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Cómo escribir la ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Encuentra la pendiente a partir de dos puntos y luego úsala con cualquiera de los dos puntos para escribir la ecuación de la recta.

Practicar esta destreza 25 min Recta a partir de dos puntos Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Dos puntos son todo lo que necesitas para dibujar una línea recta, y todo lo que necesitas para escribir su ecuación. El plan siempre es el mismo:

  1. Usa los dos puntos para encontrar la pendiente.
  2. Usa la pendiente y cualquiera de los dos puntos para encontrar la ecuación (exactamente como en la lección anterior).

Vas a aprender a:

  • calcular la pendiente con la fórmula m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, incluso con negativos y fracciones;
  • escribir la recta en la forma punto-pendiente y en la forma pendiente-intersección;
  • leer dos puntos en una gráfica o en una tabla;
  • trabajar con rectas horizontales y verticales;
  • convertir dos pares de datos de la vida real (como "4 millas cuestan $13; 10 millas cuestan $25") en una ecuación y usarla para predecir.

Por qué es importante en el GED®: Las preguntas como "¿Qué ecuación representa la recta que pasa por (-2, 5) y (4, -7)?" son comunes, y también lo son las gráficas con dos puntos marcados. Los problemas verbales dan dos situaciones y piden la tasa, el valor inicial o una predicción. Todas estas preguntas siguen el mismo plan de dos pasos.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Punto / par ordenado: (x, y). En (x_1, y_1) y (x_2, y_2), los numeritos solo significan "primer punto" y "segundo punto".
  • Pendiente (m): la inclinación: \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} = \dfrac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}. Ejemplo: de (1, 2) a (3, 8) la pendiente es \tfrac{6}{2} = 3.
  • Cambio vertical (rise): y_2 - y_1 (hacia arriba es positivo, hacia abajo es negativo).
  • Cambio horizontal (run): x_2 - x_1 (hacia la derecha es positivo).
  • Fórmula de la pendiente: m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
  • Intersección con el eje y (b): donde la recta cruza el eje y, el punto (0, b).
  • Forma pendiente-intersección: y = mx + b.
  • Forma punto-pendiente: y - y_1 = m(x - x_1).
  • Recta horizontal: pendiente 0; ecuación y = c. Ejemplo: por (1, 4) y (6, 4): y = 4.
  • Recta vertical: pendiente indefinida; ecuación x = c. Ejemplo: por (3, 1) y (3, 9): x = 3.
  • Modelo lineal: una recta que se usa para describir una situación real con una tasa constante, como el costo por milla.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Paso 1: Encuentra la pendiente a partir de dos puntos

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Regla 1: Resta en el mismo orden arriba y abajo. Si empiezas arriba con la y del segundo punto, empieza abajo con la x del segundo punto. Cualquiera de los dos puntos puede ser el "primero": obtienes la misma pendiente.

Ejemplo: (2, 3) y (6, 11): m = \dfrac{11 - 3}{6 - 2} = \dfrac{8}{4} = 2.

En el orden contrario: \dfrac{3 - 11}{2 - 6} = \dfrac{-8}{-4} = 2 ✓ Igual.

Regla 2: y arriba, x abajo. Cambio vertical sobre cambio horizontal, nunca al revés.

Regla 3: Restar un negativo significa sumar.

Ejemplo: (-2, 5) y (4, -7): m = \dfrac{-7 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-12}{6} = -2.

Coordinate plane with the points (-2, 5) and (4, -7) and the line y = -2x + 1 through them. A green slope triangle goes right 6 (run) and down 12 (rise -12) from (-2, 5) to (4, -7), so the slope is -12/6 = -2.−4−22−6−4−2460xyrun = 6rise = −12(−2, 5)(4, −7)y = −2x + 1
Triángulo de la pendiente de (−2, 5) a (4, −7): cambio horizontal 6, cambio vertical −12

Regla 4: Simplifica las fracciones; deja el signo adelante. \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}; \dfrac{-9}{-6} = \dfrac{3}{2}.

Regla 5: Casos especiales.

PuntosCambio vertical / Cambio horizontalPendienteEcuación
(1, 4), (6, 4)\tfrac{0}{5}0 (horizontal)y = 4
(3, 1), (3, 9)\tfrac{8}{0}indefinida (vertical)x = 3

Nunca se puede dividir entre cero, así que una recta vertical no tiene pendiente y no se puede escribir como y = mx + b.

