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Cómo resolver problemas de la vida real con ecuaciones lineales

Convierte situaciones diarias sobre dinero, distancias y medidas en una ecuación lineal, resuélvela y responde lo que se pregunta.

Practicar esta destreza 25 min Ecuaciones lineales de la vida real Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

La mayoría de las ecuaciones del GED® no vienen ya escritas. Vienen dentro de una historia corta: una factura de reparación, un plan de teléfono, un viaje por carretera, la cerca de un jardín, un precio en oferta. En esta lección vas a aprender un plan de cuatro pasos para convertir una historia en una ecuación y resolverla:

  1. Nombra la incógnita con una letra.
  2. Escribe una ecuación que diga lo mismo que la historia.
  3. Resuelve la ecuación.
  4. Responde lo que realmente se pregunta, con unidades, y comprueba que tenga sentido.

Vas a practicar los tipos de problemas que el GED® usa una y otra vez: cargo fijo más una tasa, comparar dos planes, enteros consecutivos, perímetro, distancia, velocidad y tiempo, descuentos e impuestos en porcentaje y problemas de "dos tipos de artículos".

Por qué es importante en el GED®: Los problemas verbales son una parte grande del examen de Razonamiento Matemático, y el examen quiere ver si sabes usar el álgebra, no solo mover símbolos. En la vida real: comparar planes de celular, calcular cuántas horas extra necesitas o saber cuánto costaba un artículo antes de impuestos son problemas de ecuaciones lineales.

Vocabulario

  • incógnita: la cantidad que pide la pregunta; le das una letra (para "¿cuántas horas?", sea h = horas).
  • costo fijo (cargo fijo): una cantidad que pagas una sola vez pase lo que pase (una visita de servicio de $65).
  • tasa: una cantidad por cada unidad ($45 por hora, 55 millas por hora, 2.5 galones por minuto).
  • total: el resultado de sumarlo todo (costo fijo + tasa × número de unidades).
  • enteros consecutivos: números enteros seguidos, cada uno 1 más que el anterior (n, n + 1, n + 2; por ejemplo, 28, 29, 30).
  • enteros pares (o impares) consecutivos: cada uno es 2 más que el anterior (n, n + 2, n + 4; por ejemplo, 44, 46, 48).
  • perímetro: la distancia alrededor de una figura (un rectángulo de 19 ft por 8 ft tiene un perímetro de 2(19) + 2(8) = 54 ft).
  • descuento: una cantidad que se le resta a un precio (20% de descuento significa que pagas el 80%).
  • punto de equilibrio: la cantidad en la que dos opciones cuestan lo mismo.
  • "es", "es igual a", "da como resultado", "el total es": palabras que se convierten en el signo =.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

El plan de cuatro pasos y cómo traducir las palabras

Paso 1: Nombra la incógnita. Escribe una oración como "Sea h = el número de horas". Siempre que puedas, elige la cantidad que pide la pregunta. Si hay dos incógnitas relacionadas, nombra la más pequeña o la más sencilla y escribe la otra en términos de ella ("Sea w = ancho; entonces largo = 2w + 3").

Paso 2: Escribe la ecuación. Traduce la historia parte por parte. Estas frases aparecen todo el tiempo:

PalabrasMatemáticas
más que, aumentado en, más, total de+
menos que, disminuido en, menos, restado-
por, veces, de (con una cantidad), el doble\times
dividido entre, repartido en partes iguales, por (como promedio)\div
es, es igual a, será, da como resultado, cuesta=
"7 menos que x"x - 7 (¡el orden se invierte!)
"el doble de la suma de x y 3"2(x + 3)

Paso 3: Resuelve con el método que ya conoces: aplica la propiedad distributiva, quita fracciones/decimales, combina términos semejantes, junta la x en un lado y divide.

Paso 4: Responde y comprueba. Vuelve a leer la pregunta. ¿Pide el ancho o el largo? ¿El entero más pequeño o el más grande? ¿Las horas extra o las horas totales? Luego comprueba tu respuesta en la historia, no solo en tu ecuación: si planteaste mal la ecuación, comprobar en la ecuación no va a detectar el error.

