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Cómo escribir ecuaciones lineales a partir de una situación

Traduce palabras a ecuaciones lineales de una y dos variables, y reorganiza una fórmula para despejar cualquier letra.

Practicar esta destreza 25 min Escribir ecuaciones lineales a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Muchas preguntas del GED® no te piden resolver nada. En cambio, preguntan: "¿Qué ecuación se puede usar para encontrar…?" o "¿Qué ecuación representa esta situación?" En esta lección vas a aprender a:

  • traducir una oración como "siete menos que el triple de un número es 20" a 3n - 7 = 20;
  • escribir una ecuación de dos variables, como C = 150 + 22g o 1.25x + 0.80y = 50, a partir de una situación real;
  • despejar otra letra de una fórmula; por ejemplo, convertir I = prt en p = \dfrac{I}{rt}, o P = 2l + 2w en w = \dfrac{P - 2l}{2}.

Por qué es importante en el GED®: Las preguntas de "¿Qué ecuación representa…?" son comunes, y las opciones están hechas para que un pequeño error (un orden invertido, un paréntesis que falta, una tasa intercambiada) te lleve a una opción incorrecta. Reorganizar fórmulas te permite usar la hoja de fórmulas del GED® al revés: encontrar una altura a partir de un volumen, o una tasa a partir del interés ganado.

En la vida real: escribir una ecuación es la forma de crear una regla de presupuesto ("$40 por día más $0.25 por milla"), comparar ofertas o preparar una fórmula en una hoja de cálculo.

Vocabulario

  • expresión: números, letras y operaciones sin signo igual (3n - 7).
  • ecuación: dos expresiones unidas por = (3n - 7 = 20).
  • variable: una letra para una cantidad que puede cambiar o que es desconocida (g = número de invitados).
  • constante / valor inicial: una cantidad que no cambia (un cargo de instalación de $150).
  • tasa de cambio: la cantidad que se suma por cada unidad ($22 por invitado); multiplica a la variable.
  • ecuación de dos variables: una ecuación con dos incógnitas, como C = 150 + 22g; cada par (g, C) que la hace verdadera es una solución.
  • ecuación literal (fórmula): una ecuación con varias letras, como d = rt.
  • despejar una variable: reorganizar para que una letra quede sola en un lado (t = \tfrac{d}{r}).
  • coeficiente: el número (o la letra) que multiplica a una variable (en \tfrac{1}{2}bh, el coeficiente de h es \tfrac{1}{2}b).
  • recíproco: una fracción volteada (el recíproco de \tfrac{1}{3} es 3; el de \tfrac{5}{9} es \tfrac{9}{5}).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Cómo traducir oraciones a ecuaciones de una variable

Lee la oración por partes y traduce cada parte. Las palabras "es", "es igual a", "era", "será" se convierten en =.

PalabrasExpresión
un número aumentado en 6n + 6
6 más que un númeron + 6
6 menos que un númeron - 6 (no 6 - n)
un número menos que 66 - n
el doble de un número2n
la tercera parte de un número\tfrac{n}{3} o \tfrac{1}{3}n
el doble de la suma de un número y 62(n + 6)
el doble de un número, más 62n + 6
el producto de 4 y un número, disminuido en 94n - 9

Cuidado con "menos que" y "más que". En "7 menos que 3n", empiezas con 3n y le quitas 7: 3n - 7. El orden se invierte con respecto a las palabras.

Cuidado con "la suma de" / "la diferencia de". Esas palabras agrupan: "el triple de la suma de n y 4" es 3(n + 4), pero "el triple de n, más 4" es 3n + 4.

Ejemplo: "Cinco más que el doble de un número es 31". → 2n + 5 = 31, entonces 2n = 26 y n = 13. Comprobación: 2(13) + 5 = 31 ✓

Relaciones escondidas. "María tiene 4 años más que el doble de la edad de su hijo s" → edad de María = 2s + 4. "Pat tiene $12 menos que Lee" → si Lee tiene L, Pat tiene L - 12.

