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Escribir expresiones racionales a partir de situaciones

Escribe expresiones con fracciones para tasas, promedios, costos compartidos, mezclas y problemas de trabajo.

Practicar esta destreza 25 min Escribir expresiones racionales a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Siempre que un problema verbal dice "por", "cada", "promedio" o "cuánto tiempo", casi siempre hay una división escondida. Cuando aquello entre lo que divides tiene una variable, el resultado es una expresión racional, como \dfrac{150}{r} horas o \dfrac{1200}{n} dólares por persona.

En esta lección vas a aprender a escribir expresiones racionales para:

  • Tasas y tiempo: tiempo = distancia ÷ rapidez, incluso cuando la rapidez cambia por una corriente o por el viento.
  • Promedios: total ÷ número de elementos, cuando se agregan elementos nuevos.
  • Trabajo: qué parte de un trabajo se hace por hora, solo y en equipo.
  • Costos compartidos: costo por persona cuando cambia el tamaño del grupo.
  • Mezclas: la fracción de una solución que corresponde a un ingrediente.

Por qué importa en el GED®. Las preguntas dicen: "¿Qué expresión representa el tiempo…?" o "¿Qué expresión da el nuevo promedio…?". Las opciones incorrectas vienen de errores reales: multiplicar en vez de dividir, voltear la fracción, sumar tiempos en vez de tasas u olvidar actualizar la cantidad. Cuando conoces los patrones, estas preguntas se vuelven puntos rápidos.

En la vida real. Dividir el alquiler de una casa entre amigos, calcular cuánto dura un viaje si manejas más rápido o estimar cuánto tarda un trabajo con un ayudante son problemas de expresiones racionales.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Tasa — una cantidad por unidad, como 55 millas por hora o $12 por boleto.
  • Expresión racional — una fracción con una variable en el denominador (y quizás en el numerador), como \dfrac{240}{r}.
  • Distancia, tasa y tiempo — d = rt; al despejar el tiempo obtienes t = \dfrac{d}{r}.
  • Río arriba / río abajo — en contra / a favor de la corriente. Un bote con rapidez de 12 en agua tranquila y una corriente c va a 12 - c río arriba y a 12 + c río abajo.
  • Promedio (media) — el total dividido entre la cantidad: \dfrac{\text{suma}}{\text{cantidad}}.
  • Tasa de trabajo — la fracción de un trabajo que se hace por hora. Un trabajo que toma 5 horas tiene una tasa de \tfrac{1}{5} de trabajo por hora.
  • Tasa combinada — la suma de las tasas individuales cuando personas o máquinas trabajan juntas.
  • Por persona / por unidad — el total dividido entre el número de personas o de unidades.
  • Concentración — la parte de una mezcla que corresponde a un ingrediente, como fracción del total: \dfrac{\text{cantidad del ingrediente}}{\text{cantidad total}}.
  • Recíproco — una fracción volteada: el recíproco de \dfrac{x + 5}{5x} es \dfrac{5x}{x + 5}.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Tasas y tiempo

Empieza con la fórmula de la hoja del GED®, d = rt, y despeja el tiempo:

t = \frac{d}{r}

Tiempo = distancia arriba, rapidez abajo. Si manejas 240 millas a r mph, el tiempo es \dfrac{240}{r} horas. Prueba de sentido común: más rapidez (r más grande) debe significar menos tiempo, y dividir entre un número más grande sí da un resultado más pequeño. 240r crecería con la rapidez: incorrecto. \dfrac{r}{240} está al revés: también incorrecto.

Rapideces que cambian. Escribe primero la nueva rapidez y luego divide.

Graph of driving time for 240 miles. The solid blue curve t = 240/r falls as speed r rises from 20 to 80 mph: faster means less time. The dashed green curve t = 240/(r + 10) is the time 10 mph faster. At r = 50 the times are 4.8 h and 4.0 h; the red gap, 0.8 h, equals 2400/(50 times 60).02468101220304050607080speed r (mph)time for 240 mi (hours)t = 240/rt = 240/(r + 10)r = 50: saved 0.8 h= 2400/(50 · 60)
Gráfica del tiempo 240/r y 240/(r + 10)
  • 10 mph más rápido: \dfrac{240}{r + 10}.
  • El doble de rápido: \dfrac{240}{2r}.
  • Tiempo ahorrado al ir 10 mph más rápido: \dfrac{240}{r} - \dfrac{240}{r + 10}.

