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Cómo escribir la ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto

Usa una pendiente y un punto para escribir la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente y en la forma pendiente-intersección.

Practicar esta destreza 25 min Recta a partir de la pendiente y un punto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una línea recta queda totalmente definida por dos datos: qué tan inclinada es (su pendiente) y un punto por donde pasa. En esta lección vas a convertir esos dos datos en una ecuación.

Vas a aprender a:

  • escribir una recta en la forma pendiente-intersección, y = mx + b;
  • escribir una recta en la forma punto-pendiente, y - y_1 = m(x - x_1);
  • pasar de la forma punto-pendiente a la forma pendiente-intersección;
  • armar una ecuación a partir de una situación de la vida real, como "$60 por hora más un cargo".

Por qué es importante en el GED®: El examen muchas veces dice algo como "Una recta tiene pendiente -2 y pasa por (-1, 4). ¿Qué ecuación representa la recta?". También esconde la misma pregunta en problemas verbales sobre planes de teléfono, tarifas de taxi, ahorros o un tanque que se vacía. Las dos formas de la recta están en la hoja de fórmulas del GED®, así que la verdadera destreza es saber cómo usarlas sin errores de signos.

Vida real: Siempre que algo cambia a una tasa constante (dólares por hora, millas por galón, galones por minuto), la ecuación de una recta te permite predecir el futuro: "¿Cuánto costará un trabajo de 7 horas?" o "¿Cuándo se acabará el saldo de mi tarjeta de regalo?".

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Par ordenado / punto: una ubicación escrita (x, y): primero te mueves a la izquierda/derecha y luego arriba/abajo. Ejemplo: (3, -2) es 3 a la derecha y 2 hacia abajo.
  • Ecuación lineal: una ecuación cuya gráfica es una línea recta. Ejemplo: y = 2x + 1.
  • Pendiente (m): qué tan inclinada es una recta: el cambio en y por cada 1 unidad de cambio en x, o \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} (rise/run). Ejemplo: pendiente 3 significa "sube 3 por cada 1 a la derecha".
  • Tasa de cambio: la pendiente en un problema verbal, como $60 por hora o -15 galones por minuto.
  • Intersección con el eje y (b): donde la recta cruza el eje y (y-axis); el punto (0, b). Ejemplo: y = 2x + 5 cruza en (0, 5).
  • Valor inicial: la intersección con el eje y en un problema verbal: la cantidad cuando x = 0, como un cargo fijo.
  • Intersección con el eje x: donde la recta cruza el eje x (x-axis); se encuentra haciendo y = 0.
  • Forma pendiente-intersección: y = mx + b. Ejemplo: y = -4x + 7 tiene m = -4, b = 7.
  • Forma punto-pendiente: y - y_1 = m(x - x_1), donde (x_1, y_1) es un punto conocido. Ejemplo: y - 3 = 5(x - 2).
  • Aplicar la propiedad distributiva: multiplicar el número de afuera de los paréntesis por cada término de adentro. Ejemplo: -2(x + 1) = -2x - 2.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Forma pendiente-intersección: y = mx + b

La forma más común de escribir una recta es

y = mx + b
  • m es la pendiente: el número que multiplica a x.
  • b es la intersección con el eje y: el número que se suma solo.

Regla 1: Si conoces la pendiente y la intersección con el eje y, solo sustituye.

Ejemplo: pendiente 4, intersección con el eje y -3 → y = 4x - 3.

Ejemplo: pendiente -\tfrac{1}{2}, cruza el eje y en (0, 6) → y = -\tfrac{1}{2}x + 6.

Regla 2: Fíjate en el signo de b. Un signo de menos delante de la constante es parte de b.

Ecuaciónmb
y = 3x + 535
y = 3x - 53-5
y = -x + 2-12
y = \tfrac{2}{3}x\tfrac{2}{3}0
y = 707

Regla 3: Rectas especiales.

