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Cómo graficar desigualdades en una recta numérica

Dibuja y lee gráficas de desigualdades en la recta numérica: círculo abierto o cerrado, hacia la izquierda o hacia la derecha.

Practicar esta destreza 20 min Graficar soluciones en la recta numérica Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una desigualdad como x > 2 tiene infinitas soluciones: 3, 2.5, 2.001, 100, un millón… No puedes escribirlas todas, así que las dibujamos en una recta numérica. En esta lección vas a aprender a:

  • graficar el conjunto solución de una desigualdad en una recta numérica,
  • leer una gráfica en la recta numérica y escribir la desigualdad que muestra,
  • decidir si el punto límite lleva un círculo abierto o cerrado,
  • graficar desigualdades "entre" dos números (compuestas) y soluciones con números enteros.

Por qué es importante en el GED®: el examen muestra con frecuencia cuatro rectas numéricas y pregunta "¿Qué gráfica muestra la solución de 2x - 3 < 5?". A veces tienes que hacer clic en la gráfica o el punto correcto (una pregunta de zona activa o hot spot). Otras veces te dan una gráfica y escoges la desigualdad que le corresponde. Son puntos fáciles una vez que conoces las dos decisiones de toda gráfica: qué círculo y qué dirección.

En la vida diaria, pensar con la recta numérica te ayuda a imaginar límites: un límite de velocidad de 65 mph (s \le 65), una edad mínima de 18 años (a \ge 18) o una fiebre de más de 100.4 °F (t > 100.4).

Vocabulario

Palabras clave

  • Recta numérica: una línea recta con números a la misma distancia; los números son más grandes hacia la derecha (ejemplo: 3 está a la derecha de -1).
  • Conjunto solución: todos los valores que hacen verdadera una desigualdad (ejemplo: para x > 2, todos los números mayores que 2).
  • Punto límite: el número donde empieza o termina el conjunto solución (en x \le 4, el límite es 4).
  • Círculo abierto ○: el límite no se incluye; se usa para < y > (ejemplo: x > 2).
  • Círculo cerrado (relleno) ●: el límite sí se incluye; se usa para \le y \ge (ejemplo: x \ge 2).
  • Rayo / sombreado: la línea gruesa con una flecha que muestra que las soluciones siguen para siempre en una dirección.
  • Desigualdad compuesta: dos condiciones a la vez, como -2 \le x < 3 ("x está entre -2 y 3").
  • Entero: un número entero o su negativo: \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots
  • Punto de prueba: un número que sustituyes para comprobar qué lado del límite se sombrea (ejemplo: el 0 es un punto de prueba fácil).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Dos decisiones: qué círculo y qué dirección

Toda gráfica de una desigualdad de una variable sale de dos decisiones.

Decisión 1: el círculo. Mira el símbolo:

SímboloEn palabrasCírculo
<menor queabierto ○
>mayor queabierto ○
\lemenor o igual quecerrado ●
\gemayor o igual quecerrado ●

Truco para recordar: la línea debajo de \le y \ge "rellena" el círculo. Sin línea, sin relleno.

Decisión 2: la dirección. Cuando la variable está a la izquierda:

  • x > \ldots o x \ge \ldots → sombrea hacia la derecha (números más grandes).
  • x < \ldots o x \le \ldots → sombrea hacia la izquierda (números más pequeños).

El símbolo < hasta parece una flecha que apunta a la izquierda cuando x se escribe primero. Ese atajo solo funciona cuando x está en el lado izquierdo, así que reescribe primero si hace falta.

Las cuatro gráficas básicas, todas con límite 2:

Four number lines from -2 to 6. x > 2: open circle at 2, shaded right. x >= 2: closed circle at 2, shaded right. x < 2: open circle at 2, shaded left. x <= 2: closed circle at 2, shaded left. x > 2 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x ≥ 2 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x < 2 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x ≤ 2 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Los cuatro tipos de gráficas de desigualdades

Ejemplo A. Grafica x \le -1. Círculo cerrado en -1 (el símbolo tiene una línea debajo), sombrea hacia la izquierda.