Coordinate plane with two special lines. The horizontal blue line y = 4 passes through (1, 4) and (6, 4): rise 0, slope 0. The vertical red line x = 3 passes through (3, 1) and (3, 9): run 0, slope undefined.−11245678−112356789100xy(1, 4)(6, 4)(3, 1)(3, 9)y = 4, slope 0x = 3undefined
Recta horizontal y = 4 y recta vertical x = 3

Revisa el signo: una recta que sube de izquierda a derecha tiene pendiente positiva; una que baja tiene pendiente negativa. Mira los valores de x de menor a mayor y fíjate si y crece o disminuye.

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes. A line passes through the points (-2, -3) and (1, 3). A dashed slope triangle shows run = 1 - (-2) = 3 and rise = 3 - (-3) = 6, so the slope is 6/3 = 2. The line crosses the y-axis at (0, 1), so its equation is y = 2x + 1.−5−4−3−2−112345−5−4−3−2−1123450xyrun = 1 − (−2) = 3rise = 3 − (−3) = 6(−2, −3)(1, 3)(0, 1)

Dos puntos, (-2, -3) y (1, 3). Cambio horizontal (run) = 1 - (-2) = 3, cambio vertical (rise) = 3 - (-3) = 6, así que m = \tfrac{6}{3} = 2. La recta cruza el eje y en (0, 1): y = 2x + 1.

Paso 2: Usa la pendiente y un punto para escribir la ecuación

Cuando conozcas m, escoge cualquiera de los dos puntos: el que tenga números más pequeños o más fáciles.

Forma punto-pendiente: pon m y el punto en y - y_1 = m(x - x_1).

Forma pendiente-intersección: pon m y el punto en y = mx + b y luego despeja b.

Ejemplo: (-2, 5) y (4, -7), donde encontramos m = -2.

Con (-2, 5): 5 = -2(-2) + b = 4 + b, así que b = 1.

Con (4, -7): -7 = -2(4) + b = -8 + b, así que b = 1 ✓

De cualquier manera la recta es y = -2x + 1. En forma punto-pendiente se podría escribir y - 5 = -2(x + 2) o y + 7 = -2(x - 4): las dos son correctas, y las dos se simplifican a y = -2x + 1.

Regla 6: Usa el segundo punto para comprobar. Usaste un punto para encontrar b; sustituye el otro punto. Si funciona, toda la ecuación está bien.

Atajo cuando un punto está en el eje y: si un punto tiene x = 0, como (0, 4), entonces b = 4 inmediatamente.

Dos puntos escondidos: gráficas, tablas y situaciones

El GED® muchas veces esconde los dos puntos.

En una gráfica: escoge dos puntos donde la recta pase exactamente por esquinas de la cuadrícula. Cuenta el cambio vertical y el cambio horizontal, o lee las coordenadas y usa la fórmula. Si la recta cruza el eje y en un punto de la cuadrícula, ese es b.

En una tabla:

x (horas)258
y (dólares)70145220

Dos columnas cualesquiera son dos puntos. m = \dfrac{145 - 70}{5 - 2} = \dfrac{75}{3} = 25. Luego 70 = 25(2) + b, así que b = 20: y = 25x + 20. (Comprueba la tercera columna: 25(8) + 20 = 220 ✓)

Graph of the table: hours from 0 to 9 across and dollars from 0 to 250 up. The points (2, 70), (5, 145) and (8, 220) lie on the line y = 25x + 20, which starts at (0, 20). A green slope triangle from (2, 70) to (5, 145) shows 3 hours add 75 dollars: slope 75/3 = 25.0123456789050100150200250x (hours)y (dollars)3 hours+$75(2, 70)(5, 145)(8, 220)b = 20y = 25x + 20
Puntos de la tabla (2, 70), (5, 145), (8, 220) en y = 25x + 20

En una situación: cada oración como "un viaje de 4 millas cuesta $13" es un punto (\text{entrada}, \text{salida}) = (4, 13).

  • La entrada (lo que escoges o el tiempo) es x.
  • La salida (el costo, la cantidad, la altura) es y.
  • La pendiente es la tasa: cambio en la salida ÷ cambio en la entrada, con unidades ("dólares por milla").
  • b es el valor inicial: la salida cuando la entrada es 0.