Corrientes y viento. La corriente ayuda cuando vas a su favor y estorba cuando vas en contra (mira la figura de abajo). Un bote con rapidez de 12 mph en agua tranquila, en un río con corriente c:

  • Rapidez río arriba: 12 - c, así que 30 millas río arriba toman \dfrac{30}{12 - c} horas.
  • Rapidez río abajo: 12 + c, así que las 30 millas de regreso toman \dfrac{30}{12 + c} horas.
  • Tiempo de ida y vuelta: \dfrac{30}{12 - c} + \dfrac{30}{12 + c}.

Combinar en una sola fracción. Si una pregunta pide una sola fracción, usa el mínimo común denominador. Para el tiempo ahorrado:

\frac{240}{r} - \frac{240}{r + 10} = \frac{240(r + 10) - 240r}{r(r + 10)} = \frac{2400}{r(r + 10)}
A river flows left to right with a current of c miles per hour. A boat that goes 12 mph in still water travels at 12 minus c mph going upstream (against the current) and 12 plus c mph going downstream (with the current). Time equals distance divided by speed.current: c mph →Upstream (against current)speed = 12 − cDownstream (with current)speed = 12 + cboat speed in still water: 12 mphtime = distance ÷ speed

Con una corriente de c mph, un bote de 12 mph avanza a 12 - c río arriba (upstream) y a 12 + c río abajo (downstream). Divide cada distancia entre su propia rapidez.

Promedios y costos compartidos

Promedio = total ÷ cantidad. Cuando la pregunta agrega elementos nuevos, actualiza tanto el total como la cantidad.

Ejemplo: Las 4 calificaciones de prueba de una estudiante suman 328. Ella toma una prueba más y saca x.

\text{nuevo promedio} = \frac{328 + x}{5}

El total aumenta en x y la cantidad pasa de 4 a 5.

Si toma n pruebas más y saca 95 en cada una, el total aumenta en 95n y la cantidad en n:

\frac{328 + 95n}{4 + n}

Promedio de un viaje mixto. Manejar 2 horas a 55 mph y luego t horas a 65 mph: distancia total = 110 + 65t, tiempo total = 2 + t, así que la rapidez promedio es \dfrac{110 + 65t}{2 + t}. (No saques el promedio de 55 y 65).

Compartir un costo. Una cabaña de $1200 dividida en partes iguales entre n amigos cuesta \dfrac{1200}{n} a cada uno. Si se unen 3 amigos más, cada uno paga \dfrac{1200}{n + 3}. El "+3" va en el denominador porque cambia el número de personas, no el precio.

Mezclas. Una bebida de 40 onzas contiene 8 onzas de concentrado de jugo. Si se agregan x onzas de concentrado, la concentración es

\frac{8 + x}{40 + x}

Agregar concentrado aumenta el concentrado y también el total.

Mixture picture, drawn for x = 10: a 40-ounce drink with 8 ounces of concentrate (red). Adding x ounces of concentrate raises both the concentrate to 8 + x and the total to 40 + x, so the concentration is (8 + x)/(40 + x).8 oz40 oz totaladd x ozconcentrate8 + x40 + x totalconcentration = (8 + x)/(40 + x)
Agregar concentrado: (8 + x)/(40 + x)

Problemas de trabajo: suma tasas, no tiempos

La idea clave: tasa = 1 trabajo ÷ tiempo. Si María pinta una cerca en 5 horas, pinta \tfrac{1}{5} de la cerca cada hora. Si José tarda x horas, pinta \tfrac{1}{x} por hora.

Cuando trabajan juntos, las tasas se suman:

\text{tasa combinada} = \frac{1}{5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{5x} \text{ cerca por hora}

El tiempo juntos es el recíproco de la tasa combinada:

\text{tiempo juntos} = \frac{5x}{x + 5} \text{ horas}
Work-rate flow: Maria's rate 1/5 plus José's rate 1/x equals the combined rate (x + 5)/(5x) fence per hour. Flip the combined rate to get the time together, 5x/(x + 5) hours. Add rates, not times.Maria's rate15+José's rate1x=combined ratex + 55xfliptime together5xx + 5Add RATES, not times.5 + x hours would be slowerthan either person alone.
Las tasas se suman y luego se voltean para obtener el tiempo juntos
PasoExpresión
Tasa de María\dfrac{1}{5}
Tasa de José\dfrac{1}{x}
Tasa combinada\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x + 5}{5x}
Tiempo juntos\dfrac{5x}{x + 5}

Dos trampas que debes evitar.

