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Cómo resolver ecuaciones lineales de una variable

Resuelve cualquier ecuación lineal paso a paso, incluso las que tienen paréntesis, fracciones, decimales y variables en ambos lados.

Practicar esta destreza 25 min Resolver ecuaciones lineales de una variable Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Una ecuación dice que dos cantidades son iguales, como 3x + 2 = 11. Resolverla significa encontrar el número que debe ser x para que la afirmación sea verdadera. En esta lección vas a aprender un método confiable que resuelve todas las ecuaciones lineales que te puede dar el GED®:

  • ecuaciones de uno y dos pasos, como 4x - 9 = 23
  • ecuaciones con paréntesis, como 3(2x - 5) = 4x + 7
  • ecuaciones con la variable en ambos lados
  • ecuaciones con fracciones y decimales
  • los dos casos especiales: ninguna solución e infinitas soluciones

Por qué es importante en el GED®: Resolver ecuaciones lineales es una de las destrezas que más se usan en el examen de Razonamiento Matemático. Vas a resolver ecuaciones directamente ("¿Cuál es el valor de x?") y también en medio de problemas verbales sobre sueldos, precios, distancias y geometría. Si haces esto rápido y bien, muchas otras preguntas se vuelven más fáciles.

En la vida real: Cada vez que te preguntas "¿cuántas horas necesito trabajar?", "¿cuántas millas puedo manejar con $50?" o "¿cuántos meses faltan para ahorrar lo suficiente?", estás resolviendo una ecuación lineal.

Vocabulario

  • variable: una letra que representa un número desconocido (en 5x + 1 = 16, la variable es x).
  • término: un número, una variable o un número por una variable, separados por signos + o - (5x, 1 y 16 son términos).
  • coeficiente: el número que multiplica a una variable (en 5x, el coeficiente es 5; en -x es -1).
  • constante: un término sin variable (en 5x + 1, la constante es 1).
  • términos semejantes: términos con la misma parte variable, que se pueden combinar (3x y -7x son términos semejantes; 3x y 3 no lo son).
  • ecuación lineal: una ecuación en la que la variable no tiene un exponente mayor que 1 (2x + 3 = 9 es lineal; x^2 = 9 no lo es).
  • solución: el valor que hace verdadera la ecuación (x = 3 es la solución de 2x + 3 = 9 porque 2(3) + 3 = 9).
  • operación inversa: la operación que deshace otra: suma ↔ resta, multiplicación ↔ división.
  • propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac (por ejemplo, 3(x + 4) = 3x + 12).
  • mínimo común denominador: el número más pequeño que se puede dividir exactamente entre todos los denominadores (el mínimo común denominador de \tfrac{1}{4} y \tfrac{1}{6} es 12).
  • identidad: una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable (por ejemplo, 2x + 2 = 2(x + 1)).
  • contradicción: una ecuación que nunca es verdadera (por ejemplo, x + 1 = x + 5).

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

La regla de la balanza

Piensa en una ecuación como una balanza. El lado izquierdo y el lado derecho pesan lo mismo. Puedes hacerle cualquier cosa a la ecuación siempre que hagas lo mismo en ambos lados: así la balanza se mantiene nivelada.

A balance scale that is level. The left pan holds three boxes labeled x and two unit blocks labeled 1. The right pan holds eleven unit blocks labeled 1. It models the equation 3x + 2 = 11.xxx11111111111113x + 211
Balanza que representa 3x + 2 = 11

La balanza de arriba muestra 3x + 2 = 11. Para encontrar una x:

  1. Quita 2 bloques de unidad de ambos platos: 3x + 2 - 2 = 11 - 2, entonces 3x = 9.
  2. Divide ambos platos en 3 grupos iguales: \dfrac{3x}{3} = \dfrac{9}{3}, entonces x = 3.

Las reglas (propiedades de la igualdad). Si a = b, entonces para cualquier número c:

Puedes…Ejemplo a partir de x - 4 = 10
sumar c a ambos ladosx - 4 + 4 = 10 + 4 \Rightarrow x = 14
restar c de ambos ladosde x + 6 = 2: x = 2 - 6 = -4
multiplicar ambos lados por cde \tfrac{x}{5} = 3: x = 3 \cdot 5 = 15
dividir ambos lados entre c (c \ne 0)de -2x = 18: x = \tfrac{18}{-2} = -9

Deshaz en orden inverso. Cuando formas 3x + 2, primero multiplicas por 3 y luego sumas 2. Para resolver, deshaces esos pasos al revés: primero restas 2 y luego divides entre 3. Por eso casi siempre quitamos primero los números que se suman o restan, y el coeficiente al final.

