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Evaluar funciones: la notación f(x)

Lee notación de funciones y evalúa funciones lineales y cuadráticas para cualquier entrada: enteros, negativos, decimales o valores de gráficas y tablas.

Practicar esta destreza 25 min Evaluar funciones lineales y cuadráticas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En esta lección vas a aprender a leer la notación de funciones, como f(x) = 3x + 4, y a evaluar una función, es decir, encontrar su salida para una entrada dada. Vas a trabajar con funciones lineales (f(x) = mx + b) y funciones cuadráticas (f(x) = ax^2 + bx + c), incluso con entradas difíciles como números negativos y decimales, y vas a aprender a trabajar al revés, de una salida a la entrada.

Por qué es importante en el GED®. La notación de funciones aparece en todo el examen de Matemáticas:

  • "Si f(x) = x^2 - 3x + 2, ¿cuánto es f(-2)?"
  • "Un plomero cobra C(h) = 65h + 45 dólares por h horas. ¿Cuánto cobra por 3.5 horas?"
  • "La altura de una pelota es h(t) = -16t^2 + 48t + 6. ¿Cuál es la altura después de 2 segundos?"
  • "Según la gráfica de f, ¿cuánto es f(4)?"

Por qué es importante en la vida real. Las facturas del teléfono, las tarifas de taxi y las calculadoras de sueldo son funciones: tú pones un número (minutos, millas, horas) y una regla te devuelve exactamente un número (el costo). Evaluar una función es simplemente "sustituir" con cuidado.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Función: una regla que da exactamente una salida para cada entrada.
  • Notación de funciones f(x): se lee "f de x". Significa "la salida de la función f cuando la entrada es x". No significa f por x.
  • Entrada: el número que está dentro de los paréntesis. En f(5), la entrada es 5.
  • Salida: el valor de f(x). Si f(5) = 19, la salida es 19, y el punto (5, 19) está en la gráfica.
  • Evaluar: reemplazar x por un número y simplificar. Evalúa f(x) = 2x + 1 en x = 3: f(3) = 2(3) + 1 = 7.
  • Sustituir: poner un número en lugar de una variable, dentro de paréntesis: x = -2 se convierte en (-2).
  • Función lineal: f(x) = mx + b; su gráfica es una recta. Ejemplo: f(x) = 4x - 9.
  • Función cuadrática: f(x) = ax^2 + bx + c con a \ne 0; su gráfica es una parábola. Ejemplo: g(x) = x^2 - 5x + 6.
  • Orden de las operaciones: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Suma/Resta (en inglés, PEMDAS).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Leer la notación de funciones

Una función es como una máquina: entra una entrada, la regla actúa sobre ella y sale una salida.

\underbrace{f}_{\text{nombre}}(\underbrace{x}_{\text{entrada}}) = \underbrace{3x + 4}_{\text{regla}}
  • f(5) significa "mete 5 en f". Entonces f(5) = 3(5) + 4 = 19.
  • La letra no importa: g(x), h(t), C(n), P(x) funcionan igual. A menudo la letra da una pista del significado: C de costo, h de altura (height), t de tiempo.
  • f(5) = 19 es un punto de la gráfica: (5, 19). La entrada es la coordenada x y la salida es la coordenada y. Así que y = f(x).
A function machine. The input 5 goes into a box labelled f(x) = 3x + 4, where the work 3(5) + 4 = 15 + 4 is shown, and the output 19 comes out. Caption: f(5) = 19 means input 5 gives output 19, which is the point (5, 19) on the graph. f(5) is not f times 5.input5f(x) = 3x + 43(5) + 4 = 15 + 4output19f(5) = 19 means input 5 → output 19 → point (5, 19) on the graphf(5) is NOT “f times 5”
Máquina de función: entrada 5, regla 3x + 4, salida 19

Importante: f(x) no es una multiplicación. f(5) no es "f \times 5".

Dos o más funciones. Si f(x) = x^2 + 1 y g(x) = 2x - 3, entonces

f(2) - g(-1) = \big(2^2 + 1\big) - \big(2(-1) - 3\big) = 5 - (-5) = 10.

Evalúa cada parte por separado y luego combínalas.

f(0) es especial: es la intersección con el eje y de la gráfica. Para f(x) = 3x + 4, f(0) = 4, así que la gráfica cruza el eje y en (0, 4).

