The table shows a proportional relationship between x and y.
x
1
2
3
4
y
6
12
18
24
Which equation represents this relationship?
Pista
Find \frac{y}{x} for more than one column. Is it always the same number?
Solución paso a paso
A proportional relationship has the form y = kx, where k = \frac{y}{x}.
Compute the ratio for every column: \frac{6}{1} = 6, \frac{12}{2} = 6, \frac{18}{3} = 6, \frac{24}{4} = 6.
The ratio is always 6, so k = 6.
The equation is y = 6x.
Answer: y = 6x
Check:x = 3: 6(3) = 18 ✓ and x = 4: 6(4) = 24 ✓ — every column works.
Tip: Always test at least two columns. y = x + 5 works for the first column only, which is exactly why it is a trap.
Explicación
Una relación proporcional tiene la forma y = kx, donde k = \frac{y}{x}.
Calcula la razón en cada columna: \frac{6}{1} = 6, \frac{12}{2} = 6, \frac{18}{3} = 6, \frac{24}{4} = 6.
La razón siempre es 6, así que k = 6.
La ecuación es y = 6x.
Respuesta: y = 6x
Comprobación:x = 3: 6(3) = 18 ✓ y x = 4: 6(4) = 24 ✓; todas las columnas funcionan.
Consejo: Prueba siempre por lo menos dos columnas. y = x + 5 funciona solo en la primera columna, y justamente por eso es una trampa.
Ver en español
Pregunta
La tabla muestra una relación proporcional entre x y y.
x
1
2
3
4
y
6
12
18
24
¿Qué ecuación representa esta relación?
Opciones
A.y = x + 5
B.y = \frac{x}{6}
C.y = 6x + 6
D.y = 6x
Pista
Encuentra \frac{y}{x} en más de una columna. ¿Siempre da el mismo número?
Pregunta 2 de 36
Completar
The graph shows the cost of buying gasoline at a gas station.
Cost of gasoline
What is the price of gasoline, in dollars per gallon?
$ per gallon
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Pick a point on the line where you can read both numbers exactly. Divide cost by gallons.
Solución paso a paso
The line passes through the origin, so the relationship is proportional: \text{cost} = k \times \text{gallons}.
Use a marked point, (3, 12): 3 gallons cost $12.
Unit rate: k = \frac{12}{3} = 4 dollars per gallon.
Confirm with the other point (5, 20): \frac{20}{5} = 4 ✓
Answer: $4 per gallon
Check: At $4 per gallon, 8 gallons cost 4 \times 8 = \text{\textdollar}32, which is exactly where the line ends at the top right ✓
Tip: Dividing the y-value by the x-value of any point (other than the origin) on a proportional graph gives the unit rate. Divide cost by gallons, not gallons by cost (which would give 0.25 gallon per dollar).
Explicación
La recta pasa por el origen, así que la relación es proporcional: \text{costo} = k \times \text{galones}.
Usa un punto marcado, (3, 12): 3 galones cuestan $12.
Tasa unitaria: k = \frac{12}{3} = 4 dólares por galón.
Confírmalo con el otro punto (5, 20): \frac{20}{5} = 4 ✓
Respuesta: $4 por galón
Comprobación: A $4 por galón, 8 galones cuestan 4 \times 8 = \text{\textdollar}32, que es exactamente donde termina la recta, arriba a la derecha ✓
Consejo: En una gráfica proporcional, si divides el valor de y entre el valor de x de cualquier punto (excepto el origen), obtienes la tasa unitaria. Divide el costo entre los galones, no los galones entre el costo (eso daría 0.25 galón por dólar).
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el costo de comprar gasolina en una gasolinera.
¿Cuál es el precio de la gasolina, en dólares por galón?
$_____ por galón
Pista
Elige un punto de la recta donde puedas leer exactamente los dos números. Divide el costo entre los galones.
Pregunta 3 de 36
Maria types at a steady rate of 45 words per minute. The number of words w that Jake types in m minutes is given by the equation
w = 52m
Who types faster, and by how many words per minute?
Pista
Find each person's words per minute. For Jake, which number in the equation is the rate?
Solución paso a paso
Maria's unit rate is given in the description: 45 words per minute.
Jake's equation w = 52m has the form y = kx, so his unit rate is k = 52 words per minute.
Compare: 52 > 45, so Jake is faster.
Difference: 52 - 45 = 7 words per minute.
Answer: Jake, by 7 words per minute
Check: In 10 minutes, Jake types 52 \times 10 = 520 words and Maria types 45 \times 10 = 450 words. 520 - 450 = 70 = 7 \times 10 ✓
Tip: In y = kx the number multiplying x is the unit rate. To compare, subtract the two unit rates — do not add them.
Explicación
La tasa unitaria de María está en la descripción: 45 palabras por minuto.
La ecuación de Jake, w = 52m, tiene la forma y = kx, así que su tasa unitaria es k = 52 palabras por minuto.
Consejo: En y = kx, el número que multiplica a x es la tasa unitaria. Para comparar, resta las dos tasas unitarias; no las sumes.
Ver en español
Pregunta
María escribe a máquina a una tasa constante de 45 palabras por minuto. El número de palabras w que Jake escribe en m minutos está dado por la ecuación
w = 52m
¿Quién escribe más rápido y por cuántas palabras por minuto?
Opciones
A. Jake, por 7 palabras por minuto
B. María, por 7 palabras por minuto
C. Jake, por 52 palabras por minuto
D. Jake, por 97 palabras por minuto
Pista
Encuentra las palabras por minuto de cada persona. En el caso de Jake, ¿qué número de la ecuación es la tasa?
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
A garden center sells mulch at a constant price per bag. 4 bags cost $22.
Which equation gives the cost c, in dollars, of b bags of mulch?
Pista
Find the price of one bag first. That number goes in front of b.
Solución paso a paso
A constant price per bag means the relationship is proportional: c = kb, where k is the price of 1 bag.
Find the unit rate: k = \dfrac{\text{cost}}{\text{bags}} = \dfrac{22}{4} = 5.5.
So each bag costs $5.50, and the equation is c = 5.5b.
Answer: c = 5.5b
Check: Put b = 4 into the equation: 5.5 \times 4 = 22 ✓. Also, 0 bags cost $0, as a proportional relationship must.
Tip: In y = kx, k is always "output per 1 input" — here dollars per bag. Divide cost by bags, never bags by cost.
Explicación
Un precio constante por bolsa significa que la relación es proporcional: c = kb, donde k es el precio de 1 bolsa.
Halla la tasa unitaria: k = \dfrac{\text{costo}}{\text{bolsas}} = \dfrac{22}{4} = 5.5.
Así que cada bolsa cuesta $5.50, y la ecuación es c = 5.5b.
Respuesta: c = 5.5b
Comprobación: Pon b = 4 en la ecuación: 5.5 \times 4 = 22 ✓. Además, 0 bolsas cuestan $0, como debe pasar en una relación proporcional.
Consejo: En y = kx, k siempre es "salida por cada 1 de entrada": aquí, dólares por bolsa. Divide el costo entre las bolsas, nunca las bolsas entre el costo.
Ver en español
Pregunta
Un vivero vende mantillo a un precio constante por bolsa. 4 bolsas cuestan $22.
¿Qué ecuación da el costo c, en dólares, de b bolsas de mantillo?
Opciones
A.b = 5.5c
B.c = 5.5b
C.c = 22b
D.c = b + 18
Pista
Primero encuentra el precio de una bolsa. Ese número va delante de b.
Pregunta 5 de 36
Completar
The graph shows how many pages an office printer prints over time. The printer works at a constant rate.
Pages printed by the printer
How many pages does the printer print per minute?
pages per minute
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Pick a marked point (x, y) and divide pages by minutes.
Solución paso a paso
The line passes through the origin, so the relationship is proportional and the unit rate is \dfrac{y}{x}.
Use the marked point (2, 36): \dfrac{36 \text{ pages}}{2 \text{ min}} = 18 pages per minute.
Use the other marked point to be sure: (5, 90) gives \dfrac{90}{5} = 18.
Answer: 18 pages per minute
Check: At 1 minute the line should be at 18 pages, a little below the 20 gridline — and it is. Also 18 \times 6 = 108, where the line ends ✓.
Tip: On a proportional graph, the unit rate is the y-value when x = 1. Using a labeled point is more accurate than guessing between gridlines.
Explicación
La recta pasa por el origen, así que la relación es proporcional y la tasa unitaria es \dfrac{y}{x}.
Usa el punto marcado (2, 36): \dfrac{36 \text{ pages}}{2 \text{ min}} = 18 páginas por minuto.
Usa el otro punto marcado para estar seguro: (5, 90) da \dfrac{90}{5} = 18.
Respuesta: 18 páginas por minuto
Comprobación: En 1 minuto, la recta debe estar en 18 páginas, un poco por debajo de la línea de 20 de la cuadrícula, y así es. Además, 18 \times 6 = 108, donde termina la recta ✓.
Consejo: En una gráfica proporcional, la tasa unitaria es el valor de y cuando x = 1. Usar un punto rotulado es más exacto que adivinar entre las líneas de la cuadrícula.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra cuántas páginas imprime una impresora de oficina a lo largo del tiempo. La impresora trabaja a una tasa constante.
¿Cuántas páginas imprime la impresora por minuto?
_____ páginas por minuto
Pista
Elige un punto marcado (x, y) y divide las páginas entre los minutos.
Pregunta 6 de 36
Jada hikes at a steady 3.2 miles per hour. The distance d (miles) that Omar hikes in t hours is given by
d = 2.8t
Who hikes faster, and by how much?
Pista
Write both speeds as miles per hour. In d = kt, the number k is the speed.
Solución paso a paso
Jada's unit rate is given in words: 3.2 mph.
Omar's equation has the form d = kt, so his unit rate is k =2.8 mph.
Compare: 3.2 > 2.8, so Jada is faster.
Find the difference: 3.2 - 2.8 = 0.4 mile per hour.
Answer: Jada, by 0.4 mile per hour
Check: In 5 hours Jada hikes 3.2 \times 5 = 16 miles and Omar hikes 2.8 \times 5 = 14 miles. The 2-mile gap over 5 hours is 2 \div 5 = 0.4 mph ✓.
Tip: "By how much" asks for a difference — subtract the two unit rates, do not report either rate on its own.
Explicación
La tasa unitaria de Jada se da en palabras: 3.2 mph.
La ecuación de Omar tiene la forma d = kt, así que su tasa unitaria es k =2.8 mph.
Compara: 3.2 > 2.8, así que Jada es más rápida.
