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Problemas de desigualdades de la vida real

Usa desigualdades para resolver problemas de presupuestos, límites y metas, y da respuestas que tengan sentido.

Practicar esta destreza 22 min Desigualdades de la vida real Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

La vida real está llena de límites: un presupuesto que no puedes pasar, un peso que un elevador no puede superar, un puntaje que necesitas como mínimo para aprobar. Esos límites son desigualdades. En esta lección vas a aprender a resolver problemas de la vida real con desigualdades lineales de una variable: desde leer la situación hasta resolver y dar una respuesta que de verdad tenga sentido.

El proceso tiene cuatro pasos:

  1. Nombra la incógnita con una letra.
  2. Escribe la desigualdad (las palabras te dicen qué símbolo usar).
  3. Resuélvela con las reglas que ya conoces.
  4. Interpreta la respuesta: redondea en la dirección correcta y responde lo que se preguntó.

Por qué es importante en el GED®: los problemas de presupuesto y de "¿cuántos puedes comprar?" están entre los más comunes del examen de Razonamiento Matemático. Muchos usan un cargo fijo más una tasa (la tarifa de un taxi, un plan de teléfono, la membresía de un gimnasio). En el paso 4 es donde se pierden más puntos: el GED® muchas veces pone lado a lado el número sin redondear, el número mal redondeado y el correcto.

Vocabulario

Palabras clave

  • Por lo menos / como mínimo: esta cantidad o más, símbolo \ge (ejemplo: "por lo menos $300" → \ge 300).
  • Como máximo / no más de: esta cantidad o menos, símbolo \le (ejemplo: "no más de 60 lb" → \le 60).
  • Más de / sobrepasa: estrictamente mayor, símbolo >.
  • Menos de: estrictamente menor, símbolo <.
  • Presupuesto: lo máximo que puedes gastar; normalmente es un límite con \le.
  • Costo fijo (cargo fijo): un costo que pagas una sola vez sin importar cuántos artículos (ejemplo: un cargo de $3 por subirte al taxi).
  • Tasa (costo por unidad): el costo por cada artículo, hora o milla (ejemplo: $2 por milla).
  • Respuesta con número entero: cuando cuentas personas, boletos o cajas, la respuesta debe ser un número entero.
  • Redondear hacia abajo: ir al número entero menor (13.3 → 13). Úsalo para "lo máximo que puedes pagar".
  • Redondear hacia arriba: ir al siguiente número entero (23.3 → 24). Úsalo para "lo mínimo que necesitas".
  • Punto de equilibrio: el valor donde dos planes cuestan exactamente lo mismo.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

De la situación a la desigualdad y a la respuesta

La mayoría de los problemas verbales de desigualdades del GED® siguen este patrón:

\text{cantidad fija} + \text{tasa} \times \text{cantidad} \;\;(\text{símbolo})\;\; \text{límite}

Ejemplo A: taxi. Un taxi cobra $3 al empezar más $2 por milla. Ron tiene $25. ¿Cuántas millas puede viajar?

  1. Sea m = número de millas.
  2. El costo es 3 + 2m; puede gastar no más de $25: 3 + 2m \le 25.
  3. Resuelve: resta 3 → 2m \le 22; divide entre 2 → m \le 11.
  4. Interpreta: Ron puede viajar como máximo 11 millas.
Bar model of the taxi fare: a 3 dollars starting fee block followed by eleven 2 dollars blocks for 11 miles, totaling 22 dollars, which reaches Ron's 25 dollars limit exactly. So 3 + 2m <= 25 gives m <= 11. 3 + 2m ≤ 25 Ron has $25 11 miles × $2 = $22 $3 fee $0
Barra de la tarifa del taxi: cargo de 3 dólares + 11 x 2 dólares = 25 dólares

Si solo cuentan millas enteras, las soluciones son 0, 1, 2, …, 11:

Number line from -1 to 13 with separate closed dots at every whole number from 0 to 11: the whole-number solutions of 3 + 2m <= 25. −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Soluciones con números enteros del 0 al 11

Ejemplo B: límite de peso. Un elevador aguanta como máximo 1,500 lb. El operador pesa 180 lb y cada caja pesa 45 lb.

