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Cómo resolver desigualdades lineales

Resuelve desigualdades de una variable paso a paso, incluso cuándo invertir el signo.

Practicar esta destreza 22 min Resolver desigualdades lineales Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una desigualdad se parece a una ecuación, pero en vez de decir que los dos lados son iguales, dice que un lado es mayor o menor que el otro. En esta lección vas a aprender a resolver desigualdades lineales de una variable, como 3x - 5 < 16 o 5 - 2x > 11.

La buena noticia: ya sabes casi todo lo que necesitas. Una desigualdad se resuelve igual que una ecuación: deshaces la suma con una resta, deshaces la multiplicación con una división y mantienes los dos lados en equilibrio. Solo hay una regla nueva: cuando multiplicas o divides ambos lados entre un número negativo, tienes que invertir el signo de la desigualdad.

Por qué es importante en el GED®: las desigualdades aparecen de varias formas en el examen de Razonamiento Matemático:

  • "¿Cuál de las siguientes es la solución de -4x \le 20?" (opción múltiple)
  • "Selecciona todos los valores de x que hacen verdadera la desigualdad." (seleccionar todas)
  • "Escribe el valor límite." (completar el espacio en blanco)
  • Problemas verbales sobre presupuestos, límites de peso y puntajes (se ven en las próximas lecciones).

En la vida real, las desigualdades responden preguntas como "¿Cuántas horas puedo trabajar sin perder mis beneficios?" o "¿Cuántos artículos puedo comprar con el dinero que tengo?": siempre que la respuesta es un rango de números y no un solo número.

Vocabulario

Palabras clave

  • Desigualdad: una oración matemática que compara dos cantidades con <, >, \le o \ge (ejemplo: x + 2 > 7).
  • < (menor que): el lado izquierdo es más pequeño (ejemplo: 3 < 8).
  • > (mayor que): el lado izquierdo es más grande (ejemplo: 8 > 3).
  • \le (menor o igual que): más pequeño o igual (ejemplo: 5 \le 5 es verdadero).
  • \ge (mayor o igual que): más grande o igual (ejemplo: 6 \ge 2 es verdadero).
  • Variable: una letra que representa un número desconocido (ejemplo: x).
  • Coeficiente: el número que multiplica a la variable (en -4x, el coeficiente es -4).
  • Solución: un valor de la variable que hace verdadera la desigualdad (ejemplo: x = 6 es una solución de x + 2 > 7 porque 8 > 7).
  • Conjunto solución: todas las soluciones juntas, que normalmente se escriben como x > 5.
  • Valor límite: el número donde el conjunto solución empieza o termina (en x > 5, el límite es 5).
  • Operación inversa: la operación que deshace a otra (la resta deshace la suma; la división deshace la multiplicación).
  • Invertir (voltear) el signo: cambiar < por >, > por <, \le por \ge, o \ge por \le.
  • Aplicar la propiedad distributiva: multiplicar un número por lo que está dentro de los paréntesis: 2(x + 4) = 2x + 8.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Paso 1: Resuélvela como una ecuación

Una desigualdad sigue siendo verdadera cuando haces lo mismo en ambos lados, siempre que eso sea:

  • sumar cualquier número,
  • restar cualquier número,
  • multiplicar o dividir entre un número positivo.

Por eso, la mayoría de las desigualdades se resuelven exactamente como las ecuaciones.

Ejemplo A. Resuelve x + 7 > 12.

Resta 7 en ambos lados: x + 7 - 7 > 12 - 7, así que x > 5.

Number line from 0 to 10. Open circle at 5 with shading and an arrow to the right: the graph of x > 5. x + 7 > 12 → x > 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x > 5: círculo abierto en 5, sombreado a la derecha

Ejemplo B. Resuelve 3x - 5 < 16.

  1. Suma 5 en ambos lados: 3x < 21.
  2. Divide ambos lados entre 3 (un número positivo, no se invierte): x < 7.
Number line from 2 to 12. Open circle at 7 with shading and an arrow to the left: the graph of x < 7. 3x − 5 < 16 → x < 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x < 7: círculo abierto en 7, sombreado a la izquierda

Ejemplo C (decimales). Resuelve 0.5x + 1.25 \ge 3.75.

  1. Resta 1.25: 0.5x \ge 2.5.
  2. Divide entre 0.5: x \ge 5.
Number line from 0 to 10. Closed circle at 5 with shading and an arrow to the right: the graph of x >= 5. 0.5x + 1.25 ≥ 3.75 → x ≥ 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x >= 5: círculo cerrado en 5, sombreado a la derecha

Ejemplo D (fracciones). Resuelve \tfrac{2}{3}x - 1 < 7.