Cuidado con los signos. Dividir entre un número negativo cambia el signo de la respuesta: -4x = 20 \Rightarrow x = -5. Y -x = 7 significa x = -7 (divide ambos lados entre -1).

El método de 5 pasos para cualquier ecuación lineal

Sigue estos pasos en este orden. Salta cualquier paso que no haga falta.

  1. Quita los paréntesis con la propiedad distributiva. Multiplica el número de afuera por cada término de adentro, con sus signos: -2(x - 3) = -2x + 6.
  2. Quita las fracciones o los decimales (opcional, pero ayuda): multiplica cada término de ambos lados por el mínimo común denominador, o por 10, 100, …
  3. Combina los términos semejantes en cada lado por separado: 4x + 3 - x = 3x + 3.
  4. Junta las variables en un lado y las constantes en el otro. Suma o resta un término con variable en ambos lados, y luego una constante. Consejo: mueve el término con variable más pequeño para que el coeficiente quede positivo.
  5. Divide entre el coeficiente de la variable. Luego comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Ejemplo (variables en ambos lados): 7x - 4 = 3x + 16

Balance-scale steps for solving 7x − 4 = 3x + 16. Step 1: subtract 3x from both sides, giving 4x − 4 = 16. Step 2: add 4 to both sides, giving 4x = 20. Step 3: divide both sides by 4, giving x = 5.7x − 43x + 16Start: the scale is level4x − 416Step 1subtract 3x(both sides)4x20Step 2add 4(both sides)x5Step 3divide by 4(both sides)
Pasos con balanza para resolver 7x − 4 = 3x + 16
  • Resta 3x de ambos lados: 4x - 4 = 16.
  • Suma 4 a ambos lados: 4x = 20.
  • Divide entre 4: x = 5. Comprobación: 7(5) - 4 = 31 y 3(5) + 16 = 31 ✓.

Ejemplo (un signo menos delante de un paréntesis): 10 - (x + 3) = 2x + 1

El signo menos significa "multiplicar por -1", así que -(x + 3) = -x - 3. Entonces 10 - x - 3 = 2x + 1, que da 7 - x = 2x + 1. Suma x: 7 = 3x + 1. Resta 1: 6 = 3x, entonces x = 2. Comprobación: 10 - 5 = 5 y 2(2) + 1 = 5 ✓.

No importa si la variable queda a la izquierda o a la derecha: 6 = 3x y 3x = 6 significan lo mismo.

Fracciones, decimales y los casos especiales

Fracciones: multiplica por el mínimo común denominador. En \dfrac{x}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{x}{6} + 1, los denominadores son 4, 3 y 6, así que el mínimo común denominador es 12. Multiplica cada término por 12 (incluso el 1):

12 \cdot \frac{x}{4} - 12 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot 1 \;\Rightarrow\; 3x - 8 = 2x + 12

Ahora es una ecuación común: x = 20.

Un coeficiente fraccionario: multiplica por el recíproco. Para \tfrac{2}{3}x = 12, multiplica ambos lados por \tfrac{3}{2}: x = 12 \cdot \tfrac{3}{2} = 18. (Dividir entre \tfrac{2}{3} es lo mismo que multiplicar por \tfrac{3}{2}.)

Una fracción igual a otra: multiplica en cruz. Para \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{x - 4}{5}, multiplica en cruz: 5(x + 2) = 3(x - 4). ¡Conserva los paréntesis! Luego 5x + 10 = 3x - 12, entonces 2x = -22 y x = -11.

Decimales: multiplica por 10 o 100, o simplemente trabaja con cuidado. En 0.6x + 1.5 = 0.2x + 4.7, multiplica cada término por 10: 6x + 15 = 2x + 47, entonces 4x = 32 y x = 8. En el GED® también puedes usar la calculadora: resta 0.2x para obtener 0.4x + 1.5 = 4.7, luego 0.4x = 3.2, entonces x = 3.2 \div 0.4 = 8.

Caso especial 1: ninguna solución. A veces las variables se cancelan y queda una afirmación falsa:

2(x + 3) = 2x + 1 \;\Rightarrow\; 2x + 6 = 2x + 1 \;\Rightarrow\; 6 = 1 \quad \text{(falso)}

Ningún número sirve, así que la ecuación no tiene solución.

Caso especial 2: infinitas soluciones. Si las variables se cancelan y queda una afirmación verdadera, cualquier número sirve:

3(2x + 1) = 6x + 3 \;\Rightarrow\; 6x + 3 = 6x + 3 \;\Rightarrow\; 3 = 3 \quad \text{(verdadero)}

Esta ecuación tiene infinitas soluciones (es una identidad).

