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Cómo escribir desigualdades a partir de problemas verbales

Traduce situaciones de todos los días a desigualdades lineales de una variable.

Practicar esta destreza 20 min Escribir desigualdades a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

En el GED® muchas veces no te pedirán resolver una desigualdad, sino escribirla. Una pregunta describe una situación con palabras ("Amir puede gastar no más de $60 en boletos que cuestan $12 cada uno") y pregunta: ¿Qué desigualdad representa esta situación?

En esta lección vas a aprender a:

  • traducir frases clave como "por lo menos", "no más de" y "sobrepasa" al símbolo correcto,
  • definir la variable con claridad,
  • armar el lado izquierdo con una cantidad fija y una tasa,
  • manejar frases engañosas como "5 menos que un número" frente a "5 es menor que un número",
  • escribir desigualdades a partir de situaciones de geometría y de porcentajes.

Por qué es importante en el GED®: "¿Qué desigualdad representa…?" es uno de los tipos de pregunta de álgebra más comunes. Las opciones incorrectas salen de errores predecibles (el símbolo equivocado, los números intercambiados, el cargo fijo olvidado), así que si conoces esas trampas, estas preguntas se vuelven puntos rápidos.

Vocabulario

Palabras clave

  • Variable: la letra de la cantidad desconocida; siempre di lo que significa (ejemplo: "sea t = número de boletos").
  • Expresión: números y variables sin un signo de comparación (ejemplo: 12t + 5).
  • Desigualdad: dos expresiones unidas por <, >, \le o \ge (ejemplo: 12t + 5 \le 60).
  • Tasa: una cantidad por unidad, que multiplica a la variable (ejemplo: $12 por boleto → 12t).
  • Cantidad fija: una cantidad que se suma o se resta una sola vez (ejemplo: un cargo por servicio de $5 → +5).
  • Límite: el número del otro lado de la desigualdad (un presupuesto, una capacidad, una meta).
  • Inclusiva: el límite sí está permitido (\le o \ge), como en "como máximo 60".
  • Estricta: el límite no está permitido (< o >), como en "menos de 60".
  • Umbral: un punto de partida a partir del cual empieza un cobro (ejemplo: $0.05 por mensaje después de 500 → 0.05(t - 500)).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Traduce las palabras a un símbolo

Memoriza esta tabla. Es la base para escribir desigualdades.

Palabras del problemaSímboloEjemploDesigualdad
menos de, menor que, por debajo de<menos de 30 estudiantess < 30
más de, mayor que, sobrepasa, por encima de>una velocidad de más de 55 mphv > 55
como máximo, no más de, máximo, no sobrepasar, hasta\leno más de $60c \le 60
por lo menos, no menos de, mínimo, no por debajo de\gepor lo menos 18 años de edada \ge 18
Four number lines for the translation table. fewer than 30: open circle at 30 shaded left (s < 30). above 55: open circle at 55 shaded right (v > 55). no more than 60: closed circle at 60 shaded left (c <= 60). at least 18: closed circle at 18 shaded right (a >= 18). fewer than 30 students: s < 30 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 a speed above 55 mph: v > 55 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 no more than $60: c ≤ 60 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 at least 18 years old: a ≥ 18 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Gráficas de s < 30, v > 55, c <= 60 y a >= 18

Dos ideas útiles:

  • "No más de" = "como máximo" = \le. Si no puedes tener más, puedes tener esa cantidad o menos.
  • "No menos de" = "por lo menos" = \ge. Si no puedes tener menos, puedes tener esa cantidad o más.

¿Inclusiva o estricta? Pregúntate: ¿Está permitido el límite mismo? Un puente con límite de 10 toneladas permite exactamente 10 toneladas (w \le 10). Un juego para niños de más de 48 pulgadas de estatura no permite exactamente 48 pulgadas (h > 48).

Cuidado con "menos".

  • "5 menos que un número" es una expresión: x - 5 (empiezas con x y le quitas 5: el orden se invierte).
  • "5 es menor que un número" es una desigualdad: 5 < x.