Cómo escribir ecuaciones de dos variables a partir de un contexto

Patrón 1: valor inicial + tasa. Cuando algo empieza con una cantidad fija y cambia la misma cantidad por cada unidad, escribe:

y = (\text{tasa})\,x + (\text{inicio})
  • Un servicio de banquetes cobra $150 de instalación más $22 por invitado: C = 22g + 150.
  • Una vela de 15 pulgadas se quema 0.5 pulgadas por hora: h = -0.5t + 15 (la tasa es negativa porque la altura baja).
  • Una cuenta empieza con $400 y retiras $20 por semana: B = 400 - 20w.
Graph of a burning candle, h = −0.5t + 15. Horizontal axis: time t in hours from 0 to 30. Vertical axis: height h in inches from 0 to 16. The line starts at (0, 15), the starting height, and falls 0.5 inch per hour, reaching (30, 0) when the candle is gone. A slope triangle shows that 2 hours lower the height by 1 inch.04812162024280246810121416Time (t, hours)Height (h, inches)(0, 15) start(30, 0)+2 h−1 inh = −0.5t + 15
Gráfica de h = −0.5t + 15 que baja desde 15 pulgadas

Pregúntate: ¿Qué número ocurre una sola vez? (la constante) y ¿Qué número se repite por cada unidad? (el coeficiente de la variable). Intercambiarlos es la opción incorrecta más común.

Patrón 2: dos tipos de artículos con un total. Cuando compras x de una cosa y y de otra:

(\text{precio}_1)\,x + (\text{precio}_2)\,y = \text{total}

Cuadernos a $1.25 y bolígrafos a $0.80, gastando $50: 1.25x + 0.80y = 50. Cada precio va con su propio artículo.

Patrón 3: partes que se repiten. Si un alquiler cuesta $40 por día durante 3 días más $0.25 por milla: 3(40) + 0.25m = 172.50. El cargo diario se multiplica por el número de días; el cargo por milla se multiplica por las millas.

Prueba una opción con números. Si no sabes si es correcta C = 22g + 150 o C = 150g + 22, prueba con g = 1 invitado. La primera da $172 (instalación + un invitado), lo cual tiene sentido. ¡La segunda también da $172! Prueba con g = 2: la primera da $194 y la segunda $322. Solo la primera suma $22 por cada invitado adicional, así que es la correcta.

Cómo despejar una variable de una fórmula

Para despejar una letra de una fórmula, trata todas las demás letras como si fueran números y usa los mismos pasos que en cualquier ecuación: primero deshaz la suma/resta y luego la multiplicación/división.

Ejemplo A: Despeja t en d = rt. La t está multiplicada por r, así que divide ambos lados entre r: t = \dfrac{d}{r}.

Ejemplo B: Despeja w en P = 2l + 2w.

Labelled rectangle for the perimeter formula. The two long sides are each l (length) and the two short sides are each w (width). Going all the way around gives P = l + w + l + w = 2l + 2w; solving for w gives w = (P − 2l)/2.l (length)lw (width)wP = 2l + 2w(all four sides added)P − 2l = 2w → w = (P − 2l) / 2
Rectángulo con los rótulos l y w para P = 2l + 2w
  1. Resta 2l de ambos lados: P - 2l = 2w.
  2. Divide ambos lados entre 2: w = \dfrac{P - 2l}{2} (que también es igual a \tfrac{P}{2} - l).

Ejemplo C: Despeja h en V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h.

Labelled cone for the formula V = (1/3)πr²h. The radius r runs from the center of the circular base to its edge. The height h runs straight up from the center of the base to the tip, meeting the radius at a right angle. Solving for h gives h = 3V/(πr²).h(height)rr = radiusV = (1/3)πr²h → 3V = πr²h→ h = 3V / (πr²)
Cono con los rótulos radio r y altura h
  1. Multiplica ambos lados por 3: 3V = \pi r^2 h.
  2. Divide ambos lados entre \pi r^2: h = \dfrac{3V}{\pi r^2}.

Ejemplo D: Despeja y en 3x - 4y = 12.

  1. Resta 3x de ambos lados: -4y = 12 - 3x.
  2. Divide cada término entre -4: y = \dfrac{12}{-4} - \dfrac{3x}{-4} = -3 + \dfrac{3}{4}x, entonces y = \dfrac{3}{4}x - 3.