Two graphs comparing the two sides of an equation as lines. Left: y = 2x + 6 and y = 2x + 1 are parallel lines with the same slope 2 and different intercepts 6 and 1; they never meet, so 2(x + 3) = 2x + 1 has no solution. Right: y = 3(2x + 1) and y = 6x + 3 are the same line; they meet at every point, so 3(2x + 1) = 6x + 3 has infinitely many solutions.-2-112-448y = 2x + 6y = 2x + 1Parallel: never equalNo solution (6 = 1 is false)-2-112-448y = 3(2x + 1)y = 6x + 3Same line: always equalInfinitely many (3 = 3 is true)
Rectas paralelas (ninguna solución) frente a la misma recta (infinitas soluciones)
Después de simplificar obtienes…Significado
x = un númeroexactamente una solución
una afirmación falsa como 6 = 1ninguna solución
una afirmación verdadera como 3 = 3infinitas soluciones

Prueba rápida: después de simplificar cada lado, si los coeficientes de x en los dos lados son diferentes, hay exactamente una solución. Si son iguales, compara las constantes: constantes diferentes → ninguna solución; constantes iguales → infinitas soluciones.

Fórmula

Las reglas que debes memorizar (no están en la hoja de fórmulas)

No hay una sola fórmula para esta destreza: usas las propiedades de la igualdad y la propiedad distributiva. Ninguna de ellas aparece en la hoja de fórmulas del GED®, así que apréndelas de memoria:

\text{Si } a = b \text{, entonces } a + c = b + c,\quad a - c = b - c,\quad ac = bc,\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\ (c \ne 0) a(b + c) = ab + ac \qquad\qquad -(b - c) = -b + c
  • a, b = los dos lados iguales de la ecuación; c = cualquier número que aplicas a ambos lados.
  • La segunda línea es la propiedad distributiva: el factor de afuera multiplica cada término dentro del paréntesis.

Un atajo útil para comprobar respuestas de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d (con a \ne c):

x = \frac{d - b}{a - c}

Para 7x - 4 = 3x + 16: x = \dfrac{16 - (-4)}{7 - 3} = \dfrac{20}{4} = 5. Úsalo para comprobar; mientras aprendes, siempre escribe los pasos.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): una ecuación de dos pasos

Resuelve 4x - 9 = 23.

  1. Deshaz la resta: suma 9 a ambos lados. 4x - 9 + 9 = 23 + 9, entonces 4x = 32.
  2. Deshaz la multiplicación: divide ambos lados entre 4. x = \dfrac{32}{4} = 8.
Balance-scale steps for solving 4x − 9 = 23. Start: left pan 4x − 9, right pan 23, level. Step 1: add 9 to both sides, giving 4x = 32. Step 2: divide both sides by 4, giving x = 8.4x − 923Start: the scale is level4x32Step 1add 9(both sides)x8Step 2divide by 4(both sides)
Pasos con balanza para resolver 4x − 9 = 23

Respuesta: x = 8

Comprobación: 4(8) - 9 = 32 - 9 = 23 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: paréntesis y variables en ambos lados

Resuelve 3(2x - 5) = 4x + 7.

  1. Aplica la propiedad distributiva: multiplica el 3 por ambos términos: 6x - 15 = 4x + 7.
  2. Resta 4x de ambos lados: 2x - 15 = 7.
  3. Suma 15 a ambos lados: 2x = 22.
  4. Divide entre 2: x = 11.
Balance-scale steps for solving 3(2x − 5) = 4x + 7. Start level with 3(2x − 5) on the left and 4x + 7 on the right. Step 1: distribute the 3, giving 6x − 15 = 4x + 7. Step 2: subtract 4x from both sides, giving 2x − 15 = 7. Step 3: add 15 to both sides, giving 2x = 22. Step 4: divide both sides by 2, giving x = 11.3(2x − 5)4x + 7Start: the scale is level6x − 154x + 7Step 1distribute the 3(left side)2x − 157Step 2subtract 4x(both sides)2x22Step 3add 15(both sides)x11Step 4divide by 2(both sides)
Pasos con balanza para resolver 3(2x − 5) = 4x + 7

Respuesta: x = 11

Comprobación: lado izquierdo 3(2 \cdot 11 - 5) = 3(17) = 51; lado derecho 4(11) + 7 = 44 + 7 = 51 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: fracciones en ambos lados

Resuelve \dfrac{x}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{x}{6} + 1.

