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Comparar relaciones proporcionales

Halla la tasa unitaria en una tabla, gráfica, ecuación o descripción, y compara dos tasas para decidir cuál es más rápida, más barata o mejor.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a comparar dos relaciones proporcionales cuando se muestran de formas diferentes: una como tabla y otra como gráfica, o una como ecuación y otra como oración.

El secreto es sencillo: convierte las dos relaciones en una tasa unitaria (la cantidad para exactamente 1 unidad) y luego compara los dos números.

Por qué es importante en el GED®. Al examen le encantan preguntas como estas:

  • "Los datos de la bomba A están en una tabla. Los de la bomba B están en una gráfica. ¿Qué bomba es más rápida y por cuánto?"
  • "El precio de la tienda A está dado por y = 1.80x. Los precios de la tienda B están en una tabla. ¿Qué tienda es más barata por libra?"
  • "El pago de Ana se muestra en una gráfica; Ben gana $132 por 8 horas. ¿Cuánto más gana Ben en una semana de 40 horas?"

Por qué es importante en la vida real. Cada vez que comparas el pago por hora, el precio por libra, las millas por galón o los planes de datos, estás comparando relaciones proporcionales. Cuando sabes encontrar una tasa unitaria en cualquier formato, puedes tomar la mejor decisión siempre.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Relación proporcional: dos cantidades que siempre tienen la misma razón; si una se duplica, la otra también se duplica. (Gasolina a $4 por galón: 2 gal → $8, 4 gal → $16.)
  • Razón: una comparación de dos números por división, como \frac{60 \text{ dólares}}{4 \text{ horas}}.
  • Tasa unitaria: la cantidad por 1 unidad de la otra cantidad: $15 por hora, 28 millas por galón.
  • Constante de proporcionalidad (k): la tasa unitaria escrita como número en la ecuación y = kx. En y = 15x, k = 15.
  • Origen: el punto (0, 0) donde se cruzan los ejes. Toda gráfica proporcional pasa por él.
  • Pendiente: la inclinación de una recta, \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}. En una gráfica proporcional, la pendiente = la tasa unitaria.
  • Entrada (x) y salida (y): x es lo que tú eliges (horas, galones); y es lo que obtienes (pago, costo).
  • Representación: una forma de mostrar una relación: tabla, gráfica, ecuación o descripción verbal.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. ¿Qué hace que una relación sea proporcional?

Una relación entre x y y es proporcional cuando y es siempre el mismo múltiplo de x:

y = kx

Aquí k es la constante de proporcionalidad, que es lo mismo que la tasa unitaria.

Puedes revisar cada representación así:

RepresentaciónEs proporcional cuando…Ejemplo
Tabla\frac{y}{x} es igual en todas las filas (y x = 0 daría y = 0)\frac{30}{2} = \frac{75}{5} = \frac{120}{8} = 15
Gráficalos puntos están sobre una recta que pasa por el origen (0, 0)recta desde (0,0) que pasa por (4, 60)
Ecuacióntiene la forma y = kx, sin ningún número sumado ni restadoy = 18x ✓, y = 18x + 5 ✗
Descripcióndice "por", "cada" o "por cada", sin una tarifa fija"$3.50 por galón" ✓, "$20 más $3 por hora" ✗

Ejemplo rápido. Una tabla muestra x: 2, 5, 8 y y: 30, 75, 120. Revisa las razones: 30 \div 2 = 15, 75 \div 5 = 15, 120 \div 8 = 15. Todas son iguales, así que es proporcional con k = 15, y la ecuación es y = 15x.

No proporcional. Una tabla con x: 1, 2, 3 y y: 5, 8, 11 tiene razones 5, 4, 3.67: cambian, así que la relación no es proporcional (es y = 3x + 2, que tiene una cantidad inicial de 2).

Two side-by-side panels. Left, labelled Proportional: a table with x = 2, 5, 8 and y = 30, 75, 120; the ratio y divided by x is 15, 15, 15. Below it, the graph of y = 15x is a straight line through the origin (0, 0) passing through (2, 30), (5, 75) and (8, 120). Right, labelled Not proportional: a table with x = 1, 2, 3 and y = 5, 8, 11; the ratios are 5, 4 and 3.67. Below it, the graph of y = 3x + 2 is a straight line through (1, 5), (2, 8) and (3, 11) that starts at (0, 2), not at the origin.ProportionalNot proportionalx258y3075120y ÷ x151515x123y5811y ÷ x543.670123456780306090120xy(2, 30)(5, 75)(8, 120)through (0, 0)y = 15x0123402468101214xy(1, 5)(2, 8)(3, 11)starts at (0, 2)y = 3x + 2
Tablas proporcionales y no proporcionales con sus gráficas

2. Encontrar la tasa unitaria en cada representación

Para comparar, necesitas la tasa unitaria de cada lado. Así se obtiene en los cuatro formatos.

