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Cómo escribir ecuaciones cuadráticas a partir de problemas verbales

Convierte situaciones de área, de números y de proyectiles en ecuaciones cuadráticas; luego resuélvelas e interpreta las respuestas.

Practicar esta destreza 30 min Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En la lección anterior resolviste ecuaciones cuadráticas. En esta lección vas a escribirlas a partir de un problema verbal, y luego resolverlas y darle sentido a la respuesta. Vas a practicar los tres tipos de situaciones que el GED® usa más:

  1. Problemas de área: rectángulos cuyos lados están relacionados, y bordes, marcos o caminos alrededor de una figura.
  2. Problemas de números: enteros consecutivos, o "un número y su cuadrado".
  3. Problemas de movimiento (proyectiles): la altura de un objeto lanzado o que se deja caer, a lo largo del tiempo.

Por qué es importante en el GED®: muchas preguntas dicen "¿Qué ecuación se podría usar para hallar…?". Ni siquiera tienes que resolver: tienes que traducir bien. Otras preguntas piden el número final, así que debes escribir la ecuación, resolverla y descartar las respuestas que no tienen sentido (como un ancho negativo).

En la vida real: planear un jardín o un patio con un área fija, escoger el tamaño de un marco para una foto o calcular cuándo va a caer una pelota lanzada al aire.

Vocabulario

  • Variable — una letra que representa el número desconocido. Ejemplo: sea w = el ancho en pies.
  • Área de un rectángulo — largo × ancho: A = lw. Ejemplo: un cuarto de 7 ft por 12 ft tiene un área de 84\text{ ft}^2.
  • "Más que" / "menos que" — suma o resta. Ejemplo: "3 más que el ancho" es w + 3; "2 menos que el doble del ancho" es 2w - 2.
  • Enteros consecutivos — números enteros seguidos, separados por 1: n, n + 1, n + 2. Ejemplo: 7, 8, 9.
  • Enteros pares (o impares) consecutivos — separados por 2: n, n + 2. Ejemplo: 12 y 14, u 11 y 13.
  • Producto — el resultado de multiplicar. Suma — el resultado de sumar.
  • Borde uniforme — una franja del mismo ancho x en todos los lados de una figura. Le suma 2x a cada dimensión.
  • Proyectil — un objeto que se lanza o se deja caer. Su altura (en pies) muchas veces es h = -16t^2 + v_0 t + h_0.
  • Velocidad inicial v_0 — la rapidez inicial hacia arriba (ft/s). Altura inicial h_0 — la altura de salida (ft).
  • Solución que no tiene sentido (se descarta) — una solución de la ecuación que no corresponde a la situación. Ejemplo: un ancho de -12 ft.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Problemas de área

Receta: (1) Usa una variable para un lado. (2) Escribe el otro lado en función de ella. (3) Escribe largo × ancho = área. (4) Pásala a forma estándar y resuelve. (5) Quédate solo con las longitudes positivas.

A rectangle with width labeled w and length labeled w + 3. The area is 40 square feet.Area = 40 ft²w + 3w
Rectángulo de ancho w y largo w + 3

Ejemplo: El largo de un rectángulo es 3 ft más que su ancho, y su área es 40\text{ ft}^2.

  • Ancho = w; largo = w + 3.
  • Ecuación: w(w + 3) = 40.
  • Forma estándar: w^2 + 3w - 40 = 0 → (w + 8)(w - 5) = 0 → w = 5 (descarta -8).
  • El rectángulo mide 5 ft por 8 ft. Comprobación: 5 \times 8 = 40 ✓

Cómo traducir el lado:

PalabrasExpresión
el largo es 4 más que el anchol = w + 4
el largo es el doble del anchol = 2w
el largo es 1 menos que el doble del anchol = 2w - 1
un cuadrado de lado sárea = s^2

Área frente a perímetro. El área es multiplicar (l \times w) y da una cuadrática. El perímetro es sumar (2l + 2w) y da una ecuación lineal. Una opción incorrecta común usa el perímetro.

Bordes, marcos y caminos. Un borde de ancho x en todos los lados suma x a la izquierda y x a la derecha, así que cada dimensión crece 2x.

