = 2000 - 60 + 1 = 1941 ✓
Tip: You can always test end behavior by plugging in a big number like 10 or 100 and its negative. The sign of the answer tells you which way the graph heads.
Explicación
Para valores muy grandes de |x|, el término principal-2x^3 es mucho mayor que 6x + 1, así que decide el comportamiento en los extremos.
Extremo derecho (x \to +\infty):x^3 es un número positivo enorme; por -2 es un número negativo enorme. Así que f(x)disminuye sin límite.
Extremo izquierdo (x \to -\infty):x^3 es un número negativo enorme; por -2 es un número positivo enorme. Así que f(x)aumenta sin límite.
Respuestas: disminuye sin límite; aumenta sin límite.
Comprobación: Usa la calculadora: f(10) = -2000 + 60 + 1 = -1939 y f(-10) = 2000 - 60 + 1 = 1941 ✓
Consejo: Siempre puedes probar el comportamiento en los extremos sustituyendo un número grande como 10 o 100 y su negativo. El signo del resultado te dice hacia dónde va la gráfica.
Ver en español
Pregunta
Considera la función f(x) = -2x^3 + 6x + 1.
Cuando x aumenta sin límite, f(x) _____.
Cuando x disminuye sin límite, f(x) _____.
Opciones
disminuye sin límite
aumenta sin límite
se acerca a 0
aumenta sin límite
disminuye sin límite
se acerca a 0
Pista
Para valores de x muy grandes, positivos o negativos, el término con la potencia más alta es mucho mayor que los demás. Halla su signo en cada extremo.
Pregunta 23 de 36
Sin calculadora
A water tank holds 40 gallons. For the first 2 hours no water is used. Then the tank drains at a steady rate until it is empty at hour 6.
Which graph shows the amount of water in the tank over time?
Four tank graphs labeled A to D
Pista
Translate each sentence into a piece of the graph, in order: where does it start, what happens first, when does it reach 0?
Solución paso a paso
Start: 40 gallons at hour 0 → the graph begins at (0,\ 40). Graph C starts at 0 — out.
First 2 hours, no change: a horizontal piece from (0, 40) to (2, 40). Graph B drops immediately — out.
Steady draining: a straight line down (constant negative slope).
Empty at hour 6: the line ends at (6,\ 0). Graph D reaches 0 at hour 4 — out.
Tip: A horizontal segment means "no change"; a steady change is a straight slanted segment. Check that the pieces appear in the same order as the story.
Explicación
Inicio: 40 galones en la hora 0 → la gráfica empieza en (0,\ 40). La Gráfica C empieza en 0: descartada.
Primeras 2 horas, sin cambio: un tramo horizontal de (0, 40) a (2, 40). La Gráfica B baja de inmediato: descartada.
Vaciado constante: una recta hacia abajo (pendiente negativa constante).
Vacío en la hora 6: la recta termina en (6,\ 0). La Gráfica D llega a 0 en la hora 4: descartada.
La gráfica correcta es la Gráfica A.
Comprobación: Tasa de vaciado de la Gráfica A: \frac{0 - 40}{6 - 2} = -10 galones por hora, constante ✓
Consejo: Un segmento horizontal significa "sin cambio"; un cambio constante es un segmento recto inclinado. Comprueba que los tramos aparezcan en el mismo orden que en la historia.
Ver en español
Pregunta
Un tanque de agua tiene 40 galones. Durante las primeras 2 horas no se usa agua. Luego el tanque se vacía a una tasa constante hasta quedar vacío en la hora 6.
¿Qué gráfica muestra la cantidad de agua en el tanque con el paso del tiempo?
Opciones
A. Gráfica A
B. Gráfica B
C. Gráfica C
D. Gráfica D
Pista
Convierte cada oración en un tramo de la gráfica, en orden: ¿dónde empieza, qué pasa primero, cuándo llega a 0?
