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Rectas paralelas y perpendiculares

Usa las pendientes para reconocer rectas paralelas y perpendiculares y para escribir sus ecuaciones.

Practicar esta destreza 25 min Rectas paralelas y perpendiculares Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Dos rectas diferentes en un plano o se cruzan o nunca se tocan. La pendiente te dice cuál de las dos cosas pasa, y si se cruzan en un ángulo recto perfecto.

Vas a aprender a:

  • reconocer rectas paralelas: la misma pendiente, nunca se tocan;
  • reconocer rectas perpendiculares: pendientes que son recíprocos negativos, y que se cruzan en un ángulo de 90^\circ;
  • encontrar la pendiente de una recta en cualquier forma: y = mx + b, Ax + By = C, dos puntos o una gráfica;
  • escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado;
  • usar las pendientes para revisar figuras (rectángulos, triángulos rectángulos) y encontrar un valor desconocido.

Por qué es importante en el GED®: Verás preguntas como "¿Qué recta es perpendicular a y = -2x + 7?" o "Escribe la ecuación de la recta paralela a y = \tfrac{1}{2}x + 3 que pasa por (4, 5).". Las preguntas de geometría pueden preguntar si cuatro puntos forman un rectángulo. Las reglas de las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares no están en la hoja de fórmulas: tienes que recordarlas.

Vida real: Los constructores, los agrimensores y los urbanistas usan la misma idea: las calles que nunca se tocan son paralelas; una carretera que cruza otra "en ángulo recto" es perpendicular.

Vocabulario

Palabras que debes conocer

  • Pendiente (m): la inclinación, \dfrac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}. En y = mx + b es el número delante de x.
  • Rectas paralelas: rectas en el mismo plano que nunca se tocan. Símbolo: \parallel. Ejemplo: y = 2x + 1 y y = 2x - 3.
  • Rectas perpendiculares: rectas que se cruzan en un ángulo recto (90^\circ). Símbolo: \perp. Ejemplo: y = 2x + 1 y y = -\tfrac{1}{2}x + 2.
  • Ángulo recto: un ángulo de 90^\circ, como la esquina de una hoja de papel; se marca con un cuadradito.
  • Recíproco: voltear una fracción de cabeza. El recíproco de \tfrac{2}{3} es \tfrac{3}{2}; el de 4 (que es \tfrac{4}{1}) es \tfrac{1}{4}.
  • Recíproco negativo (opuesto): voltear la fracción y cambiar el signo. De \tfrac{2}{3}: -\tfrac{3}{2}. De -5: \tfrac{1}{5}.
  • Forma estándar: Ax + By = C. Ejemplo: 2x + 3y = 6. Su pendiente es -\tfrac{A}{B}.
  • Rectas coincidentes: la misma recta escrita dos veces (la misma pendiente y la misma intersección). No son "paralelas"; están una encima de la otra.
  • Recta horizontal: pendiente 0, y = c. Recta vertical: pendiente indefinida, x = c.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Rectas paralelas: la misma pendiente

Regla 1: Dos rectas no verticales son paralelas exactamente cuando tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones con el eje y.

Recta 1Recta 2PendientesRelación
y = 3x - 5y = 3x + 23 y 3paralelas
y = -\tfrac{1}{2}x + 4y = -\tfrac{1}{2}xigualesparalelas
y = 3x + 2y = -3x + 23 y -3no son paralelas (se cruzan en (0, 2))
y = 2x + 12y = 4x + 22 y 2, la misma bla misma recta

Regla 2: El signo importa. 3 y -3 son pendientes diferentes: una recta sube y la otra baja.

Regla 3: La intersección con el eje y no hace que las rectas sean paralelas. Dos rectas con la misma b se cruzan en ese punto.

Regla 4: Todas las rectas verticales son paralelas entre sí (como x = 2 y x = -5), y todas las rectas horizontales son paralelas entre sí (como y = 1 y y = 4).

Por qué funciona: Las rectas con la misma pendiente suben lo mismo por cada paso hacia la derecha, así que la distancia entre ellas nunca cambia: nunca se pueden tocar.