2. Evaluar con seguridad: paréntesis, exponentes, negativos

Método paso a paso

  1. Vuelve a escribir la regla con paréntesis vacíos en cada lugar donde aparece x: f(\ ) = (\ )^2 - 3(\ ) + 2.
  2. Pon la entrada dentro de cada par de paréntesis.
  3. Simplifica siguiendo el orden de las operaciones: primero los exponentes, luego la multiplicación y después la suma y la resta de izquierda a derecha.

Ejemplo lineal: f(x) = 10 - 2x, encuentra f(-3).

f(-3) = 10 - 2(-3) = 10 + 6 = 16

Ejemplo cuadrático: f(x) = x^2 - 3x + 2, encuentra f(-2).

f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
Two function machines that use empty parentheses. First: input −3 goes into f(x) = 10 − 2( ); the work 10 − 2(−3) = 10 + 6 gives output 16. Second: input −2 goes into f(x) = ( )² − 3( ) + 2; the work (−2)² − 3(−2) + 2 = 4 + 6 + 2 gives output 12. Caption: put the input inside every pair of parentheses, then do exponents, multiplication, then addition and subtraction.input−3f(x) = 10 − 2( )10 − 2(−3) = 10 + 6output16input−2f(x) = ( )² − 3( ) + 2(−2)² − 3(−2) + 2 = 4 + 6 + 2output12Put the input inside EVERY pair of parentheses, then: exponents → multiply → add/subtract
Máquinas de función que llenan cada par de paréntesis

La trampa del cuadrado negativo. Estas expresiones son diferentes:

ExpresiónSignificadoValor
(-3)^2(-3)(-3)9
-3^2-(3 \cdot 3)-9
-x^2 cuando x = -3-\big((-3)^2\big)-9
2x^2 cuando x = 32 \cdot 3^2 = 2 \cdot 918 (no 6^2 = 36)

Un número elevado al cuadrado nunca es negativo, así que (-2)^2 = 4. Pero un signo menos delante del término al cuadrado se queda: en h(t) = -16t^2 + \dots, el término -16t^2 siempre es cero o negativo.

Los decimales y las fracciones funcionan igual: C(h) = 65h + 45 en h = 3.5 da 65(3.5) + 45 = 227.5 + 45 = 272.5. En x = \tfrac{1}{2}: f(x) = 4x^2 da 4\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \tfrac{1}{4} = 1.

3. Valores en gráficas y tablas, y cómo trabajar al revés

En una gráfica: f(a) es el valor de y del punto de la gráfica que está directamente arriba o abajo de x = a.

Graph of y = f(x), an upward-opening parabola on a coordinate plane from -4 to 6 horizontally and -5 to 6 vertically. Marked points on the curve: (-2, 5), (-1, 0), (0, -3), (1, -4) which is the lowest point, (2, -3), (3, 0), and (4, 5).−4−3−2−1123456−5−4−3−2−1123456xyy = f(x)
Gráfica de f

En esta gráfica: f(4) = 5 (ve a x = 4, sube hasta la curva y lee y = 5); f(0) = -3; f(1) = -4 (el punto más bajo); y f(-1) = 0. (Su regla es f(x) = x^2 - 2x - 3; por ejemplo, f(4) = 16 - 8 - 3 = 5 ✓.)

No confundas f(3) (la salida cuando x = 3, aquí 0) con "¿dónde es f(x) = 3?", que pide una entrada.

En una tabla: busca la entrada en la fila de x; la salida está justo debajo.

x-1025
g(x)74-2-11

Así que g(2) = -2 y g(-1) = 7.

Trabajar al revés (resolver). "¿Para qué x es f(x) = 25?" te da la salida; encuentras la entrada resolviendo una ecuación.

  • Lineal: f(x) = 4x - 7 y f(x) = 25 → 4x - 7 = 25 → 4x = 32 → x = 8.
  • Cuadrática: p(x) = x^2 - 6 y p(x) = 30 → x^2 = 36 → x = 6 o x = -6. Una cuadrática puede tener dos entradas con la misma salida: recuerda la raíz negativa.
Consejo

Qué significa la respuesta en un problema verbal

En el GED®, el valor de una función a menudo viene con una historia, y algunas preguntas piden qué significa un enunciado en lugar de pedirte que lo calcules.