Dos formas de usar una fórmula con números. Puedes reorganizar primero y luego sustituir, o sustituir primero y luego resolver. Las dos dan la misma respuesta. Con I = prt, I = 180, p = 1500, t = 3: si sustituyes primero, obtienes 180 = 1500 \cdot r \cdot 3 = 4500r, entonces r = 0.04 (4%). Sustituir primero suele ser más seguro cuando los números son sencillos.

Fórmula

Fórmulas que vas a reorganizar

Estas fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED®, así que no necesitas memorizarlas, pero sí necesitas reorganizarlas:

P = 2l + 2w \qquad A = \tfrac{1}{2}bh \qquad A = \tfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) \qquad V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h \qquad I = prt \qquad d = rt
  • P = perímetro, l = largo, w = ancho; A = área, b = base, h = altura; b_1, b_2 = las dos bases paralelas de un trapecio.
  • V = volumen de un cono, r = radio; I = interés, p = capital, r = tasa (decimal), t = tiempo en años; d = distancia, r = velocidad.
  • La forma pendiente-intersección y = mx + b (en la hoja) es el modelo de "valor inicial + tasa": m = tasa, b = valor inicial.

No están en la hoja de fórmulas: las conversiones de temperatura como F = \tfrac{9}{5}C + 32 y C = \tfrac{5}{9}(F - 32). Si el GED® las necesita, te las da en la pregunta.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): traduce y resuelve

"Siete menos que el triple de un número es 20". Escribe una ecuación y encuentra el número.

  1. "El triple de un número": 3n.
  2. "Siete menos que" eso: 3n - 7.
  3. "es 20": 3n - 7 = 20.
  4. Resuelve: suma 7 → 3n = 27; divide entre 3 → n = 9.
Bar model for 'seven less than three times a number is 20'. Top bar: three equal blocks labeled n, total 3n. Bottom bar, the same length: a 20 block followed by a dashed 7 block that is taken away. So 3n − 7 = 20, 3n = 27, and n = 9.3nnnn3n − 720− 7taken awaywhat is left is 203n − 7 = 20 → 3n = 27 → n = 9 (each block is 9)
Modelo de barras: tres bloques n menos 7 da 20

Respuesta: 3n - 7 = 20; el número es 9

Comprobación: 3(9) - 7 = 27 - 7 = 20 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (vida real): valor inicial + tasa

Un servicio de banquetes cobra $150 de instalación más $22 por invitado. Escribe una ecuación para el costo total C para g invitados y luego encuentra el costo para 40 invitados.

  1. El cargo de instalación ocurre una vez → constante 150.
  2. Los $22 ocurren por cada invitado → 22g.
  3. Ecuación: C = 22g + 150.
  4. Para 40 invitados: C = 22(40) + 150 = 880 + 150 = 1030.
Graph of the catering cost C = 22g + 150. Horizontal axis: guests g from 0 to 50. Vertical axis: cost in dollars from 0 to 1,400. The line starts at (0, 150), the 150 dollars setup fee, and rises 22 dollars per guest; a slope triangle shows 10 more guests add 220 dollars. The point (40, 1030) is marked: 40 guests cost 1,030 dollars.01020304050$0$200$400$600$800$1000$1200$1400Guests (g)Total cost C(0, 150) setup fee(40, 1030)+10 guests+$220C = 22g + 150
Gráfica de C = 22g + 150 con el punto (40, 1030)

Respuesta: C = 22g + 150; 40 invitados cuestan $1,030

Comprobación: un invitado más (41) debe sumar $22: 22(41) + 150 = 1052 = 1030 + 22 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (vida real): dos tipos de artículos

En una venta de pasteles, los muffins cuestan $2.50 y las galletas $1.25. Se recaudaron $200. Escribe una ecuación usando m muffins y c galletas. Si se vendieron 48 muffins, ¿cuántas galletas se vendieron?