  1. Suma 1: \tfrac{2}{3}x < 8.
  2. Multiplica por el recíproco \tfrac{3}{2} (positivo, no se invierte): x < 8 \cdot \tfrac{3}{2} = 12.
Number line from 4 to 16. Open circle at 12 with shading and an arrow to the left: the graph of x < 12. (2/3)x − 1 < 7 → x < 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
x < 12: círculo abierto en 12, sombreado a la izquierda

Fíjate que una constante negativa no hace que se invierta el signo. En 2x - 9 > -3, sumas 9 para obtener 2x > 6 y luego divides entre 2 positivo para obtener x > 3. Solo multiplicar o dividir entre un negativo invierte el signo.

Paso 2: La regla de inversión (multiplicar o dividir entre un negativo)

Empieza con una afirmación verdadera: 2 < 5.

Ahora multiplica ambos lados por -1: obtienes -2 y -5. En la recta numérica, -2 está a la derecha de -5, así que -2 es mayor: -2 > -5. ¡El orden cambió! Por eso existe la regla:

Number line from -6 to 6. Blue dots at 2 and 5 and red dots at -2 and -5, with dashed arcs showing that multiplying by -1 mirrors each number across 0. Before: 2 < 5. After: -2 > -5, because -2 is to the right of -5. The order switched, so the inequality sign must flip. Multiply both sides of 2 < 5 by −1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 ×(−1) mirrors each number across 0 before: 2 < 5 after: −2 > −5 The order switched, so the sign must flip.
2 < 5 se convierte en -2 > -5 al multiplicar por -1

Cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad entre un número negativo, invierte la dirección del signo de la desigualdad.

Signo originalDespués de multiplicar/dividir entre un negativo
<>
><
\le\ge
\ge\le

Ejemplo E. Resuelve -4x \le 20.

Divide ambos lados entre -4 e invierte el signo: x \ge \dfrac{20}{-4}, así que x \ge -5.

Number line from -10 to 0. Closed circle at -5 with shading and an arrow to the right: the graph of x >= -5. −4x ≤ 20 → divide by −4, flip → x ≥ −5 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
x >= -5: círculo cerrado en -5, sombreado a la derecha

Ejemplo F. Resuelve 5 - 2x > 11.

  1. Resta 5: -2x > 6.
  2. Divide entre -2 e invierte el signo: x < -3.

Ejemplo G. Resuelve \dfrac{x}{-3} + 2 > 5.

  1. Resta 2: \dfrac{x}{-3} > 3.
  2. Multiplica por -3 e invierte el signo: x < -9.
Number line from -14 to -4. Open circle at -9 with shading and an arrow to the left: the graph of x < -9. x/(−3) + 2 > 5 → x < −9 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4
x < -9: círculo abierto en -9, sombreado a la izquierda

Cómo evitar la inversión (truco opcional). Puedes mantener positivo el término con la variable pasándolo al otro lado. Para 5 - 2x > 11: suma 2x en ambos lados para obtener 5 > 11 + 2x, resta 11 para obtener -6 > 2x y divide entre 2 positivo para obtener -3 > x. Leído desde la derecha, -3 > x significa lo mismo que x < -3. La misma respuesta, sin invertir el signo.

Number line from -6 to 2. Open circle at -3 with shading and an arrow to the left: the graph of x < -3. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
x < -3 en una recta numérica

Paso 3: Paréntesis y variables en ambos lados

Las desigualdades difíciles del GED® combinan varios pasos. Usa este orden siempre:

  1. Aplica la propiedad distributiva para quitar los paréntesis. Multiplica el número de afuera por cada término de adentro, con sus signos: -3(x - 2) = -3x + 6.
  2. Combina los términos semejantes en cada lado.
  3. Junta los términos con variable en un lado (súmalos o réstalos).
  4. Junta las constantes en el otro lado.
  5. Divide entre el coeficiente. Invierte el signo solo si ese coeficiente es negativo.
  6. Comprueba con un valor de prueba.

Ejemplo H. Resuelve 2(x + 4) \ge 3x - 1.

  1. Aplica la propiedad distributiva: 2x + 8 \ge 3x - 1.
  2. Resta 2x: 8 \ge x - 1.
  3. Suma 1: 9 \ge x, que significa x \le 9.
Number line from 4 to 14. Closed circle at 9 with shading and an arrow to the left: the graph of x <= 9. 9 ≥ x is the same as x ≤ 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x <= 9: círculo cerrado en 9, sombreado a la izquierda

Ejemplo I. Resuelve 4 - 3(x - 2) > 2x - 15.

