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Cómo resolver sistemas de dos ecuaciones lineales

Halla el punto que hace verdaderas dos ecuaciones lineales a la vez, con gráficas, sustitución o eliminación, y usa sistemas en problemas verbales.

Practicar esta destreza 30 min Sistemas de dos ecuaciones lineales Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Un sistema de ecuaciones lineales son dos ecuaciones que deben ser verdaderas al mismo tiempo, con la misma x y la misma y. Por ejemplo:

\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}

En esta lección vas a aprender tres formas de resolver un sistema (con gráficas, por sustitución y por eliminación), cómo reconocer sistemas sin solución o con infinitas soluciones, y cómo plantear un sistema a partir de un problema verbal con dos incógnitas, como el número de boletos de adulto y de niño vendidos, o el precio de un sándwich y el de una bebida.

Por qué es importante en el GED®: Los sistemas aparecen como "¿Cuál es la solución del sistema?", como "¿Qué punto está en ambas rectas?", como gráficas en las que haces clic en el punto de intersección y como problemas verbales sobre boletos, mezclas, dinero y comparación de planes. En la vida real: "¿Con cuántas millas cuestan lo mismo estas dos ofertas de alquiler?" es un sistema, y también lo es "¿Cuánto puse en cada cuenta?"

Vocabulario

  • sistema de ecuaciones: dos (o más) ecuaciones con las mismas variables que se resuelven juntas.
  • solución de un sistema: un par ordenado (x, y) que hace verdaderas ambas ecuaciones ((2, 3) resuelve y = x + 1 y y = -x + 5).
  • par ordenado: un punto escrito como (x, y): primero el valor de x, después el valor de y.
  • punto de intersección: donde se cruzan dos rectas en una gráfica; es la solución del sistema.
  • sustitución: reemplazar una variable por una expresión igual (y = 2x te permite escribir x + 2x en vez de x + y).
  • eliminación: sumar o restar las ecuaciones para que una variable se cancele.
  • forma pendiente-intersección: y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
  • forma estándar: Ax + By = C (por ejemplo, 2x + 3y = 7).
  • rectas paralelas: rectas con la misma pendiente y diferente intersección con el eje y; nunca se encuentran (ninguna solución).
  • la misma recta (rectas coincidentes): dos ecuaciones que describen la misma recta; se encuentran en todos sus puntos (infinitas soluciones).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Qué es una solución y el método gráfico

Una solución de un sistema tiene que funcionar en ambas ecuaciones. Para comprobar un punto, sustitúyelo en cada ecuación.

¿Es (2, 3) una solución de y = x + 1 y y = -x + 5?

  • Primera ecuación: 3 = 2 + 1 ✓
  • Segunda ecuación: 3 = -2 + 5 ✓

Las dos son verdaderas, así que (2, 3) es la solución. Un punto como (1, 2) funciona en la primera ecuación (2 = 1 + 1) pero no en la segunda (2 \ne -1 + 5 = 4), así que no es una solución del sistema.

Método gráfico. Cada ecuación lineal es una recta. Todos los puntos de una recta hacen verdadera esa ecuación, así que el punto que está en ambas rectas (donde se cruzan) hace verdaderas las dos ecuaciones.

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes. Line y = x + 1 rises from (-5, -4) to (4, 5). Line y = -x + 5 falls from (0, 5) to (5, 0). The lines cross at the point (2, 3), which is marked with a dot and labeled as the solution.-5-5-4-4-3-3-2-2-1-11122334455xyy = x + 1y = −x + 5(2, 3)
Dos rectas que se cruzan en (2, 3)
  1. Escribe cada ecuación en la forma y = mx + b.
  2. Grafica cada recta: marca la intersección con el eje y b y luego usa la pendiente m (cambio vertical sobre cambio horizontal) para encontrar más puntos.
  3. Lee el punto de intersección (x, y).
  4. Compruébalo en ambas ecuaciones.

Graficar es muy útil para ver la respuesta, y el GED® muchas veces te muestra la gráfica. Pero si la intersección no está en un punto de la cuadrícula (como (2.4, 1.7)), necesitas álgebra.