¿Es razonable la respuesta? Un número de personas o de boletos debe ser un número entero. Un tiempo o una longitud no pueden ser negativos. Un precio en oferta debe ser menor que el precio original. Si tu respuesta no tiene sentido en la historia, regresa y busca un error en el planteamiento.

Los tipos de problemas favoritos del GED®

1. Cargo fijo + tasa. Total = fijo + tasa \times cantidad. Un plomero cobra $65 más $45 por hora, y la factura es de $245: 65 + 45h = 245, entonces 45h = 180 y h = 4 horas.

Bar model for the plumber bill. The total bar, 245, dollars is made of a 65 dollars fee block followed by four 45 dollars blocks, one for each hour. Taking away the 65 dollars fee leaves 180, dollars and 180 ÷ 45 = 4 hours.total bill $245$65$45$45$45$45fee (once)4 hours × $45 = $180 → 180 ÷ 45 = 4 hours65 + 45h = 245 → 45h = 180 → h = 4
Modelo de barras: 245 = cargo de 65 + 4 × 45

2. Comparar dos planes (punto de equilibrio). Escribe una expresión para cada plan e iguálalas. Plan A: 20 + 0.08m; Plan B: 35 + 0.05m. Cuestan lo mismo cuando 20 + 0.08m = 35 + 0.05m, entonces 0.03m = 15 y m = 500 minutos.

Graph comparing two phone plans. Horizontal axis: minutes from 0 to 1,000. Vertical axis: cost in dollars from 0 to 100. Plan A, cost = 20 + 0.08m, starts at 20 dollars and rises faster. Plan B, cost = 35 + 0.05m, starts at 35 dollars and rises more slowly. The lines cross at the break-even point (500, 60): at 500 minutes both plans cost 60 dollars.02004006008001000$0$20$40$60$80$100Minutes (m)Cost$20$35break-even (500, 60)Plan A: 20 + 0.08mPlan B: 35 + 0.05m
Gráfica del Plan A y el Plan B que se encuentran en (500, 60)

3. Enteros consecutivos. Tres enteros consecutivos: n, n + 1, n + 2. Tres enteros pares (o impares) consecutivos: n, n + 2, n + 4. Súmalos e iguala la suma al total.

4. Perímetro y geometría. Escribe cada lado en términos de una sola letra y luego usa el dato del perímetro (o de la suma de los ángulos). Un rectángulo con ancho w, largo 2w + 3 y perímetro de 54 ft: 2w + 2(2w + 3) = 54, entonces 6w + 6 = 54, w = 8 ft y el largo = 19 ft.

Rectangle drawn to scale with width w = 8 ft on the short sides and length 2w + 3 = 19 ft on the long sides. Perimeter: 2w + 2(2w + 3) = 54 ft.length = 2w + 3 = 19 ft2w + 3 = 19 ftw = 8 ftwP = 2w + 2(2w + 3) = 54 ft6w + 6 = 54 → w = 8, length = 2(8) + 3 = 19
Rectángulo de 8 ft de ancho y 19 ft de largo

5. Distancia = velocidad × tiempo. Haz un dibujo rápido.

  • Si se alejan (en direcciones opuestas): suma las velocidades. Dos carros a 55 mph y 65 mph se separan a 55 + 65 = 120 mph, así que están a 300 millas de distancia después de 300 \div 120 = 2.5 horas.
  • Si uno alcanza al otro (misma dirección, salida más tarde): iguala las dos distancias.

6. Porcentaje de un precio original desconocido. "Después de un descuento del 20%, la chaqueta cuesta $68". Pagaste el 80% del precio original p: 0.80p = 68, entonces p = 85. No le sumes simplemente el 20% de $68: el 20% del precio nuevo es otra cantidad.

7. Dos tipos de artículos, un total. "150 boletos, adultos a $12 y niños a $7, total de $1,465". Sea a = boletos de adulto; entonces boletos de niño = 150 - a. Dinero: 12a + 7(150 - a) = 1465.