Number line from -6 to 4. Closed circle at -1 with shading and an arrow to the left: the graph of x <= -1. x ≤ −1: closed circle, shade left −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x <= -1: círculo cerrado en -1, sombreado a la izquierda

Ejemplo B. Grafica x > 3.5. Círculo abierto a la mitad entre 3 y 4, sombrea hacia la derecha.

Number line from -1 to 8. Open circle at 3.5 with shading and an arrow to the right: the graph of x > 3.5. x > 3.5: open circle, shade right −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3.5
x > 3.5: círculo abierto a la mitad entre 3 y 4, sombreado a la derecha

Cuando la variable está a la derecha, o primero hay que resolver

Variable a la derecha. 5 > x se lee "5 es mayor que x", que significa "x es menor que 5": x < 5. Da vuelta a toda la afirmación: intercambia los lados y gira el símbolo para que siga abriéndose hacia el lado mayor.

  • 5 > x es lo mismo que x < 5 → círculo abierto en 5, sombrea hacia la izquierda.
  • -2 \le x es lo mismo que x \ge -2 → círculo cerrado en -2, sombrea hacia la derecha.
Two number lines. Top: 5 > x rewritten as x < 5, open circle at 5 shaded left. Bottom: -2 <= x rewritten as x >= -2, closed circle at -2 shaded right. 5 > x means x < 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 ≤ x means x ≥ −2 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3
5 > x es x < 5; -2 <= x es x >= -2

Una trampa común: alguien ve ">" en 5 > x y sombrea a la derecha. Siempre reescribe con x primero.

Resuelve antes de graficar. El GED® normalmente da una desigualdad que todavía no está resuelta, como 6 - x > 2.

  1. Resuelve: resta 6 → -x > -4; divide entre -1 e invierte el signo → x < 4.
  2. Círculo: < → círculo abierto en 4.
  3. Dirección: x < 4 → sombrea a la izquierda.
Number line from -2 to 8. Open circle at 4 with shading and an arrow to the left: the graph of x < 4. Test value 0 is marked true (in the solution set). Test value 5 is marked false (not a solution). 6 − x > 2 → x < 4 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x = 0 ✓ x = 5 ✗
x < 4 con puntos de prueba 0 (verdadero) y 5 (falso)

Si olvidas invertir el signo, sombrearás hacia el lado equivocado, y el GED® casi siempre incluye esa gráfica incorrecta como opción.

Comprobación con punto de prueba. Después de graficar, escoge un número de la parte sombreada (el 0 es lo más fácil si está sombreado) y ponlo en la desigualdad original. Para 6 - x > 2, prueba x = 0: 6 > 2 ✓, y el 0 está en la parte sombreada ✓. Luego prueba un número del lado sin sombrear, como x = 5: 1 > 2 es falso ✓.

Gráficas "entre" dos números y soluciones con números enteros

Desigualdades compuestas ("entre"). La afirmación -2 \le x < 3 significa x \ge -2 y también x < 3. Su gráfica es un segmento, no un rayo:

  • círculo cerrado en -2 (por el \le),
  • círculo abierto en 3 (por el <),
  • sombreado entre los dos, sin flechas.
Number line from -4 to 5. Closed circle at -2, open circle at 3, shaded between them: -2 <= x < 3. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
-2 <= x < 3

Para leer la gráfica de un segmento, escribe: número de la izquierda (símbolo) x (símbolo) número de la derecha, usando \le para un círculo cerrado y < para un círculo abierto.

Contar enteros en un segmento. En -3 < x \le 2, el círculo abierto en -3 no se incluye y el círculo cerrado en 2 sí. Los enteros son -2, -1, 0, 1, 2: son 5 enteros.