Ejemplo: Una foto de 10 in por 8 in tiene un marco de ancho x. Por fuera, el marco mide (10 + 2x) por (8 + 2x). Si el área total es 120\text{ in}^2:

(10 + 2x)(8 + 2x) = 120
A 10 inch by 8 inch photo inside a frame of the same width x on all four sides. Each outside dimension grows by 2x: the outside measures 10 + 2x by 8 + 2x, so the total area equation is (10 + 2x)(8 + 2x) = 120.photo 10 in × 8 in108xxxx10 + 2x8 + 2xFrame of width x on every side(10 + 2x)(8 + 2x) = 120
Foto con un marco de ancho x en todos los lados

Si el problema da solo el área del borde mismo, resta la parte de adentro:

(\text{área exterior}) - (\text{área interior}) = \text{área del borde}

2. Problemas de números

Enteros consecutivos. Sea n el primero. Entonces:

TipoNúmeros siguientesEjemplo
enteros consecutivosn + 1, n + 27, 8, 9
enteros pares consecutivosn + 2, n + 412, 14, 16
enteros impares consecutivosn + 2, n + 411, 13, 15

Sí: los números impares también están separados por 2, así que la expresión es la misma que para los pares. Lo que los hace impares es el valor inicial.

Ejemplo: El producto de dos enteros consecutivos es 56.

n(n + 1) = 56 \Rightarrow n^2 + n - 56 = 0 \Rightarrow (n + 8)(n - 7) = 0

Entonces n = 7 (los números son 7 y 8) o n = -8 (los números son -8 y -7). Las dos parejas funcionan, a menos que el problema diga "positivos".

Number line from -10 to 10 with two pairs of consecutive integers marked: 7 and 8 (7 times 8 = 56) and -8 and -7 (-8 times -7 = 56). Both pairs solve n(n + 1) = 56.−10−8−7−6−4−202467810(−8)(−7) = 567 × 8 = 56n(n + 1) = 56: two pairs of neighbors, 1 apart
Recta numérica con las parejas 7, 8 y −8, −7

"Producto" significa multiplicar; "suma" significa sumar. "El producto de dos enteros consecutivos es 56" es n(n + 1) = 56, mientras que "la suma es 15" es n + (n + 1) = 15, una ecuación lineal.

Un número y su cuadrado. "La suma de un número y su cuadrado es 90": x + x^2 = 90, o x^2 + x - 90 = 0. "Un número al cuadrado, más 3 veces el número, es 40": x^2 + 3x = 40.

Cuidado con las palabras de elevar al cuadrado: "el cuadrado de un número más 1" es x^2 + 1, pero "el cuadrado de uno más que un número" es (x + 1)^2.

3. Problemas de proyectiles (altura)

Para un objeto lanzado hacia arriba (o que se deja caer) cerca de la Tierra, con la altura en pies y el tiempo t en segundos:

h = -16t^2 + v_0 t + h_0
  • El -16 viene de la gravedad (en pies). Es negativo porque la gravedad jala el objeto hacia abajo.
  • v_0 = velocidad inicial hacia arriba (ft/s). Usa 0 si el objeto simplemente se deja caer.
  • h_0 = altura inicial (ft). Usa 0 si empieza en el suelo.

El GED® casi siempre te da esta ecuación (o la ecuación completa del objeto) en la pregunta. Tu trabajo es igualar h al número correcto:

La pregunta diceIguala h a
¿Cuándo llega al suelo?0
¿Cuándo está a 22 ft de altura?22
¿Cuándo vuelve a su altura inicial?h_0

Ejemplo: Se lanza una pelota hacia arriba desde 6 ft con v_0 = 40 ft/s. ¿Cuándo está a 22 ft de altura?

-16t^2 + 40t + 6 = 22

Resta 22: -16t^2 + 40t - 16 = 0. Divide entre -8: 2t^2 - 5t + 2 = 0 → (2t - 1)(t - 2) = 0 → t = 0.5 s (subiendo) o t = 2 s (bajando). Aquí las dos tienen sentido.

Graph of a ball's height h = -16t squared + 40t + 6, starting at 6 feet. The dashed line h = 22 crosses the curve twice: at t = 0.5 s on the way up and t = 2 s on the way down.t (s)h (ft)0.511.522.5351015202530350h = 22t = 0.5 (up)t = 2 (down)start 6 fth = −16t² + 40t + 6−16t² + 40t + 6 = 22 → t = 0.5 s or t = 2 s
Gráfica de la altura de la pelota que cruza 22 ft en t = 0.5 y t = 2

Ejemplo: Un cohete lanzado desde el suelo a 96 ft/s: h = -16t^2 + 96t. Cae cuando -16t^2 + 96t = 0 \Rightarrow -16t(t - 6) = 0 \Rightarrow t = 0 (lanzamiento) o t = 6 s (caída).