  1. Distribuye -3: 4 - 3x + 6 > 2x - 15.
  2. Combina: 10 - 3x > 2x - 15.
  3. Resta 2x: 10 - 5x > -15.
  4. Resta 10: -5x > -25.
  5. Divide entre -5 e invierte el signo: x < 5.

Cómo comprobar cualquier respuesta. Escoge un número fácil dentro de tu conjunto solución y otro fuera de él. En el Ejemplo I, prueba x = 0 (dentro): 4 - 3(-2) = 10 y 2(0) - 15 = -15; ¿es 10 > -15? Sí. Prueba x = 10 (fuera): 4 - 3(8) = -20 y 2(10) - 15 = 5; ¿es -20 > 5? No. Las dos pruebas coinciden, así que x < 5 es correcto.

Number line from -2 to 12. Open circle at 5 with shading and an arrow to the left: the graph of x < 5. Test value 0 is marked true (in the solution set). Test value 10 is marked false (not a solution). 4 − 3(x − 2) > 2x − 15 → x < 5 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x = 0 ✓ x = 10 ✗
x < 5 con puntos de prueba 0 (verdadero) y 10 (falso)

Preguntas del mayor/menor número entero. A veces el GED® pide "el mayor entero que cumple…". Primero resuelve y luego mira el límite. Si x \le \tfrac{25}{6} \approx 4.17, el mayor entero es 4. Si x < 4 (estricta), el mayor entero es 3, porque el 4 no está permitido.

Two number lines from 2 to 6. Top: closed circle at 25/6, about 4.17, shaded left; the integer 4 is highlighted as the greatest integer solution. Bottom: open circle at 4, shaded left, for the strict inequality x < 4; 4 is not allowed and 3 is highlighted as the greatest integer solution. x ≤ 25/6 ≈ 4.17 → greatest integer 4 2 3 4 5 6 4.17 4 is the greatest integer x < 4 (strict) → greatest integer 3 2 3 4 5 6 4 not allowed 3 is the greatest integer
El mayor entero para x <= 4.17 es 4; para x < 4 es 3
Fórmula

Reglas para memorizar (no están en la hoja de fórmulas)

No hay una fórmula donde sustituir, pero tienes que memorizar estas propiedades de las desigualdades: no están en la hoja de fórmulas del GED®.

Para cualesquiera números a, b, c:

\text{Si } a < b, \text{ entonces } a + c < b + c \quad\text{y}\quad a - c < b - c \text{Si } a < b \text{ y } c > 0, \text{ entonces } ac < bc \quad\text{y}\quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{Si } a < b \text{ y } c < 0, \text{ entonces } ac > bc \quad\text{y}\quad \frac{a}{c} > \frac{b}{c}
  • a y b son los dos lados de la desigualdad.
  • c es el número que sumas, restas, o por el que multiplicas o divides.
  • Las mismas reglas valen para >, \le y \ge.

Recuerda también: a < b significa exactamente lo mismo que b > a. Siempre puedes leer una desigualdad de derecha a izquierda, siempre que des vuelta al símbolo también (la "boca" del símbolo sigue abriéndose hacia el lado mayor).

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 1 (fácil): un paso

Problema: Resuelve x - 8 \le 3.

  1. Deshaz la resta sumando 8 en ambos lados: x - 8 + 8 \le 3 + 8.
  2. Simplifica: x \le 11.

Respuesta: x \le 11

Number line from 6 to 16. Closed circle at 11 with shading and an arrow to the left: the graph of x <= 11. Test value 11 is marked true (in the solution set). Test value 12 is marked false (not a solution). x − 8 ≤ 3 → x ≤ 11 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x = 11 ✓ x = 12 ✗
x <= 11: círculo cerrado en 11, sombreado a la izquierda

Comprobación: Prueba x = 11: 11 - 8 = 3, y 3 \le 3 es verdadero. Prueba x = 12 (fuera): 12 - 8 = 4, y 4 \le 3 es falso. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 2: dividir entre un negativo

Problema: Resuelve 7 - 3x \ge 22.

  1. Resta 7 en ambos lados: -3x \ge 15.
  2. Divide ambos lados entre -3. El divisor es negativo, así que cambia \ge por \le: x \le \dfrac{15}{-3}.
  3. Simplifica: x \le -5.