Number line from -5 to 4. Open circle at -3, closed circle at 2, shaded between them: the graph of -3 < x <= 2. The integers -2, -1, 0, 1 and 2 are marked with dots: 5 integers. −3 < x ≤ 2: integers −2, −1, 0, 1, 2 (5 integers) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3 out 2 in
-3 < x <= 2 con sus 5 enteros marcados

Situaciones con números enteros. Cuando la variable cuenta cosas (personas, boletos, cajas), solo tienen sentido los números enteros. Entonces la gráfica es un conjunto de puntos separados, no un rayo continuo. Para "Kim puede comprar como máximo 5 camisas" (s \le 5, s \ge 0):

Number line from -1 to 7 with separate closed dots at 0, 1, 2, 3, 4 and 5 only: the whole-number solutions of x <= 5. −1 0 1 2 3 4 5 6 7
Soluciones con números enteros

Gráficas para trabajar al revés. A veces te dan una gráfica y tienes que encontrar un número que falta en la desigualdad. Lee el límite en la gráfica, iguálalo al límite que obtuviste al resolver y despeja la incógnita. (Ver el Ejemplo resuelto 5.)

Fórmula

Reglas de graficación para memorizar (no están en la hoja de fórmulas)

No hay fórmula, pero memoriza este resumen: no está en la hoja de fórmulas del GED®.

x > a \;\Rightarrow\; \circ \text{ en } a,\ \text{sombrear a la derecha} \qquad x \ge a \;\Rightarrow\; \bullet \text{ en } a,\ \text{sombrear a la derecha} x < a \;\Rightarrow\; \circ \text{ en } a,\ \text{sombrear a la izquierda} \qquad x \le a \;\Rightarrow\; \bullet \text{ en } a,\ \text{sombrear a la izquierda} a \le x < b \;\Rightarrow\; \bullet \text{ en } a,\ \circ \text{ en } b,\ \text{sombrear entre ellos}
  • a y b son los números límite.
  • \circ = círculo abierto (el límite no se incluye), \bullet = círculo cerrado (el límite se incluye).
  • Estas reglas suponen que x se escribe primero (a la izquierda). Si no, reescribe primero.
Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): graficar una desigualdad ya resuelta

Problema: Describe la gráfica de x \ge -3.

  1. Círculo: el símbolo \ge tiene una línea debajo, así que el círculo es cerrado en -3.
  2. Dirección: x está a la izquierda y el símbolo es "mayor que", así que sombrea hacia la derecha.

Respuesta: un círculo cerrado en -3 con sombreado hacia la derecha.

Number line from -7 to 3. Closed circle at -3 with shading and an arrow to the right: the graph of x >= -3. Test value 0 is marked true (in the solution set). Test value -5 is marked false (not a solution). x ≥ −3 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 x = 0 ✓ x = −5 ✗
x >= -3: círculo cerrado en -3, sombreado a la derecha

Comprobación: El 0 está en la parte sombreada, y 0 \ge -3 es verdadero ✓. El -5 no está sombreado, y -5 \ge -3 es falso ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: leer una gráfica

Problema: Una gráfica muestra un círculo abierto en 3 con sombreado hacia la derecha. ¿Qué desigualdad muestra?

Number line from -2 to 8. Open circle at 3 with shading and an arrow to the right: the graph of x > 3. Test value 4 is marked true (in the solution set). Open circle at 3, shaded right → x > 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x = 4 ✓ 3 ✗
Círculo abierto en 3 sombreado a la derecha: x > 3
  1. Círculo abierto → el límite 3 no se incluye → el símbolo es < o >.
  2. Sombreado a la derecha → las soluciones son mayores que 3 → "mayor que".

Respuesta: x > 3

Comprobación: El 4 está en la región sombreada y 4 > 3 ✓; el 3 está en el círculo abierto y 3 > 3 es falso ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3: resolver y luego graficar (¡invierte el signo!)

Problema: Grafica la solución de -2x \ge 6.

  1. Divide ambos lados entre -2 e invierte el signo: x \le -3.
  2. Círculo: \le → círculo cerrado en -3.
  3. Dirección: x \le → sombrea hacia la izquierda.

Respuesta: círculo cerrado en -3, sombreado a la izquierda.