  • Sumar los tiempos (5 + x) significaría que trabajar juntos toma más tiempo que cualquiera de los dos solo. Eso no tiene sentido.
  • Detenerte en la tasa combinada responde "cuánto por hora", no "cuánto tiempo". Voltéala para obtener el tiempo.

Parte de un trabajo. En h horas, un trabajador con tasa \tfrac{1}{x} termina \dfrac{h}{x} del trabajo. En 3 horas, una impresora que necesita 12 horas para un trabajo termina \tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4} de él.

A job bar split into 12 one-hour parts; a printer that needs 12 hours does 1/12 of the job each hour. After 3 hours, 3 parts are shaded: 3/12 = 1/4 of the job.3 hourswhole job = 12 hours (1/12 per hour)done in 3 h: 3/12 = 1/4 of the job
3 de 12 horas hechas es 1/4 del trabajo
Fórmula

Fórmulas

d = rt \;\Rightarrow\; t = \frac{d}{r} \qquad \text{promedio} = \frac{\text{total}}{\text{cantidad}} \text{tasa de trabajo} = \frac{1}{\text{tiempo solo}} \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t} \;\Rightarrow\; t = \frac{ab}{a + b} \text{concentración} = \frac{\text{cantidad del ingrediente}}{\text{cantidad total}} \qquad \text{costo por persona} = \frac{\text{costo total}}{\text{número de personas}}
  • d = distancia, r = tasa (rapidez), t = tiempo; a, b = tiempos de cada trabajador solo.

En la hoja de fórmulas del GED®: d = rt y "costo total = (número de unidades) × (precio por unidad)". Memoriza la idea de la tasa de trabajo (sumar \tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}), la fracción de concentración y el costo por persona. No están impresos en la hoja.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Tiempo manejando

Leah maneja 150 millas a r millas por hora. (a) Escribe su tiempo manejando. (b) Escribe su tiempo si maneja 10 mph más rápido.

Example 1 time bars for 150 miles: at r = 50 mph the trip takes 150/50 = 3 hours; 10 mph faster, at 60 mph, it takes 150/60 = 2.5 hours. The faster trip has the shorter bar.150/r = 150/50 = 3 hr = 50 mph150/60 = 2.5 hr + 10 = 600 h1 h2 h3 hSame 150 miles: faster speed, shorter bar
Barras de tiempo para 150 millas a 50 y 60 mph
  1. (a) t = \dfrac{d}{r} = \dfrac{150}{r} horas.
  2. (b) Nueva rapidez: r + 10. Nuevo tiempo: \dfrac{150}{r + 10} horas.

Respuesta: (a) \dfrac{150}{r}; (b) \dfrac{150}{r + 10}

Comprobación: Si r = 50: (a) 3 horas ✓ (50 \times 3 = 150); (b) \dfrac{150}{60} = 2.5 horas ✓: más rápido significa menos tiempo.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (vida real): Ida y vuelta en un río

Un bote viaja a 12 mph en agua tranquila. Recorre 30 millas río arriba contra una corriente de c mph y luego regresa. Escribe el tiempo total como una sola fracción.

Example 2 river diagram with current c = 3 mph flowing right. Upstream against the current the 12-mph boat goes 12 − 3 = 9 mph, so 30 miles takes 3 and 1/3 hours. Downstream it goes 12 + 3 = 15 mph, so 30 miles takes 2 hours. Total 5 and 1/3 hours = 720/(144 − 9).currentc = 3 mphupstream (against): 12 − 3 = 9 mph; 30/9 = 3⅓ hdownstream (with): 12 + 3 = 15 mph; 30/15 = 2 htotal 5⅓ h = 720/(144 − 9) = 720/135
Río arriba y río abajo con una corriente de 3 mph
  1. Rapidez río arriba: 12 - c; tiempo \dfrac{30}{12 - c}.
  2. Rapidez río abajo: 12 + c; tiempo \dfrac{30}{12 + c}.
  3. Total: \dfrac{30}{12 - c} + \dfrac{30}{12 + c}. Denominador común = (12 - c)(12 + c) = 144 - c^2.
  4. Numeradores: 30(12 + c) + 30(12 - c) = 360 + 30c + 360 - 30c = 720.