  • Pendiente 0 significa una recta horizontal: y = b. Ejemplo: pendiente 0 que pasa por (4, 7) → y = 7.
  • Una recta vertical tiene pendiente indefinida y no se puede escribir como y = mx + b. Si pasa por (4, 7), es x = 4.

Un punto (x, y) está en una recta exactamente cuando sus números hacen verdadera la ecuación. ¿Está (2, 5) en y = 4x - 3? 4(2) - 3 = 5 ✓ Sí. Esta prueba de "sustituir el punto" es tu mejor herramienta para comprobar.

Coordinate plane with the line y = 4x - 3. The y-intercept (0, -3) is marked. A green slope triangle goes right 1 and up 4 from (0, -3) to (1, 1), showing slope 4. The point (2, 5) is marked on the line, because 4(2) - 3 = 5.−3−2−12345−2−1123456780xyright 1up 4(0, −3)(2, 5)y = 4x − 3
Gráfica de y = 4x − 3 con el triángulo de la pendiente y el punto (2, 5)
Coordinate plane from -5 to 5 on both axes showing the line y = (2/3)x + 1. The points (-3, -1), (0, 1) and (3, 3) are marked on the line; it crosses the y-axis at (0, 1). A dashed slope triangle goes from (0, 1) right 3 units (run = 3) to (3, 1), then up 2 units (rise = 2) to (3, 3).-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-1123450xyy = (2/3)x + 1run = 3rise = 2(-3, -1)(0, 1)(3, 3)

La recta y = \tfrac{2}{3}x + 1. Desde la intersección con el eje y, (0, 1), ve 3 a la derecha y 2 hacia arriba para llegar a otro punto, (3, 3). El punto (-3, -1) está en la misma recta: \tfrac{2}{3}(-3) + 1 = -2 + 1 = -1 ✓

Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁)

Muchas veces el GED® te da la pendiente y un punto que no es la intersección con el eje y. La forma punto-pendiente sirve directamente para eso:

y - y_1 = m(x - x_1)

Aquí (x_1, y_1) es el punto conocido y m es la pendiente. Las letras x e y se quedan como letras.

Regla 4: Pon los números del punto con signos de MENOS.

Ejemplo: pendiente 5 que pasa por (2, 3) → y - 3 = 5(x - 2).

Regla 5: Una coordenada negativa convierte el menos en más. Restar un negativo es sumar.

PendientePuntoForma punto-pendiente
2(4, 1)y - 1 = 2(x - 4)
-3(-2, 5)y - 5 = -3(x + 2)
\tfrac{1}{2}(6, -4)y + 4 = \tfrac{1}{2}(x - 6)
-\tfrac{3}{4}(-8, -1)y + 1 = -\tfrac{3}{4}(x + 8)

Leerla al revés: En y + 4 = \tfrac{1}{2}(x - 6), el punto es (6, -4): cambia los dos signos que ves. La pendiente es el número delante de los paréntesis, \tfrac{1}{2}.

Coordinate plane with the line y + 4 = (1/2)(x - 6). The known point (6, -4) is marked as (x1, y1). A green slope triangle goes right 2 and up 1 from (6, -4) to (8, -3), showing slope 1/2.−112345678910−8−6−5−4−3−2−1120xyright 2up 1(6, −4)y + 4 = ½(x − 6)
Gráfica de y + 4 = ½(x − 6) que pasa por (6, −4) con el triángulo de la pendiente

Distintos puntos de la misma recta dan ecuaciones punto-pendiente que se ven diferentes pero son la misma recta. La forma pendiente-intersección se ve igual sin importar de qué punto empieces.

Cómo llegar a y = mx + b: dos métodos

Método A: Sustituir y despejar b (normalmente el más rápido)

  1. Escribe y = mx + b con la pendiente conocida.
  2. Sustituye la x y la y del punto.
  3. Despeja b.
  4. Escribe la ecuación final con m y b.

Ejemplo: pendiente 3, punto (2, 7).

7 = 3(2) + b \;\Rightarrow\; 7 = 6 + b \;\Rightarrow\; b = 1

Entonces y = 3x + 1.

