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Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

Resuelve ecuaciones cuadráticas con raíces cuadradas, factorización y la fórmula cuadrática, y di cuántas soluciones hay.

Practicar esta destreza 30 min Resolver ecuaciones cuadráticas Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una ecuación cuadrática tiene una variable elevada al cuadrado, como x^2 - 2x - 3 = 0. En esta lección vas a aprender tres maneras de resolverla:

  1. Raíces cuadradas: para ecuaciones como x^2 = 49 o (x - 3)^2 = 16.
  2. Factorización: para ecuaciones como x^2 + 2x - 15 = 0 que se separan en dos factores fáciles.
  3. La fórmula cuadrática: funciona con todas las cuadráticas y está en la hoja de fórmulas del GED®.

También vas a aprender a saber, antes de resolver, si una ecuación tiene dos soluciones reales, una o ninguna.

Por qué es importante en el GED®: las ecuaciones cuadráticas aparecen en la parte de álgebra del examen como "halla las soluciones", "selecciona todas las soluciones", "¿qué valor es una solución?", y como el último paso de problemas verbales de área y de movimiento (la próxima lección). Las gráficas de parábolas también muestran las soluciones como intersecciones con el eje x.

En la vida real: la altura de una pelota lanzada, el área de un jardín y las ganancias de un negocio muchas veces son cuadráticas. Resolver la ecuación te dice cuándo cae la pelota o qué tamaño da el área que necesitas.

Vocabulario

  • Ecuación cuadrática — una ecuación en la que la mayor potencia de la variable es 2. Ejemplo: 3x^2 - 12 = 63.
  • Forma estándar — ax^2 + bx + c = 0, con todo en un lado y 0 en el otro. Ejemplo: 2x^2 - 3x - 4 = 0 tiene a = 2, b = -3, c = -4.
  • Coeficiente — el número que está delante de una variable. Ejemplo: en 5x^2, el coeficiente es 5.
  • Solución (raíz, cero) — un valor de x que hace verdadera la ecuación. Ejemplo: x = 3 es una solución de x^2 = 9.
  • Raíz cuadrada — \sqrt{25} = 5 porque 5^2 = 25. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: +5 y -5, que se escriben \pm 5.
  • Factorizar — escribir como un producto. Ejemplo: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
  • Propiedad del producto cero — si A \cdot B = 0, entonces A = 0 o B = 0.
  • Discriminante — el número b^2 - 4ac que está dentro de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. Dice cuántas soluciones reales hay.
  • Parábola — la gráfica en forma de U de y = ax^2 + bx + c. Sus intersecciones con el eje x son las soluciones de ax^2 + bx + c = 0.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

1. Cómo resolver con raíces cuadradas

Usa este método cuando hay un x^2 (o un grupo al cuadrado como (x - 3)^2) pero no hay un término x aparte.

Pasos: deja sola la parte al cuadrado, luego saca la raíz cuadrada de ambos lados y recuerda el \pm.

Ejemplo: x^2 = 49 → x = \pm\sqrt{49} = \pm 7. Tanto 7 como -7 funcionan, porque 7^2 = 49 y (-7)^2 = 49.

Ejemplo: 3x^2 - 12 = 63

  • Suma 12: 3x^2 = 75
  • Divide entre 3: x^2 = 25
  • Raíz cuadrada: x = \pm 5

Ejemplo (un grupo al cuadrado): (x - 3)^2 = 16

  • Raíz cuadrada: x - 3 = \pm 4
  • Dos ecuaciones: x - 3 = 4 da x = 7; x - 3 = -4 da x = -1.
Graph of y = (x - 3) squared, a parabola with vertex (3, 0), and the horizontal line y = 16. They meet at x = -1 and x = 7, the two solutions of (x - 3) squared = 16, because x - 3 = 4 or x - 3 = -4.xy−3−2−1123456789481216200y = 16x = −1x = 7vertex (3, 0)y = (x − 3)²x − 3 = 4 or x − 3 = −4 → x = 7 or x = −1
Gráfica de y = (x − 3)² que se cruza con y = 16 en x = −1 y x = 7

Ejemplo (no es un cuadrado perfecto): x^2 = 20 → x = \pm\sqrt{20} \approx \pm 4.47.

