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Identificar funciones

Decide si pares ordenados, tablas, gráficas, ecuaciones o reglas reales son funciones, con la regla de una sola salida y la prueba de la recta vertical.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

Una función es una regla que da exactamente una salida para cada entrada. En esta lección vas a aprender a reconocer funciones (y lo que no son funciones) en todas las formas que usa el GED®:

  • una lista de pares ordenados,
  • una tabla de valores,
  • una gráfica (usando la prueba de la recta vertical),
  • una ecuación,
  • una descripción de la vida real ("cada empleado → su número de identificación").

Por qué es importante en el GED®. Verás preguntas como "¿Qué tabla representa una función?", "Haz clic en la gráfica que no es una función" o "¿Para qué valor de k esta relación no es una función?". Son puntos rápidos si conoces la regla, y puntos fáciles de perder si revisas la columna equivocada.

Por qué es importante en la vida real. Una máquina expendedora es una función: presionas B4 y siempre obtienes el mismo bocadillo. Si al presionar B4 a veces salieran papitas y a veces dulces, no sería una función, ¡y te molestaría! Las funciones describen reglas confiables y predecibles: precio → impuesto, horas → pago, temperatura en °F → temperatura en °C.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Relación: cualquier conjunto de pares de entrada y salida. Ejemplo: \{(1, 4), (2, 5), (2, 7)\}.
  • Función: una relación en la que cada entrada tiene exactamente una salida. Ejemplo: \{(1, 4), (2, 5), (3, 5)\}.
  • Entrada: el primer número de un par ordenado, el valor de x. En (3, 8) la entrada es 3.
  • Salida: el segundo número, el valor de y. En (3, 8) la salida es 8.
  • Par ordenado: (x, y); el orden importa: (2, 5) \ne (5, 2).
  • Dominio: el conjunto de todas las entradas. Para \{(1,4), (2,5), (3,5)\} el dominio es \{1, 2, 3\}.
  • Rango: el conjunto de todas las salidas. Para la misma relación, el rango es \{4, 5\}.
  • Prueba de la recta vertical: si alguna recta vertical cruza una gráfica más de una vez, la gráfica no es una función.
  • Diagrama de flechas: flechas que van de las entradas a las salidas, como "Ana → 85".

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. La única regla: cada entrada tiene exactamente una salida

Mira las entradas (los valores de x). La pregunta siempre es: ¿aparece alguna entrada con dos salidas diferentes?

  • Si ninguna entrada se repite con una salida diferente → función.
  • Si alguna entrada está emparejada con dos (o más) salidas diferentes → no es una función.

Las salidas repetidas están bien. Muchas entradas pueden compartir una salida. Cada bolsa de las mismas papitas cuesta $1.50: bolsas diferentes, mismo precio. Eso sigue siendo una función.

Relación¿Entrada repetida con salidas diferentes?¿Función?
\{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}ningunaSí
\{(1, 3), (2, 3), (3, 3)\}ninguna (solo se repite la salida 3)Sí
\{(2, 5), (4, 7), (4, 9)\}la entrada 4 → 7 y 9No
\{(5, 1), (5, 1), (6, 2)\}la entrada 5 → 1 las dos veces (el mismo par escrito dos veces)Sí

Las mismas relaciones como diagramas de flechas:

Three mapping diagrams with inputs on the left and outputs on the right. First: 1 to 4, 2 to 5, 3 to 6 — a function. Second: 1, 2 and 3 all point to 3 — still a function, because only the output repeats. Third: 2 to 5, and the input 4 points to both 7 and 9 (shown in red) — not a function. Caption: many inputs may share one output; one input may not have two outputs.InputOutput123456{(1, 4), (2, 5), (3, 6)}FunctionInputOutput1233{(1, 3), (2, 3), (3, 3)}FunctionInputOutput24579{(2, 5), (4, 7), (4, 9)}Not a functionMany inputs may share one output. One input may NOT have two outputs.
Diagramas de flechas: dos funciones y una que no es función

Las tablas funcionan igual. En una tabla con una fila de x y una fila de y, busca repeticiones en la fila de x. Si un valor de x aparece dos veces, mira los valores de y que tiene debajo. Misma y → sigue siendo función; y diferente → no es función.

Descripciones de la vida real. Pregúntate: "Si conozco la entrada, ¿sé con seguridad cuál es la salida?"