Método B: Empezar con la forma punto-pendiente y simplificar

  1. Escribe y - y_1 = m(x - x_1).
  2. Distribuye m a los dos términos de los paréntesis.
  3. Pasa y_1 al lado derecho (súmalo o réstalo).

Ejemplo: pendiente -2, punto (-1, 4).

y - 4 = -2(x + 1) y - 4 = -2x - 2 y = -2x + 2

El Método A en el mismo problema: 4 = -2(-1) + b = 2 + b, así que b = 2 ✓ La misma respuesta.

Coordinate plane with the line y = -2x + 2, slope -2 through (-1, 4). A green slope triangle goes right 1 and down 2 from (-1, 4) to (0, 2), which is the y-intercept, so b = 2.−3−2−1234−4−3−2−115670xyright 1down 2(−1, 4)(0, 2), b = 2y = −2x + 2
Gráfica de y = −2x + 2 que pasa por (−1, 4) con el triángulo de la pendiente

Fracciones: pendiente \tfrac{2}{3}, punto (-6, 2). Método A: 2 = \tfrac{2}{3}(-6) + b = -4 + b, así que b = 6 e y = \tfrac{2}{3}x + 6. Si la x es múltiplo del denominador, las cuentas dan números enteros.

Cómo encontrar otros datos una vez que tienes la ecuación:

  • Intersección con el eje x: haz y = 0 y resuelve. Para y = 3x - 6: 0 = 3x - 6, así que x = 2; el punto es (2, 0).
  • Coordenada que falta: si (k, 10) está en y = 3x + 1, entonces 10 = 3k + 1, así que k = 3.

Problemas verbales: tasa = pendiente, una situación conocida = punto

En una situación, busca dos cosas:

  1. La tasa (las palabras por, cada) → eso es m. Si la cantidad baja (se vacía, se gasta, se pierde), m es negativa.
  2. Una situación completa: una entrada junto con su salida, como "un trabajo de 3 horas cuesta $230" → eso es un punto (x, y) = (3, 230).

Luego encuentra b igual que antes. En contexto, b es el valor inicial: un cargo fijo, un cargo de inscripción, la cantidad en un tanque en el tiempo 0.

Ejemplo: Un plomero cobra $60 por hora más un cargo fijo. Un trabajo de 3 horas cuesta $230.

  • m = 60, punto (3, 230).
  • 230 = 60(3) + b = 180 + b, así que b = 50.
  • Costo: C = 60h + 50. El cargo fijo es de $50.

Gran trampa: el total ($230) no es el cargo. El cargo es lo que queda después de quitar la parte por hora.

Ejemplo de disminución: Un tanque se vacía a 15 galones por minuto y tiene 380 galones después de 8 minutos. Entonces m = -15 y 380 = -15(8) + b = -120 + b, así que b = 500: el tanque empezó con 500 galones, y W = -15t + 500.

Siempre nombra tus variables con unidades ("h = horas, C = dólares") para poner los números correctos en los lugares correctos.

Fórmula

Las fórmulas (las dos están en la hoja de fórmulas del GED®)

y = mx + b \qquad\qquad y - y_1 = m(x - x_1)
  • x, y: las variables (se quedan como letras en la ecuación final)
  • m: la pendiente (tasa de cambio)
  • b: la intersección con el eje y (el valor de y cuando x = 0)
  • (x_1, y_1): un punto específico de la recta

Tanto la forma pendiente-intersección como la forma punto-pendiente están en la hoja de fórmulas del GED®, junto con la fórmula de la pendiente m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. No necesitas memorizarlas, pero sí tienes que memorizar cómo usarlas: sustituye el punto y despeja b. Un atajo útil que sale del Método A es b = y_1 - m x_1.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): pendiente 5 que pasa por (2, 3)

Problema: Escribe la ecuación de la recta con pendiente 5 que pasa por (2, 3) en la forma punto-pendiente y en la forma pendiente-intersección.