Ejemplo (sin solución real): x^2 = -9. Ningún número real al cuadrado da negativo, así que no hay solución real.

En un problema de la vida real donde x es una longitud o un tiempo, quédate solo con la solución positiva.

2. Cómo resolver por factorización

Paso 1: forma estándar. Pasa todos los términos a un lado para que la ecuación sea igual a 0. Ejemplo: x^2 + 8x = 9 se convierte en x^2 + 8x - 9 = 0.

Paso 2: factoriza. Para x^2 + bx + c (cuando a = 1), busca dos números que multiplicados den c y sumados den b.

EcuaciónMultiplicados danSumados danNúmerosFactorizada
x^2 - 5x + 6 = 06-5-2, -3(x - 2)(x - 3) = 0
x^2 + 2x - 15 = 0-1525, -3(x + 5)(x - 3) = 0
x^2 + 8x - 9 = 0-989, -1(x + 9)(x - 1) = 0
Box model for factoring x squared + 2x - 15. Columns are labelled x and +5, rows x and -3. The four cells are x squared, 5x, -3x and -15. The constants multiply to -15 and the middle terms add to 2x, so x squared + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3), giving x = -5 or x = 3.Box (area) model: x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3)x+5x−3x²5x−3x−15Corners: 5 × (−3) = −15. Middle: 5x + (−3x) = 2x.Solutions: x + 5 = 0 → x = −5; x − 3 = 0 → x = 3
Modelo de caja: x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3)

Paso 3: propiedad del producto cero. Iguala cada factor a 0 y resuelve. De (x + 5)(x - 3) = 0: x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5, y x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.

Cuidado: los signos cambian. El factor (x + 5) da la solución x = -5, no +5.

Patrones especiales:

  • Factor común: x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0 o x = 6. No dividas entre x: perderías la solución x = 0.
  • Diferencia de cuadrados: x^2 - 81 = 0 \Rightarrow (x - 9)(x + 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 9.

Cuando a \ne 1: 5x^2 - 3x - 2 = 0 se factoriza como (5x + 2)(x - 1) = 0, así que 5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{2}{5} y x = 1. Siempre comprueba multiplicando: (5x + 2)(x - 1) = 5x^2 - 5x + 2x - 2 = 5x^2 - 3x - 2 ✓. Si factorizar es difícil, usa la fórmula cuadrática.

Cómo usar la gráfica. Las soluciones de x^2 - 2x - 3 = 0 son los puntos donde la parábola y = x^2 - 2x - 3 cruza el eje x (x-axis): x = -1 y x = 3.

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes showing the parabola y = x squared minus 2x minus 3. It opens upward, crosses the x-axis at x = -1 and x = 3, crosses the y-axis at y = -3, and has its lowest point (vertex) at (1, -4).-5-5-4-4-3-3-2-2-1-11122334455xyy = x² − 2x − 3
Parábola y = x^2 - 2x - 3

3. La fórmula cuadrática y el discriminante

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación en forma estándar ax^2 + bx + c = 0:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Ejemplo: x^2 - 6x + 2 = 0, así que a = 1, b = -6, c = 2.

  • -b = -(-6) = 6
  • b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(2) = 36 - 8 = 28
  • x = \dfrac{6 \pm \sqrt{28}}{2}
  • \sqrt{28} \approx 5.2915, así que x \approx \dfrac{6 + 5.2915}{2} \approx 5.65 o x \approx \dfrac{6 - 5.2915}{2} \approx 0.35.

Cuidado con los signos: si b es negativo, -b es positivo. Y b^2 siempre es positivo o cero: (-6)^2 = 36, no -36. Si c es negativo, -4ac se vuelve más: para 2x^2 - 3x - 4 = 0, b^2 - 4ac = 9 - 4(2)(-4) = 9 + 32 = 41.