Two number lines from -8 to 2. Top, correct: -2x >= 6 solved with the flip gives x <= -3, closed circle at -3 shaded left. Bottom, wrong: forgetting the flip gives x >= -3, closed circle at -3 shaded right. Correct: −2x ≥ 6 → flip → x ≤ −3 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Wrong (forgot to flip): x ≥ −3 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
x <= -3 correcto (sombreado a la izquierda) vs. gráfica incorrecta sin invertir

Comprobación: Prueba x = -5 (sombreado): -2(-5) = 10 \ge 6 ✓. Prueba x = 0 (sin sombrear): 0 \ge 6 es falso ✓. Una gráfica sombreada a la derecha saldría de olvidar invertir el signo.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (vida real): un límite de peso

Problema: Un puente pequeño tiene un letrero: Límite de peso 8 toneladas. Escribe una desigualdad para el peso permitido w (en toneladas) y describe su gráfica para camiones reales.

  1. "Límite de 8 toneladas" significa que el peso puede ser 8 toneladas o menos: w \le 8.
  2. El peso de un camión real no puede ser negativo ni cero, así que w > 0.
  3. Juntas: 0 < w \le 8.
  4. Gráfica: círculo abierto en 0, círculo cerrado en 8, sombreado entre ellos.

Respuesta: 0 < w \le 8: círculo abierto en 0, círculo cerrado en 8, sombreado entre ellos.

Number line from -1 to 10. Open circle at 0, closed circle at 8, shaded between them: the graph of 0 < w <= 8. Test value 5 is marked true (in the solution set). Test value 9 is marked false (not a solution). Bridge limit: 0 < w ≤ 8 tons −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tons 5 t ✓ 9 t ✗
0 < w <= 8: círculo abierto en 0, cerrado en 8, sombreado entre ellos

Comprobación: Un camión de 5 toneladas (w = 5) está en la parte sombreada y puede cruzar ✓; un camión de 9 toneladas está fuera y no puede ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (trabajar al revés): encuentra el número que falta

Problema: La gráfica de la solución de k - 2x \le 1 es un círculo cerrado en 3 sombreado a la derecha. ¿Cuánto vale k?

Number line from -2 to 8. Closed circle at 3 with shading and an arrow to the right: the graph of x >= 3. Given graph: x ≥ 3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Círculo cerrado en 3 sombreado a la derecha: x >= 3
  1. La gráfica muestra x \ge 3.
  2. Resuelve la desigualdad en términos de k. Resta k: -2x \le 1 - k.
  3. Divide entre -2 e invierte el signo: x \ge \dfrac{1 - k}{-2} = \dfrac{k - 1}{2}.
  4. Los límites deben coincidir: \dfrac{k - 1}{2} = 3, así que k - 1 = 6 y k = 7.

Respuesta: k = 7

Comprobación: Con k = 7: 7 - 2x \le 1 \Rightarrow -2x \le -6 \Rightarrow x \ge 3 ✓: círculo cerrado en 3, sombreado a la derecha.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Las preguntas de gráficas consisten en leer símbolos e imágenes, así que casi nunca necesitas la calculadora. Solo ayuda cuando primero tienes que resolver una desigualdad complicada o probar un valor.

  • Para probar x = -5 en -2x \ge 6, escribe (−) 2 × (−) 5 enter → 10, y luego compara: 10 \ge 6 ✓. Usa la tecla (−) para los números negativos.
  • Para un límite fraccionario como \tfrac{7}{2}, usa la tecla n/d y presiona toggle para ver 3.5; así sabes dónde poner el círculo (a la mitad entre 3 y 4).

No uses la calculadora para decidir el círculo o la dirección: eso sale del símbolo, y ahí la calculadora no puede ayudarte.