Respuesta: \dfrac{720}{144 - c^2} horas

Comprobación: c = 3: \dfrac{30}{9} + \dfrac{30}{15} = 3.\overline{3} + 2 = 5.\overline{3}; y \dfrac{720}{135} = 5.\overline{3} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (trabaja hacia atrás): La calificación necesaria

Las 4 calificaciones de examen de Jordan tienen un promedio de 82. (a) Escribe una expresión para su promedio después de un quinto examen con calificación x. (b) ¿Qué calificación necesita para tener un promedio de 85?

Example 3 tape model: four tests totalling 328 plus a fifth score x = 97 make 425, the same length as five equal parts of 85. New average = (328 + x)/5.4 tests: 4 × 82 = 328x = 978585858585total 425 = 5 × 85new average = (328 + x)/5
Modelo de cinta: 328 + x = 5 × 85
  1. Total hasta ahora: 4 \times 82 = 328.
  2. (a) Nuevo promedio: \dfrac{328 + x}{5}.
  3. (b) Iguálalo a 85: \dfrac{328 + x}{5} = 85.
  4. Multiplica por 5: 328 + x = 425, así que x = 97.

Respuesta: (a) \dfrac{328 + x}{5}; (b) 97

Comprobación: \dfrac{328 + 97}{5} = \dfrac{425}{5} = 85 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): Pintar juntos

María puede pintar una cerca en 5 horas. José puede pintarla en x horas. Escribe una expresión para el tiempo que necesitan trabajando juntos.

Example 4 bar model with x = 20: the fence is split into 20 equal parts. Each hour Maria paints 4 parts (1/5, blue) and José paints 1 part (1/20, green). After 4 hours all 20 parts are done, matching 5x/(x + 5) = 100/25 = 4 hours.hour 1hour 2hour 3hour 4Maria: 1/5 = 4/20 per hourJosé (x = 20): 1/20 per hour4 hours: Maria 16/20 = 4/5, José 4/20 = 1/5, total 1 fence5x/(x + 5) = 100/25 = 4 hours
Barra de la cerca: María y José la pintan en 4 horas
  1. Tasas: María \dfrac{1}{5}, José \dfrac{1}{x} de cerca por hora.
  2. Tasa combinada: \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{5x} + \dfrac{5}{5x} = \dfrac{x + 5}{5x}.
  3. Tiempo = recíproco de la tasa: \dfrac{5x}{x + 5}.

Respuesta: \dfrac{5x}{x + 5} horas

Comprobación: Si x = 20: \dfrac{100}{25} = 4 horas. En 4 horas María hace \tfrac{4}{5} y José \tfrac{4}{20} = \tfrac{1}{5}; total, 1 cerca ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Cuánto ahorra cada persona

Un grupo de n amigos alquila una cabaña por $1200 y divide el costo en partes iguales. Luego se unen 3 amigos más y el costo se vuelve a dividir. Escribe una sola fracción para lo que ahorra cada amigo original.

Example 5 with n = 5: a 1200 dollars bar split into 5 shares of 240 dollars, and the same bar split into 8 shares of 150 dollars. The red bracket shows each original friend saves 240 dollars − 150 dollars = 90 dollars, matching 3600/(n(n + 3)) = 3600/40 = 90.$240$240$240$240$240n = 5 friends$150$150$150$150$150$150$150$150n + 3 = 8$1200 cabinsaves $901200/n − 1200/(n + 3) = 3600/(n(n + 3)) = 3600/40 = 90
\$1200 dividido entre 5 comparado con dividido entre 8
  1. Parte original: \dfrac{1200}{n}.
  2. Parte nueva: \dfrac{1200}{n + 3}.
  3. Ahorro: \dfrac{1200}{n} - \dfrac{1200}{n + 3}. Denominador común = n(n + 3).
  4. Numerador: 1200(n + 3) - 1200n = 1200n + 3600 - 1200n = 3600.

Respuesta: \dfrac{3600}{n(n + 3)} dólares

Comprobación: n = 5: original $240, nueva \dfrac{1200}{8} = \$150, ahorro $90; fórmula \dfrac{3600}{5 \cdot 8} = 90 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: prueba la expresión con números reales

La TI-30XS MultiView del GED® no puede escribir expresiones, pero sí puede confirmar una. Elige un valor fácil para la variable, resuelve la situación directamente y compárala con la expresión.

  1. Elige un valor sencillo, como r = 50 en un problema de manejar o n = 5 en un problema de compartir.
  2. Usa la tecla n/d para las fracciones: presiona n/d, escribe el numerador, presiona la flecha hacia abajo, escribe el denominador y presiona la flecha hacia la derecha.
  3. Comprobación del Ejemplo 5: n/d 3600 ▼ 5 × 8 ▶ enter → 90.
  4. Presiona toggle para cambiar entre resultados en fracción y en decimal.