Pregunta 24 de 36
Completar
The table shows part of a function g whose graph is symmetric about a vertical line.
x
0
1
2
3
4
5
6
g(x)
-5
0
3
4
3
0
-5
Assuming the pattern continues, what is g(7)?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the line of symmetry first. Which x-value is the mirror image of 7? Or look at how much g changes from column to column.
Solución paso a paso
Line of symmetry: the outputs mirror around x = 3 (g(2) = g(4) = 3, g(1) = g(5) = 0, g(0) = g(6) = -5). So the axis is x = 3, and the maximum is g(3) = 4.
Mirror of 7:7 is 4 units right of 3, so its mirror is 3 - 4 = -1. So g(7) = g(-1).
Use the pattern of changes going left from x = 3: 4 \to 3 \to 0 \to -5 — the drops are 1, 3, 5, so the next drop is 7:
g(-1) = -5 - 7 = -12
Going right gives the same: g(6) = -5, next drop 7 → g(7) = -12.
Tip: Symmetry lets you fill in missing values: points the same distance from the axis of symmetry have equal outputs.
Explicación
Eje de simetría: las salidas se reflejan alrededor de x = 3 (g(2) = g(4) = 3, g(1) = g(5) = 0, g(0) = g(6) = -5). Así que el eje es x = 3, y el máximo es g(3) = 4.
Reflejo de 7:7 está 4 unidades a la derecha de 3, así que su reflejo es 3 - 4 = -1. Entonces g(7) = g(-1).
Usa el patrón de los cambios yendo a la izquierda desde x = 3: 4 \to 3 \to 0 \to -5. Las bajadas son 1, 3, 5, así que la siguiente bajada es 7:
g(-1) = -5 - 7 = -12
Hacia la derecha da lo mismo: g(6) = -5, la siguiente bajada es 7 → g(7) = -12.
g(7) =-12.
Comprobación: La tabla coincide con g(x) = 4 - (x - 3)^2: g(7) = 4 - 4^2 = 4 - 16 = -12 ✓
Consejo: La simetría te permite completar valores que faltan: los puntos que están a la misma distancia del eje de simetría tienen salidas iguales.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra parte de una función g cuya gráfica es simétrica respecto a una recta vertical.
x
0
1
2
3
4
5
6
g(x)
-5
0
3
4
3
0
-5
Si el patrón continúa, ¿cuánto vale g(7)?
Pista
Primero halla el eje de simetría. ¿Qué valor de x es el reflejo de 7? O fíjate cuánto cambia g de una columna a otra.
Pregunta 25 de 36
For the function f(x) = -x^2 + 6x - 5, which statement is true?
Pista
Is the coefficient of x^2 positive or negative? That tells you whether there's a maximum or a minimum. Then find the x-value of the turning point.
Solución paso a paso
The coefficient of x^2 is -1 (negative), so the parabola opens downward and has a maximum, not a minimum.
The turning point is at
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3
The maximum value:
f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4
The true statement is "f has a maximum value of 4 at x = 3."
Check: Symmetry test: f(2) = -4 + 12 - 5 = 3 and f(4) = -16 + 24 - 5 = 3 — equal values on both sides of x = 3, both less than 4 ✓
Tip: Not on the formula sheet: the turning point of y = ax^2 + bx + c is at x = -\frac{b}{2a}. If a < 0 it's a maximum; if a > 0 it's a minimum. You can also make a quick table of values with the calculator.
Explicación
El coeficiente de x^2 es -1 (negativo), así que la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo, no un mínimo.
El punto de cambio está en
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3
El valor máximo:
f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4
La afirmación verdadera es "f tiene un valor máximo de 4 en x = 3."