¿Cuántas soluciones? Compara las pendientes y las intersecciones en la forma y = mx + b:

Las dos rectas…PendientesInterseccionesNúmero de soluciones
se cruzan una vezdiferentescualquieraexactamente una
son paralelasigualesdiferentesninguna
son la misma rectaigualesigualesinfinitas

Ejemplo: y = 3x + 1 y y = 3x - 2 tienen la misma pendiente (3) pero diferentes intersecciones → paralelas → ninguna solución.

Three small graphs. Left: two lines with different slopes cross at one point, so there is exactly one solution. Middle: y = 3x + 1 and y = 3x − 2 have the same slope and different intercepts, so they are parallel and there is no solution. Right: two equations for the same line lie on top of each other, so there are infinitely many solutions.One solutiondifferent slopesNo solutionsame slope, parallelInfinitely manysame liney = 3x + 1 and y = 3x − 2
Una solución, ninguna solución e infinitas soluciones en gráficas

El método de sustitución

Usa la sustitución cuando una ecuación ya tiene una variable despejada (como y = 3x - 4 o x = 2y), o cuando es fácil despejarla.

  1. Despeja una variable en una de las ecuaciones (si no lo está ya).
  2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación. ¡Usa paréntesis!
  3. Resuelve la nueva ecuación de una variable.
  4. Sustituye de vuelta para encontrar la otra variable.
  5. Comprueba el par en las dos ecuaciones originales.

Ejemplo: \begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 11 \end{cases}

  • Reemplaza y en la segunda ecuación por (3x - 4): 2x + (3x - 4) = 11.
  • Combina: 5x - 4 = 11, entonces 5x = 15 y x = 3.
  • Sustituye de vuelta: y = 3(3) - 4 = 5.
  • Solución (3, 5). Comprobación: 2(3) + 5 = 11 ✓

Ejemplo con expresiones "iguales": si y = x + 2 y y = 3x - 4, los dos lados derechos son iguales a y, así que son iguales entre sí: x + 2 = 3x - 4. Entonces 6 = 2x, x = 3 y y = 3 + 2 = 5.

Cuidado con los negativos: al sustituir y = 2x - 5 en 4x - y = 9 obtienes 4x - (2x - 5) = 9, que es 4x - 2x + 5 = 9. Sin los paréntesis, el 5 te quedaría con el signo equivocado.

El método de eliminación

Usa la eliminación cuando las dos ecuaciones están en la forma estándar Ax + By = C.

  1. Alinea los términos con x, los términos con y y las constantes.
  2. Si hace falta, multiplica una o las dos ecuaciones (¡cada término!) para que una variable tenga coeficientes opuestos, como +6y y -6y.
  3. Suma las ecuaciones. Una variable se cancela.
  4. Resuelve para la variable que queda y luego sustituye de vuelta.

Ejemplo (listo para sumar): \begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 2y = 0 \end{cases}

Los términos con y son +2y y -2y. Suma: 8x = 16, entonces x = 2. Sustituye de vuelta: 3(2) + 2y = 16, entonces 2y = 10 y y = 5. Solución (2, 5).

Coordinate plane with x from 0 to 6 and y from 0 to 9. Line 3x + 2y = 16, which is y = 8 − 1.5x, falls through (0, 8) and (4, 2). Line 5x − 2y = 0, which is y = 2.5x, rises through the origin. The lines cross at (2, 5), the solution found by adding the equations.012345601234567893x + 2y = 165x − 2y = 0(2, 5)
Rectas 3x + 2y = 16 y 5x − 2y = 0 que se cruzan en (2, 5)

Ejemplo (multiplica primero): \begin{cases} 4x + 3y = 10 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}

El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6. Multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3:

\begin{cases} 8x + 6y = 20 \\ 15x - 6y = 3 \end{cases}

Suma: 23x = 23, entonces x = 1. Luego 4(1) + 3y = 10, entonces y = 2. Solución (1, 2).

Restar en vez de sumar. Si una variable tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones (como 2x + y = 11 y 2x - 3y = -1), resta una ecuación de la otra. Ten cuidado de restar cada término. Muchas personas prefieren multiplicar una ecuación por -1 y luego sumar.

Casos especiales. Si se cancelan las dos variables:

  • una afirmación falsa (como 0 = 7) → ninguna solución (rectas paralelas);
  • una afirmación verdadera (como 0 = 0) → infinitas soluciones (la misma recta).