Halla la diferencia: 3.2 - 2.8 = 0.4 millas por hora.
Respuesta: Jada, por 0.4 millas por hora
Comprobación: En 5 horas, Jada camina 3.2 \times 5 = 16 millas y Omar camina 2.8 \times 5 = 14 millas. La diferencia de 2 millas en 5 horas es 2 \div 5 = 0.4 mph ✓.
Consejo: "Por cuánto" pide una diferencia: resta las dos tasas unitarias; no des solo una de las tasas.
Ver en español
Pregunta
Jada camina a una rapidez constante de 3.2 millas por hora. La distancia d (millas) que Omar camina en t horas está dada por
d = 2.8t
¿Quién camina más rápido y por cuánto?
Opciones
A. Omar, por 0.4 millas por hora
B. Jada, por 6.0 millas por hora
C. Jada, por 0.4 millas por hora
D. Jada, por 3.2 millas por hora
Pista
Escribe las dos rapideces en millas por hora. En d = kt, el número k es la rapidez.
Pregunta 7 de 36
Two pumps are emptying a flooded basement. Each pump works at a constant rate.
Pump A
Time (minutes)
2
5
10
Water pumped (gallons)
18
45
90
Pump B
Pump B graph
If both pumps run for 30 minutes, how many more gallons will Pump B pump than Pump A?
Pista
Find each pump's gallons per minute first. Then think about 30 minutes, not 1 minute.
Solución paso a paso
Pump A's unit rate from the table: \frac{18}{2} = 9, \frac{45}{5} = 9, \frac{90}{10} = 9 → 9 gallons per minute.
Pump B's unit rate from the graph: the line passes through (4, 48), so \frac{48}{4} = 12 → 12 gallons per minute.
Difference per minute: 12 - 9 = 3 gallons per minute.
$10 por 4 alquileres de películas: \frac{10}{4} = 2.5 dólares por alquiler ✓
y = x + 2.5: se suma un número, así que no es proporcional (cuando x = 0, y = 2.5, no 0) ✗
Puntos (1, 2.5), (2, 3.5), (3, 4.5): las razones 2.5, 1.75, 1.5 no son constantes ✗
y = 0.4x: es proporcional, pero k = 0.4, no 2.5 (0.4 = \frac{1}{2.5}, la tasa invertida) ✗
Respuesta: y = 2.5x; los puntos (2,5), (4,10), (6,15); y $10 por 4 alquileres.
Comprobación: cada opción correcta da y = 25 cuando x = 10: 2.5(10) = 25; patrón de la tabla 5 \times 5 = 25; 10 alquileres cuestan 2.5 \times 10 = \text{\textdollar}25 ✓
Consejo: Es la misma tasa unitaria con diferente ropa: una ecuación, una tabla y una oración pueden describir exactamente la misma relación.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las relaciones de abajo que son proporcionales con una tasa unitaria de 2.5.
Opciones
A.y = 2.5x
B. Los puntos (2, 5), (4, 10) y (6, 15)
C. Una tienda cobra $10 por 4 rentas de películas, al mismo precio por renta
D.y = x + 2.5
E. Los puntos (1, 2.5), (2, 3.5) y (3, 4.5)
F.y = 0.4x
Pista
En cada una, hazte dos preguntas: ¿tiene la forma y = kx (sin ningún número sumado y con la razón siempre igual)? ¿Y esa razón es exactamente 2.5?
Pregunta 9 de 36
Completar
Laura and Tom are each paid a fixed amount per hour.
Laura earned $148.75 for 8.5 hours of work.
Tom's pay is shown in the table.
Hours
6
10
Pay ($)
99.00
165.00
How much more does the higher-paid person earn in a 40-hour week?
$
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find each hourly rate (pay ÷ hours). Then decide who earns more and use 40 hours.
Solución paso a paso
Laura's hourly rate: \frac{148.75}{8.5} = 17.50 dollars per hour.
Tom's hourly rate: \frac{99}{6} = 16.50 and \frac{165}{10} = 16.50 dollars per hour.
Laura earns more: 17.50 - 16.50 = \text{\textdollar}1.00 more per hour.
In a 40-hour week: 1.00 \times 40 = \text{\textdollar}40.
Tip: Estimate first: $148.75 for 8.5 h is a bit over $17 per hour; $99 for 6 h is a bit over $16. So the weekly difference should be about $40 — a quick way to catch a slip.
Explicación
Tarifa por hora de Laura: \frac{148.75}{8.5} = 17.50 dólares por hora.
Tarifa por hora de Tom: \frac{99}{6} = 16.50 y \frac{165}{10} = 16.50 dólares por hora.
Laura gana más: 17.50 - 16.50 = \text{\textdollar}1.00 más por hora.
En una semana de 40 horas: 1.00 \times 40 = \text{\textdollar}40.
Consejo: Estima primero: $148.75 por 8.5 h es un poco más de $17 por hora; $99 por 6 h es un poco más de $16. Así que la diferencia semanal debe ser de unos $40: una forma rápida de detectar un error.
Ver en español
Pregunta
A Laura y a Tom les pagan una cantidad fija por hora.
Laura ganó $148.75 por 8.5 horas de trabajo.
El pago de Tom se muestra en la tabla.
Horas
6
10
Pago ($)
99.00
165.00
¿Cuánto más gana la persona mejor pagada en una semana de 40 horas?
$_____
Pista
Encuentra cada tasa por hora (pago ÷ horas). Luego decide quién gana más y usa 40 horas.
Pregunta 10 de 36
Menú
Car X travels 351 miles on 13 gallons of gas. The distance m (miles) that Car Y travels on g gallons is m = 31g.
Complete the sentence.
gets better gas mileage, by miles per gallon.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Find each car's miles per gallon. Better mileage means more miles for each gallon.
Solución paso a paso
Car X: \frac{351 \text{ miles}}{13 \text{ gallons}} = 27 miles per gallon.
Car Y: from m = 31g, the unit rate is k = 31 miles per gallon.
More miles per gallon is better, and 31 > 27, so Car Y has better mileage.
Difference: 31 - 27 = 4 miles per gallon.
Answer: Car Y gets better gas mileage, by 4 miles per gallon.
Check: On 13 gallons, Car Y goes 31 \times 13 = 403 miles; Car X goes 351 miles. 403 - 351 = 52 = 4 \times 13 ✓
Tip: With miles per gallon, higher is better. With cost per gallon, lower is better. Decide which kind of rate you have before choosing the winner.
Explicación
Auto X: \frac{351 \text{ millas}}{13 \text{ galones}} = 27 millas por galón.
Auto Y: según m = 31g, la tasa unitaria es k = 31 millas por galón.
Más millas por galón es mejor, y 31 > 27, así que el auto Y tiene mejor rendimiento.
Diferencia: 31 - 27 = 4 millas por galón.
Respuesta: El auto Y tiene mejor rendimiento de gasolina, por 4 millas por galón.
Comprobación: Con 13 galones, el auto Y recorre 31 \times 13 = 403 millas; el auto X recorre 351 millas. 403 - 351 = 52 = 4 \times 13 ✓
Consejo: En millas por galón, más alto es mejor. En costo por galón, más bajo es mejor. Decide qué tipo de tasa tienes antes de elegir al ganador.
Ver en español
Pregunta
El auto X recorre 351 millas con 13 galones de gasolina. La distancia m (millas) que recorre el auto Y con g galones es m = 31g.
Completa la oración.
_____ tiene mejor rendimiento de gasolina, por _____ millas por galón.
Opciones
El auto X
El auto Y
4
27
31
58
Pista
Encuentra las millas por galón de cada auto. Mejor rendimiento significa más millas por cada galón.
Pregunta 11 de 36
Maya's bike ride is shown on the graph. Leo rides at a constant speed of 15 miles per hour.
Maya's bike ride
If both ride at their constant speeds for 2 hours, how many more miles does Leo ride than Maya?
Pista
Look closely at the units on the horizontal axis. Are they hours?
Solución paso a paso
Read a point on Maya's line: (30, 6) means 6 miles in 30 minutes.
Convert to miles per hour: 30 minutes is half an hour, so in 60 minutes she rides 6 \times 2 = 12 miles. Maya's speed is 12 mph. (Or: \frac{6}{30} = 0.2 mile per minute, and 0.2 \times 60 = 12 mph.)
Check: Leo: 15 \times 2 = 30 miles. Maya: 12 \times 2 = 24 miles (the graph confirms 12 miles at 60 minutes). 30 - 24 = 6 ✓
Tip: Before comparing, make the units identical — here, both in miles per hour. Graph axes in minutes are a classic GED trap.
Explicación
Lee un punto de la recta de Maya: (30, 6) significa 6 millas en 30 minutos.
Conviértelo a millas por hora: 30 minutos es media hora, así que en 60 minutos recorre 6 \times 2 = 12 millas. La rapidez de Maya es 12 mph. (O bien: \frac{6}{30} = 0.2 milla por minuto, y 0.2 \times 60 = 12 mph).
La rapidez de Leo es 15 mph. Diferencia: 15 - 12 = 3 mph.
En 2 horas: 3 \times 2 = 6 millas.
Respuesta: 6 millas
Comprobación: Leo: 15 \times 2 = 30 millas. Maya: 12 \times 2 = 24 millas (la gráfica confirma 12 millas a los 60 minutos). 30 - 24 = 6 ✓
Consejo: Antes de comparar, usa las mismas unidades: aquí, las dos en millas por hora. Los ejes de una gráfica en minutos son una trampa clásica del GED®.
Ver en español
Pregunta
El recorrido en bicicleta de Maya se muestra en la gráfica. Leo anda en bicicleta a una rapidez constante de 15 millas por hora.
Si los dos andan a su rapidez constante durante 2 horas, ¿cuántas millas más recorre Leo que Maya?
Opciones
A. 3 millas
B. 6 millas
C. 18 millas
D. 54 millas
Pista
Fíjate bien en las unidades del eje horizontal. ¿Son horas?
Pregunta 12 de 36
Arrastrar y soltar
Three stores sell bulk almonds at a constant price per pound. A fourth store's pricing is not proportional.
Drag each proportional store into the box that matches its price per pound. One store is not used.
Lowest price per pound
Middle price per pound
Highest price per pound
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Find dollars per pound for each store. Which one has an added amount and is therefore not proportional?
Solución paso a paso
Store A:y = 1.25x → $1.25 per pound.
Store B: $6.50 for 4 pounds → 6.50 \div 4 = \text{\textdollar}1.625 per pound.