Comprobación: Prueba de simetría: f(2) = -4 + 12 - 5 = 3 y f(4) = -16 + 24 - 5 = 3: valores iguales a ambos lados de x = 3, los dos menores que 4 ✓
Consejo: No está en la hoja de fórmulas: el punto de cambio de y = ax^2 + bx + c está en x = -\frac{b}{2a}. Si a < 0, es un máximo; si a > 0, es un mínimo. También puedes hacer una tabla rápida de valores con la calculadora.
Ver en español
Pregunta
Para la función f(x) = -x^2 + 6x - 5, ¿qué afirmación es verdadera?
Opciones
A.f tiene un valor mínimo de 4 en x = 3.
B.f tiene un valor máximo de 3 en x = 4.
C.f tiene un valor máximo de 4 en x = 3.
D.f tiene un valor máximo de -32 en x = -3.
Pista
¿El coeficiente de x^2 es positivo o negativo? Eso te dice si hay un máximo o un mínimo. Luego halla el valor de x del punto de cambio.
Pregunta 26 de 36
Completar
The function f(x) = -2x^2 - 12x + 1 is increasing for all x less than a certain number and decreasing for all x greater than it.
What is that number?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
A parabola changes direction at its vertex. Which way does this parabola open?
Solución paso a paso
a = -2 < 0, so the parabola opens down: it rises to a maximum, then falls.
It changes from increasing to decreasing at the vertex. Find the vertex's x-value with a = -2, b = -12:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(-2)} = \frac{12}{-4} = -3
So f is increasing for x < -3 and decreasing for x > -3.
The number is -3.
Check:f(-4) = -32 + 48 + 1 = 17, f(-3) = -18 + 36 + 1 = 19, f(-2) = -8 + 24 + 1 = 17. The values rise to 19 at x = -3, then fall ✓
Tip: Keep track of two negatives in -\frac{b}{2a}: here b = -12 makes the top +12, and a = -2 makes the bottom -4.
Explicación
a = -2 < 0, así que la parábola abre hacia abajo: sube hasta un máximo y luego baja.
Cambia de creciente a decreciente en el vértice. Encuentra el valor de x del vértice con a = -2, b = -12:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2(-2)} = \frac{12}{-4} = -3
Así que f es creciente para x < -3 y decreciente para x > -3.
El número es -3.
Comprobación:f(-4) = -32 + 48 + 1 = 17, f(-3) = -18 + 36 + 1 = 19, f(-2) = -8 + 24 + 1 = 17. Los valores suben hasta 19 en x = -3 y luego bajan ✓
Consejo: Cuida los dos negativos en -\frac{b}{2a}: aquí b = -12 hace que arriba quede +12, y a = -2 hace que abajo quede -4.
Ver en español
Pregunta
La función f(x) = -2x^2 - 12x + 1 es creciente para todos los valores de x menores que cierto número y decreciente para todos los valores de x mayores que ese número.
¿Cuál es ese número?
Pista
Una parábola cambia de dirección en su vértice. ¿Hacia dónde abre esta parábola?
Pregunta 27 de 36
Sin calculadora
The graph shows the speed of a delivery van during a short trip.
Van speed graph through (0, 0), (2, 30), (6, 30) and (7, 0)
What is happening between minute 2 and minute 6?
Pista
Check what the vertical axis measures. A flat piece means that quantity is not changing.
Solución paso a paso
The vertical axis is speed, not distance.
From t = 2 to t = 6 the graph is horizontal at 30: the speed stays at 30 mi/h.
A constant speed of 30 mi/h means the van is moving steadily, not stopped. (It is stopped only where the speed is 0, at t = 0 and t = 7.)
For comparison: from t = 0 to t = 2 the speed increases (speeding up); from t = 6 to t = 7 it decreases (slowing to a stop).
Answer: The van travels at a constant speed of 30 miles per hour.
Check: In 4 minutes at 30 mi/h, the van covers 30 \times \frac{4}{60} = 2 miles — so it is definitely moving ✓
Tip: A flat piece means "not changing" for whatever the vertical axis measures. Flat on a distance graph = stopped; flat on a speed graph = steady speed.