Ejemplo: Un viaje de 4 millas cuesta $13; un viaje de 10 millas cuesta $25. m = \dfrac{25 - 13}{10 - 4} = \dfrac{12}{6} = 2 dólares por milla. 13 = 2(4) + b, así que b = 5: una tarifa base de $5. C = 2d + 5.

Preguntas para trabajar al revés: "Los puntos (1, 5), (4, 11) y (k, 21) están en la misma recta. Encuentra k." Encuentra la ecuación con los dos puntos completos (y = 2x + 3) y luego sustituye la coordenada conocida: 21 = 2k + 3, así que k = 9.

Fórmula

Las fórmulas (todas están en la hoja de fórmulas del GED®)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \qquad y - y_1 = m(x - x_1) \qquad y = mx + b
  • (x_1, y_1), (x_2, y_2): los dos puntos dados
  • m: pendiente (tasa de cambio); b: intersección con el eje y (valor inicial)

La fórmula de la pendiente, la forma punto-pendiente y la forma pendiente-intersección están todas en la hoja de fórmulas del GED®. Lo que tienes que recordar tú: mantén el mismo orden de resta arriba y abajo, pon y arriba y termina comprobando el segundo punto.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): (1, 3) y (3, 11)

Problema: Escribe la ecuación de la recta que pasa por (1, 3) y (3, 11) en la forma pendiente-intersección.

  1. Pendiente: m = \dfrac{11 - 3}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4.
  2. Usa (1, 3) en y = 4x + b: 3 = 4(1) + b = 4 + b.
  3. Resuelve: b = 3 - 4 = -1.
  4. Ecuación: y = 4x - 1.
Coordinate plane with the points (1, 3) and (3, 11) and the line y = 4x - 1 through them. A green slope triangle goes right 2 and up 8 from (1, 3) to (3, 11): slope 8/2 = 4. The line crosses the y-axis at (0, -1).−2−1123451456789101112xyrun 2rise 8(1, 3)(3, 11)(0, −1)y = 4x − 1
Recta que pasa por (1, 3) y (3, 11) con el triángulo de la pendiente

Respuesta: y = 4x - 1

Comprobación: Segundo punto (3, 11): 4(3) - 1 = 12 - 1 = 11 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (intermedio): coordenadas negativas

Problema: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (-4, 6) y (2, -3).

  1. Pendiente: m = \dfrac{-3 - 6}{2 - (-4)} = \dfrac{-9}{6} = -\dfrac{3}{2}.
  2. Usa (-4, 6): 6 = -\tfrac{3}{2}(-4) + b.
  3. Multiplica: -\tfrac{3}{2} \times (-4) = +6, así que 6 = 6 + b y b = 0.
  4. Ecuación: y = -\tfrac{3}{2}x (la recta pasa por el origen).
Coordinate plane with the points (-4, 6) and (2, -3) and the line y = -(3/2)x through them and through the origin. A green slope triangle goes right 6 and down 9 from (-4, 6) to (2, -3): slope -9/6 = -3/2.−6−5−4−3−2−11345−5−2−123458xyrun 6rise −9(−4, 6)(2, −3)y = −3/2 x
Recta que pasa por (−4, 6) y (2, −3) con el triángulo de la pendiente

Respuesta: y = -\tfrac{3}{2}x

Comprobación: (2, -3): -\tfrac{3}{2}(2) = -3 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (problema verbal): tarifas de taxi

Problema: Una compañía de taxis cobra una tarifa base más una cantidad fija por milla. Un viaje de 4 millas cuesta $13 y un viaje de 10 millas cuesta $25. Escribe una ecuación para el costo C de un viaje de d millas y encuentra el costo de un viaje de 7 millas.

  1. Puntos (d, C): (4, 13) y (10, 25).
  2. Pendiente (tasa): m = \dfrac{25 - 13}{10 - 4} = \dfrac{12}{6} = 2 dólares por milla.
  3. Encuentra b: 13 = 2(4) + b = 8 + b, así que b = 5. La tarifa base es de $5.
  4. Ecuación: C = 2d + 5.
  5. 7 millas: C = 2(7) + 5 = 19.
Graph of taxi fares C = 2d + 5, miles from 0 to 12 across and dollars from 0 to 30 up. The line starts at the 5 dollar base fare (0, 5) and passes through (4, 13) and (10, 25). A green slope triangle shows 6 more miles add 12 dollars: 2 dollars per mile. The predicted point (7, 19) is marked in red.02468101201015202530Miles, dCost, C (dollars)6 miles+$12base fare $5(4, 13)(10, 25)(7, 19)C = 2d + 5
Recta de la tarifa del taxi C = 2d + 5 que pasa por (4, 13) y (10, 25)

Respuesta: C = 2d + 5; un viaje de 7 millas cuesta $19.