De una ecuación y = kx: lee k directamente. y = 18x → 18 por unidad. d = 0.2t → 0.2 por unidad. Una fracción también sirve: b = \tfrac{2}{3}w → \tfrac{2}{3} por unidad.

De una tabla: divide cualquier salida entre su entrada: k = \frac{y}{x}. Usa una fila que no sea (0, 0). Ejemplo: 6 horas → $99 da 99 \div 6 = 16.50 por hora.

De una gráfica: busca un punto de la recta con coordenadas fáciles de leer (x, y) y luego divide: k = \frac{y}{x}. Si la recta pasa por (1, k), la tasa unitaria es simplemente el valor de y en x = 1. También puedes usar la pendiente: \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}} entre dos puntos cualesquiera.

Two lines on the same axes. Horizontal axis: Hours, 0 to 8. Vertical axis: Pay in dollars, 0 to 120. Job A (blue line) passes through (0, 0) and (8, 120), a rate of 15 dollars per hour. Job B (orange line) passes through (0, 0) and (8, 80), a rate of 10 dollars per hour. Job A's line is steeper.01234567820406080100120HoursPay (dollars)(8, 120)(8, 80)Job AJob B
Dos rectas proporcionales

En la gráfica de arriba, el Trabajo A (Job A) pasa por (8, 120), así que su tasa es 120 \div 8 = \text{\textdollar}15 por hora. El Trabajo B (Job B) pasa por (8, 80), así que su tasa es 80 \div 8 = \text{\textdollar}10 por hora. En los mismos ejes, la recta más inclinada tiene la mayor tasa unitaria.

De una descripción: divide las dos cantidades de la oración. "$148.75 por 8.5 horas" → 148.75 \div 8.5 = 17.50 dólares por hora. "351 millas con 13 galones" → 351 \div 13 = 27 millas por galón.

Divide siempre en el mismo orden en las dos relaciones. Si la pregunta pide "dólares por hora", calcula \frac{\text{dólares}}{\text{horas}} para las dos. Mezclar \frac{\text{dólares}}{\text{horas}} con \frac{\text{horas}}{\text{dólares}} es la trampa número uno.

3. Comparar y responder lo que realmente se pregunta

Cuando las dos tasas unitarias están en las mismas unidades, comparar es fácil. Sigue estos cuatro pasos:

  1. Encuentra la tasa unitaria A (a partir de su representación).
  2. Encuentra la tasa unitaria B (a partir de su representación).
  3. Haz que las unidades coincidan. Convierte minutos a horas, onzas a libras, etc., si hace falta.
  4. Responde la pregunta exacta. ¿Pregunta "cuál es mayor", "cuánto mayor por unidad" o "cuánto más en 40 horas"?

Diferencia por unidad vs. diferencia total. Si A paga $16.50/hora y B paga $15/hora, la diferencia es $1.50 por hora. En una semana de 40 horas, la diferencia es 1.50 \times 40 = \text{\textdollar}60. Lee la pregunta para ver cuál de las dos pide.

"Mejor" depende de la situación.

TasaEs mejor cuando es…
pago por hora, millas por galón, páginas por minutomás alta
precio por libra, costo por galón, minutos por millamás baja

Unidades invertidas. "9 minutos por milla" y "7.5 millas por hora" describen la rapidez, pero en sentidos opuestos. Para comparar, convierte una: 60 \div 7.5 = 8 minutos por milla. Ahora 8 min/milla le gana a 9 min/milla: menos minutos por milla significa más rápido.

Unidades mezcladas. "$7.20 por 12 onzas" vs. "$9 por libra": primero convierte onzas a libras (16 oz = 1 lb). 7.20 \div 12 = \text{\textdollar}0.60 por onza, y 0.60 \times 16 = \text{\textdollar}9.60 por libra.