Explicación
El eje vertical es la rapidez (speed), no la distancia.
De t = 2 a t = 6 la gráfica es horizontal en 30: la rapidez se mantiene en 30 mi/h.
Una rapidez constante de 30 mi/h significa que la camioneta se mueve de forma constante, no que está detenida. (Solo está detenida donde la rapidez es 0, en t = 0 y t = 7.)
Para comparar: de t = 0 a t = 2 la rapidez aumenta (acelera); de t = 6 a t = 7 disminuye (frena hasta detenerse).
Respuesta: La camioneta viaja a una rapidez constante de 30 millas por hora.
Comprobación: En 4 minutos a 30 mi/h, la camioneta recorre 30 \times \frac{4}{60} = 2 millas, así que definitivamente se está moviendo ✓
Consejo: Un tramo plano significa "no cambia" para lo que mida el eje vertical. Plano en una gráfica de distancia = detenido; plano en una gráfica de rapidez = rapidez constante.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra la rapidez de una camioneta de reparto durante un viaje corto.
¿Qué pasa entre el minuto 2 y el minuto 6?
Opciones
A. La camioneta está detenida.
B. La camioneta está acelerando.
C. La camioneta viaja a una rapidez constante de 30 millas por hora.
D. La camioneta recorre 30 millas.
Pista
Revisa qué mide el eje vertical. Un tramo plano significa que esa cantidad no está cambiando.
Pregunta 28 de 36
Completar
The table shows the number of users of a new phone app, in thousands, several months after launch.
Months after launch
0
2
5
9
Users (thousands)
12
18
33
46
What is the average rate of change in users from month 2 to month 9, in thousands of users per month?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Average rate of change = (change in users) ÷ (change in months). Use only the two months named in the question.
Solución paso a paso
Use the values at month 2 and month 9: (2,\ 18) and (9,\ 46).
Change in users: 46 - 18 = 28 thousand.
Change in time: 9 - 2 = 7 months.
Average rate of change:
\frac{46 - 18}{9 - 2} = \frac{28}{7} = 4
The app gained on average 4 thousand users per month.
Check: Starting at 18 thousand and adding 4 thousand for each of 7 months: 18 + 7 \times 4 = 46 ✓
Tip: The months are not evenly spaced in this table, so do not divide by the number of columns. Divide by the actual change in months (here 7).
Explicación
Usa los valores del mes 2 y del mes 9: (2,\ 18) y (9,\ 46).
La aplicación ganó en promedio 4 mil usuarios por mes.
Comprobación: Empezando en 18 mil y sumando 4 mil en cada uno de los 7 meses: 18 + 7 \times 4 = 46 ✓
Consejo: En esta tabla los meses no están igualmente espaciados, así que no dividas entre el número de columnas. Divide entre el cambio real en meses (aquí 7).
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra el número de usuarios de una nueva aplicación de teléfono, en miles, varios meses después de su lanzamiento.
Meses después del lanzamiento
0
2
5
9
Usuarios (miles)
12
18
33
46
¿Cuál es la tasa de cambio promedio de usuarios del mes 2 al mes 9, en miles de usuarios por mes?
Pista
Tasa de cambio promedio = (cambio en usuarios) ÷ (cambio en meses). Usa solo los dos meses que menciona la pregunta.
Pregunta 29 de 36
The graph of f is shown. A second function is g(x) = -x^2 + 2x + 15.
Downward parabola f with intercepts (−4, 0), (2, 0), (0, 8) and maximum (−1, 9)
Which statement is true?
Pista
Find the maximum, the y-intercept and the x-intercepts of g (factor or use the vertex formula). Then compare with what you read from the graph of f.
Solución paso a paso
From the graph of f: maximum (-1,\ 9), y-intercept 8, x-intercepts -4 and 2.