  • Entrada: una persona; salida: su fecha de cumpleaños → función (cada persona tiene un solo cumpleaños).
  • Entrada: una fecha de cumpleaños; salida: una persona → no es función (muchas personas cumplen años el mismo día).
  • Entrada: galones de gasolina a $3.60/gal; salida: costo → función.
  • Entrada: edad en años; salida: estatura → no es función (dos personas de 30 años pueden tener estaturas diferentes).

2. La prueba de la recta vertical para gráficas

Un punto (x, y) de una gráfica está directamente arriba o abajo de su entrada x. Si dos puntos tienen la misma x, están en la misma recta vertical. Entonces:

Prueba de la recta vertical: imagina que deslizas una recta vertical (como una regla puesta derecha) a lo largo de la gráfica. Si en algún momento toca la gráfica en dos o más puntos a la vez, la gráfica no es una función. Si nunca la toca más de una vez, la gráfica sí es una función.

Vertical line test. Graph A: an upward parabola; a dashed vertical line at x = 2 crosses it at exactly one point, so Graph A is a function. Graph B: a circle of radius 3 centered at the origin; a dashed vertical line at x = 1 crosses it at two points, about (1, 2.8) and (1, -2.8), so Graph B is not a function.−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph A−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph B
Prueba de la recta vertical

En la gráfica A (Graph A, una parábola), cada recta vertical toca la curva como máximo una vez → función. En la gráfica B (Graph B, un círculo), la recta x = 1 toca el círculo aproximadamente en (1, 2.8) y en (1, -2.8) → no es una función.

Formas que debes reconocer a simple vista:

Gráfica¿Función?Por qué
Recta no verticalSícada x tiene un solo punto
Recta horizontal y = 2Sítoda entrada tiene la salida 2
Recta vertical x = 2Nola entrada 2 tiene infinitas salidas
Parábola que abre hacia arriba o hacia abajoSí
Parábola que abre hacia un ladoNouna recta vertical la corta dos veces
Círculo u óvaloNo
Forma de V (valor absoluto), cúbica en forma de SSí

Diagramas de dispersión (puntos separados): busca dos puntos uno encima del otro en la misma recta vertical. Los puntos (2, 3) y (2, -1) comparten x = 2 → no es una función.

No uses una prueba de la recta horizontal. Que una recta horizontal toque una gráfica dos veces solo significa que dos entradas comparten una salida, y eso está permitido.

3. Funciones a partir de ecuaciones

Cuando una relación se da como ecuación, pregúntate: si elijo una x, ¿hay exactamente una y?

  • y = 3x - 2: elige x = 4 → solo y = 10. Función. Toda ecuación de la forma y = mx + b es una función.
  • y = x^2: x = 3 → solo y = 9. Función. (Nota: x = -3 también da 9. Dos entradas, la misma salida: está permitido.)
  • y = 7: toda entrada da 7. Función (recta horizontal).
  • x = 4: la entrada 4 va con todas las y. No es una función (recta vertical).
  • x = y^2: para x = 9, y puede ser 3 o -3. No es una función (parábola hacia un lado).
  • x^2 + y^2 = 25: para x = 3, y^2 = 16, así que y = 4 o -4. No es una función (círculo).
Four small graphs with dashed red vertical test lines. Top left: y = 7, a horizontal line; every vertical line meets it once, so it is a function. Top right: x = 4, a vertical line; the input 4 is paired with many outputs such as (4, 2) and (4, 4), so it is not a function. Bottom left: x = y squared, a parabola opening sideways; the vertical line x = 9 meets it at (9, 3) and (9, −3), so it is not a function. Bottom right: the circle x squared plus y squared = 25; the vertical line x = 3 meets it at (3, 4) and (3, −4), so it is not a function.−4−224−224680xyy = 7 (horizontal)Function: each vertical line hits once−2246−4−2240xy(4, 2), (4, 4), …x = 4 (vertical)Not a function: input 4 has many outputs−2246810−4−2240xy(9, 3)(9, −3)x = y²Not a function: x = 9 gives y = 3 or −3−6−4−2246−6−4−22460xy(3, 4)(3, −4)x² + y² = 25Not a function: x = 3 gives y = 4 or −4
Gráficas de y = 7, x = 4, x = y² y un círculo con rectas verticales de prueba

Atajo: intenta despejar y. Si te ves obligado a escribir "\pm" (más o menos), o si la y no aparece (como en x = 4), no es una función. Si obtienes una sola expresión clara en términos de x, sí es una función.