Fórmula

Fórmulas que debes recordar

y = kx \qquad\qquad k = \frac{y}{x} \qquad\qquad m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • y: la salida (costo total, pago total, distancia…)
  • x: la entrada (libras, horas, galones, minutos…)
  • k: la constante de proporcionalidad = la tasa unitaria = la pendiente de la gráfica
  • m: la pendiente entre dos puntos (x_1, y_1) y (x_2, y_2)

Hoja de fórmulas: la fórmula de la pendiente m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} y la forma pendiente-intersección y = mx + b están en la hoja de fórmulas del GED®. Una relación proporcional es simplemente y = mx + b con b = 0. La idea "tasa unitaria = \frac{y}{x}" no está escrita en la hoja: apréndela de memoria.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): tabla vs. ecuación

La producción de la impresora A se muestra en la tabla. La impresora B imprime según y = 18x, donde x son los minutos y y son las páginas. ¿Qué impresora es más rápida y por cuántas páginas por minuto?

Minutos (x)258
Páginas (y)3075120
  1. Tasa unitaria de la impresora A: \frac{30}{2} = 15, \frac{75}{5} = 15, \frac{120}{8} = 15 → 15 páginas por minuto.
  2. Tasa unitaria de la impresora B: lee k en y = 18x → 18 páginas por minuto.
  3. Compara: 18 - 15 = 3.
Printer A's table (2 minutes, 30 pages; 5 minutes, 75 pages; 8 minutes, 120 pages) beside a graph of pages against minutes. Printer A's points lie on a solid blue line through the origin with rate 15 pages per minute. Printer B, y = 18x, is a dashed red line through the origin that is steeper, reaching 144 pages at 8 minutes, so B is faster by 3 pages per minute.Printer AMinutesPages2305758120Printer B:y = 18x0123456780306090120150Minutes (x)Pages (y)(2, 30)(5, 75)(8, 120)B: 18 pages/minA: 15 pages/min
La tabla de la impresora A junto a las gráficas de las dos impresoras

Respuesta: la impresora B es más rápida, por 3 páginas por minuto.

Comprobación: En 2 minutos, B imprime 18 \times 2 = 36 páginas y A imprime 30 páginas; 36 - 30 = 6 = 3 \times 2 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: gráfica vs. descripción (problema verbal)

El pago de Ana se muestra en la gráfica. Ben gana $132 por 8 horas de trabajo. A los dos les pagan por hora. ¿Cuánto más gana la persona mejor pagada en una semana de 40 horas?

Line graph titled Ana's pay. Horizontal axis: Hours worked, 0 to 8. Vertical axis: Pay in dollars, 0 to 120 in steps of 15. A straight line starts at the origin (0, 0) and passes through the marked points (2, 30), (4, 60) and (8, 120).012345678306090120Hours workedPay (dollars)(2, 30)(4, 60)(8, 120)
El pago de Ana
  1. Tasa de Ana: la recta pasa por (4, 60), así que k = \frac{60}{4} = \text{\textdollar}15 por hora.
  2. Tasa de Ben: \frac{132}{8} = \text{\textdollar}16.50 por hora.
  3. Ben gana más por hora: 16.50 - 15 = \text{\textdollar}1.50 por hora.
  4. En 40 horas: 1.50 \times 40 = \text{\textdollar}60.

Respuesta: Ben gana $60 más por semana de 40 horas.

Comprobación: Ben: 16.50 \times 40 = \text{\textdollar}660. Ana: 15 \times 40 = \text{\textdollar}600. 660 - 600 = 60 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: descripción vs. ecuación, y luego una pregunta de costo

El auto A recorre 336 millas con 12 galones de gasolina. El rendimiento del auto B está dado por m = 32g, donde g son los galones y m son las millas. La gasolina cuesta $3.50 por galón. En un viaje de 448 millas, ¿cuánto menos cuesta la gasolina en el auto más eficiente?

  1. Tasa del auto A: \frac{336}{12} = 28 millas por galón.
  2. Tasa del auto B: k = 32 millas por galón. El auto B es más eficiente.
  3. Galones para 448 millas: el auto A necesita 448 \div 28 = 16 gal; el auto B necesita 448 \div 32 = 14 gal.
  4. Galones ahorrados: 16 - 14 = 2. Dinero ahorrado: 2 \times 3.50 = \text{\textdollar}7.00.
Graph of miles against gallons. Car A gets 28 miles per gallon (solid blue line through the origin and the point (12, 336)). Car B, m = 32g, is a steeper green line. A dashed red line at 448 miles meets Car B at 14 gallons and Car A at 16 gallons, so Car B uses 2 fewer gallons for the 448-mile trip.024681012141618080160240320400480560Gallons (g)Miles (m)448-mile trip14 gal16 galCar B: m = 32g (32 mi/gal)Car A: (12, 336) → 28 mi/gal
Millas contra galones para el auto A y el auto B

Respuesta: $7.00 menos con el auto B.