El discriminante b^2 - 4ac te dice cuántas soluciones reales hay:

b^2 - 4acNúmero de soluciones realesGráfica
positivo2cruza el eje x dos veces
cero1toca el eje x una vez
negativo0 (sin soluciones reales)nunca llega al eje x
Three parabolas showing the discriminant. Left: y = x squared - 6x + 2, discriminant 28, crosses the x-axis twice near 0.35 and 5.65. Middle: y = 4x squared - 12x + 9, discriminant 0, touches the x-axis once at 1.5. Right: y = x squared + 4x + 7, discriminant -12, never reaches the x-axis, so no real solutions.xy246−8−4480≈0.35≈5.65x² − 6x + 2 = 0b² − 4ac = 28 > 02 solutionsxy−11234−8−44801.54x² − 12x + 9 = 0b² − 4ac = 01 solutionxy−5−4−3−2−11−8−4480x² + 4x + 7 = 0b² − 4ac = −12 < 0no real solutions
Tres parábolas: con dos, una y ninguna intersección con el eje x

Ejemplo: x^2 + 4x + 7 = 0: 16 - 28 = -12 < 0 → sin soluciones reales.

Ejemplo: 4x^2 - 12x + 9 = 0: 144 - 144 = 0 → exactamente una solución, x = \tfrac{-b}{2a} = \tfrac{12}{8} = 1.5.

¿Qué método usar? Sin término x → raíces cuadradas. Números fáciles → intenta factorizar. Cualquier otro caso (o si te piden una respuesta decimal) → la fórmula cuadrática.

Fórmula

La fórmula cuadrática (en la hoja de fórmulas)

\text{Si } ax^2 + bx + c = 0, \text{ entonces } x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  • a = coeficiente de x^2 (no puede ser 0)
  • b = coeficiente de x (usa 0 si no hay término x)
  • c = el término constante
  • \pm = hazlo una vez con + y otra con - para obtener dos soluciones

La fórmula cuadrática está en la hoja de fórmulas del GED®, así que no necesitas memorizarla, pero sí necesitas poner la ecuación en forma estándar (igual a 0) antes de identificar a, b y c. La idea del discriminante (b^2 - 4ac positivo / cero / negativo) y la propiedad del producto cero no están en la hoja.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): raíces cuadradas

Resuelve 2x^2 = 98.

  1. Divide ambos lados entre 2: x^2 = 49.
  2. Saca la raíz cuadrada de ambos lados: x = \pm\sqrt{49}.
  3. x = 7 o x = -7.
Graph of y = 2x squared and the line y = 98. They meet at x = -7 and x = 7, the two solutions of 2x squared = 98.xy−9−6−3369204060801001200y = 98x = −7x = 7y = 2x²2x² = 98 → x² = 49 → x = ±7
Gráfica de y = 2x² que se cruza con y = 98 en x = ±7

Respuesta: x = \pm 7.

Comprobación: 2(7)^2 = 2(49) = 98 ✓ y 2(-7)^2 = 2(49) = 98 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: factorización

Resuelve x^2 - x - 12 = 0.

  1. Ya está en forma estándar. Busca dos números que multiplicados den -12 y sumados den -1: -4 y 3.
  2. Factoriza: (x - 4)(x + 3) = 0.
  3. Propiedad del producto cero: x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4; x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3.
Graph of the parabola y = x squared - x - 12 = (x - 4)(x + 3). It crosses the x-axis at x = -3 and x = 4, the solutions of x squared - x - 12 = 0. Its vertex is at (0.5, -12.25).xy−5−4−3−2−1123456−12−8−4480x = −3x = 4y = x² − x − 12
Parábola y = x² − x − 12 con raíces −3 y 4

Respuesta: x = 4 o x = -3.