For g(x) = -x^2 + 2x + 15:
Vertex:x = -\frac{2}{2(-1)} = 1, and g(1) = -1 + 2 + 15 = 16. Maximum (1,\ 16).
y-intercept:g(0) = 15.
x-intercepts:-x^2 + 2x + 15 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 3) = 0, so x = 5 or x = -3.
Compare:
Maximum: 16 > 9, so g has the greater maximum ✓
y-intercept: 15 > 8, so f does not have the greater y-intercept.
g crosses at -3 and 5, not 3 and -5.
The maxima occur at x = -1 (for f) and x = 1 (for g) — different.
Consejo: A partir de los factores (x - 5)(x + 3), los ceros tienen los signos opuestos: x = 5 y x = -3.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de f. Una segunda función es g(x) = -x^2 + 2x + 15.
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A.f tiene una intersección con el eje y mayor que la de g.
B. La gráfica de g cruza el eje x en x = 3 y x = -5.
C.f y g llegan a su máximo en el mismo valor de x.
D.g tiene un valor máximo mayor que el de f.
Pista
Halla el máximo, la intersección con el eje y y las intersecciones con el eje x de g (factoriza o usa la fórmula del vértice). Luego compáralos con lo que lees en la gráfica de f.
Pregunta 30 de 36
Sin calculadora
The graph of f is shown. Assume it continues in the same way beyond the grid.
Cubic curve falling from upper left to lower right
Which statement describes the end behavior of f?
Pista
Look at each end separately: the far left end, then the far right end. Which way is each one heading?
Solución paso a paso
Right end ("as x increases without bound"): after the last x-intercept at (3, 0), the curve heads down toward the lower right. So f(x) decreases without bound.
Left end ("as x decreases without bound"): before (-2, 0), the curve comes down from the upper left. Traced to the left, it rises higher and higher. So f(x) increases without bound.
The bumps in the middle (the turning points) do not affect end behavior.
Answer: As x increases without bound, f(x) decreases without bound; as x decreases without bound, f(x) increases without bound.
Check: The curve has zeros -2, 1, 3 and y-intercept -3, which fits f(x) = -\tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3). Its leading term -\tfrac{1}{2}x^3 is negative for large positive x and positive for large negative x ✓
Tip: Describe each end by tracing outward from the middle of the graph. "Comes down from the upper left" means that, going left, the graph goes up.
Explicación
Extremo derecho ("cuando x aumenta sin límite"): después de la última intersección con el eje x en (3, 0), la curva va hacia abajo a la derecha. Así que f(x) disminuye sin límite.
Extremo izquierdo ("cuando x disminuye sin límite"): antes de (-2, 0), la curva baja desde arriba a la izquierda. Si la sigues hacia la izquierda, sube cada vez más. Así que f(x) aumenta sin límite.
Las curvas del centro (los puntos de giro) no afectan el comportamiento en los extremos.
Respuesta: Cuando x aumenta sin límite, f(x) disminuye sin límite; cuando x disminuye sin límite, f(x) aumenta sin límite.
Comprobación: La curva tiene ceros en -2, 1, 3 e intersección con el eje y en -3, lo que coincide con f(x) = -\tfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3). Su término principal -\tfrac{1}{2}x^3 es negativo para x positivos grandes y positivo para x negativos grandes ✓
Consejo: Describe cada extremo siguiendo la gráfica hacia afuera desde el centro. "Baja desde arriba a la izquierda" significa que, hacia la izquierda, la gráfica sube.
Ver en español
Pregunta
Se muestra la gráfica de f. Supón que continúa de la misma manera más allá de la cuadrícula.
¿Qué afirmación describe el comportamiento de f en los extremos?