Store C: table (3, 4.20), (6, 8.40) → 4.20 \div 3 = \text{\textdollar}1.40 and 8.40 \div 6 = \text{\textdollar}1.40 per pound.
Store D:y = x + 1.25 has an added $1.25, so it is not proportional (it does not pass through the origin) — not used.
Order the unit prices: 1.25 < 1.40 < 1.625.
Answer: Lowest — Store A; Middle — Store C; Highest — Store B.
Check: Compare by buying 4 pounds at each: A = 1.25 \times 4 = \text{\textdollar}5.00, C = 1.40 \times 4 = \text{\textdollar}5.60, B = \text{\textdollar}6.50 — same order ✓
Tip: Turning every representation into a single decimal "dollars per pound" makes ordering effortless.
Explicación
Tienda A:y = 1.25x → $1.25 por libra.
Tienda B: $6.50 por 4 libras → 6.50 \div 4 = \text{\textdollar}1.625 por libra.
Tienda C: tabla (3, 4.20), (6, 8.40) → 4.20 \div 3 = \text{\textdollar}1.40 y 8.40 \div 6 = \text{\textdollar}1.40 por libra.
Tienda D:y = x + 1.25 tiene $1.25 sumado, así que no es proporcional (no pasa por el origen): no se usa.
Ordena los precios unitarios: 1.25 < 1.40 < 1.625.
Respuesta: Más bajo: tienda A; intermedio: tienda C; más alto: tienda B.
Comprobación: Compara comprando 4 libras en cada una: A = 1.25 \times 4 = \text{\textdollar}5.00, C = 1.40 \times 4 = \text{\textdollar}5.60, B = \text{\textdollar}6.50: el mismo orden ✓
Consejo: Convertir cada representación en un solo decimal de "dólares por libra" hace que ordenar sea muy fácil.
Ver en español
Pregunta
Tres tiendas venden almendras a granel a un precio constante por libra. Los precios de una cuarta tienda no son proporcionales.
Arrastra cada tienda proporcional al recuadro que corresponde a su precio por libra. Una tienda no se usa.
Precio por libra más bajo
Precio por libra intermedio
Precio por libra más alto
_____
_____
_____
Opciones
Tienda A: y = 1.25x
Tienda C: 3 lb por $4.20, 6 lb por $8.40
Tienda B: $6.50 por 4 lb
Tienda D: y = x + 1.25
Pista
Encuentra los dólares por libra de cada tienda. ¿Cuál tiene una cantidad sumada y, por lo tanto, no es proporcional?
Pregunta 13 de 36
Varias respuestas
A store manager wants every price rule to match $0.75 per item, with no extra fees. Which of these relationships are proportional and have a constant of proportionality k = 0.75? Select all that apply.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
For each one, check two things: does it go through (0, 0), and is \frac{y}{x} always 0.75?
Solución paso a paso
y = \tfrac{3}{4}x: proportional, and \tfrac{3}{4} = 0.75 ✓.
Line through (0, 0) and (8, 6): passes through the origin; \tfrac{6}{8} = 0.75 ✓.
12 cans for $9 at the same price each:\tfrac{9}{12} = 0.75 dollar per can ✓.
y = \tfrac{4}{3}x: proportional, but \tfrac{4}{3} \approx 1.33, not 0.75 ✗.
y = 0.75x + 2: the +2 means (0, 2) is on the line, not (0, 0) — not proportional ✗.
Table (2, 1.5), (4, 2.5), (6, 3.5):\tfrac{1.5}{2} = 0.75 but \tfrac{2.5}{4} = 0.625 — the ratio changes ✗.
Answer: y = \tfrac{3}{4}x; the line through (0, 0) and (8, 6); 12 cans for $9
Check: Each correct choice gives y = 7.5 when x = 10: \tfrac{3}{4}(10) = 7.5; \tfrac{6}{8}(10) = 7.5; 0.75(10) = 7.5 ✓.
Tip: A fraction and a decimal can be the same rate. Convert everything to decimals before you compare.
Explicación
y = \tfrac{3}{4}x: es proporcional, y \tfrac{3}{4} = 0.75 ✓.
Recta que pasa por (0, 0) y (8, 6): pasa por el origen; \tfrac{6}{8} = 0.75 ✓.
12 latas por $9 al mismo precio cada una:\tfrac{9}{12} = 0.75 dólares por lata ✓.
y = \tfrac{4}{3}x: es proporcional, pero \tfrac{4}{3} \approx 1.33, no 0.75 ✗.
y = 0.75x + 2: el +2 significa que (0, 2) está en la recta, no (0, 0): no es proporcional ✗.
Tabla (2, 1.5), (4, 2.5), (6, 3.5):\tfrac{1.5}{2} = 0.75, pero \tfrac{2.5}{4} = 0.625: la razón cambia ✗.
Respuesta: y = \tfrac{3}{4}x; la recta que pasa por (0, 0) y (8, 6); 12 latas por $9
Comprobación: Cada opción correcta da y = 7.5 cuando x = 10: \tfrac{3}{4}(10) = 7.5; \tfrac{6}{8}(10) = 7.5; 0.75(10) = 7.5 ✓.
Consejo: Una fracción y un decimal pueden ser la misma tasa. Convierte todo a decimales antes de comparar.
Ver en español
Pregunta
El gerente de una tienda quiere que todas las reglas de precios correspondan a $0.75 por artículo, sin cargos adicionales. ¿Cuáles de estas relaciones son proporcionales y tienen una constante de proporcionalidad k = 0.75? Selecciona todas las que correspondan.
Opciones
A.y = \tfrac{3}{4}x
B. Una recta que pasa por (0, 0) y (8, 6)
C. Una tienda vende 12 latas de sopa por $9, al mismo precio por lata
D.y = \tfrac{4}{3}x
E.y = 0.75x + 2
F. Los puntos (2, 1.5), (4, 2.5), (6, 3.5)
Pista
En cada una, revisa dos cosas: ¿pasa por (0, 0)? ¿Y \frac{y}{x} siempre es 0.75?
Pregunta 14 de 36
Arrastrar y soltar
Three survey drones fly at constant speeds. A fourth drone's distance is not proportional to time. Distance d is in meters and time t is in seconds.
Drag each proportional drone into the box that matches its speed. One drone is not used.
Fastest
Middle
Slowest
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Turn each proportional drone into meters per second. Then sort the three numbers.
Solución paso a paso
Drone A:d = 14t → 14 meters per second.
Drone B: table (5, 60) and (8, 96): \tfrac{60}{5} = 12 and \tfrac{96}{8} = 12 → 12 m/s.
Drone D:d = t + 13 adds 13 instead of multiplying, so at t = 0 it is already 13 m away — not proportional, leave it out.
Order from fastest: 14 > 13 > 12.
Answer: Fastest = Drone A, Middle = Drone C, Slowest = Drone B
Check: After 10 seconds: A flies 140 m, C flies 130 m, B flies 120 m — same order ✓.
Tip: A sum like t + 13 hides a starting value. Only y = kx (no added number) is proportional.
Explicación
Dron A:d = 14t → 14 metros por segundo.
Dron B: tabla (5, 60) y (8, 96): \tfrac{60}{5} = 12 y \tfrac{96}{8} = 12 → 12 m/s.
Dron C: 390 metros en 30 segundos → \tfrac{390}{30} = 13 m/s.
Dron D:d = t + 13 suma 13 en vez de multiplicar, así que en t = 0 ya está a 13 m: no es proporcional; déjalo fuera.
Orden del más rápido al más lento: 14 > 13 > 12.
Respuesta: El más rápido = Dron A, Intermedio = Dron C, El más lento = Dron B
Comprobación: Después de 10 segundos: A vuela 140 m, C vuela 130 m, B vuela 120 m: el mismo orden ✓.
Consejo: Una suma como t + 13 esconde un valor inicial. Solo y = kx (sin un número sumado) es proporcional.
Ver en español
Pregunta
Tres drones de reconocimiento vuelan a rapidez constante. La distancia de un cuarto dron no es proporcional al tiempo. La distancia d está en metros y el tiempo t en segundos.
Arrastra cada dron proporcional al recuadro que corresponde a su rapidez. Un dron no se usa.
El más rápido
Intermedio
El más lento
_____
_____
_____
Opciones
Dron A: d = 14t
Dron C: vuela 390 metros en 30 segundos
Dron B: tabla con (5, 60) y (8, 96)
Dron D: d = t + 13
Pista
Convierte cada dron proporcional a metros por segundo. Luego ordena los tres números.
Pregunta 15 de 36
A grocery store and a farm stand both sell bananas at a constant price per pound.
Grocery store
Pounds
3
5
Cost ($)
1.74
2.90
Farm stand:c = 0.48p, where c is cost in dollars and p is pounds.
Nico has exactly enough money to buy 6 pounds at the grocery store. How many pounds can he buy at the farm stand for the same amount of money?
Pista
First find how much 6 pounds cost at the grocery store. Then ask: how many pounds at the farm stand cost that much?
Solución paso a paso
Grocery unit rate: \tfrac{1.74}{3} = 0.58 and \tfrac{2.90}{5} = 0.58 → $0.58 per pound.
Cost of 6 pounds at the grocery: 6 \times 0.58 = \$3.48.
At the farm stand, set the cost equal to $3.48: 0.48p = 3.48.
Divide: p = \tfrac{3.48}{0.48} = 7.25 pounds.
Answer: 7.25 pounds
Check:0.48 \times 7.25 = 3.48 ✓. It makes sense that he gets more than 6 pounds, because the farm stand is cheaper per pound.
Tip: Work-backwards problems have two steps: use one relationship to find the output, then divide by the other rate to find the input.
Explicación
Tasa unitaria del supermercado: \tfrac{1.74}{3} = 0.58 y \tfrac{2.90}{5} = 0.58 → $0.58 por libra.
Costo de 6 libras en el supermercado: 6 \times 0.58 = \$3.48.
En el puesto de granja, iguala el costo a $3.48: 0.48p = 3.48.
Divide: p = \tfrac{3.48}{0.48} = 7.25 libras.
Respuesta: 7.25 libras
Comprobación:0.48 \times 7.25 = 3.48 ✓. Tiene sentido que compre más de 6 libras, porque el puesto de granja es más barato por libra.
Consejo: Los problemas que se resuelven hacia atrás tienen dos pasos: usa una relación para hallar la salida y luego divide entre la otra tasa para hallar la entrada.
Ver en español
Pregunta
Un supermercado y un puesto de granja venden plátanos a un precio constante por libra.
Supermercado
Libras
3
5
Costo ($)
1.74
2.90
Puesto de granja:c = 0.48p, donde c es el costo en dólares y p son las libras.