Notación de funciones. Cuando una relación es una función, a menudo la llamamos f y escribimos f(x) ("f de x") para su salida. f(x) = 3x - 2 significa lo mismo que y = 3x - 2. En la próxima lección vas a practicar cómo evaluar f(x).

Fórmula

Reglas para memorizar (no son fórmulas)

En la hoja de fórmulas del GED® no hay ninguna fórmula para esta destreza. En su lugar, memoriza estas dos reglas:

\text{Función} \iff \text{cada entrada } x \text{ tiene exactamente una salida } y \text{La gráfica es una función} \iff \text{ninguna recta vertical la toca más de una vez}
  • Entrada = x = primer número de (x, y) = fila de arriba (o columna de la izquierda) de una tabla.
  • Salida = y = segundo número = fila de abajo (o columna de la derecha).

No están en la hoja de fórmulas: son ideas que debes saber de memoria.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): pares ordenados

¿Es la relación \{(3, 1), (5, 2), (-1, 4), (5, -2), (0, 1)\} una función?

  1. Haz una lista de las entradas: 3, 5, -1, 5, 0.
  2. La entrada 5 aparece dos veces.
  3. Mira sus salidas: (5, 2) y (5, -2). Las salidas son diferentes (2 y -2).
  4. La salida 1 aparece dos veces (con las entradas 3 y 0): eso está bien.
Left: a mapping diagram of the relation {(3, 1), (5, 2), (−1, 4), (5, −2), (0, 1)}. Inputs −1, 0, 3, 5; outputs −2, 1, 2, 4. Arrows: 3 to 1, 0 to 1, −1 to 4, and the input 5 (in red) has two arrows, to 2 and to −2. Right: the same five points plotted; the dashed vertical line x = 5 passes through both (5, 2) and (5, −2), so the relation is not a function.InputOutput−1035−2124Input 5 has two arrows−2−1123456−3−2−1123450xy(3, 1)(−1, 4)(0, 1)(5, 2)(5, −2)x = 5 meets two points → not a function
Diagrama de flechas y gráfica de los cinco pares ordenados

Respuesta: no es una función, porque la entrada 5 está emparejada con 2 y con -2.

Comprobación: Si pregunto "¿cuál es la salida cuando x = 5?", no hay una sola respuesta, así que no cumple la definición ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: tablas

¿Qué tabla representa a y como función de x?

Tabla 1

x1234
y7777

Tabla 2

x0112
y2345
  1. Tabla 1: las entradas 1, 2, 3, 4 son todas diferentes. Cada una tiene una salida (siempre 7). Las salidas repetidas están permitidas → función.
  2. Tabla 2: la entrada 1 aparece dos veces, con las salidas 3 y 4 → no es una función.
Two tables, each above its graph. Table 1: x = 1, 2, 3, 4 and y = 7, 7, 7, 7; its four points lie in a horizontal row and each vertical line meets only one point, so it is a function. Table 2: x = 0, 1, 1, 2 and y = 2, 3, 4, 5, with the repeated input 1 highlighted in red; the points (1, 3) and (1, 4) lie on the same dashed vertical line x = 1, so it is not a function.Table 1x1234y7777Table 2x0112y234501234502468xyevery output is 7Function ✓ (each x once)01234502468xy(0, 2)(2, 5)(1, 3)(1, 4)Not a function ✗ (x = 1 twice)
La tabla 1 y la tabla 2 con sus gráficas

Respuesta: la tabla 1 es una función; la tabla 2 no lo es.

Comprobación: Marca en la gráfica los puntos (1, 3) y (1, 4) de la tabla 2: están en la misma recta vertical x = 1, así que no pasa la prueba de la recta vertical ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: gráficas y la prueba de la recta vertical

¿Cuáles de estas gráficas son funciones? A: una parábola que abre hacia arriba; B: un círculo; C: una forma de V, y = \lvert x \rvert - 1; D: la recta horizontal y = 2.

Four graphs on coordinate planes from -4 to 4. Graph A: a parabola opening upward with vertex at (0, -3). Graph B: a circle of radius 3 centered at the origin. Graph C: a V-shaped graph y = |x| - 1 with vertex at (0, -1). Graph D: a horizontal line y = 2.−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph A−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph B−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph C−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph D
Cuatro gráficas
  1. A (parábola): cualquier recta vertical la cruza una vez → función.
  2. B (círculo): la recta vertical x = 0 la cruza en (0, 3) y en (0, -3) → no es una función.
  3. C (forma de V): cada recta vertical la cruza una vez → función.
  4. D (recta horizontal): cada recta vertical la cruza una vez → función.