La palabrita "es" te dice dónde va el signo de desigualdad.

Ejemplo A. "El doble de un número, aumentado en 7, es por lo menos 25." → 2x + 7 \ge 25.

Tape model: two blocks labelled x (twice a number, 2x) and a block labelled 7 placed end to end, compared with a block labelled 25 using the at-least sign. The inequality is 2x + 7 >= 25. “Twice a number, increased by 7, is at least 25” x x 7 twice a number: 2x ≥ 25 2x + 7 ≥ 25
Modelo de cinta: x + x + 7 es por lo menos 25

Ejemplo B. "Tres menos que un número es como máximo 10." → x - 3 \le 10.

Arma la expresión: cantidad fija + tasa × variable

La mayoría de los problemas verbales tienen la misma estructura:

\underbrace{\text{cantidad fija}}_{\text{una vez}} + \underbrace{\text{tasa} \times \text{variable}}_{\text{por artículo}} \;\;(\text{símbolo})\;\; \text{límite}

Cómo saber qué número es cuál:

  • La tasa viene con "por", "cada", "cada uno", "por hora", "por milla". Multiplica a la variable.
  • La cantidad fija pasa una sola vez: un cargo, un saldo inicial, el peso de una persona, dinero ya ahorrado. Se suma (o se resta, si son costos en un problema de ganancia).

Ejemplo C. Un plomero cobra $75 por la visita a domicilio más $60 por hora. El cliente pagará no más de $300.

  • Variable: h = horas trabajadas.
  • Tasa: $60 por hora → 60h. Fija: $75 → +75.
  • "No más de" → \le.
75 + 60h \le 300
Bar model of the plumber's bill: a 75 dollars house-call block that is paid once, followed by 60 dollars blocks, one per hour (three hours shown, labelled 60h), compared with a limit line at 300 dollars. The inequality is 75 + 60h <= 300. 75 + 60h ≤ 300 (shown with h = 3) $75 call no more than $300 fixed: once $60 per hour × h hours: 60h
Barra de la factura del plomero: 75 dólares una vez + 60 dólares por hora, límite de 300 dólares

Ejemplo D. Sam tiene $25 y ahorra $15 a la semana. Necesita por lo menos $200.

25 + 15w \ge 200

Ejemplo E (ganancia). Un club vende galletas a $1.50 cada una y gastó $48 en materiales. La ganancia debe ser por lo menos $120.

1.50c - 48 \ge 120

La ganancia es el dinero que entra menos los costos, así que el costo fijo se resta.

Planteamientos más difíciles: umbrales, geometría y varias partes

Umbrales ("después de", "a partir de los primeros"). Un plan cobra $30 al mes más $0.05 por cada mensaje después de los primeros 500. Si t es el número de mensajes (con t > 500), solo se cobran t - 500 mensajes:

30 + 0.05(t - 500) \le 45
Bar of 800 texts split at 500: the first 500 texts are included in the 30 dollars monthly fee; only the t - 500 = 300 texts over 500 are charged at 0.05 dollars each, which is 15 dollars. The bill is 30 dollars + 15 dollars = 45 dollars. 30 + 0.05(t − 500) ≤ 45 (shown with t = 800) first 500 texts: included in $30 t − 500 = 300 300 × $0.05 = $15 0 500 800 bill: $30 + $15 = $45
Solo se cobran los mensajes después de 500: t - 500

Geometría. Usa una fórmula de la hoja de fórmulas y luego agrega el límite. Un rectángulo tiene ancho w y largo 2w + 3. Su perímetro debe ser menor que 54 ft:

P = 2l + 2w = 2(2w + 3) + 2w = 6w + 6 \quad\Rightarrow\quad 6w + 6 < 54
Rectangle with length 2w + 3 on the top and bottom and width w on the left and right sides, right angles marked. Perimeter P = 2(2w + 3) + 2w = 6w + 6, which must be less than 54 ft. Length = 2w + 3, width = w 2w + 3 2w + 3 w w P = 2(2w + 3) + 2w = 6w + 6 6w + 6 < 54
Rectángulo: ancho w, largo 2w + 3