Problemas verbales con dos incógnitas. Nombra las dos incógnitas, escribe una ecuación por cada dato de la historia y luego resuelve. Pares de datos típicos: una cantidad (a + c = 200 boletos) y un valor (8a + 5c = 1390 dólares); o una suma y una diferencia; o "a favor de la corriente" y "en contra de la corriente".

Fórmula

Formas que debes conocer

No hay una "fórmula de sistemas" especial. Usas las dos formas de una recta:

y = mx + b \qquad\qquad Ax + By = C
  • En y = mx + b: m = pendiente, b = intersección con el eje y. Esta forma está en la hoja de fórmulas del GED® (junto con la fórmula de la pendiente m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}).
  • Ax + By = C es la forma estándar; A, B, C son números. Necesitas reconocerla: no aparece en la hoja.

En los problemas verbales, estas fórmulas de la hoja muchas veces te dan las dos ecuaciones: d = rt, I = prt y costo total = (número de unidades) \times (precio por unidad).

Memoriza: misma pendiente + diferente intersección → ninguna solución; misma pendiente + misma intersección → infinitas soluciones; pendientes diferentes → exactamente una solución.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): lee y verifica una gráfica

La gráfica de la primera sección de esta lección muestra y = x + 1 y y = -x + 5. ¿Cuál es la solución del sistema?

  1. Lee en la gráfica el punto donde se cruzan: (2, 3).
  2. Confírmalo con álgebra: las dos son iguales a y, así que x + 1 = -x + 5.
  3. Suma x a ambos lados: 2x + 1 = 5. Resta 1: 2x = 4, entonces x = 2.
  4. y = 2 + 1 = 3.
Two tables of values for x = 0 to 4. For y = x + 1 the y-values are 1, 2, 3, 4, 5. For y = −x + 5 the y-values are 5, 4, 3, 2, 1. Only the row x = 2 has the same y-value, 3, in both tables, so (2, 3) is the solution.xy = x + 1y = −x + 5015124233342451same y!At x = 2 both equations give y = 3.x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2, y = 3Solution: (2, 3) — the point where the lines cross
Tablas de valores: las dos rectas dan y = 3 cuando x = 2

Respuesta: (2, 3)

Comprobación: 3 = 2 + 1 ✓ y 3 = -2 + 5 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: sustitución

Resuelve \begin{cases} y = 3x - 4 \\ 2x + y = 11 \end{cases}

  1. La primera ecuación te da y. Sustituye y por (3x - 4) en la segunda: 2x + (3x - 4) = 11.
  2. Combina los términos semejantes: 5x - 4 = 11.
  3. Suma 4: 5x = 15. Divide entre 5: x = 3.
  4. Sustituye de vuelta: y = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5.
Coordinate plane with x from 0 to 6 and y from 0 to 12. Line y = 3x − 4 rises steeply through (2, 2) and (4, 8). Line 2x + y = 11, which is y = −2x + 11, falls through (0, 11) and (5, 1). The lines cross at (3, 5), the solution.0123456024681012y = 3x − 42x + y = 11(3, 5)
Rectas y = 3x − 4 y 2x + y = 11 que se cruzan en (3, 5)

Respuesta: (3, 5)

Comprobación: 5 = 3(3) - 4 ✓ y 2(3) + 5 = 11 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: eliminación después de multiplicar

Resuelve \begin{cases} 4x + 3y = 10 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}

  1. Haz que los coeficientes de y sean opuestos (+6y y -6y). Multiplica la primera ecuación por 2: 8x + 6y = 20. Multiplica la segunda por 3: 15x - 6y = 3.
  2. Suma las ecuaciones: 23x = 23, entonces x = 1.
  3. Sustituye de vuelta en 4x + 3y = 10: 4 + 3y = 10, entonces 3y = 6 y y = 2.
Coordinate plane with x from 0 to 4 and y from 0 to 6. Line 4x + 3y = 10 falls from (0, 3⅓) to (2.5, 0). Line 5x − 2y = 1 rises from (0.2, 0) through (1, 2), reaching y = 6 at x = 2.6. The lines cross at (1, 2), the solution.0123401234564x + 3y = 105x − 2y = 1(1, 2)
Rectas 4x + 3y = 10 y 5x − 2y = 1 que se cruzan en (1, 2)

Respuesta: (1, 2)

Comprobación: 4(1) + 3(2) = 10 ✓ y 5(1) - 2(2) = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): sándwiches y bebidas

En una cafetería, 3 sándwiches y 2 bebidas cuestan $27.50. 2 sándwiches y 4 bebidas cuestan $25.00. ¿Cuál es el precio de un sándwich?