Graph of a rocket's height h = -16t squared + 96t. It is launched from the ground at t = 0, reaches 144 feet at t = 3, and lands at t = 6 seconds.t (s)h (ft)123456740801201600launch t = 0lands t = 6top (3, 144)h = −16t² + 96t−16t(t − 6) = 0 → t = 0 or t = 6
Gráfica de la altura del cohete que cae en t = 6

Interpreta cada solución: los tiempos y las longitudes negativos se descartan; t = 0 casi siempre es el inicio, no la respuesta.

Fórmula

Fórmulas que vas a usar

A = lw \qquad A_{\text{cuadrado}} = s^2 h = -16t^2 + v_0 t + h_0 \quad (\text{pies, segundos}) x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • A = área, l = largo, w = ancho, s = lado.
  • h = altura después de t segundos, v_0 = rapidez inicial hacia arriba, h_0 = altura inicial.

Las fórmulas de área (rectángulo/paralelogramo, cuadrado) y la fórmula cuadrática están en la hoja de fórmulas del GED®. La ecuación de proyectiles no está en la hoja, pero las preguntas del GED® te la dan cuando la necesitas. Las expresiones de enteros consecutivos (n, n + 1, n + 2) se deben memorizar.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): una alfombra rectangular

El largo de una alfombra es 5 ft más que su ancho. Su área es 84\text{ ft}^2. Escribe una ecuación y halla las dimensiones.

  1. Sea w = ancho. Entonces el largo = w + 5.
  2. Ecuación: w(w + 5) = 84.
  3. Forma estándar: w^2 + 5w - 84 = 0.
  4. Factoriza (multiplicados dan -84, sumados dan 5: 12 y -7): (w + 12)(w - 7) = 0.
  5. w = 7 o w = -12. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 7.
Area model of the rug, drawn to scale. Width w = 7 ft, length w + 5 = 12 ft. The rug splits into a 7 by 7 square (w squared = 49) and a 7 by 5 strip (5w = 35). Total w(w + 5) = w squared + 5w = 84 square feet.w²7 × 7 = 495w35w = 75w = 7w + 5 = 12 ftRug: length is 5 ft more than the widthw(w + 5) = w² + 5w = 49 + 35 = 84 ft²
Modelo de área de una alfombra de 7 ft por 12 ft

Respuesta: 7 ft por 12 ft.

Comprobación: 7 \times 12 = 84 ✓ y 12 - 7 = 5 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: enteros pares consecutivos

El producto de dos enteros pares positivos consecutivos es 168. Hállalos.

  1. Sea n = el entero par menor. El siguiente entero par es n + 2.
  2. Ecuación: n(n + 2) = 168.
  3. Forma estándar: n^2 + 2n - 168 = 0.
  4. Factoriza (multiplicados dan -168, sumados dan 2: 14 y -12): (n + 14)(n - 12) = 0.
  5. n = 12 o n = -14. Los enteros son positivos, así que n = 12.
Area model for n(n + 2) = 168 with n = 12: a 12 by 12 square (n squared = 144) plus a 12 by 2 strip (2n = 24). The rectangle is 12 by 14 and 144 + 24 = 168.n²12 × 12 = 1442n24n = 122n = 12n + 2 = 14Two consecutive even integers: n and n + 2n(n + 2) = n² + 2n = 144 + 24 = 168
Modelo de área n(n + 2) = 168 con n = 12

Respuesta: 12 y 14.

Comprobación: 12 \times 14 = 168 ✓; los dos son pares y están separados por 2 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3 (vida real): un camino alrededor de un jardín

Un jardín de 6 ft por 8 ft tiene a su alrededor un camino del mismo ancho x por todos lados. El jardín y el camino juntos cubren 120\text{ ft}^2. ¿Qué ancho tiene el camino?