Varias partes de ingresos. Un club ya ganó $80 con brownies (40 a $2), venderá galletas a $1.50 cada una y gastó $48 en materiales. La ganancia debe ser por lo menos $200:

1.50c + 80 - 48 \ge 200

Escríbela por pasos (funciona siempre):

  1. Lee la pregunta dos veces y nombra la variable: ¿qué estás contando?
  2. Escribe lo que cambia con la variable (tasa × variable).
  3. Suma o resta lo que pasa una sola vez.
  4. Encuentra el límite y las palabras de límite; escoge el símbolo.
  5. Prueba tu desigualdad con un número sencillo para ver si se "comporta" como la situación.
Fórmula

Fórmulas que puedes necesitar

El patrón general no está en la hoja de fórmulas; memorízalo:

\text{cantidad fija} + (\text{tasa})x \;\;\square\;\; \text{límite}, \qquad \square \in \{<,\ >,\ \le,\ \ge\}
  • x = la cantidad que no conoces (horas, artículos, millas…).
  • tasa = cantidad por una unidad de x.
  • cantidad fija = cantidad que se da una sola vez (puede ser 0).

Fórmulas que sí están en la hoja de fórmulas del GED® y aparecen muchas veces dentro de desigualdades:

\text{Perímetro de un rectángulo: } P = 2l + 2w \qquad \text{Costo total} = (\text{número de unidades}) \times (\text{precio por unidad})
Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): una sola frase

Problema: Un trabajo exige que los solicitantes tengan por lo menos 21 años. Escribe una desigualdad para una edad permitida a.

  1. "Por lo menos" significa 21 o más, así que el límite se incluye.
  2. El símbolo es \ge.

Respuesta: a \ge 21

Number line from 16 to 26. Closed circle at 21 with shading and an arrow to the right: the graph of a >= 21. Test value 21 is marked true (in the solution set). Test value 20 is marked false (not a solution). at least 21 years old: a ≥ 21 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 years 21 ✓ 20 ✗
a >= 21: círculo cerrado en 21, sombreado a la derecha

Comprobación: Una persona de 21 años cumple: 21 \ge 21 ✓. Una de 20 años no: 20 \ge 21 es falso ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: una tasa y un presupuesto

Problema: Los boletos para un concierto cuestan $45 cada uno, más un cargo único de procesamiento de $8 por pedido. Leah puede gastar no más de $200. Escribe una desigualdad para el número de boletos t.

  1. Tasa: $45 por boleto → 45t.
  2. Cantidad fija: $8 una vez → +8.
  3. "No más de" → \le; límite 200.

Respuesta: 45t + 8 \le 200

Bar model of Leah's order: an 8 dollars processing fee block plus four 45 dollars ticket blocks, 180 dollars, for a total of 188 dollars, under the 200 dollars budget line. A dashed red fifth ticket brings the total to 233 dollars, over budget. The inequality is 45t + 8 <= 200. 45t + 8 ≤ 200 budget $200 $8 4 tickets × $45 = $180; total $188 ✓ 5 tickets: $233 ✗ $0
Barra del pedido: cargo de 8 dólares + 4 x 45 dólares = 188 dólares, menos de 200 dólares

Comprobación: Prueba t = 4: 180 + 8 = 188 \le 200 ✓ (le alcanza para 4). Prueba t = 5: 225 + 8 = 233, se pasa del presupuesto ✓: la desigualdad coincide con la situación.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3 (vida real): un límite de peso

Problema: Una camioneta puede cargar como máximo 1,200 lb. El conductor pesa 190 lb. Las cajas de agua pesan 42 lb cada una. Escribe una desigualdad para el número de cajas c.