  1. Sea s = precio de un sándwich y d = precio de una bebida.
  2. Dos datos, dos ecuaciones: 3s + 2d = 27.50 y 2s + 4d = 25.00.
  3. Multiplica la primera ecuación por 2: 6s + 4d = 55.00.
  4. Resta la segunda ecuación: (6s + 4d) - (2s + 4d) = 55.00 - 25.00, entonces 4s = 30 y s = 7.50.
  5. Sustituye de vuelta: 3(7.50) + 2d = 27.50, entonces 22.50 + 2d = 27.50, 2d = 5, d = 2.50.
Graph of the café system. Horizontal axis: sandwich price s in dollars from 0 to 14. Vertical axis: drink price d in dollars from 0 to 14. Line 3s + 2d = 27.50 runs from (0, 13.75) down to about (9.17, 0). Line 2s + 4d = 25.00 runs from (0, 6.25) down to (12.5, 0). They cross at (7.5, 2.5): a sandwich costs 7.50 dollars and a drink 2.50 dollars.0246810121402468101214Sandwich price s ($)Drink price d ($)3s + 2d = 27.502s + 4d = 25.00(7.50, 2.50)
Gráfica del sistema de la cafetería que se cruza en (7.50, 2.50)

Respuesta: un sándwich cuesta $7.50 (y una bebida $2.50)

Comprobación: 2(7.50) + 4(2.50) = 15 + 10 = \$25.00 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajando al revés): dos cuentas

El Sr. Lee invirtió un total de $10,000 en dos cuentas. Una paga 3% de interés simple al año y la otra paga 5%. Después de un año ganó $380 de interés. ¿Cuánto puso en la cuenta del 3%?

  1. Sea x = dólares al 3% y y = dólares al 5%.
  2. Dato de la cantidad: x + y = 10{,}000, entonces y = 10{,}000 - x.
  3. Dato del interés (con I = prt y t = 1): 0.03x + 0.05y = 380.
  4. Sustituye: 0.03x + 0.05(10{,}000 - x) = 380, entonces 0.03x + 500 - 0.05x = 380.
  5. Combina: 500 - 0.02x = 380. Resta 500: -0.02x = -120. Divide: x = 6000.
  6. Entonces y = 10{,}000 - 6000 = 4000.
Graph of the two-accounts system. Horizontal axis: dollars x in the 3% account, 0 to 14,000. Vertical axis: dollars y in the 5% account, 0 to 12,000. Line x + y = 10,000 runs from (0, 10,000) to (10,000, 0). Line 0.03x + 0.05y = 380 runs from (0, 7,600) to about (12,667, 0). They cross at (6,000, 4,000).02k4k6k8k10k12k14k02k4k6k8k10k12kx = dollars at 3%y = dollars at 5%x + y = 10,000 (amount)0.03x + 0.05y = 380 (interest)(6,000, 4,000)
Gráfica del sistema de las dos cuentas que se cruza en (6,000, 4,000)

Respuesta: $6,000 en la cuenta del 3% (y $4,000 en la cuenta del 5%)

Comprobación: 0.03(6000) + 0.05(4000) = 180 + 200 = \$380 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

En el GED®, la TI-30XS MultiView no resuelve sistemas por ti: tú planteas y eliminas en papel. Usa la calculadora para:

  • Comprobar una opción rápidamente. Para (5, -1) en 3x - 4y = 19, escribe 3 × 5 − 4 × (−) 1 enter → 19. Usa la tecla (−) para el 1 negativo.
  • Resolver problemas verbales con decimales. Para 0.03(6000) + 0.05(4000) escribe 0.03 × 6000 + 0.05 × 4000 enter → 380.
  • Dividir números complicados después de la eliminación, como 23x = 23 o -0.02x = -120 (escribe (−) 120 ÷ (−) 0.02 → 6000).

La estrategia más rápida en opción múltiple: sustituye cada opción en ambas ecuaciones con la calculadora. Solo el par correcto funciona en las dos, y muchas veces las opciones incorrectas están hechas para funcionar en una sola.