  1. Cada dimensión crece 2x: el tamaño exterior es (6 + 2x) por (8 + 2x).
  2. Ecuación: (6 + 2x)(8 + 2x) = 120.
  3. Desarrolla: 48 + 12x + 16x + 4x^2 = 120, así que 4x^2 + 28x + 48 = 120.
  4. Resta 120: 4x^2 + 28x - 72 = 0. Divide entre 4: x^2 + 7x - 18 = 0.
  5. Factoriza: (x + 9)(x - 2) = 0, así que x = 2 (descarta -9).
A 6 ft by 8 ft garden surrounded by a path of width x on every side, drawn to scale with x = 2 ft. The outside measures 6 + 2x = 10 ft by 8 + 2x = 12 ft, and 10 times 12 = 120 square feet.garden8 ft × 6 ft86xxxxpath8 + 2x = 12 ft6 + 2x= 10 ftPath of width x = 2 ft all around (to scale)(6 + 2x)(8 + 2x) = 120 → x = 2 → 10 × 12 = 120
Jardín de 6 ft por 8 ft con un camino de 2 ft alrededor

Respuesta: el camino tiene 2 ft de ancho.

Comprobación: Tamaño exterior 10 \times 12 = 120 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (vida real): una pelota lanzada

Se lanza una pelota hacia arriba desde la parte de arriba de un edificio de 64 ft, a 48 ft/s. Su altura es h = -16t^2 + 48t + 64. ¿Cuándo llega al suelo?

  1. El suelo significa h = 0: -16t^2 + 48t + 64 = 0.
  2. Divide cada término entre -16: t^2 - 3t - 4 = 0.
  3. Factoriza (multiplicados dan -4, sumados dan -3: -4 y 1): (t - 4)(t + 1) = 0.
  4. t = 4 o t = -1. El tiempo no puede ser negativo, así que t = 4.
Graph of h = -16t squared + 48t + 64 for a ball thrown up from a 64-foot roof. It rises to 100 feet at t = 1.5 s and hits the ground (h = 0) at t = 4 s; the solution t = -1 is rejected.t (s)h (ft)0.511.522.533.544.5204060801000roof 64 fttop (1.5, 100)ground t = 4h = −16t² + 48t + 64(t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4 (t = −1 rejected)
Gráfica de la altura de la pelota desde un techo de 64 ft, que cae en t = 4

Respuesta: después de 4 segundos.

Comprobación: -16(16) + 48(4) + 64 = -256 + 192 + 64 = 0 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (nivel difícil del GED®): un problema de precios

Un gimnasio cobra $20 por clase y tiene en promedio 100 alumnos. Por cada $1 que sube el precio, pierde 4 alumnos. ¿Qué precio o precios le darían $2,016 por clase?

  1. Sea x = el número de aumentos de $1. Precio = 20 + x; alumnos = 100 - 4x.
  2. Ingresos = precio × alumnos: (20 + x)(100 - 4x) = 2016.
  3. Desarrolla: 2000 - 80x + 100x - 4x^2 = 2016, así que -4x^2 + 20x + 2000 = 2016.
  4. Resta 2016: -4x^2 + 20x - 16 = 0. Divide entre -4: x^2 - 5x + 4 = 0.
  5. Factoriza: (x - 1)(x - 4) = 0, así que x = 1 o x = 4.
Graph of gym revenue R = (20 + x)(100 - 4x) against x, the number of 1-dollar price increases, with the revenue axis starting at 1,980 dollars. The dashed line at 2,016 dollars meets the curve at x = 1 (price 21 dollars) and x = 4 (price 24 dollars).xrevenue ($)01234561,9801,9902,0002,0102,0202,030$2,016x = 1: $21x = 4: $24R = (20 + x)(100 − 4x)x = number of $1 increases (revenue axis starts at $1,980)
Gráfica de ingresos que llega a 2,016 dólares en x = 1 y x = 4

Respuesta: un precio de $21 o de $24.

Comprobación: 21 \times 96 = 2{,}016 ✓ y 24 \times 84 = 2{,}016 ✓ (dólares)

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

  • Para escribir la ecuación no se usa la calculadora: se trata de leer con cuidado. Usa la calculadora en el paso de resolver.
  • Comprueba una solución rápido: sustitúyela en tu ecuación original. Ejemplo: para (6 + 2x)(8 + 2x) = 120 escribe ( 6 + 2 × 2 ) ( 8 + 2 × 2 ) enter → 120 ✓.
  • Raíces cuadradas para la fórmula cuadrática: 2nd y luego x². Números negativos: la tecla (−).
  • Comprobación de proyectiles: para -16t^2 + 48t + 64 en t = 4: (−) 16 × 4 x² + 48 × 4 + 64 enter → 0.