  • C(3.5) = 272.5 en la factura de un plomero significa "un trabajo que dura 3.5 horas cuesta $272.50". El número entre paréntesis es la entrada (horas); el número después del signo igual es la salida (dólares).
  • h(2) = 38 para una pelota significa "después de 2 segundos, la pelota está a 38 pies de altura". No significa que la pelota recorre 2 pies en 38 segundos.
  • C(0) = 45 significa "una visita de cero horas igual cuesta $45": la tarifa fija, que también es la intersección con el eje y.

Hacer una tabla de valores. Para ver cómo se comporta una función, evalúala en varias entradas y anota los resultados. Para C(h) = 65h + 45:

h (horas)0123
C(h) (dólares)45110175240

La misma tabla dibujada como gráfica:

Table of C(h) = 65h + 45 beside its graph. Table: h = 0, 1, 2, 3 hours give C = 45, 110, 175, 240 dollars, with +65 marked between rows. Graph: cost in dollars against hours, a straight line starting at the flat fee (0, 45) and passing through (1, 110), (2, 175), (3, 240). A red point marks (3.5, 272.50), the cost of a 3.5-hour job.C(h) = 65h + 45h (hours)C(h) ($)045111021753240+65+65+6501234050100150200250300Hours (h)Cost in dollars(0, 45)(1, 110)(2, 175)(3, 240)(3.5, 272.50)C(0) = 45: flat fee
Tabla y gráfica de C(h) = 65h + 45

Cada hora extra suma $65, la tasa de cambio. Una tabla como esta también es una forma práctica de comprobar rápidamente una opción de respuesta.

Fórmula

Formas que debes reconocer

f(x) = mx + b \qquad\qquad f(x) = ax^2 + bx + c
  • x: la entrada; f(x): la salida (lo mismo que y)
  • m: la pendiente (tasa de cambio) de una función lineal; b: su intersección con el eje y, que es igual a f(0)
  • a, b, c: los coeficientes de una cuadrática; c = f(0), la intersección con el eje y

Hoja de fórmulas: la forma pendiente-intersección y = mx + b, la forma estándar de una cuadrática y = ax^2 + bx + c y la fórmula cuadrática están en la hoja de fórmulas del GED®. El significado de la notación de funciones f(x) y la regla "sustituye y luego sigue el orden de las operaciones" no están en la hoja: debes saberlos.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): una función lineal

Sea f(x) = 4x - 9. Encuentra f(5) y f(-2).

  1. f(5) = 4(5) - 9 = 20 - 9 = 11.
  2. f(-2) = 4(-2) - 9 = -8 - 9 = -17.
Graph of the line f(x) = 4x − 9. Marked points: (−2, −17), (0, −9) and (5, 11), so f(−2) = −17 and f(5) = 11. A green dashed step from (−2, −17) runs 7 to the right and rises 28 up to (5, 11), showing rise = 4 × 7 = 28.−3−2−1123456−20−15−10−5510150xyf(5) = 11 → (5, 11)(−2, −17)run = 7rise = 4 × 7 = 28(0, −9)
Gráfica de f(x) = 4x − 9 con los puntos para x = 5 y x = −2

Respuesta: f(5) = \mathbf{11} y f(-2) = \mathbf{-17}.

Comprobación: La pendiente es 4, así que al ir de x = -2 a x = 5 (7 pasos) la salida debe subir 4 \times 7 = 28: -17 + 28 = 11 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: una cuadrática con una entrada negativa

Sea g(x) = x^2 - 5x + 6. Encuentra g(-3).

  1. Sustituye usando paréntesis: g(-3) = (-3)^2 - 5(-3) + 6.
  2. Primero el exponente: (-3)^2 = 9.
  3. Multiplica: -5(-3) = +15.
  4. Suma: 9 + 15 + 6 = 30.
Graph of the parabola g(x) = x² − 5x + 6, opening upward, crossing the x-axis at (2, 0) and (3, 0) and the y-axis at (0, 6). A red point marks (−3, 30), with dashed guides to the axes. Beside it: g(−3) = (−3)² − 5(−3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30.−4−3−2−1123456−551015202530350xy(−3, 30)(0, 6)(2, 0)(3, 0)g(−3) = (−3)² − 5(−3) + 6= 9 + 15 + 6= 30
Gráfica de g(x) = x² − 5x + 6 con el punto (−3, 30)

Respuesta: g(-3) = \mathbf{30}.