Nico tiene exactamente el dinero suficiente para comprar 6 libras en el supermercado. ¿Cuántas libras puede comprar en el puesto de granja con la misma cantidad de dinero?
Opciones
A. 6 libras
B. unas 1.67 libras
C. unas 4.97 libras
D. 7.25 libras
Pista
Primero encuentra cuánto cuestan 6 libras en el supermercado. Luego pregúntate: ¿cuántas libras cuestan esa cantidad en el puesto de granja?
Pregunta 16 de 36
Completar
A nurse compares two IV pumps. Pump 1's output is shown on the graph. Pump 2 is set to deliver fluid at a constant 120 mL per hour.
IV Pump 1
How many more milliliters per hour does Pump 1 deliver than Pump 2?
mL per hour
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The graph's time axis is in minutes. Change Pump 1's rate to milliliters per hour before you compare.
Solución paso a paso
Read a point on Pump 1's line: (20, 50) means 50 mL in 20 minutes.
Unit rate per minute: \tfrac{50}{20} = 2.5 mL per minute.
Convert to per hour (60 minutes): 2.5 \times 60 = 150 mL per hour.
Compare with Pump 2: 150 - 120 = 30 mL per hour.
Answer: 30 mL per hour
Check: Pump 1 delivers 100 mL in 40 minutes (the point (40, 100)). In 60 minutes that is 100 \times \tfrac{60}{40} = 150 mL ✓, and 150 - 120 = 30.
Tip: Before you subtract two rates, make sure both use the same units — here, mL per hour.
Explicación
Lee un punto de la recta de la bomba 1 (Pump 1): (20, 50) significa 50 mL en 20 minutos.
Tasa unitaria por minuto: \tfrac{50}{20} = 2.5 mL por minuto.
Convierte a tasa por hora (60 minutos): 2.5 \times 60 = 150 mL por hora.
Compara con la bomba 2: 150 - 120 = 30 mL por hora.
Respuesta: 30 mL por hora
Comprobación: La bomba 1 administra 100 mL en 40 minutos (el punto (40, 100)). En 60 minutos, eso es 100 \times \tfrac{60}{40} = 150 mL ✓, y 150 - 120 = 30.
Consejo: Antes de restar dos tasas, asegúrate de que las dos usen las mismas unidades: aquí, mL por hora.
Ver en español
Pregunta
Una enfermera compara dos bombas de suero intravenoso. La producción de la bomba 1 se muestra en la gráfica. La bomba 2 está programada para administrar líquido a una tasa constante de 120 mL por hora.
¿Cuántos mililitros más por hora administra la bomba 1 que la bomba 2?
_____ mL por hora
Pista
El eje del tiempo de la gráfica está en minutos. Cambia la tasa de la bomba 1 a mililitros por hora antes de comparar.
Pregunta 17 de 36
Two lemonade recipes mix lemon juice and water in proportional amounts.
Recipe A:j = \tfrac{3}{8}w, where j is cups of lemon juice and w is cups of water.
Recipe B: shown in the table.
Water (w, cups)
4
10
Lemon juice (j, cups)
1.5
3.75
The recipe with more lemon juice per cup of water tastes stronger. Which statement is true?
Pista
Write both unit rates (cups of juice per 1 cup of water) as decimals.
Solución paso a paso
Recipe A: k = \tfrac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375 cup of juice per cup of water.
Recipe B: \tfrac{1.5}{4} = 0.375 and \tfrac{3.75}{10} = 0.375 cup of juice per cup of water.
The two unit rates are equal, so the recipes are equally strong.
Answer: The recipes are equally strong; both use 0.375 cup of juice per cup of water.
Check: Use Recipe A with 10 cups of water: \tfrac{3}{8} \times 10 = 3.75 cups of juice — exactly what Recipe B's table shows ✓.
Tip: Bigger numbers in a table do not mean a bigger rate. Always reduce to "per 1" before you compare.
Explicación
Receta A: k = \tfrac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375 tazas de jugo por taza de agua.
Receta B: \tfrac{1.5}{4} = 0.375 y \tfrac{3.75}{10} = 0.375 tazas de jugo por taza de agua.
Las dos tasas unitarias son iguales, así que las recetas tienen un sabor igual de fuerte.
Respuesta: Las recetas son igual de fuertes; las dos usan 0.375 tazas de jugo por taza de agua.
Comprobación: Usa la receta A con 10 tazas de agua: \tfrac{3}{8} \times 10 = 3.75 tazas de jugo, exactamente lo que muestra la tabla de la receta B ✓.
Consejo: Números más grandes en una tabla no significan una tasa mayor. Siempre reduce a "por cada 1" antes de comparar.
Ver en español
Pregunta
Dos recetas de limonada mezclan jugo de limón y agua en cantidades proporcionales.
Receta A:j = \tfrac{3}{8}w, donde j son las tazas de jugo de limón y w son las tazas de agua.
Receta B: se muestra en la tabla.
Agua (w, tazas)
4
10
Jugo de limón (j, tazas)
1.5
3.75
La receta con más jugo de limón por taza de agua tiene un sabor más fuerte. ¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. Las recetas son igual de fuertes; las dos usan 0.375 tazas de jugo por taza de agua.
B. La receta B es más fuerte, porque 3.75 tazas es más que \tfrac{3}{8} de taza.
C. La receta B es más fuerte, porque \tfrac{4}{1.5} \approx 2.67 es mayor que \tfrac{3}{8}.
D. No se pueden comparar, porque una es una ecuación y la otra es una tabla.
Pista
Escribe las dos tasas unitarias (tazas de jugo por 1 taza de agua) como decimales.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
Two hoses fill a pool at constant rates. The graph shows the water each hose adds over time.
Hose A and Hose B
Which statement is true?
Pista
Find each hose's gallons per minute from its marked point. The steeper line has the greater rate.
Solución paso a paso
Hose A passes through (5, 40): \tfrac{40}{5} = 8 gallons per minute.
Hose B passes through (8, 40): \tfrac{40}{8} = 5 gallons per minute.
Hose A's line is steeper, and its rate is greater: 8 > 5.
Difference: 8 - 5 = 3 gallons per minute.
Answer: Hose A fills faster, by 3 gallons per minute.
Check: At 10 minutes, Hose A's line is at 80 gallons and Hose B's at 50. The gap is 30 gallons in 10 minutes, or 3 gallons per minute ✓.
Tip: On one graph with the same axes, the steeper line through the origin is the faster rate. Time to reach a value is not the rate — less time means faster.
Explicación
La manguera A (Hose A) pasa por (5, 40): \tfrac{40}{5} = 8 galones por minuto.
La manguera B (Hose B) pasa por (8, 40): \tfrac{40}{8} = 5 galones por minuto.
La recta de la manguera A es más inclinada, y su tasa es mayor: 8 > 5.
Diferencia: 8 - 5 = 3 galones por minuto.
Respuesta: La manguera A llena más rápido, por 3 galones por minuto.
Comprobación: A los 10 minutos, la recta de la manguera A está en 80 galones y la de la manguera B en 50. La diferencia es de 30 galones en 10 minutos, o sea, 3 galones por minuto ✓.
Consejo: En una misma gráfica con los mismos ejes, la recta más inclinada que pasa por el origen es la de la tasa más rápida. El tiempo para llegar a un valor no es la tasa: menos tiempo significa más rápido.
Ver en español
Pregunta
Dos mangueras llenan una piscina a tasas constantes. La gráfica muestra el agua que agrega cada manguera (Hose A y Hose B) a lo largo del tiempo.
¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. La manguera A llena más rápido, por 3 galones por minuto.
B. La manguera B llena más rápido, porque tarda 8 minutos en llegar a 40 galones y 8 > 5.
C. La manguera A llena más rápido, por 13 galones por minuto.
D. Las dos mangueras llenan a la misma tasa, porque las dos rectas empiezan en (0, 0).
Pista
Encuentra los galones por minuto de cada manguera a partir de su punto marcado. La recta más inclinada tiene la mayor tasa.
Pregunta 19 de 36
Completar
Store A sells fabric for c = 6.75y, where c is the cost in dollars and y is the number of yards. Store B charges the same price per yard. Part of Store B's price list is shown.
Yards
2
4
?
Cost ($)
13.50
27.00
40.50
How many yards are in the missing column?
yards
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The unit rate is the same at both stores. Which number of yards, times that rate, gives $40.50?
Solución paso a paso
Both stores charge $6.75 per yard (Store A's equation gives k = 6.75).
Check Store B's known columns: 2 \times 6.75 = 13.50 ✓ and 4 \times 6.75 = 27.00 ✓.
For the missing column, solve 6.75y = 40.50.
Divide: y = \tfrac{40.50}{6.75} = 6 yards.
Answer: 6 yards
Check:6 \times 6.75 = 40.50 ✓. Also, $40.50 is 13.50 \times 3, so the yards must be 2 \times 3 = 6 ✓.
Tip: When the output is known and the input is missing, divide the output by the unit rate.
Explicación
Las dos tiendas cobran $6.75 por yarda (la ecuación de la tienda A da k = 6.75).
Comprueba las columnas conocidas de la tienda B: 2 \times 6.75 = 13.50 ✓ y 4 \times 6.75 = 27.00 ✓.
Para la columna que falta, resuelve 6.75y = 40.50.
Divide: y = \tfrac{40.50}{6.75} = 6 yardas.
Respuesta: 6 yardas
Comprobación:6 \times 6.75 = 40.50 ✓. Además, $40.50 es 13.50 \times 3, así que las yardas deben ser 2 \times 3 = 6 ✓.
Consejo: Cuando conoces la salida y falta la entrada, divide la salida entre la tasa unitaria.
Ver en español
Pregunta
La tienda A vende tela según c = 6.75y, donde c es el costo en dólares y y es el número de yardas. La tienda B cobra el mismo precio por yarda. Se muestra parte de la lista de precios de la tienda B.
Yardas
2
4
?
Costo ($)
13.50
27.00
40.50
¿Cuántas yardas van en la columna que falta?
_____ yardas
Pista
La tasa unitaria es la misma en las dos tiendas. ¿Qué número de yardas, multiplicado por esa tasa, da $40.50?
Pregunta 20 de 36
Two bakeries bake cookies at constant rates.
Bakery A
Bakery A cookies
Bakery B
Time (hours)
3
7
Cookies baked
156
364
In an 8-hour shift, how many more cookies does the faster bakery bake?
Pista
Find cookies per hour for each bakery. Then think about the gap over 8 hours.