Comprobación: Auto A: 16 \times 3.50 = \text{\textdollar}56; auto B: 14 \times 3.50 = \text{\textdollar}49; 56 - 49 = 7 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4: trabaja al revés: completa una tabla y luego compara

La tienda B vende arroz a un precio constante por libra. Falta parte de su tabla. El precio de la tienda A es y = 1.80x (dólares por x libras). Encuentra los valores que faltan y decide qué tienda es más barata por libra.

Libras26?
Costo ($)3.90?15.60
  1. Tasa unitaria de la tienda B: 3.90 \div 2 = \text{\textdollar}1.95 por libra.
  2. Costo que falta para 6 lb: 1.95 \times 6 = \text{\textdollar}11.70.
  3. Libras que faltan para $15.60: 15.60 \div 1.95 = 8 lb.
  4. Compara: la tienda A cobra $1.80 y la tienda B $1.95. 1.95 - 1.80 = 0.15.

La figura muestra la tabla completa y las gráficas de las dos tiendas:

Store B's completed table: 2 pounds cost 3.90 dollars, 6 pounds cost 11.70 dollars and 15.60 dollars buys 8 pounds (the two found values in green). Beside it, a graph of cost against pounds: Store B's points lie on a solid blue line through the origin with rate 1.95 dollars per pound; Store A, y = 1.80x, is a dashed red line that is less steep, so Store A is cheaper by 0.15 dollars per pound.Store B (completed)PoundsCost ($)23.90611.70815.60green = foundStore A: y = 1.80x012345678910048121620Pounds (x)Cost in dollars (y)(2, 3.90)(6, 11.70)(8, 15.60)B: $1.95 per lbA: $1.80 per lb
La tabla completa de la tienda B y las gráficas de las dos tiendas

Respuesta: los valores que faltan son $11.70 y 8 lb; la tienda A es más barata por $0.15 por libra.

Comprobación: \frac{11.70}{6} = 1.95 y \frac{15.60}{8} = 1.95: las razones coinciden, así que la tabla sigue siendo proporcional ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): unidades invertidas

Los tiempos de carrera de Kim están en la tabla. Lee corre a una rapidez constante de 7.5 millas por hora. ¿Quién es más rápido?

Millas25
Minutos1845
  1. Tasa de Kim según la tabla: \frac{18}{2} = 9 y \frac{45}{5} = 9 → 9 minutos por milla (¡los minutos van arriba!).
  2. La tasa de Lee está en millas por hora. Inviértela a minutos por milla: 1 hora = 60 minutos, así que 60 \div 7.5 = 8 minutos por milla.
  3. Lee tarda 8 minutos por milla y Kim tarda 9. Menos minutos por milla = más rápido.
Kim's table (2 miles in 18 minutes, 5 miles in 45 minutes) beside a graph of minutes against miles. Kim's points lie on a solid blue line through the origin, 9 minutes per mile. Lee, 7.5 miles in 60 minutes, is a dashed red line through (7.5, 60), 8 minutes per mile. Lee's line is lower: fewer minutes per mile means faster.Kim's tableMilesMinutes218545Lee: 7.5 mi per60 minutes0123456780122436486072MilesMinutes(2, 18)(5, 45)(7.5, 60)Kim: 9 min per mileLee: 8 min per mileLower line = fewer minutes per mile = faster
La tabla de Kim y las gráficas de los dos corredores

Respuesta: Lee es más rápido (por 1 minuto por milla).

Comprobación: Ahora usa el otro método: convierte la tasa de Kim a millas por hora: 60 \div 9 \approx 6.67 mph, que es menos que 7.5 mph ✓ Los dos métodos coinciden.

Consejo de calculadora

Consejos para la TI-30XS MultiView

  • Tasa unitaria: escribe la salida, presiona ÷, escribe la entrada y presiona enter. Ejemplo: 148.75 ÷ 8.5 enter → 17.5.
  • Fracciones: si una tasa es una fracción como \frac{5}{6}, usa la tecla n/d y luego la tecla toggle para cambiar al decimal 0.8333…, así es fácil compararla con \frac{2}{3} = 0.6666….
  • Comprueba que una tabla es proporcional dividiendo cada y entre su x; todos los resultados deben ser idénticos.
  • Cuándo NO usarla: al leer una gráfica y al decidir qué número va arriba. La calculadora no te puede decir si necesitas "dólares por libra" o "libras por dólar": decide eso primero, en papel. Las razones sencillas como 60 \div 4 son más rápidas de hacer mentalmente.
Error común