Error común

Errores comunes

  • Confundir abierto y cerrado. x \ge 3 dibujada con un círculo abierto. ✗ ✓ La línea debajo de \ge significa que el 3 se incluye → círculo cerrado.
  • Dirección equivocada cuando x está a la derecha. 5 > x sombreada a la derecha. ✗ ✓ Reescribe como x < 5 → sombrea a la izquierda.
  • Olvidar invertir el signo antes de graficar. -2x \ge 6 graficada como x \ge -3 (sombreada a la derecha). ✗ ✓ Dividir entre -2 invierte el signo: x \le -3 → sombrea a la izquierda.
  • Incluir un extremo con círculo abierto al contar. En -3 < x \le 2, contar el -3 como solución da 6 enteros. ✗ ✓ El círculo abierto significa que el -3 queda fuera: 5 enteros.
  • Confundir "izquierda/derecha" con "negativo/positivo". Una gráfica sombreada a la derecha desde -4 incluye -3, -2, …: puede haber números negativos en un conjunto de "mayor que". ✓ Derecha significa mayor, no necesariamente positivo.
  • Usar un rayo continuo en situaciones con números enteros. Si x cuenta personas, las soluciones son puntos separados.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Elimina primero por el círculo. Mira el símbolo: si es < o >, descarta todas las gráficas con círculo cerrado. Normalmente desaparecen dos opciones de una vez.
  • Luego elimina por la dirección. Escoge un punto de prueba que esté claramente de un lado (el 0 es lo más fácil) y compruébalo en la desigualdad original. Si es verdadera, la gráfica correcta debe sombrear ese punto.
  • Comprueba el número límite. Sustitúyelo en la desigualdad original: los dos lados deben ser iguales. Si no lo son, el círculo está en el lugar equivocado.
  • En las preguntas de zona activa (hot spot), haz clic justo en el círculo o en la marca, no en la etiqueta de abajo.
  • Lee la pregunta dos veces: "grafica la solución", "¿qué valor es una solución?" y "¿cuántos enteros?" son tareas diferentes.
  • Tiempo: una pregunta de escoger la gráfica debe tomarte más o menos un minuto. No vuelvas a dibujar las cuatro gráficas: elimina.

Compruébalo

Graficar soluciones en la recta numéricaSin calculadora

Which inequality is shown on the number line?

Number line from -1 to 7. Open circle at 3, shaded with an arrow to the right. −1 0 1 2 3 4 5 6 7
Open circle at 3, shaded right
Opciones de respuesta
Pista

Look at two things: is the circle filled in, and which way does the shading go?

Ver en español

Pregunta

¿Qué desigualdad se muestra en la recta numérica?

Opciones

  • A. x > 3
  • B. x \ge 3
  • C. x < 3
  • D. x \le 3
Pista

Mira dos cosas: ¿el círculo está relleno? ¿Hacia qué lado va el sombreado?

Compruébalo

Graficar soluciones en la recta numéricaSin calculadora

Which description matches the graph of x \le -1 on a number line?

Opciones de respuesta
Pista

Does \le include the boundary? Which way are the numbers that are less than -1?

Ver en español

Pregunta

¿Qué descripción corresponde a la gráfica de x \le -1 en una recta numérica?

Opciones

  • A. Un círculo abierto en -1, sombreado hacia la izquierda
  • B. Un círculo cerrado en -1, sombreado hacia la izquierda
  • C. Un círculo cerrado en -1, sombreado hacia la derecha
  • D. Un círculo abierto en -1, sombreado hacia la derecha
Pista

¿El \le incluye el límite? ¿Hacia qué lado están los números menores que -1?

Resumen

  • Círculo abierto para < o > (el límite no se incluye); círculo cerrado para \le o \ge (el límite se incluye).
  • Con x escrita primero: mayor → sombrea a la derecha; menor → sombrea a la izquierda.
  • Reescribe 5 > x como x < 5 antes de graficar; resuelve (e invierte el signo si hace falta) antes de graficar.
  • Las desigualdades "entre" dos números, como -2 \le x < 3, son segmentos con un círculo en cada extremo.
  • Comprueba cada gráfica con un punto de prueba en la desigualdad original.
Practicar esta destreza →