Comprobación: Factoriza g(x) = (x - 2)(x - 3). Entonces g(-3) = (-3 - 2)(-3 - 3) = (-5)(-6) = 30 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: función lineal de la vida real (tarifa de taxi)

Una compañía de taxis cobra C(m) = 3.25 + 2.40m dólares por un viaje de m millas. ¿Cuánto cuesta un viaje de 12.5 millas?

  1. Sustituye m = 12.5: C(12.5) = 3.25 + 2.40(12.5).
  2. Primero multiplica: 2.40 \times 12.5 = 30.
  3. Suma: 3.25 + 30 = 33.25.
Graph of the taxi fare C(m) = 3.25 + 2.40m, fare in dollars against miles from 0 to 14. The line starts at the base fare (0, 3.25) and rises 2.40 dollars per mile. A red point at (12.5, 33.25) with dashed guides shows that a 12.5-mile ride costs 33.25 dollars.024681012140510152025303540Miles (m)Fare in dollars(12.5, 33.25)(0, 3.25): base fareC(m) = 3.25 + 2.40m
Gráfica de la tarifa de taxi C(m) = 3.25 + 2.40m

Respuesta: $33.25

Comprobación: Estima: unos $2.40 por milla × 12 millas ≈ $29, más unos $3 → aproximadamente $32–$33 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4: cuadrática de la vida real (altura de una pelota)

Se lanza una pelota hacia arriba. Su altura en pies después de t segundos es h(t) = -16t^2 + 64t + 5. ¿A qué altura está la pelota después de 1.5 segundos?

  1. Sustituye: h(1.5) = -16(1.5)^2 + 64(1.5) + 5.
  2. Exponente: (1.5)^2 = 2.25.
  3. Multiplica: -16(2.25) = -36 y 64(1.5) = 96.
  4. Suma: -36 + 96 + 5 = 65.
Graph of the ball height h(t) = −16t² + 64t + 5, height in feet against time in seconds. The curve starts at (0, 5), rises through (1, 53), the red point (1.5, 65) and (2, 69), then falls back to the ground a little after 4 seconds. A dashed line marks t = 1.5.0123401020304050607080Time in seconds (t)Height in feet(0, 5)(1, 53)(1.5, 65)(2, 69)h(t) = −16t² + 64t + 5
Gráfica de la altura de la pelota h(t) = −16t² + 64t + 5

Respuesta: 65 pies

Comprobación: h(1) = -16 + 64 + 5 = 53 y h(2) = -64 + 128 + 5 = 69. Un valor de 65 entre los dos tiene sentido mientras la pelota sube ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): trabaja al revés

(a) f(x) = 3x + 7. ¿Para qué valor de a es f(a) = 31? (b) p(x) = 2x^2 - 8. ¿Para qué valores de x es p(x) = 42?

(a)

  1. Iguala la regla a la salida: 3a + 7 = 31.
  2. Resta 7: 3a = 24.
  3. Divide entre 3: a = 8.

(b)

  1. Plantea: 2x^2 - 8 = 42.
  2. Suma 8: 2x^2 = 50. Divide entre 2: x^2 = 25.
  3. Saca la raíz cuadrada, con los dos signos: x = 5 o x = -5.
Working backwards from an output, in two graphs. (a) The line f(x) = 3x + 7 meets the dashed horizontal line y = 31 at (8, 31); a green arrow drops to the x-axis at a = 8. (b) The parabola p(x) = 2x² − 8, with lowest point (0, −8), meets the dashed line y = 42 at two points, (−5, 42) and (5, 42); green arrows drop to x = −5 and x = 5, showing a quadratic can have two inputs with the same output.(a) f(x) = 3x + 7, output 310246810010203040xy(8, 31)y = 31a = 8(b) p(x) = 2x² − 8, output 42−6−4−224620400xy(−5, 42)(5, 42)x = −5x = 5(0, −8)
Trabajar al revés desde una salida en una recta y en una parábola

Respuesta: (a) a = \mathbf{8}; (b) x = \mathbf{5} o x = \mathbf{-5}.