Fórmula

Fórmulas que vas a usar

Estas tres fórmulas están en la hoja de fórmulas del GED®:

d = rt \qquad\qquad \text{Costo total} = (\text{número de unidades}) \times (\text{precio por unidad}) \qquad\qquad I = prt
  • d = distancia, r = tasa (velocidad), t = tiempo. Las unidades deben coincidir: millas por hora necesita el tiempo en horas.
  • En el interés simple I = prt: I = interés, p = capital (cantidad inicial), r = tasa anual como decimal, t = tiempo en años.

Este patrón no está en la hoja, pero debes sabértelo de memoria:

\text{Total} = \text{cantidad fija} + (\text{tasa}) \times (\text{número de unidades})

Ejemplo: $30 de inscripción + $25 por mes durante m meses: \text{Total} = 30 + 25m.

Cambio porcentual de un precio (no está en la hoja): después de un descuento del r\% pagas el (100 - r)\%; después de un impuesto del r\% pagas el (100 + r)\%. Como decimales: 20% de descuento → \times 0.80; 6% de impuesto → \times 1.06.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): la factura de reparación

Un electricista cobra $75 por la visita más $50 por hora. La factura fue de $325. ¿Cuántas horas trabajó el electricista?

  1. Sea h = horas trabajadas. Total = 75 + 50h.
  2. Ecuación: 75 + 50h = 325.
  3. Resta 75 de ambos lados: 50h = 250.
  4. Divide entre 50: h = 5.
Bar model for the electrician bill. The total bar, 325, dollars is made of a 75 dollars visit-fee block followed by five 50 dollars blocks, one for each hour. Taking away the 75 dollars fee leaves 250, dollars and 250 ÷ 50 = 5 hours.total bill $325$75$50$50$50$50$50fee (once)5 hours × $50 = $250 → 250 ÷ 50 = 5 hours75 + 50h = 325 → 50h = 250 → h = 5
Modelo de barras: 325 = cargo de 75 + 5 × 50

Respuesta: 5 horas

Comprobación: 75 + 50(5) = 75 + 250 = \$325 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: enteros pares consecutivos

La suma de tres enteros pares consecutivos es 138. ¿Cuáles son los enteros?

  1. Sea n = el más pequeño. Los dos enteros pares siguientes son n + 2 y n + 4.
  2. Ecuación: n + (n + 2) + (n + 4) = 138.
  3. Combina los términos semejantes: 3n + 6 = 138.
  4. Resta 6: 3n = 132. Divide entre 3: n = 44.
  5. Los enteros son 44, 46 y 48.
Bar model for three consecutive even integers with sum 138. Three rows: the first bar is n; the second is n plus a block of 2; the third is n plus two blocks of 2. Together they are 3n + 6 = 138, so 3n = 132 and n = 44, giving 44, 46 and 48.nn = 4444n + 2n = 44246n + 4n = 4422483 blue bars = 3n3 red blocks = 63n + 6 = 138 → 3n = 132 → n = 44
Modelo de barras de n, n + 2, n + 4 que suman 138

Respuesta: 44, 46, 48

Comprobación: 44 + 46 + 48 = 138 ✓, y los tres son pares ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: el perímetro de un triángulo

Los lados de un triángulo miden x, x + 4 y 2x - 1 pulgadas. El perímetro es de 39 pulgadas. ¿Cuánto mide el lado más largo?

  1. Perímetro = suma de los lados: x + (x + 4) + (2x - 1) = 39.
  2. Combina los términos semejantes: 4x + 3 = 39.
  3. Resta 3: 4x = 36. Divide entre 4: x = 9.
  4. Los lados miden 9, 9 + 4 = 13 y 2(9) - 1 = 17. El más largo mide 17 pulgadas.
Triangle drawn to scale with sides x = 9 inches, x + 4 = 13 inches, and 2x − 1 = 17 inches. The perimeter is 9 + 13 + 17 = 39 inches. The longest side, 17 inches, is the base.2x − 1 = 17 in (longest)x = 9 inx + 4 = 13 inx + (x + 4) + (2x − 1) = 39 → 4x + 3 = 39 → x = 9
Triángulo con lados de 9, 13 y 17 pulgadas

Respuesta: 17 pulgadas (no 9: la pregunta pedía el lado más largo)

Comprobación: 9 + 13 + 17 = 39 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): alcanzar a alguien

Rosa sale de su casa manejando a 50 mph. Dos horas después, su hermano sale del mismo lugar por la misma carretera manejando a 70 mph. ¿Cuánto tiempo después de salir la alcanza él?