Cuándo no usarla: elegir la expresión correcta depende de leer bien la situación, así que primero plantea la expresión en papel. Evita valores de prueba que hagan que un denominador sea 0 (como c = 12 en el problema del río).

Error común

Errores comunes

  • Multiplicar en vez de dividir. Incorrecto: tiempo = 240r. Correcto: \dfrac{240}{r}. Comprueba: más rápido debe significar menos tiempo.
  • Voltear la fracción. Incorrecto: tiempo = \dfrac{r}{240}. Correcto: la distancia arriba, la rapidez abajo.
  • Sumar tiempos en un problema de trabajo. Incorrecto: juntos tardan 5 + x horas. Correcto: suma las tasas, \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{x}, y luego voltea: \dfrac{5x}{x + 5}.
  • Olvidar actualizar la cantidad. Cinco calificaciones suman 410 y luego se agregan n calificaciones más de 95. Incorrecto: nuevo promedio = \dfrac{410 + 95n}{5}. Correcto: \dfrac{410 + 95n}{5 + n}.
  • Poner un cambio fuera de la fracción. Una cuenta de $90 se divide entre n personas y luego se unen 2 personas más. Incorrecto: cada una paga \dfrac{90}{n} - 2. Correcto: \dfrac{90}{n + 2}.
  • Confundir río arriba y río abajo. Río arriba es en contra de la corriente: resta c. Río abajo es a favor: suma c.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Pregúntate "¿dividido entre qué?". Busca la cantidad que divide (rapidez, número de personas, número de exámenes). Esa va en el denominador.
  • Prueba con un número. Elige un valor, resuelve la situación con aritmética simple y fíjate qué opción coincide. En muchas preguntas esto es mejor que el álgebra.
  • Usa el sentido común para eliminar. Más ayudantes debe significar menos tiempo; más personas debe significar una parte más pequeña; más rapidez debe significar un viaje más corto.
  • Revisa qué te piden: ¿tiempo o tasa? ¿Parte nueva o ahorro? ¿Promedio o total?
  • Unidades: si las rapideces están en mph y te piden la respuesta en minutos, multiplica las horas por 60 al final.
  • Manejo del tiempo: plantea la expresión en menos de un minuto; si dos opciones se parecen, prueba las dos con el mismo número.

Compruébalo

Escribir expresiones racionales a partir de un contextoSin calculadora

A truck driver travels 240 miles at an average speed of r miles per hour. Which expression represents the driving time, in hours?

Opciones de respuesta
Pista

Start with d = rt and solve for t.

Ver en español

Pregunta

Un camionero recorre 240 millas a una rapidez promedio de r millas por hora. ¿Qué expresión representa el tiempo manejando, en horas?

Opciones

  • A. \dfrac{240}{r}
  • B. 240r
  • C. \dfrac{r}{240}
  • D. 240 - r
Pista

Empieza con d = rt y despeja t.

Compruébalo

Escribir expresiones racionales a partir de un contextoSin calculadora

A group of n coworkers plans to split the cost of a $90 gift equally. Then 2 more coworkers join the group. Which expression represents the amount each person now pays, in dollars?

Opciones de respuesta
Pista

How many people are sharing the cost now?

Ver en español

Pregunta

Un grupo de n compañeros de trabajo planea dividir en partes iguales el costo de un regalo de $90. Luego se unen 2 compañeros más al grupo. ¿Qué expresión representa la cantidad que paga ahora cada persona, en dólares?

Opciones

  • A. \dfrac{90}{n} + 2
  • B. \dfrac{90}{n + 2}
  • C. \dfrac{92}{n}
  • D. \dfrac{90}{n} - 2
Pista

¿Cuántas personas comparten el costo ahora?

Resumen

  • Tiempo = distancia ÷ rapidez; primero cambia la rapidez (por ejemplo, r + 10, 12 - c) y luego divide.
  • Promedio = total ÷ cantidad; cuando se agregan elementos, actualiza los dos.
  • Trabajo: las tasas se suman (\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b}); el tiempo juntos es el recíproco, \dfrac{ab}{a + b}.
  • Por persona = total ÷ personas; los cambios en el tamaño del grupo van en el denominador.
  • Combina diferencias como el "tiempo ahorrado" con un denominador común, y siempre comprueba con un número de prueba.
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