Comprobación: 4^2 - 4 - 12 = 16 - 16 = 0 ✓; (-3)^2 - (-3) - 12 = 9 + 3 - 12 = 0 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3: la fórmula cuadrática

Resuelve 2x^2 + 5x - 3 = 0.

  1. a = 2, b = 5, c = -3.
  2. Discriminante: b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49.
  3. x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(2)} = \dfrac{-5 \pm 7}{4}.
  4. x = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} o x = \dfrac{-5 - 7}{4} = \dfrac{-12}{4} = -3.
Graph of the parabola y = 2x squared + 5x - 3. It crosses the x-axis at x = -3 and x = 1/2, the solutions found with the quadratic formula. Its vertex is at (-1.25, -6.125).xy−5−4−3−2−1123−8−4480x = −3x = ½y = 2x² + 5x − 3
Parábola y = 2x² + 5x − 3 con raíces −3 y 1/2

Respuesta: x = \tfrac{1}{2} o x = -3.

Comprobación: 2(\tfrac{1}{2})^2 + 5(\tfrac{1}{2}) - 3 = 0.5 + 2.5 - 3 = 0 ✓; 2(9) + 5(-3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (vida real): un objeto que cae

Una herramienta se cae desde un techo. Su altura, en pies, después de t segundos es h = 144 - 16t^2. ¿Cuándo llega al suelo?

  1. En el suelo, h = 0: 144 - 16t^2 = 0.
  2. Suma 16t^2: 16t^2 = 144.
  3. Divide entre 16: t^2 = 9.
  4. Raíz cuadrada: t = \pm 3. El tiempo no puede ser negativo, así que t = 3.
Graph of the height h = 144 - 16t squared of a dropped tool, from 144 feet at t = 0 down to the ground (h = 0) at t = 3 seconds. The negative solution t = -3 is rejected.t (s)h (ft)0.511.522.533.540801201600start: 144 ftground at t = 3 sh = 144 − 16t²144 − 16t² = 0 → t² = 9 → t = 3 (t = −3 rejected)
Altura 144 − 16t² que llega al suelo en t = 3

Respuesta: 3 segundos.

Comprobación: 144 - 16(3)^2 = 144 - 144 = 0 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (nivel difícil del GED®): trabaja hacia atrás

Una solución de x^2 + kx - 12 = 0 es x = 3. Halla k y la otra solución.

  1. Sustituye x = 3: 3^2 + 3k - 12 = 0, así que 9 + 3k - 12 = 0.
  2. Simplifica: 3k - 3 = 0 \Rightarrow k = 1.
  3. La ecuación es x^2 + x - 12 = 0. Factoriza: (x + 4)(x - 3) = 0.
  4. Soluciones: x = 3 (dada) y x = -4.
Graph of y = x squared + x - 12, the equation once k = 1 is found. It crosses the x-axis at the given solution x = 3 and the other solution x = -4. Product of the solutions: 3 times -4 = -12.xy−6−5−4−3−2−112345−12−8−4480x = −4 (other)x = 3 (given)y = x² + x − 12
Parábola y = x² + x − 12 con raíces −4 y 3

Respuesta: k = 1; la otra solución es x = -4.

Comprobación: (-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 ✓. Atajo: cuando a = 1, las dos soluciones multiplicadas dan c: 3 \times (-4) = -12 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: TI-30XS MultiView

  • Raíces cuadradas: presiona 2nd y luego x² para obtener \sqrt{\ }. Ejemplo: 2nd x² 28 enter → 2\sqrt{7}; presiona toggle → 5.291502622.
  • Números negativos: usa la tecla (−), no la tecla de resta, para un valor negativo como b = -6.
  • Elevar al cuadrado: usa la tecla x². Pon los negativos entre paréntesis: ( (−) 6 ) x² → 36. Sin paréntesis, -6^2 se lee como -36.
  • La fórmula completa: primero halla la raíz cuadrada (2nd x² 28 enter → 2\sqrt{7}, luego toggle → 5.291502622) y después calcula cada solución con paréntesis alrededor del numerador: ( 6 + 5.2915 ) ÷ 2 enter → aproximadamente 5.65, y ( 6 − 5.2915 ) ÷ 2 enter → aproximadamente 0.35.
  • Comprueba una solución: sustitúyela en la ecuación original; el resultado debe ser 0 (o muy cercano a 0 por el redondeo).