Respuesta: A, C y D son funciones; B no lo es.

Comprobación: Busca en B una entrada con dos salidas: x = 0 da y = 3 y y = -3 ✓ En A, C y D no existe una entrada así.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4: relaciones de la vida real (problema verbal)

El registro de calificaciones de una maestra muestra: Ana → 85, Ben → 92, Cara → 85, Dev → 78. ¿Es estudiante → calificación una función? ¿Es calificación → estudiante una función?

  1. Estudiante → calificación: cada estudiante tiene exactamente una calificación. Cara y Ana tienen 85, pero esa es una salida repetida → función.
  2. Calificación → estudiante: ahora la calificación es la entrada. La entrada 85 va a dos estudiantes (Ana y Cara) → no es una función.
Two mapping diagrams of the grade book. Left, student to score: Ana to 85, Ben to 92, Cara to 85, Dev to 78. Each student has one arrow, so it is a function even though two arrows end at 85. Right, score to student: 85 (in red) points to both Ana and Cara, 92 to Ben, 78 to Dev. The input 85 has two outputs, so it is not a function.StudentScoreAnaBenCaraDev788592student → scoreFunction ✓ScoreStudent788592AnaBenCaraDevscore → studentNot a function ✗ (85 → 2 names)
Diagramas de flechas de estudiante a calificación y de calificación a estudiante

Respuesta: estudiante → calificación es una función; calificación → estudiante no lo es.

Comprobación: Pregunta "¿Quién sacó 85?": hay dos respuestas, así que la relación invertida no cumple ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): trabaja al revés con un valor que falta

La relación \{(-2, 5), (0, 3), (k, 1), (4, -1)\} no es una función. ¿Qué valores podría tener k?

  1. La relación deja de ser función solo si una entrada se repite con una salida diferente.
  2. El par (k, 1) tiene la salida 1. Las otras salidas son 5, 3 y -1, todas diferentes de 1.
  3. Entonces, si k es igual a alguna entrada que ya existe (-2, 0 o 4), esa entrada tendría dos salidas diferentes.
    • k = -2: (-2, 5) y (-2, 1) ✗
    • k = 0: (0, 3) y (0, 1) ✗
    • k = 4: (4, -1) y (4, 1) ✗
Coordinate plane with the points (−2, 5), (0, 3) and (4, −1). A dotted horizontal line shows the output 1. Hollow red circles at (−2, 1), (0, 1) and (4, 1), each joined by a dashed vertical line to the existing point with the same x, show that k = −2, 0 or 4 would give one input two outputs. A hollow green circle at (1, 1) shows that k = 1 uses a new input and keeps the relation a function.−4−3−2−1123456−22460xy(−2, 5)(0, 3)(4, −1)k = −2 ✗k = 0 ✗k = 4 ✗k = 1 ✓y = 1(k, 1) breaks thefunction if it sharesan x with another pointRed: same x → ✗Green: new x → ✓
Dónde el punto (k, 1) haría que dejara de ser función

Respuesta: k = -2, 0 o 4. Cualquier otro valor hace que siga siendo una función.

Comprobación: Prueba con k = 1: las entradas -2, 0, 1, 4 son todas diferentes → función, como se esperaba ✓

Consejo de calculadora

Esta destreza trata de razonamiento, no de aritmética, así que la calculadora casi nunca ayuda. La TI-30XS MultiView no puede dibujar gráficas.

  • Úsala solo cuando una ecuación necesite un valor rápido; por ejemplo, para comprobar si x^2 + y^2 = 25 da dos valores de y en x = 3: calcula 25 - 3^2 (usa la tecla x²) para obtener 16 y luego 2nd + x² (√) para obtener 4. Tanto 4 como -4 funcionan, así que no es una función.
  • Para tablas, pares ordenados y gráficas, tus ojos y la prueba de la recta vertical son más rápidos que cualquier tecla. Trátalas como preguntas sin calculadora.
Error común