  1. Sea t = horas que maneja el hermano. Rosa ha manejado 2 horas más: t + 2 horas.
  2. Cuando la alcanza, los dos han recorrido la misma distancia. Con d = rt: 50(t + 2) = 70t.
  3. Aplica la propiedad distributiva: 50t + 100 = 70t.
  4. Resta 50t: 100 = 20t. Divide entre 20: t = 5.
Distance diagram for the catch-up problem, drawn on a scale from 0 to 350 miles. Rosa's bar: a 100-mile head start (2 hours at 50 mph) followed by five 50-mile blocks, ending at 350 miles. Her brother's bar: five 70-mile blocks, also ending at 350 miles. They meet at 350 miles, 5 hours after he leaves.050100150200250300350miles from homeRosahead start 10050505050502 h before50(t + 2) with t = 5 hBrother707070707070t with t = 5 hmeet350 mi
Barras de distancia: Rosa y su hermano llegan a 350 millas

Respuesta: 5 horas después de que él sale

Comprobación: Rosa maneja 50 \times 7 = 350 millas; su hermano maneja 70 \times 5 = 350 millas ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajando al revés): descuento y luego impuesto

Un televisor estaba en oferta con 25% de descuento. Luego se le sumó un impuesto sobre la venta del 6% al precio de oferta. El costo final fue de $381.60. ¿Cuál era el precio original?

  1. Sea p = precio original. Con 25% de descuento pagas el 75%: precio de oferta = 0.75p.
  2. El impuesto agrega 6%, así que pagas el 106% del precio de oferta: 1.06(0.75p) = 381.60.
  3. Multiplica los decimales: 0.795p = 381.60.
  4. Divide: p = 381.60 \div 0.795 = 480.
Bar model for the TV price. Top bar: the original price p = 480, dollars split into four quarters of 120 dollars; one quarter (25%, 120 dollars) is crossed off as the discount, leaving the sale price 360 dollars. Bottom bar: the sale price 360 dollars plus 6% tax of 21.60 dollars gives the final cost 381.60 dollars.original price p = $48025% = $12025% = $12025% = $12025% off = $120sale price = 0.75p = $360$3606% tax= $21.60final cost = 1.06(0.75p) = $381.600.795p = 381.60 → p = 381.60 ÷ 0.795 = 480
Modelo de barras: 480 menos 25% es 360, más 6% de impuesto es 381.60

Respuesta: $480

Comprobación: 480 \times 0.75 = \$360; 360 \times 1.06 = \$381.60 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Los problemas verbales de ecuaciones lineales están en la parte del GED® con calculadora, y muchas veces tienen decimales complicados. Usa la calculadora para las operaciones, pero escribe primero la ecuación en tu pizarra.

  • Divide los decimales con cuidado: para 0.795p = 381.60, escribe 381.6 ÷ 0.795 enter → 480.
  • Usa paréntesis para comprobaciones de varios pasos: 1.06 ( 0.75 × 480 ) enter → 381.6.
  • Respuestas con fracciones: si un problema usa fracciones, escríbelas con la tecla n/d; presiona toggle para ver el decimal.
  • Comprueba la historia, no solo la ecuación: calcula cada parte (precio de oferta, impuesto, total) y compárala con los números dados.

No dejes que la calculadora decida cómo plantear el problema. Si no sabes qué operación usar, prueba con un número sencillo (como 10 horas) para ver cómo se forma el total, y luego cámbialo por la variable.