  1. Forma punto-pendiente: pon m = 5, x_1 = 2, y_1 = 3 en y - y_1 = m(x - x_1): y - 3 = 5(x - 2)
  2. Aplica la propiedad distributiva: y - 3 = 5x - 10.
  3. Suma 3 en ambos lados: y = 5x - 7.
Coordinate plane with the line y = 5x - 7, slope 5 through (2, 3). A green slope triangle goes right 1 and up 5 from (2, 3) to (3, 8). The line crosses the y-axis at (0, -7).−2−1123456−6−5−4−3−2−1124567890xyright 1up 5(2, 3)(0, −7)y = 5x − 7
Gráfica de y = 5x − 7 que pasa por (2, 3) con el triángulo de la pendiente

Respuesta: y - 3 = 5(x - 2), o y = 5x - 7.

Comprobación: Sustituye x = 2 en y = 5x - 7: 5(2) - 7 = 3 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (intermedio): una pendiente con fracción y un punto negativo

Problema: Una recta tiene pendiente -\tfrac{2}{3} y pasa por (-6, 1). Escribe su ecuación en la forma pendiente-intersección.

  1. Empieza con y = mx + b: y = -\tfrac{2}{3}x + b.
  2. Sustituye x = -6, y = 1: 1 = -\tfrac{2}{3}(-6) + b
  3. Multiplica: -\tfrac{2}{3} \times (-6) = +4 (negativo por negativo da positivo). Así que 1 = 4 + b.
  4. Resta 4: b = 1 - 4 = -3.
Coordinate plane with the line y = -(2/3)x - 3, slope -2/3 through (-6, 1). A green slope triangle goes right 3 and down 2 from (-6, 1) to (-3, -1), and the line crosses the y-axis at (0, -3).−8−7−6−5123−6−5−4−2−11230xyright 3down 2(−6, 1)(0, −3)y = −⅔x − 3
Gráfica de y = −⅔x − 3 que pasa por (−6, 1) con el triángulo de la pendiente

Respuesta: y = -\tfrac{2}{3}x - 3

Comprobación: -\tfrac{2}{3}(-6) - 3 = 4 - 3 = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): la cuenta de un electricista

Problema: Un electricista cobra $75 por hora más un cargo fijo por la visita. Un trabajo de 4 horas cuesta $345. Escribe una ecuación para el costo C de un trabajo de h horas y encuentra el costo de un trabajo de 6 horas.

  1. Tasa → pendiente: m = 75.
  2. Situación conocida → punto: (h, C) = (4, 345).
  3. Sustituye en C = 75h + b: 345 = 75(4) + b = 300 + b.
  4. Resuelve: b = 345 - 300 = 45. El cargo por la visita es de $45.
  5. Ecuación: C = 75h + 45.
  6. Trabajo de 6 horas: C = 75(6) + 45 = 450 + 45 = 495.
Graph of the electrician cost C = 75h + 45, hours on the horizontal axis from 0 to 7 and cost in dollars from 0 to 600. The line starts at the trip fee (0, 45) and passes through (4, 345) and (6, 495). A green slope triangle from (4, 345) to (6, 495) shows 2 more hours add 150 dollars, which is 75 dollars per hour.012345670100200300400500600Hours, hCost, C (dollars)2 hours+$150trip fee $45(4, 345)(6, 495)C = 75h + 45
Gráfica de C = 75h + 45 que pasa por (4, 345) y (6, 495)

Respuesta: C = 75h + 45; un trabajo de 6 horas cuesta $495.

Comprobación: 4 horas: 75(4) + 45 = 345 ✓ coincide con la situación.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal, disminución): una tarjeta de regalo

Problema: María gasta $15 a la semana de una tarjeta de regalo. Después de 4 semanas le quedan $90. Escribe una ecuación para el saldo B después de w semanas. ¿Después de cuántas semanas quedará vacía la tarjeta?