180 + 45b \le 1500 \;\Rightarrow\; 45b \le 1320 \;\Rightarrow\; b \le 29.\overline{3}
Bar model of the elevator load: a 180 lb block for the operator plus 29 boxes of 45 lb each, 1,305 lb, for a total of 1,485 lb, just under the 1,500 lb limit line. A dashed red 30th box would bring the total to 1,530 lb, over the limit. 180 + 45b ≤ 1500 180 lb limit 1,500 lb operator 29 boxes × 45 lb = 1,305 lb total 1,485 lb ✓ 30 boxes: 1,530 lb ✗
Barra del elevador: 180 + 29 x 45 = 1,485 lb, menos de 1,500

Las cajas se cuentan con números enteros, así que la respuesta es 29 cajas. (30 cajas pesarían 180 + 1350 = 1530 lb: demasiado.)

No olvides la cantidad fija (los $3 o el operador de 180 lb): es la razón más común de una respuesta incorrecta.

Cómo redondear en la dirección correcta

Cuando la respuesta debe ser un número entero, no uses las reglas normales de redondeo. Pregúntate: ¿qué números enteros cumplen de verdad la desigualdad?

Tipo de preguntaLa desigualdad se ve asíResultado de ejemploNúmero entero correcto
"Lo máximo que puedes comprar / cargar / pagar"x \le 13.313.313 (redondea hacia abajo)
"Lo mínimo que necesitas para llegar a una meta"x \ge 23.323.324 (redondea hacia arriba)
"El menor número para que sea más de…"x > 100100101 (el 100 no sirve)
"El mayor número para que sea menos de…"x < 707069

Ejemplo C. Kai gana $15 por hora y quiere ganar por lo menos $350. 15h \ge 350 \Rightarrow h \ge 23.\overline{3}. Con 23 horas solo gana $345: no alcanza. Necesita 24 horas ($360). Aunque 23.3 se "redondea" a 23, la respuesta correcta es 24.

Number line from 20 to 27. Closed circle at 23.33 with shading and an arrow to the right: the graph of h >= 23.3 (repeating). The whole number 24 is marked as the least whole number of hours; 23 hours, paying 345 dollars, is marked as not enough. 15h ≥ 350 → h ≥ 23.3… → 24 hours 20 21 22 23 24 25 26 27 23.3 23 hours pay $345 ✗ (not enough) · 24 hours pay $360 ✓
h >= 23.3: el menor número entero de horas es 24

Ejemplo D. Los cuadernos cuestan $3 y Jenna tiene $40. 3n \le 40 \Rightarrow n \le 13.\overline{3}. 14 cuadernos cuestan $42: demasiado. Puede comprar 13.

Number line from 9 to 16. Closed circle at 13.33 with shading and an arrow to the left: the graph of n <= 13.3 (repeating). The whole number 13 is marked as the greatest number of notebooks; 14 notebooks, costing 42 dollars, is marked as too many. 3n ≤ 40 → n ≤ 13.3… → 13 notebooks 9 10 11 12 13 14 15 16 13.3 13 notebooks cost $39 ✓ · 14 notebooks cost $42 ✗
n <= 13.3: el mayor número entero es 13

Siempre prueba el número entero que escojas y el siguiente.

Comparar planes, promedios y dos límites

Comparar dos planes. "¿Cuándo es el Plan A más barato que el Plan B?" significa costo de A < costo de B.

Ejemplo E. El Plan A cuesta $25 al mes más $0.15 por mensaje de texto; el Plan B cuesta $40 con mensajes ilimitados. El Plan A es más barato cuando

25 + 0.15t < 40 \;\Rightarrow\; 0.15t < 15 \;\Rightarrow\; t < 100.

Entonces el Plan A es más barato con menos de 100 mensajes. Con exactamente 100 mensajes los planes empatan (el punto de equilibrio).