  1. El mínimo común denominador de 4, 3 y 6 es 12. Multiplica cada término por 12: 3x - 8 = 2x + 12.
  2. Resta 2x de ambos lados: x - 8 = 12.
  3. Suma 8 a ambos lados: x = 20.
Balance-scale steps for solving x/4 − 2/3 = x/6 + 1. Step 1: multiply every term on both sides by the LCD 12, giving 3x − 8 = 2x + 12. Step 2: subtract 2x from both sides, giving x − 8 = 12. Step 3: add 8 to both sides, giving x = 20.x/4 − 2/3x/6 + 1Start: the scale is level3x − 82x + 12Step 1multiply every term by 12(both sides)x − 812Step 2subtract 2x(both sides)x20Step 3add 8(both sides)
Pasos con balanza para resolver x/4 − 2/3 = x/6 + 1

Respuesta: x = 20

Comprobación: izquierda \tfrac{20}{4} - \tfrac{2}{3} = 5 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{13}{3}; derecha \tfrac{20}{6} + 1 = \tfrac{10}{3} + \tfrac{3}{3} = \tfrac{13}{3} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): ¿cuándo tendrán los mismos ahorros?

Lena tiene $250 ahorrados y agrega $35 cada semana. Marco tiene $460 ahorrados y agrega $20 cada semana. ¿Después de cuántas semanas tendrán la misma cantidad?

  1. Sea w = número de semanas. Lena: 250 + 35w. Marco: 460 + 20w.
  2. Iguala las dos expresiones: 250 + 35w = 460 + 20w.
  3. Resta 20w de ambos lados: 250 + 15w = 460.
  4. Resta 250 de ambos lados: 15w = 210.
  5. Divide entre 15: w = 14.
Graph of savings over time. Horizontal axis: weeks from 0 to 20. Vertical axis: dollars from 0 to 1,000. Lena's line, y = 250 + 35w, starts at 250 and rises steeply. Marco's line, y = 460 + 20w, starts at 460 and rises more slowly. The lines cross at (14, 740): after 14 weeks both have 740 dollars.02468101214161820$0$200$400$600$800$1000Weeks (w)Dollars saved$250$460(14, 740)Lena: 250 + 35wMarco: 460 + 20w
Gráfica de los ahorros de Lena y Marco que se cruzan en (14, 740)

Respuesta: después de 14 semanas

Comprobación: Lena 250 + 35(14) = 250 + 490 = \$740; Marco 460 + 20(14) = 460 + 280 = \$740 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabajando al revés): la tarifa del taxi

Un taxi cobra $3.50 al empezar más $2.40 por milla. Dee agregó una propina del 20% a la tarifa y pagó $33.00 en total. ¿Cuántas millas fue el viaje?

  1. Sea m = millas. Tarifa = 3.50 + 2.40m. Una propina del 20% significa que pagó el 120% de la tarifa: 1.2(3.50 + 2.40m) = 33.
  2. Divide ambos lados entre 1.2 (deshaz lo último que se hizo): 3.50 + 2.40m = \dfrac{33}{1.2} = 27.5.
  3. Resta 3.50: 2.40m = 24.
  4. Divide entre 2.40: m = 10.
Bar model for the taxi problem. Top bar: the total paid, 33.00 dollars, is 120% of the fare, split into six equal parts of 20% worth 5.50 dollars each; five parts (27.50 dollars) are the fare and one part (5.50 dollars) is the tip. Bottom bar: the fare of 27.50 dollars is the 3.50 dollars start charge plus ten pieces of 2.40 dollars, one for each mile, so the ride was 10 miles.total paid $33.00 = 120% of fare20% = $5.50$5.50$5.50$5.50$5.50$5.50fare = 100% = $27.50tip 20%$3.502.402.402.402.402.402.402.402.402.402.40start$24.00 = 10 miles × $2.401.2 × fare = 33 → fare = 27.50 → 2.40m = 24 → m = 10
Modelo de barras del total del taxi de 33: tarifa más propina del 20%

Respuesta: 10 millas

Comprobación: tarifa 3.50 + 2.40(10) = \$27.50; propina 0.20 \times 27.50 = \$5.50; total 27.50 + 5.50 = \$33.00 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora (TI-30XS MultiView)

Casi toda el álgebra se hace en papel: la calculadora no puede mover los términos por ti. Úsala para:

  • Operaciones con decimales. Para 2.40m = 24, escribe 24 ÷ 2.4 enter → 10.
  • Fracciones. Presiona la tecla n/d para escribir una fracción como \tfrac{2}{3}, y presiona toggle para cambiar una respuesta entre forma de fracción y forma decimal.
  • Números negativos. Usa la tecla (−) (fila de abajo) para un número negativo, no la tecla de resta. Para -22 \div 2 escribe (−) 22 ÷ 2 enter → -11.
  • Comprobación. Sustituye tu respuesta en ambos lados. Para el Ejemplo 2 escribe 3 ( 2 × 11 − 5 ) enter → 51, y luego 4 × 11 + 7 enter → 51. Si los resultados son iguales, tu respuesta es correcta.