  1. Dinero de los muffins: 2.50m. Dinero de las galletas: 1.25c.
  2. Ecuación: 2.50m + 1.25c = 200.
  3. Sustituye m = 48: 2.50(48) + 1.25c = 200, entonces 120 + 1.25c = 200.
  4. Resta 120: 1.25c = 80. Divide entre 1.25: c = 64.
Bar model for the bake sale. The total bar, 200, dollars splits into 120 dollars from 48 muffins at 2.50 dollars each and 80 dollars from cookies at 1.25 dollars each. Since 1.25c = 80, c = 64 cookies.total $200 = 2.50m + 1.25cmuffins: 2.50 × 48= $120cookies: 1.25c= $8080 ÷ 1.25 = 642.50(48) + 1.25c = 200 → 1.25c = 80 → c = 64
Modelo de barras: 200 = 120 de muffins + 80 de galletas

Respuesta: 2.50m + 1.25c = 200; 64 galletas

Comprobación: 2.50(48) + 1.25(64) = 120 + 80 = \$200 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (trabajando al revés): encuentra la tasa de interés

Despeja r en I = prt. Luego encuentra la tasa anual si $1,500 ganaron $180 de interés simple en 3 años.

  1. r está multiplicada por p y por t. Divide ambos lados entre pt: r = \dfrac{I}{pt}.
  2. Sustituye: r = \dfrac{180}{1500 \times 3} = \dfrac{180}{4500} = 0.04.
  3. Convierte el decimal en porcentaje: 0.04 = 4\%.
Diagram of simple interest. A principal of 1,500 dollars earns the same interest each year for 3 years: three blocks of 60, dollars one per year, total I = 180 dollars. Each year's 60 dollars is 1,500 × r, so r = 60 ÷ 1,500 = 0.04, or 4%.interest I = $180 over t = 3 yearsyear 1$60year 2$60year 3$601,500 × r = 60r = I ÷ (pt) = 180 ÷ (1,500 × 3) = 180 ÷ 4,500 = 0.04 = 4%p = $1,500 (principal) · t = 3 years · I = $180
Tres años de 60 de interés sobre 1,500

Respuesta: r = \dfrac{I}{pt}; la tasa es de 4% anual

Comprobación: I = 1500 \times 0.04 \times 3 = 60 \times 3 = \$180 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): reorganiza y luego usa

La fórmula C = \tfrac{5}{9}(F - 32) convierte grados Fahrenheit a Celsius. Despeja F y luego encuentra F cuando C = 35.

  1. Multiplica ambos lados por el recíproco de \tfrac{5}{9}, que es \tfrac{9}{5}: \tfrac{9}{5}C = F - 32.
  2. Suma 32 a ambos lados: F = \tfrac{9}{5}C + 32.
  3. Sustituye C = 35: F = \tfrac{9}{5}(35) + 32 = 63 + 32 = 95.
Two side-by-side temperature scales lined up so equal heights mean equal temperatures. Celsius on the left, Fahrenheit on the right. 0 °C lines up with 32 °F, 100 °C with 212 °F, and the highlighted line shows 35 °C = 95 °F, from F = (9/5)C + 32.Celsius (°C)Fahrenheit (°F)020406080100501001502000 °C32 °Fwater freezes100 °C212 °Fwater boils35 °C95 °F35 °C = 95 °FF = (9/5)(35) + 32 = 63 + 32 = 95
Escalas Celsius y Fahrenheit: 35 °C = 95 °F

Respuesta: F = \tfrac{9}{5}C + 32; 35°C equivale a 95°F

Comprobación: \tfrac{5}{9}(95 - 32) = \tfrac{5}{9}(63) = 35 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Escribir una ecuación es una destreza de lectura: la calculadora no te ayuda a plantearla. Te ayuda a:

  • Probar una opción. Elige un valor sencillo (como 2 invitados) y evalúa cada opción para ver cuál coincide con la historia.
  • Fracciones en fórmulas. Para \tfrac{9}{5}(35) + 32, presiona n/d, escribe 9, baja, escribe 5, muévete a la derecha para salir de la fracción y luego × 35 + 32 enter → 95.
  • Orden de las operaciones con una fórmula reorganizada. Para r = \dfrac{180}{1500 \times 3}, usa paréntesis: 180 ÷ ( 1500 × 3 ) enter → 0.04. Sin los paréntesis, la calculadora hace 180 \div 1500 y luego multiplica por 3, lo cual está mal.
  • Fórmulas con π: usa la tecla π en vez de escribir 3.14, a menos que la pregunta te diga que uses 3.14.
Error común