Errores comunes

  • Revisar las salidas en lugar de las entradas. ✗ "Los valores de y 3 y 3 se repiten, así que no es una función." ✓ Los valores de y repetidos están bien; solo una x repetida con valores de y diferentes hace que no sea función.
  • Usar una prueba de la recta horizontal. ✗ "Una recta horizontal cruza la parábola dos veces, así que no es una función." ✓ Solo importan las rectas verticales. Las parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo son funciones.
  • Decir que las rectas horizontales no son funciones. ✗ "y = 5 no tiene x, así que no es una función." ✓ y = 5 da una salida (5) para cada entrada: sí es una función. La que no cumple es la recta vertical x = 5.
  • Creer que un par idéntico repetido rompe la regla. ✗ (3, 8) escrito dos veces → "no es una función". ✓ La entrada 3 sigue teniendo una sola salida, 8.
  • Creer que una función necesita un patrón o espacios iguales. ✗ "Los valores de x saltan 1, 4, 10, así que no es una función." ✓ Las entradas pueden ser cualquier número; las salidas no necesitan un patrón. Solo importa la regla de una sola salida.
  • Confundir el orden de (x, y). En (5, 2) la entrada es 5, no 2.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen del GED®

  • Revisa solo las entradas. En pares ordenados o tablas, pasa el dedo primero por los valores de x. Si no hay repeticiones → es una función, y terminas en segundos.
  • En las gráficas, imagina de verdad una regla (de medir) puesta derecha. Busca cualquier lugar donde la curva se regrese sobre sí misma (un círculo, una "C" acostada, una recta vertical).
  • Preguntas de "NO es una función": lee la pregunta dos veces; en el GED® es fácil responder lo contrario de lo que se pregunta. Subraya la palabra no en tu pizarra.
  • Ecuaciones: si ves y^2 (sin una y a la primera potencia que se pueda despejar fácilmente) o x = \text{número}, sospecha que "no es una función".
  • Elimina las opciones de respuesta que dan el veredicto correcto por la razón equivocada (por ejemplo, "Sí, porque los valores de y aumentan").
  • Tiempo: estas preguntas suelen tomar de 30 a 60 segundos; guarda ese tiempo para los problemas más difíciles.

Compruébalo

Identificar funcionesSin calculadora

Which set of ordered pairs represents a function?

Opciones de respuesta
Pista

Look only at the first number (the input) of each pair. Does any input show up with two different outputs?

Ver en español

Pregunta

¿Qué conjunto de pares ordenados representa una función?

Opciones

  • A. \{(1, 2),\ (1, 3),\ (2, 4),\ (3, 5)\}
  • B. \{(2, 1),\ (3, 1),\ (2, 5),\ (4, 1)\}
  • C. \{(1, 4),\ (2, 5),\ (3, 6),\ (4, 7)\}
  • D. \{(0, 6),\ (5, 7),\ (0, 8),\ (6, 9)\}
Pista

Mira solo el primer número (la entrada) de cada par. ¿Aparece alguna entrada con dos salidas diferentes?

Compruébalo

Identificar funcionesSin calculadoraZona activa

The four graphs below show relations between x and y.

Click the graph that does NOT represent y as a function of x.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Four graphs on coordinate planes from -4 to 4. Graph A: a parabola opening upward with vertex at (0, -3). Graph B: a circle of radius 3 centered at the origin. Graph C: a V-shaped graph y = |x| - 1 with vertex at (0, -1). Graph D: a horizontal line y = 2.−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph A−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph B−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph C−4−3−2−11234−4−3−2−11234xyGraph D
Pista

Imagine sliding a vertical ruler across each graph. On which graph does the ruler touch two points at once?

Ver en español

Pregunta

Las cuatro gráficas de abajo muestran relaciones entre x y y.

Haz clic en la gráfica que NO representa a y como función de x.

Pista

Imagina que deslizas una regla vertical a lo largo de cada gráfica. ¿En qué gráfica la regla toca dos puntos a la vez?

Resumen

  • Una función da exactamente una salida para cada entrada; las salidas repetidas están permitidas.
  • Pares ordenados / tablas: busca una x repetida con valores de y diferentes: eso hace que no sea función.
  • Gráficas: usa la prueba de la recta vertical; los círculos, las parábolas hacia un lado y las rectas verticales no la pasan; las rectas horizontales sí.
  • Ecuaciones: si al despejar y obtienes \pm o no hay y (x = 4), no es una función.
  • Vida real: pregúntate "Si conozco la entrada, ¿sé con seguridad cuál es la salida?"
Practicar esta destreza →