  1. El dinero baja cada semana, así que m = -15.
  2. Punto: (w, B) = (4, 90).
  3. Sustituye: 90 = -15(4) + b = -60 + b.
  4. Resuelve: b = 90 + 60 = 150. La tarjeta empezó con $150.
  5. Ecuación: B = -15w + 150.
  6. Vacía significa B = 0: 0 = -15w + 150 \Rightarrow 15w = 150 \Rightarrow w = 10.
Graph of the gift card balance B = -15w + 150, weeks from 0 to 11 across and dollars from 0 to 160 up. The line starts at (0, 150), passes through (4, 90), and reaches 0 at (10, 0) when the card is empty. A green slope triangle from (0, 150) to (4, 90) shows 4 weeks take away 60 dollars, which is -15 dollars per week.012345678911020406080100120140160Weeks, wBalance, B (dollars)4 weeks−$60(4, 90)empty:(10, 0)B = −15w + 150
Gráfica de B = −15w + 150 desde (0, 150), pasando por (4, 90), hasta (10, 0)

Respuesta: B = -15w + 150; la tarjeta queda vacía después de 10 semanas.

Comprobación: 150 - 15 \times 10 = 0 ✓, y 150 - 15 \times 4 = 90 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil, trabajar al revés): encuentra la coordenada que falta

Problema: Una recta con pendiente \tfrac{3}{4} pasa por (8, -1). También pasa por (k, 5). Encuentra k.

  1. Encuentra b: -1 = \tfrac{3}{4}(8) + b = 6 + b, así que b = -7.
  2. Ecuación: y = \tfrac{3}{4}x - 7.
  3. Sustituye el segundo punto, y = 5, x = k: 5 = \tfrac{3}{4}k - 7.
  4. Suma 7: 12 = \tfrac{3}{4}k.
  5. Multiplica ambos lados por \tfrac{4}{3}: k = 12 \times \tfrac{4}{3} = 16.
Coordinate plane with the line y = (3/4)x - 7 through (8, -1) and (16, 5). A green slope triangle goes right 8 and up 6 from (8, -1) to (16, 5): 6/8 = 3/4. The line crosses the y-axis at (0, -7), and the second point gives k = 16.24618−6−4−22460xyright 8up 6(8, −1)(k, 5) = (16, 5)(0, −7)y = ¾x − 7
Gráfica de y = ¾x − 7 que pasa por (8, −1) y (16, 5)

Respuesta: k = 16

Comprobación: Pendiente de (8, -1) a (16, 5): \dfrac{5 - (-1)}{16 - 8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

Casi toda esta destreza es aritmética mental rápida, pero la calculadora ayuda cuando los números son decimales, fracciones o negativos.

  • Encuentra b en una línea con el atajo b = y_1 - m \cdot x_1. Para pendiente -2 que pasa por (-1, 4), escribe 4 − ( (−) 2 ) ( (−) 1 ) enter → 2. Usa la tecla gris (−) para un número negativo y la tecla − para restar: si las confundes, puedes obtener un error de sintaxis o una respuesta incorrecta.
  • Siempre pon un número negativo entre paréntesis cuando multipliques por él.
  • Fracciones: usa la tecla n/d para escribir una pendiente como \tfrac{2}{3}. Si la respuesta aparece como decimal y quieres una fracción (o al revés), presiona toggle.
  • Problemas verbales con dinero: $0.35 por milla, 120 millas, total $56.50 → b = 56.50 - 0.35 \times 120 = 14.50.

Cuándo NO usarla: escribir la forma punto-pendiente no necesita ninguna cuenta, solo cuidado con los signos. Y para problemas con números enteros como 7 = 3(2) + b, calcular mentalmente es más rápido que teclear.