  1. Tasa: 42 lb por caja → 42c.
  2. Cantidad fija: el conductor, 190 lb → +190.
  3. "Como máximo" → \le 1200.

Respuesta: 190 + 42c \le 1200

Bar model of the van load: a 190 lb block for the driver plus 24 cases of 42 lb each, 1,008 lb, for a total of 1,198 lb, just under the 1,200 lb limit line. A dashed red 25th case brings the total to 1,240 lb, too heavy. The inequality is 190 + 42c <= 1200. 190 + 42c ≤ 1200 190 lb at most 1,200 lb driver 24 cases × 42 lb = 1,008 lb total 1,198 lb ✓ 25 cases: 1,240 lb ✗
Barra de carga de la camioneta: 190 + 24 x 42 = 1,198 lb, menos de 1,200

Comprobación: Con 24 cajas: 190 + 1008 = 1198 \le 1200 ✓. Con 25: 190 + 1050 = 1240: demasiado pesado ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (nivel GED® difícil): límite del perímetro

Problema: Un jardín es un rectángulo cuyo largo mide 3 ft más que el doble de su ancho w. La cerca disponible mide menos de 54 ft. Escribe una desigualdad para w.

  1. Largo: "3 más que el doble del ancho" → l = 2w + 3.
  2. Perímetro (hoja de fórmulas): P = 2l + 2w = 2(2w + 3) + 2w.
  3. Simplifica: 4w + 6 + 2w = 6w + 6.
  4. "Menos de 54" → <.

Respuesta: 6w + 6 < 54 (que al resolverla da w < 8).

Garden rectangle drawn to scale with width 7 ft and length 17 ft (3 more than twice the width), right angles marked. Perimeter 2(17) + 2(7) = 48 ft, which is less than 54 ft. In general 6w + 6 < 54. Example: w = 7 ft, l = 2(7) + 3 = 17 ft 17 ft 17 ft 7 ft 7 ft P = 2(17) + 2(7) = 48 < 54 ✓ 6w + 6 < 54
Jardín de 7 ft por 17 ft: perímetro de 48 ft < 54 ft

Comprobación: Si w = 7: l = 17, P = 34 + 14 = 48 < 54 ✓. Si w = 8: l = 19, P = 38 + 16 = 54, que no es menor que 54 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (trabajar al revés): escribe y luego resuelve

Problema: Un club escolar vende galletas a $1.50 cada una. Ya vendió 40 brownies a $2 cada uno y gastó $48 en materiales. El club quiere una ganancia total de por lo menos $200. ¿Cuál es el menor número de galletas que tiene que vender?

  1. Variable: c = galletas vendidas.
  2. Dinero que entra: 1.50c + 40(2) = 1.50c + 80. Dinero que sale: 48.
  3. Desigualdad: 1.50c + 80 - 48 \ge 200.
  4. Simplifica: 1.50c + 32 \ge 200.
  5. Resta 32: 1.50c \ge 168.
  6. Divide entre 1.50: c \ge 112.

Respuesta: 112 galletas

Two bars. Money in: brownies 80 dollars plus 112 cookies at 1.50 dollars, 168 dollars, for 248 dollars. Money out: 48 dollars for supplies, lined up under the end of the money-in bar. What is left, the profit, is 248 - 48 = 200 dollars, which meets the goal of at least 200 dollars. 1.50c + 80 − 48 ≥ 200 (c = 112) money in brownies $80 112 × $1.50 = $168 money out $48 supplies → profit = 248 − 48 = $200 ≥ $200 goal ✓
Entran 248 dólares menos 48 dólares de materiales: quedan 200 dólares de ganancia

Comprobación: 1.50(112) + 80 - 48 = 168 + 32 = 200 \ge 200 ✓. Con 111 galletas: 166.50 + 32 = 198.50, no alcanza ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Escribir una desigualdad es una destreza de lectura: la calculadora no puede escoger el símbolo ni decidir qué número es la tasa. Muchas preguntas de "¿qué desigualdad representa…?" se hacen rápido sin ella.

Usa la calculadora para probar una opción con un número de ejemplo. Para 190 + 42c \le 1200 con c = 24: escribe 190 + 42 × 24 enter → 1198. Compáralo tú mismo con 1,200.