Opciones
A. Cuando x aumenta sin límite, f(x) disminuye sin límite; cuando x disminuye sin límite, f(x) aumenta sin límite.
B. Cuando x aumenta sin límite, f(x) aumenta sin límite; cuando x disminuye sin límite, f(x) disminuye sin límite.
C. Cuando x aumenta o disminuye sin límite, f(x) aumenta sin límite.
D. Cuando x aumenta o disminuye sin límite, f(x) se acerca a 0.
Pista
Mira cada extremo por separado: primero el extremo izquierdo y luego el extremo derecho. ¿Hacia dónde va cada uno?
Pregunta 31 de 36
Completar
Use the Ferris wheel graph again. The ride keeps turning in the same pattern.
Ferris wheel seat height wave
What is the height of the seat, in feet, 36 minutes after boarding?
feet
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the period first. How many full cycles fit into 36 minutes, and how many minutes are left over?
Solución paso a paso
Period: the seat is lowest at t = 0, 8, 16, \dots, so the period is 8 minutes.
Consejo: Una salida negativa en un contexto de dinero significa una pérdida. Lee las coordenadas en orden (entrada, salida) y agrega las unidades de cada eje.
Ver en español
Pregunta
Usa otra vez la gráfica de la ganancia del teatro.
¿Qué te dice el punto (0,\ -700)?
Opciones
A. El teatro debe cobrar $700 por boleto para no perder ni ganar.
B. Si los boletos fueran gratis, el teatro ganaría $700 por día.
C. Si los boletos fueran gratis, el teatro perdería $700 por día.
D. El teatro obtiene su mayor ganancia cuando los boletos son gratis.
Pista
Traduce cada coordenada: el primer número es un precio de boleto y el segundo es una ganancia diaria. ¿Qué significa una ganancia negativa?
Pregunta 33 de 36
Ball A's height is shown in the graph. Ball B is thrown from the ground and its height in feet after t seconds is h = -16t^2 + 80t.
Ball A height vs time
Which statement correctly compares the maximum heights?
Pista
Read Ball A's maximum from the graph. For Ball B, the maximum is halfway between the times it is on the ground (h = 0).
Solución paso a paso
Ball A (graph): the top of the curve is at (2,\ 64), so its maximum height is 64 ft.
Ball B (equation): find when h = 0:
-16t^2 + 80t = 0 \Rightarrow -16t(t - 5) = 0 \Rightarrow t = 0 \text{ or } t = 5
By symmetry, the maximum is halfway: t = \frac{0 + 5}{2} = 2.5 s.
h(2.5) = -16(2.5)^2 + 80(2.5) = -16(6.25) + 200 = -100 + 200 = 100
Consejo: Para comparar una característica entre dos representaciones, calcula la misma característica (la altura máxima) en cada una y luego compara los números.
Ver en español
Pregunta
La altura de la pelota A se muestra en la gráfica. La pelota B se lanza desde el suelo y su altura en pies después de t segundos es h = -16t^2 + 80t.
¿Qué afirmación compara correctamente las alturas máximas?
Opciones
A. La pelota B sube más alto, por 36 pies.
B. La pelota B sube más alto, por 16 pies.
C. La pelota A sube más alto, por 0.5 pie.
D. Las dos pelotas llegan a la misma altura máxima.
Pista
Lee el máximo de la pelota A en la gráfica. Para la pelota B, el máximo está a la mitad entre los momentos en que está en el suelo (h = 0).
Pregunta 34 de 36
A model rocket is launched from a platform. Its height h, in feet, after t seconds is
h = -16t^2 + 96t + 4
Which statement about the rocket's maximum height is true?
Pista
The maximum is at the vertex: t = -\frac{b}{2a}. Then substitute that time into the whole equation — every term.
Solución paso a paso
a = -16, b = 96, c = 4. Since a < 0, the graph opens down and has a maximum.
Time of maximum:t = -\frac{b}{2a} = -\frac{96}{2(-16)} = \frac{96}{32} = 3 \text{ seconds}
Respuesta: El cohete alcanza una altura máxima de 148 pies después de 3 segundos.