Comprobación: f(8) = 24 + 7 = 31 ✓; p(5) = 2(25) - 8 = 42 ✓ y p(-5) = 2(25) - 8 = 42 ✓

Consejo de calculadora

Consejos para la TI-30XS MultiView

  • Escribe siempre las entradas negativas con la tecla (−), dentro de paréntesis, y luego eleva al cuadrado: ( (−) 3 ) x² da 9. Si escribes (−) 3 x² sin paréntesis, da −9, porque la calculadora eleva el 3 al cuadrado primero.
  • Potencias: usa x² para los cuadrados y ^ para las demás potencias.
  • Expresiones completas de una vez: para h(1.5) = -16(1.5)^2 + 64(1.5) + 5, escribe (−) 16 ( 1.5 ) x² + 64 ( 1.5 ) + 5 enter → 65.
  • Fracciones: usa n/d para entradas como \tfrac{1}{2}, y toggle para cambiar la respuesta entre fracción y decimal.
  • Cuándo NO usarla: con números enteros pequeños como f(5) = 3(5) + 4, el cálculo mental es más rápido y evita errores al teclear. Muchas evaluaciones sencillas pueden aparecer en la parte del examen sin calculadora.
Error común

Errores comunes

  • Elevar un negativo al cuadrado sin paréntesis. ✗ (-2)^2 - 3(-2) + 2 evaluado como -4 + 6 + 2 = 4. ✓ (-2)^2 = 4, así que la respuesta es 4 + 6 + 2 = 12.
  • Perder el signo en -bx. ✗ -3(-2) = -6. ✓ Negativo × negativo = positivo: -3(-2) = +6.
  • Elevar también el coeficiente al cuadrado. ✗ 2x^2 en x = 3 como (2 \cdot 3)^2 = 36. ✓ Solo la x se eleva al cuadrado: 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18.
  • Olvidar el cuadrado. ✗ -16t^2 en t = 2 como -16 \cdot 2 = -32. ✓ -16 \cdot 2^2 = -16 \cdot 4 = -64.
  • Tratar f(x) como una multiplicación, o dar la entrada en lugar de la salida. f(3) pide un valor de y, no "f \times 3".
  • Olvidar la solución negativa al trabajar al revés con una cuadrática. ✗ x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 solamente. ✓ x = 6 o x = -6.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen del GED®

  • Primero escribe la regla con paréntesis en tu pizarra y después pon el número. Este solo hábito evita la mayoría de los errores de signo.
  • Lee la pregunta dos veces: "encuentra f(4)" (sustituye 4) es diferente de "encuentra x cuando f(x) = 4" (resuelve).
  • Elimina las opciones de respuesta que vienen de los errores típicos: una opción igual a tu respuesta con el signo cambiado, o una igual a (\text{coeficiente} \times x)^2.
  • Sustituye las respuestas en las preguntas de "trabajar al revés": si las opciones son 6 y -6, pruébalas en la función.
  • Estima las respuestas de la vida real: un viaje en taxi de 12 millas no debería costar $330; una pelota lanzada con la mano no debería subir a 1,000 pies de altura.
  • Unidades: en los problemas verbales, ponle la unidad (dólares, pies, segundos) a tu respuesta y asegúrate de que coincida con la pregunta.

Compruébalo

Evaluar funciones lineales y cuadráticasSin calculadora

If f(x) = 3x + 4, what is the value of f(5)?

Opciones de respuesta
Pista

Replace x with 5. Remember that 3x means 3 times x.

Ver en español

Pregunta

Si f(x) = 3x + 4, ¿cuál es el valor de f(5)?

Opciones

  • A. 12
  • B. 19
  • C. 27
  • D. 39
Pista

Reemplaza x por 5. Recuerda que 3x significa 3 por x.

Compruébalo

Evaluar funciones lineales y cuadráticasSin calculadoraCompletar

If g(x) = x^2 + 1, what is g(4)?

g(4) =

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Replace x with 4. Square first, then add.

Ver en español

Pregunta

Si g(x) = x^2 + 1, ¿cuánto es g(4)?

g(4) = _____

Pista

Reemplaza x por 4. Primero eleva al cuadrado y luego suma.

Resumen

  • f(x) significa "la salida de f para la entrada x": no es una multiplicación; f(a) = b significa que el punto (a, b) está en la gráfica.
  • Para evaluar, sustituye dentro de paréntesis y luego sigue el orden de las operaciones: exponentes → multiplicación → suma/resta.
  • (-3)^2 = 9, pero -3^2 = -9; en ax^2 solo la x se eleva al cuadrado.
  • En una gráfica o una tabla, f(a) es el valor de y que corresponde a x = a; f(0) es la intersección con el eje y.
  • Trabajar al revés: iguala f(x) a la salida dada y resuelve; una cuadrática puede dar dos respuestas.
Practicar esta destreza →