Solución paso a paso
Bakery A (graph): the point (2, 90) gives \tfrac{90}{2} = 45 cookies per hour. (\tfrac{270}{6} = 45 too.)
Bakery B (table): \tfrac{156}{3} = 52 and \tfrac{364}{7} = 52 cookies per hour.
Bakery B is faster by 52 - 45 = 7 cookies per hour.
Consejo: Diferencia a lo largo del tiempo = (diferencia de las tasas unitarias) × tiempo. Es la misma respuesta que hallar los dos totales y restarlos.
Ver en español
Pregunta
Dos panaderías hornean galletas a tasas constantes.
Panadería A
Panadería B
Tiempo (horas)
3
7
Galletas horneadas
156
364
En un turno de 8 horas, ¿cuántas galletas más hornea la panadería más rápida?
Opciones
A. 56 galletas
B. 7 galletas
C. 416 galletas
D. 776 galletas
Pista
Encuentra las galletas por hora de cada panadería. Luego piensa en la diferencia en 8 horas.
Pregunta 21 de 36
The graph shows the cost of floor tile, which is sold at a constant price per square foot.
Cost of floor tile
Which equation represents the cost c, in dollars, of f square feet of tile?
Pista
Divide the y-value of a marked point by its x-value to get k in c = kf.
Solución paso a paso
The line goes through (0, 0), so the relationship is proportional: c = kf.
Use the point (10, 35): k = \tfrac{35}{10} = 3.5 dollars per square foot.
Confirm with (20, 70): \tfrac{70}{20} = 3.5 ✓.
The equation is c = 3.5f.
Answer: c = 3.5f
Check: At f = 40 the equation gives 3.5 \times 40 = 140, which is exactly where the line ends on the graph ✓.
Tip: The constant k is \tfrac{y}{x} (cost ÷ square feet). Reading only one coordinate of a point, or dividing in the wrong order, are the two classic slips.
Explicación
La recta pasa por (0, 0), así que la relación es proporcional: c = kf.
Usa el punto (10, 35): k = \tfrac{35}{10} = 3.5 dólares por pie cuadrado.
Confirma con (20, 70): \tfrac{70}{20} = 3.5 ✓.
La ecuación es c = 3.5f.
Respuesta: c = 3.5f
Comprobación: En f = 40, la ecuación da 3.5 \times 40 = 140, que es justo donde termina la recta en la gráfica ✓.
Consejo: La constante k es \tfrac{y}{x} (costo ÷ pies cuadrados). Leer solo una coordenada de un punto o dividir en el orden equivocado son los dos errores clásicos.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el costo de las baldosas para piso, que se venden a un precio constante por pie cuadrado.
¿Qué ecuación representa el costo c, en dólares, de f pies cuadrados de baldosas?
Opciones
A.c = 3.5f
B.c = \tfrac{2}{7}f
C.c = 35f
D.c = f + 25
Pista
Divide el valor de y de un punto marcado entre su valor de x para obtener k en c = kf.
Pregunta 22 de 36
Sin calculadora
The graph shows the cost of ribbon at a craft store.
Cost of ribbon
Which statement correctly describes the unit rate shown by the graph?
Pista
The unit rate is the cost of exactly 1 yard. Where is the line when x = 1?
Solución paso a paso
The line passes through (0, 0), so it is proportional.
Use the marked point (5, 6): 5 yards cost $6.
Unit rate = dollars ÷ yards = \tfrac{6}{5} = 1.20 dollars per yard.
The same rate comes from (10, 12): \tfrac{12}{10} = 1.20.
Answer: Ribbon costs $1.20 per yard.
Check: At x = 1 the line is a little above the $1 level — consistent with $1.20. Also 1.20 \times 10 = 12, matching the point (10, 12) ✓.
Tip: "Unit rate" always means "per 1" of the input on the horizontal axis. Read the axis labels to get the units right.
Explicación
La recta pasa por (0, 0), así que es proporcional.
La misma tasa sale de (10, 12): \tfrac{12}{10} = 1.20.
Respuesta: La cinta cuesta $1.20 por yarda.
Comprobación: En x = 1, la recta está un poco por encima del nivel de $1, lo cual concuerda con $1.20. Además, 1.20 \times 10 = 12, que coincide con el punto (10, 12) ✓.
Consejo: "Tasa unitaria" siempre significa "por cada 1" de la entrada del eje horizontal. Lee los rótulos de los ejes para usar las unidades correctas.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el costo de la cinta en una tienda de manualidades.
¿Qué enunciado describe correctamente la tasa unitaria que muestra la gráfica?
Opciones
A. La cinta cuesta aproximadamente $0.83 por yarda.
B. La cinta cuesta $1.20 por yarda.
C. La cinta cuesta $6 por yarda.
D. La cinta cuesta $1.20 por cada 5 yardas.
Pista
La tasa unitaria es el costo de exactamente 1 yarda. ¿Dónde está la recta cuando x = 1?
Pregunta 23 de 36
Menú
Two lawn sprinklers use water at constant rates.
Sprinkler A
Time (minutes)
15
40
Water used (gallons)
33
88
Sprinkler B uses 156 gallons in 1 hour.
Complete the sentence.
uses more water per minute, by gallon(s) per minute.
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Write both rates as gallons per minute. Remember 1 hour = 60 minutes.
Solución paso a paso
Sprinkler A: \tfrac{33}{15} = 2.2 and \tfrac{88}{40} = 2.2 gallons per minute.
Sprinkler B: 156 gallons in 60 minutes → \tfrac{156}{60} = 2.6 gallons per minute.
Compare: 2.6 > 2.2, so Sprinkler B uses more water per minute.
Difference: 2.6 - 2.2 = 0.4 gallon per minute.
Answer: Sprinkler B uses more water per minute, by 0.4 gallon per minute.
Check: In 1 hour, Sprinkler A uses 2.2 \times 60 = 132 gallons and B uses 156. Gap: 156 - 132 = 24 gallons per hour, and 24 \div 60 = 0.4 ✓.
Tip: Never compare totals from different time spans (88 gallons in 40 min vs. 156 in 60 min). Convert to the same unit rate first.
Explicación
Aspersor A: \tfrac{33}{15} = 2.2 y \tfrac{88}{40} = 2.2 galones por minuto.
Aspersor B: 156 galones en 60 minutos → \tfrac{156}{60} = 2.6 galones por minuto.
Compara: 2.6 > 2.2, así que el aspersor B usa más agua por minuto.
Diferencia: 2.6 - 2.2 = 0.4 galones por minuto.
Respuesta: El aspersor B usa más agua por minuto, por 0.4 galones por minuto.
Comprobación: En 1 hora, el aspersor A usa 2.2 \times 60 = 132 galones y el B usa 156. Diferencia: 156 - 132 = 24 galones por hora, y 24 \div 60 = 0.4 ✓.
Consejo: Nunca compares totales de periodos de tiempo distintos (88 galones en 40 min frente a 156 en 60 min). Primero convierte a la misma tasa unitaria.
Ver en español
Pregunta
Dos aspersores de césped usan agua a tasas constantes.
Aspersor A
Tiempo (minutos)
15
40
Agua usada (galones)
33
88
El aspersor B usa 156 galones en 1 hora.
Completa la oración.
_____ usa más agua por minuto, por _____ galón(es) por minuto.
Opciones
El aspersor A
El aspersor B
0.4
2.6
4.8
68
Pista
Escribe las dos tasas en galones por minuto. Recuerda que 1 hora = 60 minutos.
Pregunta 24 de 36
Two machines fill water bottles at constant rates.
Machine A fills bottles according to p = 35h, where p is bottles and h is hours.
Machine B's output is shown in the table.
Hours (h)
3
5
Bottles (p)
90
150
Machine B runs for 7 hours. How many hours must Machine A run to fill the same number of bottles?
Pista
First find how many bottles Machine B fills in 7 hours. Then ask: how long does A need for that many?
Solución paso a paso
Machine B's unit rate: \frac{90}{3} = 30 and \frac{150}{5} = 30 → 30 bottles per hour.
Machine B in 7 hours: 30 \times 7 = 210 bottles.
Machine A fills 35 bottles per hour. Solve 35h = 210.
h = \frac{210}{35} = 6 hours.
Answer: 6 hours
Check: Machine A in 6 hours: 35 \times 6 = 210 bottles — the same as Machine B's 210 ✓ It makes sense that A needs less time, because it is faster.
Tip: "Work backwards" questions are solved with the same equation y = kx: when you know y and k, divide: x = \frac{y}{k}.
Explicación
Tasa unitaria de la máquina B: \frac{90}{3} = 30 y \frac{150}{5} = 30 → 30 botellas por hora.
Máquina B en 7 horas: 30 \times 7 = 210 botellas.
La máquina A llena 35 botellas por hora. Resuelve 35h = 210.
h = \frac{210}{35} = 6 horas.
Respuesta: 6 horas
Comprobación: Máquina A en 6 horas: 35 \times 6 = 210 botellas, lo mismo que las 210 de la máquina B ✓ Tiene sentido que A necesite menos tiempo, porque es más rápida.
Consejo: Las preguntas de "trabajar hacia atrás" se resuelven con la misma ecuación y = kx: cuando conoces y y k, divide: x = \frac{y}{k}.
Ver en español
Pregunta
Dos máquinas llenan botellas de agua a tasas constantes.
La máquina A llena botellas según p = 35h, donde p son las botellas y h son las horas.
La producción de la máquina B se muestra en la tabla.
Horas (h)
3
5
Botellas (p)
90
150
La máquina B funciona durante 7 horas. ¿Cuántas horas debe funcionar la máquina A para llenar el mismo número de botellas?
Opciones
A. 6 horas
B. unas 8.2 horas
C. 210 horas
D. 245 horas
Pista
Primero encuentra cuántas botellas llena la máquina B en 7 horas. Luego pregúntate: ¿cuánto tiempo necesita A para llenar esa cantidad?
Pregunta 25 de 36
A painter mixes blue and white paint in proportional amounts.
Mix A:b = \tfrac{2}{3}w, where b is cups of blue and w is cups of white.
Mix B: shown in the table.
White (w, cups)
6
12
Blue (b, cups)
5
10
The mix with more blue paint per cup of white is darker. Which statement is true?
Pista
Find cups of blue per 1 cup of white for each mix. Compare the two fractions as decimals.
Solución paso a paso
Mix A: the constant in b = \tfrac{2}{3}w is \tfrac{2}{3} \approx 0.667 cup of blue per cup of white.