Graph of monthly cost against number of texts from 0 to 200. Plan A is a line starting at 25 dollars and rising 0.15 dollars per text; Plan B is a flat line at 40 dollars. The lines cross at 100 texts and 40 dollars, the break-even point. The region left of 100 texts is shaded and labelled: Plan A is cheaper when t < 100. Plan A: 25 + 0.15t | Plan B: 40 A cheaper (t < 100) 0 50 100 150 200 0 10 20 30 40 50 60 texts per month, t monthly cost ($) Plan A Plan B tie at 100 texts ($40)
La recta del Plan A cruza la recta horizontal del Plan B en 100 mensajes

Cuando los dos planes tienen una parte variable, pon la variable en un solo lado:

40 + 0.55m > 65 + 0.30m \;\Rightarrow\; 0.25m > 25 \;\Rightarrow\; m > 100

Promedios. Para tener una media de por lo menos 85 en 4 exámenes, el total debe ser por lo menos 4 \times 85 = 340. Si los tres primeros puntajes suman 253, el cuarto puntaje s debe cumplir 253 + s \ge 340, así que s \ge 87.

Porcentajes y comisiones. Un vendedor gana $500 por semana más el 6% de las ventas s. Para ganar por lo menos $1,100: 500 + 0.06s \ge 1100 \Rightarrow 0.06s \ge 600 \Rightarrow s \ge 10{,}000.

Dos límites a la vez. Si el presupuesto de un servicio de banquetes alcanza para 69 invitados pero el salón tiene capacidad para 75, el máximo real es el límite menor: 69. Siempre revisa todas las condiciones de la situación.

Fórmula

Fórmulas que vas a usar

\text{costo total} = (\text{número de unidades}) \times (\text{precio por unidad})

Esta sí está en la hoja de fórmulas del GED®. Las desigualdades de la vida real normalmente agregan un cargo fijo, y esa parte la tienes que armar tú (no está en la hoja):

\text{cargo fijo} + (\text{tasa}) \times x \;\le\; \text{presupuesto} \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{\text{presupuesto} - \text{cargo fijo}}{\text{tasa}}
  • x = la cantidad que buscas (millas, horas, cajas, invitados…).
  • tasa = el costo (o peso, o pago) de una unidad.
  • cargo fijo = la cantidad que se paga una sola vez.

Para metas usa \ge: x \ge \dfrac{\text{meta} - \text{cantidad inicial}}{\text{tasa}}.

La fórmula de la media \bar{x} = \dfrac{\text{suma de los valores}}{\text{número de valores}} también está en la hoja de fórmulas.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): ¿cuántos puedes comprar?

Problema: Los boletos de cine cuestan $12 cada uno. Amir tiene $70. ¿Cuál es el mayor número de boletos que puede comprar?

  1. Sea t = número de boletos. El costo = 12t, que puede ser no más de 70: 12t \le 70.
  2. Divide entre 12: t \le 5.8\overline{3}.
  3. Los boletos son números enteros, así que redondea hacia abajo: 5.

Respuesta: 5 boletos

Bar model: five 12 dollars ticket blocks totaling 60 dollars, which fits under Amir's 70 dollars limit line. A dashed red sixth ticket block brings the total to 72 dollars, over the limit. So the greatest number of tickets is 5. 12t ≤ 70 Amir has $70 5 tickets × $12 = $60 ✓ 6 tickets: $72 ✗ $0
Barra de boletos: 5 x 12 dólares = 60 dólares cabe en 70 dólares; 6 boletos = 72 dólares

Comprobación: 5 \times 12 = 60 \le 70 ✓; 6 \times 12 = 72 > 70 ✗, así que 6 son demasiados.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: una meta con una cantidad inicial

Problema: Sam tiene $25 ahorrados y agrega $15 cada semana. ¿Cuántas semanas faltan para que tenga por lo menos $200 para una bicicleta?

  1. Sea w = semanas. Ahorros = 25 + 15w; necesitamos 25 + 15w \ge 200.
  2. Resta 25: 15w \ge 175.
  3. Divide entre 15: w \ge 11.\overline{6}.
  4. Las semanas son números enteros y esto es un mínimo, así que redondea hacia arriba: 12.

Respuesta: 12 semanas

Bar model of Sam's savings: a 25 dollars block already saved plus twelve 15 dollars weekly blocks, 180 dollars, for a total of 205 dollars, which passes the 200 dollars goal line. After 11 weeks he would have only 190 dollars. 25 + 15w ≥ 200 goal $200 $25 12 weeks × $15 = $180 total $205 ✓ $0
Barra de ahorros: 25 dólares + 12 x 15 dólares = 205 dólares alcanza la meta de 200 dólares

Comprobación: Después de 12 semanas: 25 + 180 = 205 \ge 200 ✓. Después de 11 semanas: 25 + 165 = 190, no alcanza ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3 (vida real): meta de ganancia

Problema: Un club vende boletos de rifa a $8 cada uno. Los premios cuestan $150. El club quiere una ganancia de por lo menos $500. ¿Cuántos boletos tiene que vender?