Cuándo NO usarla: no uses la calculadora para "encontrar" la ecuación; primero plantéala en tu pizarra borrable. Y si los números se factorizan fácilmente, factorizar a mano es más rápido que usar la fórmula.

Error común

Errores comunes

  • Usar el perímetro en vez del área. "El área es 40" necesita w(w + 3) = 40, no 2w + 2(w + 3) = 40.
  • Sumar x en vez de 2x para un borde. Un borde en los dos lados suma 2x a cada dimensión: (10 + 2x), no (10 + x).
  • Confundir los tipos de consecutivos. Enteros consecutivos: n, n + 1. Enteros pares o impares consecutivos: n, n + 2. No uses n + 1 para los impares.
  • Suma frente a producto. "Producto" significa multiplicar: n(n + 1) = 56, no n + (n + 1) = 56.
  • Aplicar mal la propiedad distributiva. w(2w - 1) = 2w^2 - w, no 2w^2 - 1. Multiplica w por cada término.
  • Quedarte con respuestas imposibles. Un ancho de -8 o un tiempo de -1 s no tiene sentido: descártalo. Y fíjate qué respuesta te piden: ¿el ancho, el largo o el número mayor?
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Preguntas de "¿Qué ecuación…?": prueba cada opción con la respuesta verdadera si la puedes hallar rápido, o revisa que la opción use multiplicar para el área o el producto y 2x para los bordes.
  • Prueba las opciones de respuesta. En las preguntas de "halla el ancho", prueba cada opción en la historia: ¿largo × ancho da el área?
  • Define la variable con palabras ("w = ancho en pies") antes de escribir nada. La mayoría de los errores vienen de olvidar qué significa x.
  • Lee la última oración dos veces. Te dice qué debes responder: el ancho, el largo, el entero mayor o el tiempo.
  • Estima: un cuadrado con área 40 tiene un lado de aproximadamente 6.3, así que un rectángulo con área 40 debe tener lados cercanos a ese tamaño.
  • Tiempo: si resolver toma mucho, recuerda que muchas preguntas solo piden la ecuación.

Compruébalo

Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contextoSin calculadora

A rectangular patio has a length that is 6 feet more than its width, w. The area of the patio is 55 square feet.

A rectangle with width labeled w and length labeled w + 6. The area is 55 square feet.Area = 55 ft²w + 6w
Rectangle with width w and length w + 6

Which equation can be used to find w?

Opciones de respuesta
Pista

The area of a rectangle is length times width. What expression is the length?

Ver en español

Pregunta

Un patio rectangular tiene un largo que es 6 pies más que su ancho, w. El área del patio es 55 pies cuadrados.

¿Qué ecuación se puede usar para hallar w?

Opciones

  • A. w + (w + 6) = 55
  • B. w(w + 6) = 55
  • C. 2w + 2(w + 6) = 55
  • D. 6w = 55
Pista

El área de un rectángulo es el largo por el ancho. ¿Qué expresión es el largo?

Compruébalo

Escribir ecuaciones cuadráticas a partir de un contextoSin calculadoraMenú

The product of two consecutive integers is 42. Let n be the smaller integer.

The equation that models this situation is .

Elige una respuesta en cada menú.

Pista

Consecutive integers are 1 apart. "Product" tells you which operation to use.

Ver en español

Pregunta

El producto de dos enteros consecutivos es 42. Sea n el entero menor.

La ecuación que representa esta situación es _____.

Opciones

  • n(n + 1) = 42
  • n(n + 2) = 42
  • n + (n + 1) = 42
  • n² + 1 = 42
Pista

Los enteros consecutivos están separados por 1. "Producto" te dice qué operación usar.

Resumen

  • Área: escribe un lado como w, el otro en función de w, y plantea largo × ancho = área.
  • Bordes: cada dimensión crece 2x; para el borde solo, resta el área interior.
  • Enteros consecutivos: n, n + 1; pares/impares consecutivos: n, n + 2. "Producto" → multiplica.
  • Proyectiles: h = -16t^2 + v_0 t + h_0; iguala h a la altura que te piden (0 para el suelo).
  • Pon la ecuación en forma estándar, resuélvela y luego descarta las respuestas que no corresponden a la situación.
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