Coordinate plane with two parallel lines. Blue line y = 3x + 2 and red line y = 3x - 5 both have slope 3: each green slope triangle goes right 1 and up 3. The lines keep the same vertical gap of 7 and never meet.−4−3−212345−9−8−4−3−2−134670xyright 1up 3right 1up 3(0, 2)(0, −5)y = 3x + 2y = 3x − 5
Rectas paralelas y = 3x + 2 y y = 3x − 5 con triángulos de pendiente iguales

Rectas perpendiculares: pendientes que son recíprocos negativos

Regla 5: Dos rectas no verticales son perpendiculares exactamente cuando sus pendientes son recíprocos negativos: voltea la fracción y cambia el signo. Dicho de otra forma, el producto de las pendientes es -1:

m_1 \cdot m_2 = -1
Pendiente de una rectaPendiente perpendicularProducto
2-\tfrac{1}{2}2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1
-3\tfrac{1}{3}-1
\tfrac{3}{4}-\tfrac{4}{3}-1
-\tfrac{2}{5}\tfrac{5}{2}-1
1-1-1
0 (horizontal)indefinida (vertical)—
Coordinate plane with two perpendicular lines through the origin, marked with a right-angle square. Blue line y = (3/4)x: its green slope triangle goes right 4 and up 3. Red line y = -(4/3)x: its slope triangle goes right 3 and down 4. The slopes 3/4 and -4/3 are negative reciprocals: (3/4)(-4/3) = -1.−6−5−4−3456−5−4−3−2−112345xyright 4up 3right 3down 4y = ¾xy = −4/3 x
Rectas perpendiculares y = ¾x y y = −4/3 x con triángulos de pendiente y una marca de ángulo recto

Regla 6: Tienes que hacer los dos pasos: voltear Y cambiar el signo.

  • Si solo volteas 2, obtienes \tfrac{1}{2} ✗ (producto 1).
  • Si solo cambias el signo, obtienes -2 ✗ (producto -4).
  • Los dos: -\tfrac{1}{2} ✓

Regla 7: Las rectas horizontales y verticales son perpendiculares. y = 3 y x = -1 se cruzan en ángulo recto, aunque no se puede usar la regla del producto (una recta vertical no tiene pendiente).

Coordinate plane with the horizontal line y = 3 in blue and the vertical line x = -1 in red. They cross at (-1, 3), where a small square marks a right angle: horizontal and vertical lines are perpendicular.−4−3−21234−2−112450xy(−1, 3)y = 3x = −1
La recta horizontal y = 3 cruza la recta vertical x = −1 en ángulo recto

Decimales: una pendiente de 0.25 = \tfrac{1}{4} tiene pendiente perpendicular -4. Una pendiente de -1.5 = -\tfrac{3}{2} tiene pendiente perpendicular \tfrac{2}{3}.

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes with three lines. Solid blue line y = 2x + 1 and dashed blue line y = 2x - 3 both have slope 2, so they are parallel and never meet. Black line y = -(1/2)x + 2 has slope -1/2 and crosses y = 2x + 1 at (0.4, 1.8), where a small square marks a right angle: the lines are perpendicular.-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-1123450xyy = 2x + 1y = 2x − 3y = −(1/2)x + 2

y = 2x + 1 y y = 2x - 3 tienen las dos pendiente 2: son paralelas. y = -\tfrac{1}{2}x + 2 tiene pendiente -\tfrac{1}{2}, y 2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1, así que es perpendicular a las dos rectas azules: fíjate en la marca de ángulo recto.

El primer paso siempre es: encontrar la pendiente

El GED® casi nunca te da la pendiente directamente. Encuéntrala primero:

  • En y = mx + b: el número delante de x. En y = -\tfrac{3}{4}x + 2, m = -\tfrac{3}{4}.
  • En la forma estándar Ax + By = C: despeja y. Para 2x + 3y = 6: 3y = -2x + 6, así que y = -\tfrac{2}{3}x + 2 y m = -\tfrac{2}{3}. (Atajo: m = -\tfrac{A}{B} = -\tfrac{2}{3}.) La pendiente no es 2: el coeficiente de x solo es igual a la pendiente cuando y está sola.
  • Con dos puntos: m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Por (1, 2) y (3, 8): m = \tfrac{6}{2} = 3.
  • En una gráfica: escoge dos puntos de la cuadrícula en la recta y cuenta el cambio vertical sobre el cambio horizontal.

Luego escribe la nueva recta con el método de las lecciones anteriores:

  1. Encuentra la pendiente de la recta dada.
  2. Paralela → usa la misma pendiente. Perpendicular → usa el recíproco negativo.
  3. Pon la nueva pendiente y el punto dado en y = mx + b y despeja b.

Ejemplo: paralela a y = 4x - 1 que pasa por (2, 3): m = 4; 3 = 4(2) + b, así que b = -5 → y = 4x - 5.

Ejemplo: perpendicular a y = 4x - 1 que pasa por (2, 3): m = -\tfrac{1}{4}; 3 = -\tfrac{1}{4}(2) + b = -\tfrac{1}{2} + b, así que b = \tfrac{7}{2} → y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{7}{2}.