  1. Sea t = boletos. Ganancia = dinero que entra − costos = 8t - 150.
  2. Desigualdad: 8t - 150 \ge 500.
  3. Suma 150: 8t \ge 650.
  4. Divide entre 8: t \ge 81.25.
  5. Redondea hacia arriba: 82 boletos.

Respuesta: 82 boletos

Number line from 78 to 86. Closed circle at 81.25 with shading and an arrow to the right: the graph of t >= 81.25. The whole number 82 is marked as the least number of tickets; 81 tickets gives only 498 dollars profit. 8t − 150 ≥ 500 → t ≥ 81.25 → 82 tickets 78 79 80 81 82 83 84 85 86 81.25 81 tickets: $498 profit ✗ · 82 tickets: $506 profit ✓
t >= 81.25: el menor número entero de boletos es 82

Comprobación: 8(82) - 150 = 656 - 150 = 506 \ge 500 ✓. 8(81) - 150 = 498, le faltan $2 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (nivel GED® difícil): ¿qué compañía es más barata?

Problema: La compañía de alquiler de camiones A cobra $40 más $0.55 por milla. La compañía B cobra $65 más $0.30 por milla. ¿Cuál es el menor número entero de millas con el que B es más barata?

  1. Sea m = millas. "B es más barata" significa costo de B < costo de A: 65 + 0.30m < 40 + 0.55m
  2. Resta 0.30m en ambos lados: 65 < 40 + 0.25m.
  3. Resta 40: 25 < 0.25m.
  4. Divide entre 0.25: 100 < m, es decir, m > 100.
  5. La desigualdad es estricta, así que 100 no sirve. El menor número entero es 101.

Respuesta: 101 millas

Graph of rental cost against miles from 0 to 200. Company A starts at 40 dollars and rises 0.55 dollars per mile; company B starts at 65 dollars and rises 0.30 dollars per mile. The lines cross at 100 miles and 95 dollars. The region to the right of 100 miles is shaded: B is cheaper when m > 100, so the least whole number is 101 miles. A: 40 + 0.55m | B: 65 + 0.30m B cheaper (m > 100) 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 miles driven, m rental cost ($) A B tie at 100 mi ($95)
Las rectas del alquiler de camiones se cruzan en 100 millas; B es más barata después

Comprobación: Con 101 millas, A = 40 + 55.55 = 95.55 y B = 65 + 30.30 = 95.30; B es más barata ✓. Con 100 millas las dos cuestan $95: un empate, no es más barata ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (trabajar al revés): el puntaje necesario

Problema: Los tres primeros puntajes de examen de María son 78, 85 y 90. Quiere que su media en cuatro exámenes sea por lo menos 85. ¿Cuál es el puntaje más bajo que puede sacar en el examen 4?

  1. Una media \ge 85 en 4 exámenes significa que el total debe ser por lo menos 4 \times 85 = 340.
  2. Su total actual: 78 + 85 + 90 = 253.
  3. Sea s = el cuarto puntaje: 253 + s \ge 340.
  4. Resta 253: s \ge 87.

Respuesta: 87

Bar model of Maria's test total: blocks of 78, 85 and 90 add to 253; a fourth block s of at least 87 brings the total to the goal line of 340, which is 4 times 85. So s >= 87. Need total ≥ 4 × 85 = 340 78 85 90 s ≥ 87 goal 340 first three tests: 253
Barra de puntajes: 78 + 85 + 90 + s llega a la meta de 340

Comprobación: \dfrac{78 + 85 + 90 + 87}{4} = \dfrac{340}{4} = 85 ✓: justo la meta. Un 86 da \dfrac{339}{4} = 84.75, demasiado bajo ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Los problemas verbales muchas veces tienen decimales ($0.15 por mensaje, comisiones del 6%), así que aquí se permite la calculadora y es útil.