Mix B: \frac{b}{w} = \frac{5}{6} \approx 0.833 (and \frac{10}{12} = \frac{5}{6} ✓) cup of blue per cup of white.
Compare: \frac{5}{6} \approx 0.833 > \frac{2}{3} \approx 0.667. With common denominators: \frac{2}{3} = \frac{4}{6} < \frac{5}{6}.
Mix B has more blue per cup of white, so Mix B is darker.
Answer: Mix B, because it uses \tfrac{5}{6} cup of blue per cup of white, and \tfrac{5}{6} > \tfrac{2}{3}.
Check: With 6 cups of white, Mix A uses \tfrac{2}{3} \times 6 = 4 cups of blue; Mix B uses 5 cups. 5 > 4 ✓
Tip: When comparing the "other way" (white per blue), the larger number means less blue. Keep the quantity the question cares about (blue) on top.
Explicación
Mezcla A: la constante en b = \tfrac{2}{3}w es \tfrac{2}{3} \approx 0.667 taza de azul por taza de blanco.
Mezcla B: \frac{b}{w} = \frac{5}{6} \approx 0.833 (y \frac{10}{12} = \frac{5}{6} ✓) taza de azul por taza de blanco.
La mezcla B tiene más azul por taza de blanco, así que la mezcla B es más oscura.
Respuesta: La mezcla B, porque usa \tfrac{5}{6} de taza de azul por taza de blanco, y \tfrac{5}{6} > \tfrac{2}{3}.
Comprobación: Con 6 tazas de blanco, la mezcla A usa \tfrac{2}{3} \times 6 = 4 tazas de azul; la mezcla B usa 5 tazas. 5 > 4 ✓
Consejo: Si comparas "al revés" (blanco por azul), el número mayor significa menos azul. Pon arriba la cantidad que le importa a la pregunta (el azul).
Ver en español
Pregunta
Un pintor mezcla pintura azul y blanca en cantidades proporcionales.
Mezcla A:b = \tfrac{2}{3}w, donde b son las tazas de azul y w son las tazas de blanco.
Mezcla B: se muestra en la tabla.
Blanco (w, tazas)
6
12
Azul (b, tazas)
5
10
La mezcla con más pintura azul por taza de blanco es más oscura. ¿Qué enunciado es verdadero?
Opciones
A. La mezcla B, porque usa \tfrac{5}{6} de taza de azul por taza de blanco, y \tfrac{5}{6} > \tfrac{2}{3}.
B. La mezcla A, porque \tfrac{2}{3} es mayor que \tfrac{5}{6}.
C. La mezcla A, porque usa 1.5 tazas de blanco por taza de azul, más que las 1.2 tazas de la mezcla B.
D. Las mezclas son igual de oscuras, porque en las dos la cantidad de azul aumenta a medida que aumenta la cantidad de blanco.
Pista
Encuentra las tazas de azul por 1 taza de blanco en cada mezcla. Compara las dos fracciones como decimales.
Pregunta 26 de 36
Varias respuestas
Six relationships are described below. In which of them is the second quantity proportional to the first — that is, it can be written as y = kx for one constant k? Choose every correct answer.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Proportional means y = kx: the ratio \frac{y}{x} never changes and (0, 0) fits. A constant difference is not enough.
Solución paso a paso
Test each relationship for a constant ratio \tfrac{y}{x} and the point (0, 0).
c = 0.5n — the form y = kx with k = 0.5 → proportional ✓.
3 gallons of paint cover 1,050 sq ft, at the same coverage per gallon — \tfrac{1050}{3} = 350 sq ft per gallon, and 0 gallons cover 0 sq ft → proportional ✓.
Table (0, 0), (2, 9), (5, 22.5) — \tfrac{9}{2} = 4.5, \tfrac{22.5}{5} = 4.5, and it includes (0, 0) → proportional ✓.
Table (1, 5), (2, 8), (3, 11) — y goes up by 3 each time, but \tfrac{5}{1} = 5 while \tfrac{8}{2} = 4 → not proportional ✗ (the line would cross the y-axis at 2).
Gym: $25 to join plus $10 per month — c = 10m + 25; at 0 months you already pay $25 → not proportional ✗.
A line through (0, 4) and (2, 8) — it misses the origin → not proportional ✗, even though \tfrac{8}{2} = 4.
Answer: c = 0.5n; the paint coverage; the table with (0, 0), (2, 9), (5, 22.5)
Check: Double the input in each correct choice and the output doubles: n = 4 \to 2, n = 8 \to 4; 6 gallons → 2,100 sq ft; x = 4 \to 18, x = 10 \to 45 ✓.
Tip: "Same amount added each time" makes a line; "same ratio every time" makes a proportional line. One ratio that matches is not proof — check every point.
Explicación
Pon a prueba cada relación: busca una razón \tfrac{y}{x} constante y el punto (0, 0).
c = 0.5n: tiene la forma y = kx con k = 0.5 → proporcional ✓.
3 galones de pintura cubren 1,050 pies cuadrados, con la misma cobertura por galón: \tfrac{1050}{3} = 350 pies cuadrados por galón, y 0 galones cubren 0 pies cuadrados → proporcional ✓.
Tabla (0, 0), (2, 9), (5, 22.5): \tfrac{9}{2} = 4.5, \tfrac{22.5}{5} = 4.5, e incluye (0, 0) → proporcional ✓.
Tabla (1, 5), (2, 8), (3, 11): y sube 3 cada vez, pero \tfrac{5}{1} = 5 mientras que \tfrac{8}{2} = 4 → no es proporcional ✗ (la recta cruzaría el eje y en 2).
Gimnasio: $25 de inscripción más $10 por mes: c = 10m + 25; con 0 meses ya pagas $25 → no es proporcional ✗.
Una recta que pasa por (0, 4) y (2, 8): no pasa por el origen → no es proporcional ✗, aunque \tfrac{8}{2} = 4.
Respuesta: c = 0.5n; la cobertura de la pintura; la tabla con (0, 0), (2, 9), (5, 22.5)
Comprobación: En cada opción correcta, si duplicas la entrada, la salida se duplica: n = 4 \to 2, n = 8 \to 4; 6 galones → 2,100 pies cuadrados; x = 4 \to 18, x = 10 \to 45 ✓.
Consejo: "Se suma la misma cantidad cada vez" da una recta; "la misma razón cada vez" da una recta proporcional. Que una razón coincida no lo prueba: revisa todos los puntos.
Ver en español
Pregunta
Abajo se describen seis relaciones. ¿En cuáles la segunda cantidad es proporcional a la primera, es decir, se puede escribir como y = kx para una constante k? Elige todas las respuestas correctas.
Opciones
A.c = 0.5n
B. 3 galones de pintura cubren 1,050 pies cuadrados, con la misma cobertura por galón
C. Una tabla con los puntos (0, 0), (2, 9), (5, 22.5)
D. Una tabla con los puntos (1, 5), (2, 8), (3, 11)
E. Un gimnasio cobra $25 de inscripción más $10 por mes
F. Una recta que pasa por (0, 4) y (2, 8)
Pista
Proporcional significa y = kx: la razón \frac{y}{x} nunca cambia y (0, 0) cumple. Una diferencia constante no es suficiente.
Pregunta 27 de 36
Four car-share services charge a constant price per mile.
Service A:c = 0.62m
Service B:
Miles
15
40
Cost ($)
8.40
22.40
Service C: a 30-mile trip costs $19.50.
Service D: a \tfrac{1}{2}-mile trip costs $0.30.
Which list orders the services from lowest to highest cost per mile?
Pista
Find each service's dollars per mile. Be careful with Service D — the trip is only half a mile.
Solución paso a paso
A:k = 0.62 dollar per mile.
B:\tfrac{8.40}{15} = 0.56 and \tfrac{22.40}{40} = 0.56 dollar per mile.
C:\tfrac{19.50}{30} = 0.65 dollar per mile.
D:\tfrac{0.30}{0.5} = 0.60 dollar per mile (half a mile costs $0.30, so a whole mile costs $0.60).
Order from lowest: 0.56 < 0.60 < 0.62 < 0.65 → B, D, A, C.
Answer: B, D, A, C
Check: Price a 10-mile trip: B $5.60, D $6.00, A $6.20, C $6.50 — increasing ✓.
Tip: Dividing by a fraction less than 1 makes the number bigger: 0.30 \div \tfrac{1}{2} = 0.60. A price for half a unit is not the unit price.
Explicación
A:k = 0.62 dólares por milla.
B:\tfrac{8.40}{15} = 0.56 y \tfrac{22.40}{40} = 0.56 dólares por milla.
C:\tfrac{19.50}{30} = 0.65 dólares por milla.
D:\tfrac{0.30}{0.5} = 0.60 dólares por milla (media milla cuesta $0.30, así que una milla completa cuesta $0.60).
Orden del más bajo al más alto: 0.56 < 0.60 < 0.62 < 0.65 → B, D, A, C.
Respuesta: B, D, A, C
Comprobación: Calcula el precio de un viaje de 10 millas: B $5.60, D $6.00, A $6.20, C $6.50: van en aumento ✓.
Consejo: Dividir entre una fracción menor que 1 hace que el número sea más grande: 0.30 \div \tfrac{1}{2} = 0.60. El precio de media unidad no es el precio unitario.
Ver en español
Pregunta
Cuatro servicios de autos compartidos cobran un precio constante por milla.
Servicio A:c = 0.62m
Servicio B:
Millas
15
40
Costo ($)
8.40
22.40
Servicio C: un viaje de 30 millas cuesta $19.50.
Servicio D: un viaje de \tfrac{1}{2} milla cuesta $0.30.
¿Qué lista ordena los servicios del costo por milla más bajo al más alto?
Opciones
A. B, D, A, C
B. D, B, A, C
C. C, A, D, B
D. D, A, C, B
Pista
Encuentra los dólares por milla de cada servicio. Ten cuidado con el servicio D: el viaje es de solo media milla.
Pregunta 28 de 36
Completar
Two robot vacuums clean floors at constant rates.
Lena's vacuum cleans 48 square feet in 3 minutes.
Raj's vacuum cleans according to a = 20m, where a is the area in square feet and m is minutes.
Raj's vacuum runs for 36 minutes. How many minutes must Lena's vacuum run to clean the same area?
minutes
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
First find the area Raj's vacuum cleans. Then divide by Lena's rate.
Solución paso a paso
Area cleaned by Raj's vacuum: a = 20 \times 36 = 720 square feet.
Lena's unit rate: \tfrac{48}{3} = 16 square feet per minute.
Time for Lena to clean 720 sq ft: 16m = 720, so m = \tfrac{720}{16} = 45 minutes.