Geometría con pendientes:

  • Un paralelogramo tiene los dos pares de lados opuestos paralelos (pendientes iguales).
  • Un rectángulo es un paralelogramo cuyos lados vecinos son perpendiculares (sus pendientes multiplicadas dan -1).
  • Un triángulo tiene un ángulo recto en un vértice si los dos lados que se juntan ahí son perpendiculares.

Cómo encontrar un valor desconocido: si una recta que pasa por (2, 5) y (6, k) debe ser perpendicular a y = -2x + 1, su pendiente debe ser \tfrac{1}{2}: \dfrac{k - 5}{4} = \dfrac{1}{2}, así que k = 7.

Coordinate plane with the red line y = -2x + 1 and the blue line through (2, 5) and (6, 7), which has slope 1/2. A green slope triangle goes right 4 and up 2 from (2, 5) to (6, 7), so k = 7. The lines cross at (-1.2, 3.4) at a right angle, marked with a small square, because 2/4 = 1/2 and (1/2)(-2) = -1.−4−3−2−12345678−3−2−113567890xyrun 4rise 2(2, 5)(6, k) = (6, 7)y = −2x + 1slope ½
Recta que pasa por (2, 5) y (6, 7), perpendicular a y = −2x + 1
Fórmula

Las reglas (NO están en la hoja de fórmulas del GED®: memorízalas)

\text{Paralelas: } m_1 = m_2 \qquad\qquad \text{Perpendiculares: } m_2 = -\frac{1}{m_1} \;\;\text{(así que } m_1 \cdot m_2 = -1\text{)}
  • m_1: pendiente de la primera recta; m_2: pendiente de la segunda recta
  • La forma estándar Ax + By = C tiene pendiente m = -\dfrac{A}{B}

La hoja de fórmulas sí incluye la fórmula de la pendiente m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, la forma pendiente-intersección y = mx + b y la forma punto-pendiente y - y_1 = m(x - x_1). Las reglas de paralelas y perpendiculares de arriba no están. Truco para recordar: paralelas = "gemelas" (pendientes idénticas); perpendiculares = "voltea y cambia" (voltea la fracción, cambia el signo).

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): una recta paralela que pasa por un punto

Problema: Escribe la ecuación de la recta paralela a y = 4x - 1 que pasa por (2, 3).

  1. Pendiente de la recta dada: 4. Paralela → la nueva pendiente también es 4.
  2. Sustituye (2, 3) en y = 4x + b: 3 = 4(2) + b = 8 + b.
  3. Resuelve: b = -5.
Coordinate plane with the given line y = 4x - 1 in blue and the parallel line y = 4x - 5 in red through the point (2, 3). A green slope triangle on the red line goes right 1 and up 4: both lines have the same slope 4. The y-intercepts are (0, -1) and (0, -5).−4−3−2−12345−4123456780xy1up 4(2, 3)(0, −1)(0, −5)y = 4x − 1y = 4x − 5
Rectas paralelas y = 4x − 1 y y = 4x − 5, que pasa por (2, 3)

Respuesta: y = 4x - 5

Comprobación: 4(2) - 5 = 3 ✓ y pendientes 4 = 4 con intersecciones diferentes (-5 \ne -1) ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (intermedio): una recta perpendicular que pasa por un punto

Problema: Escribe la ecuación de la recta perpendicular a y = -\tfrac{3}{5}x + 2 que pasa por (3, 1).

  1. Pendiente dada: -\tfrac{3}{5}.
  2. Voltea y cambia: pendiente perpendicular = +\tfrac{5}{3}.
  3. Sustituye (3, 1): 1 = \tfrac{5}{3}(3) + b = 5 + b, así que b = -4.
Coordinate plane with the given line y = -(3/5)x + 2 in blue and the perpendicular line y = (5/3)x - 4 in red through (3, 1). A green slope triangle on the blue line goes right 5 and down 3; one on the red line goes right 3 and up 5. The lines cross near (2.6, 0.4) at a right angle, marked with a small square.−4−3−2−1135678−4−3−2−1460xyright 5down 3right 3up 5(3, 1)(0, 2)y = −⅗x + 2y = 5/3 x − 4
Rectas perpendiculares y = −⅗x + 2 y y = 5/3 x − 4, que pasa por (3, 1)

Respuesta: y = \tfrac{5}{3}x - 4

Comprobación: -\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{5}{3} = -1 ✓ y \tfrac{5}{3}(3) - 4 = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (intermedio): la recta dada está en forma estándar

Problema: Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 4x - 2y = 6 que pasa por (-4, 1).