Errores comunes

  • Invertir una de las tasas. Calcular $ por libra en una tienda y libras por $ en la otra. ✗ Incorrecto: tienda B "4 lb por $6.50" → 4 \div 6.5 = 0.62. ✓ Correcto: 6.50 \div 4 = \text{\textdollar}1.625 por libra: el mismo orden (dólares ÷ libras) para las dos.
  • Usar solo la primera fila de una tabla. (1, 2.5), (2, 3.5): la primera razón es 2.5, pero la segunda es 1.75, así que esta tabla no es proporcional. Revisa siempre al menos dos filas.
  • Tratar "más una tarifa" como proporcional. y = x + 2.5 no es y = 2.5x. Si se suma un número, la gráfica no pasa por el origen.
  • Leer el eje equivocado. En una gráfica de distancia (millas) contra tiempo (minutos), el punto (30, 6) significa 6 millas en 30 minutos: eso es 0.2 millas por minuto, no 6 millas por hora.
  • Dar la diferencia por unidad cuando la pregunta pide un total. $1.50 por hora no es "cuánto más en 40 horas": multiplica: 1.50 \times 40 = \text{\textdollar}60.
  • Olvidar igualar las unidades. $7.20 por 12 onzas no se puede comparar directamente con $9 por libra. Primero convierte.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen del GED®

  • Lee la pregunta dos veces y encierra en un círculo la unidad que pide ("por hora", "por libra", "en 2 horas").
  • Escribe las dos tasas unitarias una al lado de la otra en tu pizarra antes de mirar las opciones de respuesta: "A = 15/h, B = 16.50/h".
  • Elimina las opciones que solo repiten una de las tasas cuando la pregunta pide una diferencia: es un distractor muy común.
  • Estima: $148.75 por 8.5 horas es "unos $150 por 8.5 horas", un poco menos de $18/h. Solo con eso puedes descartar opciones.
  • Sustituye para comprobar: si crees que la tasa es 12 galones por minuto, revisa una fila de la tabla o un punto de la gráfica: 12 \times 4 = 48 ✓
  • Tiempo: estas preguntas deben tomarte de 1 a 2 minutos. Si una gráfica es difícil de leer, usa un punto donde la recta cruce exactamente las líneas de la cuadrícula.

Compruébalo

Comparar relaciones proporcionalesSin calculadora

The table shows a proportional relationship between x and y.

x1234
y6121824

Which equation represents this relationship?

Opciones de respuesta
Pista

Find \frac{y}{x} for more than one column. Is it always the same number?

Ver en español

Pregunta

La tabla muestra una relación proporcional entre x y y.

x1234
y6121824

¿Qué ecuación representa esta relación?

Opciones

  • A. y = x + 5
  • B. y = \frac{x}{6}
  • C. y = 6x + 6
  • D. y = 6x
Pista

Encuentra \frac{y}{x} en más de una columna. ¿Siempre da el mismo número?

Compruébalo

Comparar relaciones proporcionalesCompletar

The graph shows the cost of buying gasoline at a gas station.

Line graph of the cost of gasoline. Horizontal axis: Gallons, 0 to 8. Vertical axis: Cost in dollars, 0 to 32 in steps of 4. A straight line starts at (0, 0) and passes through the marked points (3, 12) and (5, 20).01234567848121620242832GallonsCost (dollars)(3, 12)(5, 20)
Cost of gasoline

What is the price of gasoline, in dollars per gallon?

$ per gallon

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Pick a point on the line where you can read both numbers exactly. Divide cost by gallons.

Ver en español

Pregunta

La gráfica muestra el costo de comprar gasolina en una gasolinera.

¿Cuál es el precio de la gasolina, en dólares por galón?

$_____ por galón

Pista

Elige un punto de la recta donde puedas leer exactamente los dos números. Divide el costo entre los galones.

Resumen

  • Una relación proporcional es y = kx: una recta que pasa por el origen, una razón constante \frac{y}{x} y sin tarifa adicional.
  • La tasa unitaria k es el número clave: léela en una ecuación, divide \frac{y}{x} en una tabla o gráfica, o divide las dos cantidades de una descripción.
  • Divide en el mismo orden en las dos relaciones y convierte las unidades para que coincidan.
  • En los mismos ejes, la recta más inclinada tiene la mayor tasa unitaria.
  • Responde exactamente lo que se pregunta: cuál es mayor, la diferencia por unidad o la diferencia en muchas unidades.
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