Comprobación: (10, 25): 2(10) + 5 = 25 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal, disminución): vaciar una piscina

Problema: Una piscina se vacía a un ritmo constante. Después de 2 horas tiene 9,600 galones; después de 6 horas tiene 6,000 galones. Escribe una ecuación para el volumen V después de t horas. ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse por completo la piscina?

  1. Puntos (t, V): (2, 9600) y (6, 6000).
  2. Pendiente: m = \dfrac{6000 - 9600}{6 - 2} = \dfrac{-3600}{4} = -900 galones por hora.
  3. Encuentra b: 9600 = -900(2) + b = -1800 + b, así que b = 11{,}400 galones al principio.
  4. Ecuación: V = -900t + 11{,}400.
  5. Vacía: 0 = -900t + 11{,}400 \Rightarrow t = \dfrac{11{,}400}{900} = 12\tfrac{2}{3} horas.
Graph of the pool volume V = -900t + 11,400, hours from 0 to 14 across and gallons from 0 to 12,000 up. The line starts at (0, 11,400), passes through (2, 9,600) and (6, 6,000), and reaches 0 at t = 12 2/3 hours. A green slope triangle shows 4 hours remove 3,600 gallons: -900 gallons per hour.024681012140200040006000800010,00012,000Hours, tVolume, V (gallons)4 hours−3,600 gal(0, 11,400)(2, 9,600)(6, 6,000)empty at 12⅔ hV = −900t + 11,400
Recta del volumen de la piscina que pasa por (2, 9,600) y (6, 6,000)

Respuesta: V = -900t + 11{,}400; se vacía después de unas 12 horas y 40 minutos (\tfrac{2}{3} de 60 min = 40 min).

Comprobación: (6, 6000): -900(6) + 11{,}400 = -5{,}400 + 11{,}400 = 6{,}000 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil, trabajar al revés): tres puntos en una recta

Problema: Los puntos (-2, 7), (4, -5) y (k, -11) están todos en la misma recta. Encuentra k.

  1. Pendiente con los dos puntos completos: m = \dfrac{-5 - 7}{4 - (-2)} = \dfrac{-12}{6} = -2.
  2. Encuentra b: 7 = -2(-2) + b = 4 + b, así que b = 3. Recta: y = -2x + 3.
  3. Sustituye y = -11: -11 = -2k + 3.
  4. Resta 3: -14 = -2k. Divide entre -2: k = 7.
Coordinate plane with the line y = -2x + 3 through (-2, 7), (4, -5) and (7, -11). One green slope triangle goes right 6 and down 12 from (-2, 7) to (4, -5); a second goes right 3 and down 6 from (4, -5) to (7, -11). Both give slope -2, so the three points are on one line and k = 7.−4−268−10−6−4−22680xyright 6down 12right 3down 6(−2, 7)(4, −5)(k, −11)= (7, −11)y = −2x + 3
Recta que pasa por (−2, 7), (4, −5) y (7, −11) con dos triángulos de pendiente

Respuesta: k = 7

Comprobación: Pendiente de (4, -5) a (7, -11): \dfrac{-11 - (-5)}{7 - 4} = \dfrac{-6}{3} = -2 ✓ La misma pendiente, así que los tres puntos están en una recta.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

  • La pendiente en una sola entrada: escribe toda la fracción con paréntesis: ( (−) 7 − 5 ) ÷ ( 4 − (−) 2 ) enter → −2. Los paréntesis son esenciales: sin ellos la calculadora divide solo el último número.
  • Usa la tecla gris (−) para los números negativos y la tecla − para restar.
  • Si la pendiente sale como fracción, por ejemplo -\tfrac{3}{2}, y las opciones de respuesta muestran decimales (o al revés), presiona toggle para cambiar entre fracción y decimal.
  • Para encontrar b: calcula y_1 - m \cdot x_1, por ejemplo 9600 − ( (−) 900 ) ( 2 ) enter → 11400.
  • Los números grandes en los problemas verbales (como 9,600 galones) son justo donde la calculadora te ahorra tiempo y errores.