  1. Despeja y: -2y = -4x + 6; divide entre -2: y = 2x - 3. Pendiente = 2.
  2. Pendiente perpendicular: -\tfrac{1}{2}.
  3. Sustituye (-4, 1): 1 = -\tfrac{1}{2}(-4) + b = 2 + b, así que b = -1.
Coordinate plane with the given line 4x - 2y = 6, which is y = 2x - 3, in blue, and the perpendicular line y = -(1/2)x - 1 in red through (-4, 1). Slope triangles: right 1 and up 2 on the blue line; right 2 and down 1 on the red line. The lines cross at (0.8, -1.4) at a right angle, marked with a small square.−6−5−4−3−22345−6−5−3−22340xyright 1up 2right 2down 1(−4, 1)y = 2x − 3(4x − 2y = 6)y = −½x − 1
Rectas perpendiculares y = 2x − 3 y y = −½x − 1, que pasa por (−4, 1)

Respuesta: y = -\tfrac{1}{2}x - 1

Comprobación: 2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1 ✓ y -\tfrac{1}{2}(-4) - 1 = 2 - 1 = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (problema verbal): una carretera nueva en ángulo recto

Problema: En el mapa de un pueblo (las unidades son cuadras), una vía de tren recta pasa por (-2, 1) y (4, 4). El pueblo quiere una carretera nueva que cruce la vía en ángulo recto en la estación, (4, 4). Escribe la ecuación de la carretera y encuentra dónde se cruza con la Carretera 1, que va a lo largo del eje x.

  1. Pendiente de la vía: \dfrac{4 - 1}{4 - (-2)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
  2. La carretera es perpendicular: pendiente = -2.
  3. Pasa por (4, 4): 4 = -2(4) + b = -8 + b, así que b = 12. Carretera: y = -2x + 12.
  4. La Carretera 1 es y = 0: 0 = -2x + 12, así que x = 6.
Town map grid in blocks. The blue railroad passes through (-2, 1) and (4, 4), slope 3/6 = 1/2 (green triangle right 6, up 3). The red road y = -2x + 12 meets the railroad at the station (4, 4) at a right angle, marked with a small square, and meets Highway 1 (the x-axis) at (6, 0).−3−2−11234578−13456780xyright 6up 3(−2, 1)station (4, 4)(6, 0)Highway 1 (y = 0)railroadroad y = −2x + 12
La vía del tren y la carretera perpendicular se cruzan en la estación (4, 4)

Respuesta: Carretera: y = -2x + 12; se cruza con la Carretera 1 en (6, 0).

Comprobación: \tfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1 ✓ y -2(4) + 12 = 4 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel GED® difícil, trabajar al revés): la esquina en ángulo recto de un jardín

Problema: Una paisajista marca en una cuadrícula (en pies) las esquinas de un jardín triangular en P(1, 2), Q(4, 6) y R(8, k). Quiere que la esquina en Q sea un ángulo recto. Encuentra k.

  1. Lado PQ: pendiente \dfrac{6 - 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}.
  2. Para que haya un ángulo recto en Q, el lado QR debe ser perpendicular a PQ: pendiente -\tfrac{3}{4}.
  3. Pendiente de QR de (4, 6) a (8, k): \dfrac{k - 6}{8 - 4} = \dfrac{k - 6}{4}.
  4. Iguálalas: \dfrac{k - 6}{4} = -\dfrac{3}{4}, así que k - 6 = -3 y k = 3.
Grid in feet with the triangular garden P(1, 2), Q(4, 6), R(8, 3). Side PQ has slope 4/3 (green triangle right 3, up 4) and side QR has slope -3/4 (right 4, down 3). The corner at Q is a right angle, marked with a small square, because (4/3)(-3/4) = -1.0123456789012345678right 3up 4right 4down 3P(1, 2)Q(4, 6)R(8, k) = (8, 3)slope 4/3slope −3/4
Triángulo P(1, 2), Q(4, 6), R(8, 3) con un ángulo recto en Q

Respuesta: k = 3, así que R = (8, 3).