Respuesta: x \le -5

Number line from -10 to 2. Closed circle at -5 with shading and an arrow to the left: the graph of x <= -5. Test value -6 is marked true (in the solution set). Test value 0 is marked false (not a solution). 7 − 3x ≥ 22 → divide by −3, flip → x ≤ −5 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 x = −6 ✓ x = 0 ✗
x <= -5: círculo cerrado en -5, sombreado a la izquierda

Comprobación: Prueba x = -6: 7 - 3(-6) = 7 + 18 = 25, y 25 \ge 22 es verdadero. Prueba x = 0 (fuera): 7 - 0 = 7, y 7 \ge 22 es falso. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 3 (vida real): el presupuesto del teléfono

Problema: Un plan de teléfono cuesta $35 al mes más $4 por cada gigabyte (GB) de datos adicionales. Dana quiere que su factura mensual sea como máximo $63. Resuelve 35 + 4g \le 63 para saber cuántos gigabytes adicionales puede usar.

  1. Resta 35 en ambos lados: 4g \le 28.
  2. Divide entre 4 (positivo, no se invierte): g \le 7.

Respuesta: Dana puede usar como máximo 7 GB adicionales (g \le 7).

Bar model of Dana's phone bill: a 35 dollars plan block followed by seven 4 dollars blocks for 7 extra gigabytes, totaling 28 dollars and reaching the 63 dollars limit line exactly. A dashed red eighth 4 dollars block goes past the limit to 67 dollars, which is too much. So 35 + 4g <= 63 gives g <= 7. 35 + 4g ≤ 63 $35 plan limit $63 7 GB × $4 = $28 8th GB: $67 ✗
Barra de la factura: 35 dólares + 7 x 4 dólares = límite de 63 dólares

Comprobación: 35 + 4(7) = 35 + 28 = 63, que es justo el límite. Con 8 GB: 35 + 32 = 67 > 63, demasiado. ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 4 (nivel GED® difícil): paréntesis en ambos lados

Problema: Resuelve 3(2 - x) + 4 < 5(x - 2).

  1. Aplica la propiedad distributiva a la izquierda: 6 - 3x + 4 < 5(x - 2).
  2. Aplica la propiedad distributiva a la derecha: 6 - 3x + 4 < 5x - 10.
  3. Combina el lado izquierdo: 10 - 3x < 5x - 10.
  4. Resta 5x en ambos lados: 10 - 8x < -10.
  5. Resta 10 en ambos lados: -8x < -20.
  6. Divide entre -8 e invierte el signo: x > \dfrac{-20}{-8} = 2.5.

Respuesta: x > 2.5

Number line from 0 to 5. Open circle at 2.5 with shading and an arrow to the right: the graph of x > 2.5. Test value 3 is marked true (in the solution set). Test value 2 is marked false (not a solution). 3(2 − x) + 4 < 5(x − 2) → x > 2.5 0 1 2 3 4 5 2.5 x = 3 ✓ x = 2 ✗
x > 2.5: círculo abierto en 2.5, sombreado a la derecha

Comprobación: Prueba x = 3: lado izquierdo 3(-1) + 4 = 1; lado derecho 5(1) = 5; 1 < 5 ✓. Prueba x = 2 (fuera): izquierdo 3(0) + 4 = 4; derecho 5(0) = 0; 4 < 0 es falso ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo resuelto 5 (trabajar al revés): el mayor entero

Problema: ¿Cuál es el mayor entero x que hace verdadera \dfrac{x}{4} - 3 < 2?

  1. Suma 3 en ambos lados: \dfrac{x}{4} < 5.
  2. Multiplica ambos lados por 4 (positivo, no se invierte): x < 20.
  3. El signo es estricto (<), así que el 20 no es solución. El mayor entero menor que 20 es 19.

Respuesta: 19

Number line from 14 to 22. Open circle at 20 with shading and an arrow to the left: the graph of x < 20. The integer 19 is marked as the greatest integer solution. x/4 − 3 < 2 → x < 20 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 = greatest integer 20 ✗
x < 20 con el 19 marcado como el mayor entero

Comprobación: \dfrac{19}{4} - 3 = 4.75 - 3 = 1.75 < 2 ✓. Y \dfrac{20}{4} - 3 = 2, pero 2 < 2 es falso, así que el 20 no sirve. ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

La mayoría de los ejercicios de desigualdades son lo bastante cortos para hacerlos a mano, y los sencillos (como x + 7 > 12) suelen aparecer en la parte del examen sin calculadora. Usa la calculadora solo para cuentas complicadas, como decimales o fracciones.