Error común

Errores comunes

  • Comprobar solo una ecuación. (4, 2) funciona en 3x + 2y = 16, pero no en 5x - 2y = 0. Una solución debe funcionar en ambas.
  • Intercambiar x y y. Si x = 2 y y = 5, la respuesta es (2, 5), no (5, 2). El valor de x siempre va primero.
  • Multiplicar solo un lado o un término. Para multiplicar 4x + 3y = 10 por 2, multiplica cada término: 8x + 6y = 20, no 8x + 6y = 10.
  • Restar solo algunos términos. Al restar ecuaciones, resta también la constante y cuidado con los dobles negativos: (5x - 2y) - (3x - 2y) = 2x, porque -2y - (-2y) = 0.
  • Quitar los paréntesis al sustituir. 4x - (2x - 5) es 2x + 5, no 2x - 5.
  • Detenerte a la mitad. Después de encontrar x, todavía necesitas y, y necesitas responder la cantidad que pide el problema verbal.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Sustituye las opciones. En las preguntas de "¿Cuál es la solución?", prueba cada par ordenado en ambas ecuaciones. Muchas veces es el método más rápido y casi no deja lugar a errores.
  • Elige el método más fácil. ¿Ya está despejada y? Usa sustitución. ¿Las dos están en forma estándar con coeficientes iguales u opuestos? Usa eliminación. ¿Te dan la gráfica? Lee la intersección y verifícala.
  • En las preguntas de gráfica con "zona activa" (hot spot), haz clic exactamente donde las rectas se cruzan, no donde una recta toca un eje.
  • Preguntas de ninguna solución / infinitas soluciones: reescribe las dos en la forma y = mx + b y compara pendientes e intersecciones.
  • Problemas verbales: escribe una ecuación por cada dato. Busca un dato de "cantidad" y un dato de "valor". Luego asegúrate de responder la variable que pide la pregunta.
  • Estima: en una mezcla de café de $9 y de $14 que da una mezcla de $12, la mezcla está más cerca de $14, así que debe haber más café de $14.

Compruébalo

Sistemas de dos ecuaciones lineales

Which ordered pair is the solution to the system of equations?

\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}
Opciones de respuesta
Pista

Both equations equal y, so set the right sides equal. Or test each choice in both equations.

Ver en español

Pregunta

¿Qué par ordenado es la solución del sistema de ecuaciones?

\begin{cases} y = x + 2 \\ y = 3x - 4 \end{cases}

Opciones

  • A. (5,\ 3)
  • B. (1,\ 3)
  • C. (3,\ 5)
  • D. (2,\ 2)
Pista

Las dos ecuaciones son iguales a y, así que iguala los lados derechos. O prueba cada opción en ambas ecuaciones.

Compruébalo

Sistemas de dos ecuaciones linealesZona activa

The graph shows the lines y = -x + 3 and y = 2x - 3.

Click the point that represents the solution of the system.

Haz clic en la figura para marcar tu respuesta (o selecciónala y usa las flechas del teclado).

Coordinate plane from -5 to 5 on both axes showing two lines. Line 1 is y = -x + 3: it crosses the y-axis at (0, 3) and goes down to the right through (3, 0). Line 2 is y = 2x - 3: it crosses the y-axis at (0, -3) and rises steeply through (1, -1), (3, 3) and (4, 5). The two lines cross at one point.-5-5-4-4-3-3-2-2-1-11122334455xyy = −x + 3y = 2x − 3
Pista

The solution is the point that lies on both lines at once.

Ver en español

Pregunta

La gráfica muestra las rectas y = -x + 3 y y = 2x - 3.

Haz clic en el punto que representa la solución del sistema.

Pista

La solución es el punto que está en ambas rectas al mismo tiempo.

Resumen

  • La solución de un sistema es el par (x, y) que hace verdaderas ambas ecuaciones: el punto donde se cruzan las rectas.
  • Sustitución: despeja una variable en una ecuación y sustitúyela (con paréntesis) en la otra.
  • Eliminación: multiplica para que una variable tenga coeficientes opuestos, suma, resuelve y sustituye de vuelta.
  • Misma pendiente y diferentes intersecciones → ninguna solución; la misma recta → infinitas; pendientes diferentes → una solución.
  • En los problemas verbales, nombra las dos incógnitas y escribe una ecuación por cada dato; comprueba tu respuesta en la historia.
Practicar esta destreza →