Answer: 45 minutes
Check:16 \times 45 = 720 ✓. Lena's vacuum is slower (16 < 20 sq ft per minute), so it needs more than 36 minutes — 45 makes sense.
Tip: Sanity-check direction: the slower machine always needs more time for the same job.
Explicación
Área que limpia la aspiradora de Raj: a = 20 \times 36 = 720 pies cuadrados.
Tasa unitaria de Lena: \tfrac{48}{3} = 16 pies cuadrados por minuto.
Tiempo para que Lena limpie 720 pies cuadrados: 16m = 720, así que m = \tfrac{720}{16} = 45 minutos.
Respuesta: 45 minutos
Comprobación:16 \times 45 = 720 ✓. La aspiradora de Lena es más lenta (16 < 20 pies cuadrados por minuto), así que necesita más de 36 minutos: 45 tiene sentido.
Consejo: Revisa la lógica: la máquina más lenta siempre necesita más tiempo para el mismo trabajo.
Ver en español
Pregunta
Dos aspiradoras robot limpian pisos a tasas constantes.
La aspiradora de Lena limpia 48 pies cuadrados en 3 minutos.
La aspiradora de Raj limpia según a = 20m, donde a es el área en pies cuadrados y m son los minutos.
La aspiradora de Raj funciona durante 36 minutos. ¿Cuántos minutos debe funcionar la aspiradora de Lena para limpiar la misma área?
_____ minutos
Pista
Primero encuentra el área que limpia la aspiradora de Raj. Luego divide entre la tasa de Lena.
Pregunta 29 de 36
A marine biologist tracks two animals swimming at constant speeds.
A sea turtle swims 1.5 kilometers in 20 minutes.
A dolphin's distance is d = 10t, where d is in kilometers and t is in hours.
If both swim for 90 minutes, how many more kilometers does the dolphin swim than the turtle?
Pista
Change the turtle's speed to kilometers per hour, and change 90 minutes to hours.
Solución paso a paso
Turtle: 20 minutes is \tfrac{1}{3} hour, so its speed is 1.5 \times 3 = 4.5 km per hour.
Dolphin: k = 10 km per hour.
Difference in speed: 10 - 4.5 = 5.5 km per hour.
Time: 90 minutes = 1.5 hours.
Extra distance: 5.5 \times 1.5 = 8.25 km.
Answer: 8.25 km
Check: Dolphin: 10 \times 1.5 = 15 km. Turtle: 90 minutes is 4.5 twenty-minute blocks, so 1.5 \times 4.5 = 6.75 km. 15 - 6.75 = 8.25 ✓.
Tip: Mixed units (minutes and hours) are the #1 trap in rate comparisons. Convert everything to one unit before any arithmetic.
Explicación
Tortuga: 20 minutos es \tfrac{1}{3} de hora, así que su rapidez es 1.5 \times 3 = 4.5 km por hora.
Delfín: k = 10 km por hora.
Diferencia de rapidez: 10 - 4.5 = 5.5 km por hora.
Tiempo: 90 minutos = 1.5 horas.
Distancia extra: 5.5 \times 1.5 = 8.25 km.
Respuesta: 8.25 km
Comprobación: Delfín: 10 \times 1.5 = 15 km. Tortuga: 90 minutos son 4.5 bloques de veinte minutos, así que 1.5 \times 4.5 = 6.75 km. 15 - 6.75 = 8.25 ✓.
Consejo: Las unidades mezcladas (minutos y horas) son la trampa número 1 al comparar tasas. Convierte todo a una sola unidad antes de hacer cualquier cálculo.
Ver en español
Pregunta
Una bióloga marina sigue a dos animales que nadan a rapidez constante.
Una tortuga marina nada 1.5 kilómetros en 20 minutos.
La distancia de un delfín es d = 10t, donde d está en kilómetros y t en horas.
Si los dos nadan durante 90 minutos, ¿cuántos kilómetros más nada el delfín que la tortuga?
Opciones
A. 12.75 km
B. 5.5 km
C. 8.25 km
D. 495 km
Pista
Cambia la rapidez de la tortuga a kilómetros por hora, y cambia 90 minutos a horas.
Pregunta 30 de 36
Completar
A gardener can mix liquid fertilizer two ways. Each mix is proportional.
Mix A:\tfrac{2}{3} cup of fertilizer for every 1\tfrac{1}{2} gallons of water.
Mix B:f = \tfrac{1}{2}g, where f is cups of fertilizer and g is gallons of water.
She needs to fill an 18-gallon sprayer. How many more cups of fertilizer does the stronger mix use than the weaker mix?
cup(s)
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find cups of fertilizer per 1 gallon for Mix A by dividing two fractions. Then compare the totals for 18 gallons.
Solución paso a paso
Mix A unit rate: \dfrac{2/3}{3/2} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} cup per gallon.
Mix B unit rate: \tfrac{1}{2} cup per gallon. Compare: \tfrac{4}{9} \approx 0.444 < 0.5, so Mix B is stronger.
Mix A for 18 gallons: \tfrac{4}{9} \times 18 = 8 cups.
Mix B for 18 gallons: \tfrac{1}{2} \times 18 = 9 cups.
Difference: 9 - 8 = 1 cup.
Answer: 1 cup
Check: 18 gallons is 18 \div 1.5 = 12 batches of Mix A, and 12 \times \tfrac{2}{3} = 8 cups ✓. Mix B: 9 cups. 9 - 8 = 1 ✓.
Tip: To divide by a fraction, multiply by its reciprocal. On the TI-30XS, use the n/d key to enter \tfrac{2}{3} \div \tfrac{3}{2} and get \tfrac{4}{9} exactly.
Explicación
Tasa unitaria de la mezcla A: \dfrac{2/3}{3/2} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} de taza por galón.
Tasa unitaria de la mezcla B: \tfrac{1}{2} taza por galón. Compara: \tfrac{4}{9} \approx 0.444 < 0.5, así que la mezcla B es más fuerte.
Mezcla A para 18 galones: \tfrac{4}{9} \times 18 = 8 tazas.
Mezcla B para 18 galones: \tfrac{1}{2} \times 18 = 9 tazas.
Diferencia: 9 - 8 = 1 taza.
Respuesta: 1 taza
Comprobación: 18 galones son 18 \div 1.5 = 12 tandas de la mezcla A, y 12 \times \tfrac{2}{3} = 8 tazas ✓. Mezcla B: 9 tazas. 9 - 8 = 1 ✓.
Consejo: Para dividir entre una fracción, multiplica por su recíproco. En la TI-30XS, usa la tecla n/d para escribir \tfrac{2}{3} \div \tfrac{3}{2} y obtener \tfrac{4}{9} exacto.
Ver en español
Pregunta
Una jardinera puede mezclar fertilizante líquido de dos maneras. Cada mezcla es proporcional.
Mezcla A:\tfrac{2}{3} de taza de fertilizante por cada 1\tfrac{1}{2} galones de agua.
Mezcla B:f = \tfrac{1}{2}g, donde f son las tazas de fertilizante y g son los galones de agua.
Necesita llenar un rociador de 18 galones. ¿Cuántas tazas más de fertilizante usa la mezcla más fuerte que la mezcla más débil?
_____ taza(s)
Pista
Encuentra las tazas de fertilizante por 1 galón de la mezcla A dividiendo dos fracciones. Luego compara los totales para 18 galones.
Pregunta 31 de 36
Sin calculadoraZona activa
The graph shows the cost of mobile data on two plans. Each plan charges a constant price per gigabyte (GB).
Click the dot that shows the unit rate of the plan with the lower cost per GB.
Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).
Pista
First decide which line is less steep. Then find the dot on that line whose x-value is 1.
Solución paso a paso
Plan A's dots: (2, 15) gives \tfrac{15}{2} = 7.5 dollars per GB.
Plan B's dots: (2, 10) gives \tfrac{10}{2} = 5 dollars per GB.
Plan B has the lower cost per GB (its line is less steep).
The unit rate is the cost of 1 GB, so it is the point on Plan B with x = 1: the dot at (1, 5).
The dot (1, 7.5) is a unit-rate point too, but it belongs to the more expensive Plan A.
Answer: the Plan B dot at (1, 5)
Check: Plan B's other dots fit $5 per GB: 5 \times 2 = 10 and 5 \times 4 = 20 ✓.
Tip: On a proportional graph, the point (1, r) shows the unit rate r directly. The less steep line is the cheaper one when cost is on the vertical axis.
Explicación
Puntos del plan A (Plan A): (2, 15) da \tfrac{15}{2} = 7.5 dólares por GB.
Puntos del plan B (Plan B): (2, 10) da \tfrac{10}{2} = 5 dólares por GB.
El plan B tiene el costo por GB más bajo (su recta es menos inclinada).
La tasa unitaria es el costo de 1 GB, así que es el punto del plan B con x = 1: el punto en (1, 5).
El punto (1, 7.5) también muestra una tasa unitaria, pero es del plan A, que es más caro.
Respuesta: el punto del plan B en (1, 5)
Comprobación: Los otros puntos del plan B concuerdan con $5 por GB: 5 \times 2 = 10 y 5 \times 4 = 20 ✓.
Consejo: En una gráfica proporcional, el punto (1, r) muestra directamente la tasa unitaria r. Cuando el costo está en el eje vertical, la recta menos inclinada es la más barata.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra el costo de los datos móviles en dos planes. Cada plan cobra un precio constante por gigabyte (GB).
Haz clic en el punto que muestra la tasa unitaria del plan con el costo por GB más bajo.
Pista
Primero decide qué recta es menos inclinada. Luego busca el punto de esa recta cuyo valor de x es 1.
Pregunta 32 de 36
Marco's pay is given by p = 17.40h, where p is pay in dollars and h is hours worked. Ellie is paid a constant hourly wage that is $2.50 more per hour than Marco's. Part of Ellie's pay record is shown.
Hours
6
15
Pay ($)
119.40
?
What number belongs in the missing cell?
Pista
Find Ellie's hourly wage first, then multiply by 15. Check it against the 6-hour column.
Solución paso a paso
Marco's unit rate: $17.40 per hour.
Ellie's unit rate: 17.40 + 2.50 = 19.90 dollars per hour.
Check with the table: 6 \times 19.90 = 119.40 ✓.
Missing pay: 15 \times 19.90 = 298.50.
Answer: $298.50
Check: Ellie's ratio must be the same in both columns: \tfrac{298.50}{15} = 19.90 and \tfrac{119.40}{6} = 19.90 ✓.