Comprobación: Pendiente de QR = \dfrac{3 - 6}{4} = -\dfrac{3}{4}, y \dfrac{4}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -1 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

La mayoría de las preguntas de paralelas/perpendiculares consisten en reconocer pendientes, y eso es más rápido sin calculadora. Úsala para las cuentas que las rodean:

  • Comprobar si son perpendiculares con decimales: multiplica las pendientes. Para 1.25 y -0.8: 1.25 × (−) 0.8 enter → −1, así que son perpendiculares.
  • Recíproco negativo de un decimal: escribe (−) 1 ÷ 1.25 enter → −0.8. Presiona toggle para verlo como fracción, -\tfrac{4}{5}.
  • Fracciones: usa la tecla n/d para pendientes como \tfrac{5}{3}, y toggle para cambiar entre respuestas en fracción y en decimal.
  • Para encontrar b: calcula y_1 - m x_1, poniendo entre paréntesis una pendiente o coordenada negativa con la tecla (−).

Cuándo NO usarla: voltear \tfrac{2}{3} a -\tfrac{3}{2} es un paso mental: teclearlo toma más tiempo y facilita los errores.

Error común

Errores comunes

  • Confundir las reglas. Paralela = la misma pendiente; perpendicular = recíproco negativo. Usar -\tfrac{1}{2} para una recta paralela a y = 2x es incorrecto.
  • Hacer solo la mitad de "voltea y cambia". Perpendicular a la pendiente 3: no es \tfrac{1}{3} (solo volteada), no es -3 (solo cambió el signo); es -\tfrac{1}{3}.
  • Leer la pendiente en la forma estándar sin despejar y. En 2x + 3y = 6, la pendiente es -\tfrac{2}{3}, no 2.
  • Pensar que intersecciones con el eje y iguales hacen que las rectas sean paralelas. y = 2x + 5 y y = -x + 5 tienen la misma b = 5 pero se cruzan en (0, 5).
  • Copiar la intersección vieja. Una recta paralela que pasa por un punto nuevo necesita una b nueva; si usas la vieja, obtienes otra vez la recta original.
  • "Signos opuestos" ≠ perpendicular. Las pendientes 2 y -2 no son perpendiculares: 2 \cdot (-2) = -4, no -1.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Encuentra la pendiente que buscas antes de leer las opciones. Escríbela en tu pizarra borrable: "necesito m = -\tfrac{1}{2}". Luego busca solo esa pendiente en las opciones.
  • Espera una opción trampa para cada error: la pendiente paralela, el recíproco sin cambio de signo, el cambio de signo sin el recíproco. Saber esto hace que eliminar sea rápido.
  • Reescribe cualquier opción que no esté en la forma y = mx + b antes de comparar pendientes.
  • Prueba el punto al final. Entre las opciones con la pendiente correcta, sustituye el punto dado para escoger la que pasa por él.
  • Usa la prueba del producto para estar seguro: si m_1 \cdot m_2 = -1, son perpendiculares. Pendientes iguales con intersecciones diferentes → paralelas.
  • Haz un dibujo. Un dibujo rápido muestra si una recta debe subir o bajar y más o menos dónde cruza el eje y.

Compruébalo

Rectas paralelas y perpendiculares

Which equation represents a line that is parallel to the line y = 3x - 5?

Opciones de respuesta
Pista

Parallel lines rise or fall at exactly the same rate. Which part of y = mx + b describes that?

Ver en español

Pregunta

¿Qué ecuación representa una recta paralela a la recta y = 3x - 5?

Opciones

  • A. y = -3x - 5
  • B. y = -\tfrac{1}{3}x + 2
  • C. y = 2x - 5
  • D. y = 3x + 2
Pista

Las rectas paralelas suben o bajan exactamente al mismo ritmo. ¿Qué parte de y = mx + b describe eso?

Compruébalo

Rectas paralelas y perpendicularesCompletar

A line has a slope of \tfrac{4}{5}.

What is the slope of a line perpendicular to it? Enter a decimal or a fraction.

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Perpendicular slopes are negative reciprocals: two changes are needed.

Ver en español

Pregunta

Una recta tiene pendiente \tfrac{4}{5}.

¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a ella? Escribe un decimal o una fracción.

Pista

Las pendientes perpendiculares son recíprocos negativos: se necesitan dos cambios.

Resumen

  • Las rectas paralelas tienen pendientes iguales (e intersecciones diferentes). Todas las rectas verticales son paralelas; también todas las horizontales.
  • Las rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos negativos: voltea la fracción y cambia el signo; las pendientes multiplicadas dan -1. Horizontal ⟂ vertical.
  • Siempre encuentra primero la pendiente: en y = mx + b, en Ax + By = C (pendiente -\tfrac{A}{B}), con dos puntos o en una gráfica.
  • Para escribir una recta paralela o perpendicular que pasa por un punto: escoge la nueva pendiente y luego sustituye el punto y despeja b.
  • Estas dos reglas no están en la hoja de fórmulas: memoriza "gemelas" y "voltea y cambia".
Practicar esta destreza →