  • Usa paréntesis para hacer "resta el cargo fijo y luego divide" en una sola línea: para 180 + 45b \le 1500 escribe ( 1500 − 180 ) ÷ 45 enter → 29.333\ldots
  • Convierte los porcentajes a decimales antes de escribirlos: 6% → 0.06.
  • Si la respuesta aparece como fracción (como \tfrac{88}{3}), presiona toggle para ver el decimal.
  • Comprueba tu respuesta entera escribiendo su costo (y el del número siguiente): 180 + 45 × 29 enter → 1485 ✓; 180 + 45 × 30 enter → 1530 ✗.

La calculadora da 29.333, pero no decide si redondear hacia arriba o hacia abajo. Eso te toca a ti.

Error común

Errores comunes

  • Ignorar el cargo fijo. Elevador: 45b \le 1500 \Rightarrow b \le 33 ✗. ✓ Incluye al operador de 180 lb: b \le 29.
  • Redondear con las reglas "normales". "Por lo menos $350 a $15/h" → 23.3 \to 23 ✗ (solo $345). ✓ Un mínimo se redondea hacia arriba: 24.
  • Dar un decimal cuando se cuentan cosas. "13.33 cuadernos" ✗. ✓ No puedes comprar parte de un cuaderno: 13.
  • Confundir "por lo menos" con "como máximo". "Por lo menos" es \ge (un piso); "como máximo / no más de" es \le (un techo).
  • Incluir el límite de una desigualdad estricta. "B es más barata" con m > 100 → respuesta 100 ✗. ✓ Con 100 millas empatan, así que es 101.
  • Olvidar un segundo límite. El presupuesto alcanza para 69 invitados pero el salón tiene capacidad para 75 → respuesta 75 ✗. ✓ Usa el límite menor, 69.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Subraya las palabras de límite ("por lo menos", "no más de", "sobrepasa") y el cargo fijo antes de empezar.
  • Sustituye las opciones. En una pregunta de "el mayor número", empieza con la opción más grande y pruébala; la primera que cumpla es la respuesta. En una pregunta de "el menor número", empieza con la más pequeña.
  • Prueba el vecino. Después de escoger un número entero, comprueba que el siguiente no sirva. Así detectas errores de redondeo.
  • Estima primero. $25 a $2 por milla son unas 12 millas; si tu respuesta es 110, algo salió mal.
  • Responde lo que se pregunta. Si piden el costo, no te quedes en el número de artículos.
  • Unidades: dólares con dólares y libras con libras; primero convierte los centavos o porcentajes a decimales.

Compruébalo

Desigualdades de la vida real

Jenna has $40 to spend on notebooks. Each notebook costs $3. What is the greatest number of notebooks she can buy?

Opciones de respuesta
Pista

Write an inequality for the total cost. Can she buy part of a notebook?

Ver en español

Pregunta

Jenna tiene $40 para gastar en cuadernos. Cada cuaderno cuesta $3. ¿Cuál es el mayor número de cuadernos que puede comprar?

Opciones

  • A. 13
  • B. 13.33
  • C. 14
  • D. 37
Pista

Escribe una desigualdad para el costo total. ¿Puede comprar parte de un cuaderno?

Compruébalo

Desigualdades de la vida realCompletar

A taxi charges a $3 pickup fee plus $2 per mile. Ron has $25. What is the greatest number of miles he can ride?

miles

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

The total cost is the pickup fee plus the cost of the miles. That total can be no more than $25.

Ver en español

Pregunta

Un taxi cobra un cargo de $3 por recogerte más $2 por milla. Ron tiene $25. ¿Cuál es el mayor número de millas que puede viajar?

_____ millas

Pista

El costo total es el cargo por recogerte más el costo de las millas. Ese total no puede ser más de $25.

Resumen

  • Escribe la situación como cantidad fija + tasa × cantidad (símbolo) límite y luego resuelve.
  • "Por lo menos" → \ge; "como máximo / no más de" → \le; "más de" → >; "menos de" → <.
  • Cuando cuentas cosas, redondea hacia abajo para un máximo y hacia arriba para un mínimo; con una desigualdad estricta, el límite no cuenta.
  • Para comparar planes: plantea costo de A < costo de B y junta la variable en un lado.
  • Siempre prueba tu respuesta y el siguiente número entero.
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