Cuándo NO usarla: con puntos de números enteros pequeños como (1, 3) y (3, 11), calcular mentalmente es más rápido. Contar el cambio vertical y el cambio horizontal en una gráfica no necesita calculadora.

Error común

Errores comunes

  • Cambio horizontal sobre cambio vertical. Incorrecto: \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}. Por (0, 1) y (2, 7) eso da \tfrac{1}{3}. Correcto: \dfrac{7 - 1}{2 - 0} = 3: la y siempre va arriba.
  • Orden de resta mezclado. Incorrecto: \dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2} cambia el signo de la pendiente. Empieza con el mismo punto arriba y abajo.
  • Restar un negativo. 4 - (-2) = 6, no 2.
  • Usar el valor de y de un punto como b. Por (-2, 5) y (4, -7), b es 1, no 5. Solo un punto con x = 0 muestra b directamente.
  • Problemas verbales: olvidar dividir entre el cambio en x. Un carro que vale $21,400 después de 2 años y $15,250 después de 5 años pierde \tfrac{6{,}150}{3} = 2{,}050 dólares por año, no $6,150 por año.
  • Suponer que la recta pasa por el origen. "40 millas cuestan $59.80" no significa que la tasa sea 59.80 \div 40, a menos que no haya tarifa base. Usa dos puntos para encontrar la tasa verdadera.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Encuentra la pendiente y luego elimina. Calcula m y descarta todas las opciones con una pendiente diferente, incluso las que tienen el número correcto pero el signo equivocado.
  • Sustituye los dos puntos en las que quedan. La ecuación correcta debe funcionar con los dos puntos. Así también detectas respuestas que funcionan con uno solo.
  • Usa la dirección de la gráfica. ¿La recta baja hacia la derecha? La pendiente debe ser negativa. ¿Es más inclinada que una recta de 45° (con la misma escala en los dos ejes)? El tamaño de la pendiente es mayor que 1.
  • En los problemas verbales, marca los puntos con unidades, (\text{millas}, \text{dólares}), para nunca intercambiar la entrada y la salida.
  • Estima para detectar respuestas absurdas. El valor inicial debe tener sentido con la situación (si una piscina se está vaciando, no puede empezar con menos galones de los que tiene después).
  • Tiempo: más o menos 1½–2 minutos cada una. Escribe el cálculo de la pendiente: de ese paso salen la mayoría de los errores.

Compruébalo

Recta a partir de dos puntos

A line passes through the points (0, 1) and (2, 7).

Which equation represents the line?

Opciones de respuesta
Pista

Find the slope with \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. One of the points is on the y-axis — what does that tell you?

Ver en español

Pregunta

Una recta pasa por los puntos (0, 1) y (2, 7).

¿Qué ecuación representa la recta?

Opciones

  • A. y = \tfrac{1}{3}x + 1
  • B. y = 3x + 1
  • C. y = 3x + 7
  • D. y = 4x + 1
Pista

Encuentra la pendiente con \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Uno de los puntos está en el eje y: ¿qué te dice eso?

Compruébalo

Recta a partir de dos puntosCompletar

What is the slope of the line that passes through (1, 4) and (5, 12)?

m =

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Slope = \dfrac{\text{change in } y}{\text{change in } x}. Subtract in the same order on top and bottom.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por (1, 4) y (5, 12)?

m = _____

Pista

Pendiente = \dfrac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x}. Resta en el mismo orden arriba y abajo.

Resumen

  • Plan de dos pasos: primero la pendiente, m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, luego usa un punto para encontrar b (o escribe la forma punto-pendiente).
  • Mantén el mismo orden de resta arriba y abajo; la y va arriba; restar un negativo significa sumar.
  • Mismos valores de y → recta horizontal y = c (pendiente 0). Mismos valores de x → recta vertical x = c (pendiente indefinida).
  • En los problemas verbales, cada situación "entrada → salida" es un punto; la pendiente es la tasa; b es el valor inicial.
  • Siempre comprueba con el otro punto. Las tres fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED®.
Practicar esta destreza →