Error común

Errores comunes

  • Responder la pregunta equivocada. Encuentras el ancho (8 ft), pero la pregunta pedía el largo (19 ft). Incorrecto: detenerte en x. Correcto: vuelve a leer la pregunta y termina.
  • Olvidar el cargo fijo. Para "$65 más $45 por hora = $245", incorrecto: 245 \div 45 \approx 5.4 horas. Correcto: resta primero el cargo, 180 \div 45 = 4 horas.
  • Sacar el porcentaje de la cantidad equivocada. Para "después de 20% de descuento, el precio es $68", incorrecto: 68 + 0.20(68) = \$81.60. Correcto: 0.80p = 68, entonces p = \$85.
  • Confundir consecutivos con pares/impares consecutivos. Los enteros consecutivos aumentan de 1 en 1 (n, n + 1, n + 2); los pares o impares consecutivos aumentan de 2 en 2 (n, n + 2, n + 4).
  • Restar las velocidades de objetos que se alejan. Dos carros que van en direcciones opuestas se separan a la suma de sus velocidades, no a la diferencia.
  • El orden en "menos que". "7 menos que 3x" es 3x - 7, no 7 - 3x.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Lee dos veces. Primero para entender la historia, luego para ver la pregunta exacta y las unidades. Subraya lo que tienes que encontrar.
  • Trabaja al revés desde las respuestas. En opción múltiple puedes probar cada opción en la historia. Para el problema del plomero, prueba 4 horas: 65 + 45(4) = 245 ✓. Muchas veces esto es más rápido que escribir una ecuación.
  • Elimina las opciones que no tienen sentido. El precio original de una oferta debe ser mayor que el precio de oferta; un número de personas debe ser un número entero; un tiempo no puede ser negativo.
  • Estima primero. "Dos carros, se separan a 120 mph, 300 millas": entre 2 y 3 horas, más o menos. Una opción de 30 horas está claramente mal.
  • Cuidado con las opciones "trampa" que son un número intermedio del procedimiento (las horas extra en vez de las horas totales, o el ancho en vez del largo).
  • Unidades: convierte minutos a horas (divide entre 60) o centavos a dólares antes de plantear d = rt o una ecuación de costo.

Compruébalo

Ecuaciones lineales de la vida real

A plumber charges a $65 service fee plus $45 per hour of work. Mr. Ortiz's bill was $245. How many hours did the plumber work?

Opciones de respuesta
Pista

The $65 fee is paid once, no matter how long the job takes. Remove it before dividing by the hourly rate.

Ver en español

Pregunta

Un plomero cobra $65 por la visita de servicio más $45 por hora de trabajo. La factura del Sr. Ortiz fue de $245. ¿Cuántas horas trabajó el plomero?

Opciones

  • A. 4
  • B. Aproximadamente 5.4
  • C. Aproximadamente 6.9
  • D. 180
Pista

El cargo de $65 se paga una sola vez, sin importar cuánto dure el trabajo. Quítalo antes de dividir entre la tarifa por hora.

Compruébalo

Ecuaciones lineales de la vida realCompletar

A gym charges a one-time $30 joining fee plus $25 per month. Kendra has paid $230 in total so far. For how many months has she been a member?

months

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Write the total as the joining fee plus $25 times the number of months.

Ver en español

Pregunta

Un gimnasio cobra una cuota de inscripción única de $30 más $25 por mes. Hasta ahora, Kendra ha pagado $230 en total. ¿Cuántos meses lleva como miembro?

_____ meses

Pista

Escribe el total como la cuota de inscripción más $25 por el número de meses.

Resumen

  • Sigue los cuatro pasos: nombra la incógnita, escribe la ecuación, resuelve y responde la pregunta real con unidades.
  • Total = cantidad fija + tasa × número de unidades. Dos planes son iguales cuando igualas sus expresiones.
  • Enteros consecutivos: n, n + 1, n + 2; pares/impares consecutivos: n, n + 2, n + 4.
  • d = rt, el costo total e I = prt están en la hoja de fórmulas; los problemas de porcentaje del precio original usan 0.80p, 1.06p, etc.
  • Comprueba tu respuesta en la historia y asegúrate de que sea razonable.
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