Cuándo no usarla: para pasos pequeños con números enteros, como 4x = 32, el cálculo mental es más rápido y evita errores al teclear. Usa siempre paréntesis en la calculadora cuando sustituyas en una expresión como 3(2x - 5).

Error común

Errores comunes

  • Multiplicar solo el primer término. Incorrecto: 4(x - 3) = 4x - 3. Correcto: 4(x - 3) = 4x - 12. El número de afuera multiplica cada término.
  • Perder el signo con un factor negativo. Incorrecto: -2(x + 4) = -2x + 8. Correcto: -2(x + 4) = -2x - 8. Un negativo por un positivo da negativo.
  • Hacer una operación en un solo lado (o en un solo término). Al quitar fracciones en \tfrac{x}{4} + 3 = 7, incorrecto: x + 3 = 28. Correcto: multiplica cada término por 4: x + 12 = 28, entonces x = 16.
  • Mover un término sin cambiarle el signo. A partir de 5x = 3x + 8, incorrecto: 8x = 8. Correcto: resta 3x de ambos lados para obtener 2x = 8.
  • Dividir entre el número equivocado o al revés. A partir de 4x = 20, incorrecto: x = \tfrac{4}{20}. Correcto: x = \tfrac{20}{4} = 5. Divide entre el coeficiente.
  • Decir x = 0 cuando las variables se cancelan. Si llegas a 6 = 1, la respuesta es ninguna solución, no x = 0. Si llegas a 3 = 3, la respuesta es infinitas soluciones.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Sustituye las opciones. En una pregunta de opción múltiple con una ecuación, puedes sustituir cada opción en la ecuación original. La que hace iguales los dos lados es la correcta. Es un gran recurso cuando no sabes qué hacer, y una gran comprobación cuando sí sabes.
  • Comprueba en la ecuación original, no en un paso que ya reescribiste. Si te equivocaste al aplicar la propiedad distributiva, comprobar en una línea posterior no va a detectar el error.
  • Espera respuestas trampa. Las opciones incorrectas casi siempre vienen de un error de signo o de multiplicar solo un término. Si tu respuesta aparece en la lista, igual dedica 10 segundos a comprobarla.
  • Estima. En 0.6x + 1.5 = 0.2x + 4.7, x debe ser positiva y pequeña (las constantes solo se diferencian en 3.2). Una respuesta como 80 es un error con el punto decimal.
  • Lee lo que se pregunta. Algunas preguntas piden x + 2 o 2x, no x. Subraya la pregunta antes de elegir.
  • Tiempo: una ecuación básica debe tomarte aproximadamente 1 minuto. Si una te toma más de 3, márcala, sigue adelante y regresa después.

Compruébalo

Resolver ecuaciones lineales de una variableSin calculadora

What is the value of x in the equation 3x + 7 = 22?

Opciones de respuesta
Pista

Undo the addition first, then undo the multiplication.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de x en la ecuación 3x + 7 = 22?

Opciones

  • A. 15
  • B. \tfrac{29}{3}
  • C. 5
  • D. 45
Pista

Primero deshaz la suma y luego deshaz la multiplicación.

Compruébalo

Resolver ecuaciones lineales de una variableCompletar

Solve for x.

6x - 5 = 2x + 19

x =

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Get all the x terms on one side first by subtracting the smaller x term from both sides.

Ver en español

Pregunta

Resuelve para x.

6x - 5 = 2x + 19

x = _____

Pista

Primero pon todos los términos con x en un lado restando de ambos lados el término con x más pequeño.

Resumen

  • Lo que hagas en un lado de la ecuación, hazlo también en el otro lado.
  • Orden de trabajo: propiedad distributiva → quitar fracciones/decimales → combinar términos semejantes → juntar la x en un lado → dividir.
  • El factor de afuera multiplica cada término del paréntesis, con su signo.
  • Quita las fracciones multiplicando cada término por el mínimo común denominador; si el coeficiente es una fracción, multiplica por el recíproco.
  • Si las variables se cancelan: afirmación falsa → ninguna solución; afirmación verdadera → infinitas soluciones.
  • Siempre comprueba sustituyendo en la ecuación original.
Practicar esta destreza →