Comprobación: Un segundo antes y un segundo después dan la misma altura, menor (simetría): h(2) = -64 + 192 + 4 = 132 y h(4) = -256 + 384 + 4 = 132 ✓
Consejo: Eleva al cuadrado primero y luego multiplica por -16: -16(3)^2 = -16 \cdot 9 = -144. Y no olvides el "+4": es la altura de la plataforma y forma parte de toda altura.
Ver en español
Pregunta
Se lanza un cohete a escala desde una plataforma. Su altura h, en pies, después de t segundos es
h = -16t^2 + 96t + 4
¿Qué afirmación sobre la altura máxima del cohete es verdadera?
Opciones
A. La altura máxima es de 144 pies, y se alcanza después de 3 segundos.
B. La altura máxima es de 148 pies, y se alcanza después de 3 segundos.
C. La altura máxima se alcanza después de 6 segundos.
D. La altura máxima es de 436 pies, y se alcanza después de 3 segundos.
Pista
El máximo está en el vértice: t = -\frac{b}{2a}. Luego sustituye ese tiempo en toda la ecuación, en cada término.
Pregunta 35 de 36
Sin calculadora
A function f has all of these features:
Its only x-intercept is (2,\ 0).
Its y-intercept is (0,\ -4).
As x increases without bound, f(x) increases without bound; as x decreases without bound, f(x) decreases without bound.
Which graph could be the graph of f?
Four graphs labeled A to D
Pista
Check all three features for every graph. Several graphs match one or two features — only one matches all of them.
Solución paso a paso
Check each graph against all three features:
Graph
Only x-intercept 2?
y-intercept -4?
Left end down, right end up?
A
✓
✓
✓
B
✓
✗ (it is +4)
✗ (left up, right down)
C
✗ (also -2)
✓
✗ (both ends up)
D
✗ (it is -2)
✗ (it is +4)
✓
Only Graph A has every feature.
Check: Graph A matches f(x) = \tfrac{1}{2}(x - 2)^3: f(2) = 0 ✓, f(0) = \tfrac{1}{2}(-8) = -4 ✓, and it rises from lower left to upper right ✓
Tip: A table like the one above is a fast, reliable way to handle "which graph has all these features" — the GED often builds each wrong choice to match all but one feature.
Explicación
Compara cada gráfica con las tres características:
Gráfica
¿Única intersección con el eje x en 2?
¿Intersección con el eje y en -4?
¿Extremo izquierdo abajo, derecho arriba?
A
✓
✓
✓
B
✓
✗ (es +4)
✗ (izquierdo arriba, derecho abajo)
C
✗ (también -2)
✓
✗ (los dos extremos arriba)
D
✗ (es -2)
✗ (es +4)
✓
Solo la Gráfica A tiene todas las características.
Comprobación: La Gráfica A coincide con f(x) = \tfrac{1}{2}(x - 2)^3: f(2) = 0 ✓, f(0) = \tfrac{1}{2}(-8) = -4 ✓, y sube de abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha ✓
Consejo: Una tabla como la de arriba es una forma rápida y confiable de resolver preguntas de "qué gráfica tiene todas estas características": en el GED® muchas opciones incorrectas cumplen todas las características menos una.
Ver en español
Pregunta
Una función f tiene todas estas características:
Su única intersección con el eje x es (2,\ 0).
Su intersección con el eje y es (0,\ -4).
Cuando x aumenta sin límite, f(x) aumenta sin límite; cuando x disminuye sin límite, f(x) disminuye sin límite.
¿Qué gráfica podría ser la gráfica de f?
Opciones
A. Gráfica A
B. Gráfica B
C. Gráfica C
D. Gráfica D
Pista
Revisa las tres características en cada gráfica. Varias gráficas cumplen una o dos características; solo una las cumple todas.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadoraVarias respuestas
The graph of a function g is shown for -6 \le x \le 6.