Tip: A condition like "$2.50 more per hour" changes the rate, not the total. Add it to the unit rate, then multiply.
Explicación
Tasa unitaria de Marco: $17.40 por hora.
Tasa unitaria de Ellie: 17.40 + 2.50 = 19.90 dólares por hora.
Comprueba con la tabla: 6 \times 19.90 = 119.40 ✓.
Pago que falta: 15 \times 19.90 = 298.50.
Respuesta: $298.50
Comprobación: La razón de Ellie debe ser la misma en las dos columnas: \tfrac{298.50}{15} = 19.90 y \tfrac{119.40}{6} = 19.90 ✓.
Consejo: Una condición como "$2.50 más por hora" cambia la tasa, no el total. Súmala a la tasa unitaria y luego multiplica.
Ver en español
Pregunta
El pago de Marco está dado por p = 17.40h, donde p es el pago en dólares y h son las horas trabajadas. A Ellie le pagan un sueldo constante por hora que es $2.50 más por hora que el de Marco. Se muestra parte del registro de pagos de Ellie.
Horas
6
15
Pago ($)
119.40
?
¿Qué número va en la celda que falta?
Opciones
A. $121.90
B. $223.50
C. $261.00
D. $298.50
Pista
Primero encuentra el sueldo por hora de Ellie y luego multiplícalo por 15. Compruébalo con la columna de 6 horas.
Pregunta 33 de 36
Completar
Store A's coffee prices are shown on the graph. Store B sells the same coffee from bulk bins at $7.20 for every 12 ounces.
Store A coffee prices
A café owner needs 5 pounds of coffee. How much money does she save by buying it at the cheaper store? (1 pound = 16 ounces.)
$
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Store B's price is per ounce, Store A's is per pound. Put both in dollars per pound before comparing.
Solución paso a paso
Store A's rate from the graph: the line passes through (3, 27), so \frac{27}{3} = \text{\textdollar}9 per pound.
Store B's rate per ounce: \frac{7.20}{12} = \text{\textdollar}0.60 per ounce.
Convert Store B to dollars per pound: 0.60 \times 16 = \text{\textdollar}9.60 per pound.
Store A is cheaper by 9.60 - 9.00 = \text{\textdollar}0.60 per pound.
For 5 pounds: 0.60 \times 5 = \text{\textdollar}3.00.
Consejo: Si compararas $7.20 con $9 directamente, pensarías por error que la tienda B es más barata. Las unidades deben coincidir: pasa de onzas a libras (×16) antes de comparar.
Ver en español
Pregunta
Los precios del café de la tienda A se muestran en la gráfica. La tienda B vende el mismo café a granel a $7.20 por cada 12 onzas.
La dueña de una cafetería necesita 5 libras de café. ¿Cuánto dinero ahorra si lo compra en la tienda más barata? (1 libra = 16 onzas.)
$_____
Pista
El precio de la tienda B es por onza; el de la tienda A es por libra. Pon los dos en dólares por libra antes de comparar.
Pregunta 34 de 36
Completar
Two crews pick apples at constant rates, starting at the same time.
Crew A picked 1,365 pounds in 7 hours.
Crew B:
Time (hours)
2.5
4
Apples (pounds)
450
720
After how many hours will the faster crew have picked 300 pounds more than the slower crew?
hours
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The gap between the crews grows by the same amount every hour. How much is that amount?
Solución paso a paso
Crew A: \tfrac{1365}{7} = 195 pounds per hour.
Crew B: \tfrac{450}{2.5} = 180 and \tfrac{720}{4} = 180 pounds per hour.
Crew A is faster. The gap grows by 195 - 180 = 15 pounds every hour.
Set the gap equal to 300: 15t = 300, so t = \tfrac{300}{15} = 20 hours.
Answer: 20 hours
Check: After 20 hours, Crew A has 195 \times 20 = 3{,}900 lb and Crew B has 180 \times 20 = 3{,}600 lb. 3{,}900 - 3{,}600 = 300 ✓.
Tip: The gap between two proportional relationships is itself proportional: gap = (difference of rates) × time. Divide to work backwards.
Explicación
Cuadrilla A: \tfrac{1365}{7} = 195 libras por hora.
Cuadrilla B: \tfrac{450}{2.5} = 180 y \tfrac{720}{4} = 180 libras por hora.
La cuadrilla A es más rápida. La diferencia crece 195 - 180 = 15 libras cada hora.
Iguala la diferencia a 300: 15t = 300, así que t = \tfrac{300}{15} = 20 horas.
Respuesta: 20 horas
Comprobación: Después de 20 horas, la cuadrilla A tiene 195 \times 20 = 3{,}900 lb y la cuadrilla B tiene 180 \times 20 = 3{,}600 lb. 3{,}900 - 3{,}600 = 300 ✓.
Consejo: La diferencia entre dos relaciones proporcionales también es proporcional: diferencia = (diferencia de las tasas) × tiempo. Divide para trabajar hacia atrás.
Ver en español
Pregunta
Dos cuadrillas cosechan manzanas a tasas constantes y empiezan al mismo tiempo.
La cuadrilla A cosechó 1,365 libras en 7 horas.
Cuadrilla B:
Tiempo (horas)
2.5
4
Manzanas (libras)
450
720
¿Después de cuántas horas habrá cosechado la cuadrilla más rápida 300 libras más que la cuadrilla más lenta?
_____ horas
Pista
La diferencia entre las cuadrillas crece la misma cantidad cada hora. ¿Cuánto es esa cantidad?
Pregunta 35 de 36
The graph shows how far Ana and Ben walk at their constant speeds.
Ana's and Ben's walks
Cara walks 8 miles in 2.5 hours at a constant speed. If a line for Cara's walk were drawn on the same graph, where would it be?
Pista
Find all three speeds in miles per hour. The faster the speed, the steeper the line.
Solución paso a paso
Ana: point (2, 7) → \tfrac{7}{2} = 3.5 mph.
Ben: point (3, 9) → \tfrac{9}{3} = 3 mph.
Cara: \tfrac{8}{2.5} = 3.2 mph.
Cara's walk is proportional (0 miles at 0 hours), so her line starts at (0, 0).
Since 3 < 3.2 < 3.5, her line is steeper than Ben's but less steep than Ana's: it lies between the two lines.
Answer: It would start at (0, 0) and lie between Ana's line and Ben's line.
Check: At 4 hours: Ben 12 mi, Cara 3.2 \times 4 = 12.8 mi, Ana 14 mi. 12.8 is between 12 and 14 ✓.
Tip: You can place a new proportional line without drawing it: compare its unit rate with the slopes of the lines already shown.
Explicación
Ana: punto (2, 7) → \tfrac{7}{2} = 3.5 mph.
Ben: punto (3, 9) → \tfrac{9}{3} = 3 mph.
Cara: \tfrac{8}{2.5} = 3.2 mph.
La caminata de Cara es proporcional (0 millas a las 0 horas), así que su recta empieza en (0, 0).
Como 3 < 3.2 < 3.5, su recta es más inclinada que la de Ben, pero menos que la de Ana: queda entre las dos rectas.
Respuesta: Empezaría en (0, 0) y quedaría entre la recta de Ana y la recta de Ben.
Comprobación: A las 4 horas: Ben 12 mi, Cara 3.2 \times 4 = 12.8 mi, Ana 14 mi. 12.8 está entre 12 y 14 ✓.
Consejo: Puedes ubicar una nueva recta proporcional sin dibujarla: compara su tasa unitaria con las pendientes de las rectas que ya se muestran.
Ver en español
Pregunta
La gráfica muestra qué distancia caminan Ana y Ben a su rapidez constante.
Cara camina 8 millas en 2.5 horas a una rapidez constante. Si se dibujara una recta para la caminata de Cara en la misma gráfica, ¿dónde estaría?
Opciones
A. Sería más inclinada que la recta de Ana, porque 8 millas es más lejos que 7 millas.
B. Sería menos inclinada que la recta de Ben, porque 2.5 horas es menos que 3 horas.
C. Estaría entre las dos rectas, pero empezaría en (0, 3.2).
D. Empezaría en (0, 0) y estaría entre la recta de Ana y la recta de Ben.
Pista
Encuentra las tres rapideces en millas por hora. Cuanto mayor es la rapidez, más inclinada es la recta.
Pregunta 36 de 36
Completar
In a science lab, Solution A contains 18 grams of salt in 400 milliliters of solution. A technician must make Solution B with the same concentration (grams of salt per milliliter). She needs 1.5 liters of Solution B.
How many grams of salt does Solution B need? (1 liter = 1,000 milliliters.)
grams
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find grams per milliliter for Solution A. Convert 1.5 liters to milliliters before multiplying.
Solución paso a paso
Unit rate of Solution A: \tfrac{18 \text{ g}}{400 \text{ mL}} = 0.045 gram per mL.
Same concentration means the same unit rate: salt = 0.045 \times 1{,}500 = 67.5 grams.
Answer: 67.5 grams
Check: Ratio check: \tfrac{67.5}{1500} = 0.045 = \tfrac{18}{400} ✓. Or scale up: 1,500 mL is 3.75 times 400 mL, and 18 \times 3.75 = 67.5 ✓.
Tip: "Same concentration" or "same strength" means equal unit rates. Using 1.5 instead of 1,500 mL would give a far-too-small 0.0675 g — always match units.
Explicación
Tasa unitaria de la solución A: \tfrac{18 \text{ g}}{400 \text{ mL}} = 0.045 gramos por mL.
La misma concentración significa la misma tasa unitaria: sal = 0.045 \times 1{,}500 = 67.5 gramos.
Respuesta: 67.5 gramos
Comprobación: Comprobación de la razón: \tfrac{67.5}{1500} = 0.045 = \tfrac{18}{400} ✓. O amplía: 1,500 mL es 3.75 veces 400 mL, y 18 \times 3.75 = 67.5 ✓.
Consejo: "La misma concentración" o "la misma intensidad" significa tasas unitarias iguales. Si usaras 1.5 en vez de 1,500 mL, obtendrías 0.0675 g, una cantidad demasiado pequeña: siempre iguala las unidades.
Ver en español
Pregunta
En un laboratorio de ciencias, la solución A contiene 18 gramos de sal en 400 mililitros de solución. Una técnica debe preparar la solución B con la misma concentración (gramos de sal por mililitro). Necesita 1.5 litros de la solución B.
¿Cuántos gramos de sal necesita la solución B? (1 litro = 1,000 mililitros.)
_____ gramos
Pista
Encuentra los gramos por mililitro de la solución A. Convierte 1.5 litros a mililitros antes de multiplicar.