  • Escribe un número negativo con la tecla (−), no con la tecla de resta. Para \dfrac{15}{-3} presiona 15 ÷ (−) 3 enter → -5.
  • Para fracciones usa la tecla n/d. Presiona toggle para cambiar la respuesta entre fracción y decimal (por ejemplo, \tfrac{25}{6} \leftrightarrow 4.1666\ldots).
  • Para comprobar una solución, escribe el lado izquierdo con tu valor de prueba y compáralo tú mismo con el lado derecho.

Lo que la calculadora no puede hacer: no conoce la regla de inversión. Calculará sin problema 20 \div (-4) = -5, pero tú tienes que acordarte de cambiar \le por \ge. Escribe el signo en tu pizarra borrable antes de presionar enter.

Error común

Errores comunes

  • Olvidar invertir el signo. -4x \le 20 → ✗ x \le -5. ✓ Dividir entre -4 invierte el signo: x \ge -5.
  • Invertir cuando no hace falta. 2x > -6 → ✗ x < -3. ✓ Dividiste entre 2 positivo, así que no se invierte: x > -3. Un número negativo en el lado derecho nunca invierte el signo; solo lo hace un multiplicador o divisor negativo.
  • Usar la operación inversa equivocada. x + 7 > 12 → ✗ x > 19 (sumó 7). ✓ Resta 7: x > 5.
  • Distribuir solo al primer término. -3(x - 2) → ✗ -3x - 2 o -3x - 6. ✓ -3x + 6 (negativo por negativo da positivo).
  • Cambiar < por \le (o al revés). La parte de "o igual que" nunca aparece ni desaparece mientras resuelves. Si empiezas con <, la respuesta usa < o >.
  • Leer 9 \ge x al revés. 9 \ge x significa "x es como máximo 9", es decir, x \le 9, no x \ge 9.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee la pregunta dos veces. ¿Pide el conjunto solución, un solo valor que funcione o el mayor/menor entero?
  • Mira primero los signos de las opciones de respuesta. Muchas veces dos opciones tienen el mismo número pero signos opuestos (x \ge -5 vs x \le -5). Eso te dice que la pregunta evalúa la regla de inversión: ve despacio en el paso de la división.
  • Sustituye un valor de prueba. Escoge un número fácil de una de las opciones (el 0 es ideal cuando se puede) y sustitúyelo en la desigualdad original. Si la hace falsa, descarta todas las opciones que incluyen ese número.
  • Comprueba el límite. Sustituye el valor límite: los dos lados deben ser iguales. Si no lo son, el número está mal.
  • Elimina por dirección. Si x = 100 claramente funciona en la original, la respuesta debe apuntar a la derecha (> o \ge).
  • Administra tu tiempo. Una desigualdad de un paso debe tomarte menos de un minuto. Dedica tiempo extra solo a los ejercicios de varios pasos con paréntesis.

Compruébalo

Resolver desigualdades linealesSin calculadora

Solve the inequality x + 7 > 12.

Opciones de respuesta
Pista

Undo the +7 with the opposite operation. Does adding or subtracting a number ever change the direction of the sign?

Ver en español

Pregunta

Resuelve la desigualdad x + 7 > 12.

Opciones

  • A. x > 19
  • B. x < 5
  • C. x > 5
  • D. x \ge 5
Pista

Deshaz el +7 con la operación opuesta. ¿Sumar o restar un número cambia alguna vez la dirección del signo?

Compruébalo

Resolver desigualdades linealesSin calculadora

Solve the inequality -4x \le 20.

Opciones de respuesta
Pista

To get x alone you must divide by a negative number. What happens to the inequality sign when you do that?

Ver en español

Pregunta

Resuelve la desigualdad -4x \le 20.

Opciones

  • A. x \le -5
  • B. x \ge 5
  • C. x \le 24
  • D. x \ge -5
Pista

Para dejar sola la x tienes que dividir entre un número negativo. ¿Qué le pasa al signo de la desigualdad cuando lo haces?

Resumen

  • Resuelve una desigualdad como una ecuación: aplica la propiedad distributiva, combina términos semejantes, junta las variables en un lado y las constantes en el otro.
  • Sumar, restar, o multiplicar/dividir entre un número positivo mantiene el signo igual.
  • Multiplicar o dividir entre un número negativo invierte el signo: < ↔ >, \le ↔ \ge.
  • 9 \ge x es lo mismo que x \le 9: da vuelta a toda la afirmación junta.
  • Siempre comprueba con un valor dentro y otro fuera de tu conjunto solución.
Practicar esta destreza →