Errores comunes

  • Invertir "menos que". "7 menos que 3n": incorrecto: 7 - 3n. Correcto: 3n - 7.
  • Olvidar los paréntesis. "El doble de la suma de n y 4": incorrecto: 2n + 4. Correcto: 2(n + 4).
  • Intercambiar la tasa y la constante. "$3.50 más $2.25 por milla": incorrecto: C = 3.50m + 2.25. Correcto: C = 2.25m + 3.50. El número que se repite por cada milla multiplica a m.
  • Dividir solo un término al despejar una fórmula. A partir de P - 2l = 2w, incorrecto: w = P - l. Correcto: divide todo el lado entre 2: w = \dfrac{P - 2l}{2}.
  • Deshacer una fracción de forma equivocada. A partir de V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, incorrecto: h = \dfrac{V}{3\pi r^2}. Correcto: multiplica primero por 3: h = \dfrac{3V}{\pi r^2}.
  • Errores de signo al dividir entre un negativo. A partir de -4y = 12 - 3x, cada término cambia de signo: y = -3 + \tfrac{3}{4}x.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Sustituye un número de prueba. Elige valores fáciles para las variables, calcula la respuesta a partir de la historia y mira qué ecuación da el mismo resultado. Así evitas todas las opciones "trampa".
  • Revisa la constante y la tasa por separado. Tapa el término con variable: ¿la constante coincide con la cantidad que se paga una vez? Luego tapa la constante: ¿el coeficiente coincide con la cantidad por unidad?
  • Mira los signos. Las cantidades que disminuyen (se vacían, se gastan, se queman) necesitan una tasa negativa o una resta.
  • Para "despeja… de la fórmula": sustituye números en la fórmula original y en tu versión reorganizada. Si coinciden, está bien. Ejemplo: en P = 2l + 2w usa l = 5, w = 3, P = 16; entonces \tfrac{16 - 10}{2} = 3 ✓.
  • Usa la hoja de fórmulas, pero lee las letras con cuidado: r es el radio en V = \pi r^2 h, pero es la tasa en d = rt y en I = prt.

Compruébalo

Escribir ecuaciones lineales a partir de un contextoSin calculadora

Which equation represents the sentence below?

"Seven less than three times a number n is 20."

Opciones de respuesta
Pista

Find "three times a number" first. Then take 7 away from it.

Ver en español

Pregunta

¿Qué ecuación representa la oración de abajo?

"Siete menos que el triple de un número n es 20".

Opciones

  • A. 3n - 7 = 20
  • B. 7 - 3n = 20
  • C. 3(n - 7) = 20
  • D. 3n + 7 = 20
Pista

Primero encuentra "el triple de un número". Luego réstale 7.

Compruébalo

Escribir ecuaciones lineales a partir de un contexto

A taxi company charges $3.50 to start a ride plus $2.25 per mile. Which equation gives the total cost C, in dollars, of a ride of m miles?

Opciones de respuesta
Pista

Which amount is paid only once? Which amount is paid again for every mile?

Ver en español

Pregunta

Una compañía de taxis cobra $3.50 al empezar un viaje más $2.25 por milla. ¿Qué ecuación da el costo total C, en dólares, de un viaje de m millas?

Opciones

  • A. C = 3.50m + 2.25
  • B. C = 3.50 + 2.25m
  • C. C = 5.75m
  • D. C = 2.25(m + 3.50)
Pista

¿Qué cantidad se paga una sola vez? ¿Qué cantidad se paga otra vez por cada milla?

Resumen

  • Traduce por partes; "es" significa =; "menos que" y "más que" invierten el orden; "la suma de" necesita paréntesis.
  • Valor inicial + tasa: y = (\text{tasa})x + (\text{inicio}); una cantidad que disminuye tiene una tasa negativa.
  • Dos tipos de artículos: (\text{precio}_1)x + (\text{precio}_2)y = \text{total}.
  • Para despejar una letra de una fórmula, trata las demás letras como números: deshaz primero +/-, luego \times/\div, y divide todo el lado.
  • Prueba cualquier ecuación con un número sencillo para asegurarte de que coincide con la historia.
Practicar esta destreza →