Error común

Errores comunes

  • Usar el valor de y del punto como b. La pendiente 3 que pasa por (2, 7) no es y = 3x + 7. La intersección con el eje y es solo el punto donde x = 0. Correcto: 7 = 6 + b, así que y = 3x + 1.
  • Errores de signo con coordenadas negativas. Por (-2, 5): incorrecto y - 5 = m(x - 2); correcto y - 5 = m(x + 2), porque x - (-2) = x + 2.
  • Distribuir solo al primer término. Incorrecto: -2(x + 1) = -2x + 1. Correcto: -2(x + 1) = -2x - 2.
  • Negativo por negativo. En 1 = -\tfrac{2}{3}(-6) + b, el producto es +4, no -4. Si obtienes -4, te da b = 5 en vez de -3.
  • Intercambiar x y y. El punto (3, 5) significa x_1 = 3, y_1 = 5. Incorrecto: y - 3 = 2(x - 5). Correcto: y - 5 = 2(x - 3).
  • Problemas verbales: tomar el total como el cargo. "3 horas cuestan $230 a $60/hora" → el cargo es 230 - 180 = 50, no $230. Además, una cantidad que disminuye necesita una pendiente negativa.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Elimina primero por la pendiente. Te dan la pendiente: descarta cualquier respuesta con un número diferente delante de x (¡fíjate en el signo!). Normalmente desaparecen dos opciones de inmediato.
  • Luego sustituye el punto. Pon el punto dado en cada opción que queda. Solo la recta correcta da una afirmación verdadera. Esto funciona con las dos formas y toma segundos.
  • Usa la forma que piden. Si todas las opciones están en forma punto-pendiente, no pierdas tiempo convirtiéndolas: solo revisa la pendiente y los signos del punto.
  • Lee el problema verbal dos veces. Encierra en un círculo la tasa ("por hora") y la situación completa ("4 horas cuestan $345"). Pregúntate: ¿la cantidad sube o baja?
  • Revisa que tenga sentido. Un cargo fijo debe ser menor que el total; la cantidad inicial de un tanque que se vacía debe ser mayor que las cantidades posteriores.
  • Administra tu tiempo: más o menos 1–2 minutos por pregunta.

Compruébalo

Recta a partir de la pendiente y un punto

A line has a slope of 4 and passes through the point (0, -3).

Which equation represents the line?

Opciones de respuesta
Pista

The point (0, -3) is where the line crosses the y-axis. Which letter in y = mx + b stands for that?

Ver en español

Pregunta

Una recta tiene pendiente 4 y pasa por el punto (0, -3).

¿Qué ecuación representa la recta?

Opciones

  • A. y = -3x + 4
  • B. y = 4x + 3
  • C. y = -4x - 3
  • D. y = 4x - 3
Pista

El punto (0, -3) es donde la recta cruza el eje y. ¿Qué letra de y = mx + b representa eso?

Compruébalo

Recta a partir de la pendiente y un punto

A line has a slope of 2 and passes through the point (3, 5).

Which equation represents the line in point-slope form?

Opciones de respuesta
Pista

Point-slope form is y - y_1 = m(x - x_1). Which number in (3, 5) is x_1, and which is y_1?

Ver en español

Pregunta

Una recta tiene pendiente 2 y pasa por el punto (3, 5).

¿Qué ecuación representa la recta en la forma punto-pendiente?

Opciones

  • A. y - 5 = 2(x - 3)
  • B. y - 3 = 2(x - 5)
  • C. y + 5 = 2(x + 3)
  • D. y - 5 = 3(x - 2)
Pista

La forma punto-pendiente es y - y_1 = m(x - x_1). ¿Qué número de (3, 5) es x_1 y cuál es y_1?

Resumen

  • Forma pendiente-intersección y = mx + b: m = pendiente, b = intersección con el eje y (el valor de y cuando x = 0).
  • Forma punto-pendiente y - y_1 = m(x - x_1): pon el punto con signos de menos; una coordenada negativa se convierte en más.
  • Para obtener y = mx + b a partir de una pendiente y un punto: sustituye el punto en y = mx + b y despeja b (o usa b = y_1 - m x_1).
  • En los problemas verbales, la tasa es la pendiente y una situación completa es el punto; b es el valor inicial o el cargo. Si la cantidad baja, la pendiente es negativa.
  • Comprueba cada respuesta sustituyendo de nuevo el punto. Las dos formas están en la hoja de fórmulas del GED®.
Practicar esta destreza →