Cuándo NO usarla: si la ecuación se factoriza fácilmente (como x^2 - x - 12 = 0), factorizar a mano es más rápido. Usa la calculadora para el discriminante y para las respuestas decimales.

Error común

Errores comunes

  • Olvidar la raíz negativa. x^2 = 49 tiene dos soluciones, 7 y -7, no solo 7.
  • Los signos cambian al factorizar. (x + 5)(x - 3) = 0 da x = -5 y x = 3, no 5 y -3.
  • No igualar primero la ecuación a 0. En x^2 + 8x = 9 no puedes factorizar x^2 + 8x e igualarlo a 9. Escríbela como x^2 + 8x - 9 = 0. Lo mismo vale antes de usar la fórmula: c es -9, no 9.
  • Errores de signo en la fórmula. Si b = -3, entonces -b = +3. Y -4ac con un c negativo se vuelve positivo: -4(2)(-4) = +32.
  • Dividir entre 2 en vez de 2a. Todo el numerador se divide entre 2a. Para 2x^2 - 3x - 4 = 0, el denominador es 2(2) = 4.
  • Olvidar sacar la raíz cuadrada. (x - 3)^2 = 16 significa x - 3 = \pm 4, no x - 3 = 16.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Prueba las opciones de respuesta. Una solución hace que la ecuación sea igual a 0. Sustituir muchas veces es más rápido que resolver, sobre todo en las preguntas de "selecciona todas".
  • Lee qué te piden: ¿las dos soluciones, la positiva, la menor o el número de soluciones? En los problemas verbales, descarta longitudes o tiempos negativos.
  • Usa el discriminante en las preguntas de "cuántas soluciones": no resuelvas todo.
  • Busca la fórmula cuadrática en la hoja de fórmulas; cópiala con cuidado y escribe a, b, c (con sus signos) antes de sustituir.
  • Usa la gráfica: si te muestran una parábola, las soluciones son las intersecciones con el eje x.
  • Redondea solo al final, y solo hasta la posición que pide la pregunta.

Compruébalo

Resolver ecuaciones cuadráticasSin calculadora

What are the solutions of the equation x^2 = 64?

Opciones de respuesta
Pista

Which numbers, when multiplied by themselves, give 64? There is more than one.

Ver en español

Pregunta

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x^2 = 64?

Opciones

  • A. x = 8 y x = -8
  • B. solo x = 8
  • C. x = 32
  • D. x = 4{,}096
Pista

¿Qué números, multiplicados por sí mismos, dan 64? Hay más de uno.

Compruébalo

Resolver ecuaciones cuadráticasCompletar

Solve 2x^2 + 5 = 77.

What is the positive solution?

x =

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Get x^2 alone on one side first (undo the addition, then the multiplication).

Ver en español

Pregunta

Resuelve 2x^2 + 5 = 77.

¿Cuál es la solución positiva?

x = _____

Pista

Primero deja x^2 solo en un lado (deshaz la suma y luego la multiplicación).

Resumen

  • Sin término x: deja sola la parte al cuadrado y luego saca \pm\sqrt{\ }.
  • Factorización: iguala la ecuación a 0, factoriza y luego iguala cada factor a 0 (los signos cambian).
  • Fórmula cuadrática (en la hoja de fórmulas): x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}; funciona siempre.
  • Discriminante b^2 - 4ac: positivo → 2 soluciones, cero → 1, negativo → ninguna.
  • Siempre comprueba una solución sustituyéndola. Las soluciones son las intersecciones de la parábola con el eje x.
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