  • Usa (−) para los valores negativos y paréntesis para los umbrales: 30 + 0.05 × ( 800 − 500 ) enter → 45.
  • Usa n/d para tasas con fracciones y toggle para verlas como decimales.
Error común

Errores comunes

  • Convertir "no más de" en \ge. ✗ 12t \ge 60. ✓ "No más de $60" significa $60 o menos: 12t \le 60.
  • Confundir estricta e inclusiva. "Como máximo 1,200 lb" escrito como < 1200. ✗ ✓ "Como máximo" incluye 1,200: \le.
  • Intercambiar la tasa y la cantidad fija. Cargo de visita de $75 + $60/hora escrito como 60 + 75h. ✗ ✓ El número que va con "por hora" multiplica a h: 75 + 60h.
  • Sumar la tasa en vez de multiplicarla. t + 12 \le 60 ✗. ✓ "$12 cada uno" significa 12t.
  • Olvidar la cantidad fija. 15w \ge 200 cuando Sam ya tiene $25. ✗ ✓ 25 + 15w \ge 200.
  • Invertir expresiones con "menos que". "5 menos que x" escrito como 5 - x. ✗ ✓ x - 5.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Revisa primero el símbolo. Encuentra las palabras de límite y decide el símbolo. Descarta todas las opciones con el símbolo equivocado: muchas veces se van dos opciones de inmediato.
  • Luego revisa la estructura. ¿Qué número va con "por/cada"? Ese debe ir junto a la variable.
  • Sustituye un número sencillo. Escoge un valor para la variable (como 1 o 10), calcula el total real según la situación y mira qué desigualdad da ese mismo total en su lado izquierdo.
  • Fíjate en el orden de la resta en los problemas de ganancia y de umbral: dinero que entra − dinero que sale; mensajes − 500.
  • Lee dos veces: ¿la pregunta te pide escribir la desigualdad o resolverla? No la resuelvas si solo piden la desigualdad.
  • Unidades: asegúrate de que los dos lados estén en las mismas unidades (dólares con dólares, pies con pies).

Compruébalo

Escribir desigualdades a partir de un contextoSin calculadora

Which inequality represents the statement “a number x is at least 18”?

Opciones de respuesta
Pista

Does “at least 18” allow the number to be exactly 18? Can it be bigger?

Ver en español

Pregunta

¿Qué desigualdad representa la afirmación "un número x es por lo menos 18"?

Opciones

  • A. x > 18
  • B. x \le 18
  • C. x < 18
  • D. x \ge 18
Pista

¿"Por lo menos 18" permite que el número sea exactamente 18? ¿Puede ser mayor?

Compruébalo

Escribir desigualdades a partir de un contextoSin calculadora

Movie tickets cost $12 each. Amir can spend no more than $60 on tickets. Which inequality represents the number of tickets t he can buy?

Opciones de respuesta
Pista

How much do t tickets cost? Then translate “no more than”.

Ver en español

Pregunta

Los boletos de cine cuestan $12 cada uno. Amir puede gastar no más de $60 en boletos. ¿Qué desigualdad representa el número de boletos t que puede comprar?

Opciones

  • A. 12t \le 60
  • B. 12t \ge 60
  • C. t + 12 \le 60
  • D. 12t < 60
Pista

¿Cuánto cuestan t boletos? Luego traduce "no más de".

Resumen

  • "Como máximo / no más de" → \le; "por lo menos / no menos de" → \ge; "más de / sobrepasa" → >; "menos de" → <.
  • Nombra la variable, luego escribe cantidad fija + tasa × variable, y después el símbolo y el límite.
  • "Es" marca dónde va el signo de desigualdad: "5 menos que x" es x - 5, pero "5 es menor que x" es 5 < x.
  • Los umbrales usan (t - 500); la geometría usa la hoja de fórmulas (P = 2l + 2w).
  • Prueba tu desigualdad con un número de ejemplo para estar seguro de que coincide con la situación.
Practicar esta destreza →