A truck driver travels 240 miles at an average speed of r miles per hour. Which expression represents the driving time, in hours?
Pista
Start with d = rt and solve for t.
Solución paso a paso
Use distance = rate × time: 240 = r \cdot t.
Solve for time by dividing both sides by r: t = \dfrac{240}{r}.
Answer: \dfrac{240}{r}
Check: If r = 60 mph, the time is \dfrac{240}{60} = 4 hours, and 60 \times 4 = 240 miles ✓. A faster speed (larger r) gives a smaller time, which makes sense.
Tip: Time is always distance on top, speed on the bottom. Test any choice with a friendly speed; 240r would give 14,400 hours.
Explicación
Usa distancia = rapidez × tiempo: 240 = r \cdot t.
Despeja el tiempo dividiendo los dos lados entre r: t = \dfrac{240}{r}.
Respuesta: \dfrac{240}{r}
Comprobación: Si r = 60 mph, el tiempo es \dfrac{240}{60} = 4 horas, y 60 \times 4 = 240 millas ✓. Una rapidez mayor (r más grande) da un tiempo menor, lo cual tiene sentido.
Consejo: El tiempo siempre es la distancia arriba y la rapidez abajo. Prueba cualquier opción con una rapidez fácil; 240r daría 14,400 horas.
Ver en español
Pregunta
Un camionero recorre 240 millas a una rapidez promedio de r millas por hora. ¿Qué expresión representa el tiempo manejando, en horas?
Opciones
A.\dfrac{240}{r}
B.240r
C.\dfrac{r}{240}
D.240 - r
Pista
Empieza con d = rt y despeja t.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadora
A group of n coworkers plans to split the cost of a $90 gift equally. Then 2 more coworkers join the group. Which expression represents the amount each person now pays, in dollars?
Pista
How many people are sharing the cost now?
Solución paso a paso
The total cost stays $90.
The number of people changes from n to n + 2.
Each person's share = total ÷ number of people = \dfrac{90}{n + 2}.
Answer: \dfrac{90}{n + 2}
Check: If n = 4, there are now 6 people, and each pays \dfrac{90}{6} = \$15. The expression gives \dfrac{90}{4 + 2} = 15 ✓.
Tip: A change in the number of people belongs in the denominator, because it changes what you divide by.
Explicación
El costo total sigue siendo $90.
El número de personas cambia de n a n + 2.
La parte de cada persona = total ÷ número de personas = \dfrac{90}{n + 2}.
Respuesta: \dfrac{90}{n + 2}
Comprobación: Si n = 4, ahora hay 6 personas, y cada una paga \dfrac{90}{6} = \$15. La expresión da \dfrac{90}{4 + 2} = 15 ✓.
Consejo: Un cambio en el número de personas va en el denominador, porque cambia aquello entre lo que divides.
Ver en español
Pregunta
Un grupo de n compañeros de trabajo planea dividir en partes iguales el costo de un regalo de $90. Luego se unen 2 compañeros más al grupo. ¿Qué expresión representa la cantidad que paga ahora cada persona, en dólares?
Opciones
A.\dfrac{90}{n} + 2
B.\dfrac{90}{n + 2}
C.\dfrac{92}{n}
D.\dfrac{90}{n} - 2
Pista
¿Cuántas personas comparten el costo ahora?
Pregunta 3 de 36
Sin calculadoraCompletar
Rosa's first three test scores were 78, 85 and 90. Her score on the fourth test is x. Her average for all four tests can be written as
\frac{k + x}{4}
What is the value of k?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
An average is the total of the scores divided by how many scores there are. What is the total of the three known scores?
Solución paso a paso
Average = (sum of all scores) ÷ (number of scores).
Sum of the four scores: 78 + 85 + 90 + x.
Add the known scores: 78 + 85 = 163, and 163 + 90 = 253.
Average = \dfrac{253 + x}{4}, so k = 253.
Answer: k = 253
Check: If x = 95, the average is \dfrac{253 + 95}{4} = \dfrac{348}{4} = 87. Directly: (78 + 85 + 90 + 95) \div 4 = 348 \div 4 = 87 ✓.
Tip: In an average expression, the numerator is the total and the denominator is the count. Both must include the new item.
Explicación
Promedio = (suma de todas las calificaciones) ÷ (número de calificaciones).
Suma de las cuatro calificaciones: 78 + 85 + 90 + x.
Suma las calificaciones conocidas: 78 + 85 = 163, y 163 + 90 = 253.
Promedio = \dfrac{253 + x}{4}, así que k = 253.
Respuesta: k = 253
Comprobación: Si x = 95, el promedio es \dfrac{253 + 95}{4} = \dfrac{348}{4} = 87. Directamente: (78 + 85 + 90 + 95) \div 4 = 348 \div 4 = 87 ✓.
Consejo: En una expresión de promedio, el numerador es el total y el denominador es la cantidad de datos. Los dos deben incluir el dato nuevo.
Ver en español
Pregunta
Las tres primeras calificaciones de examen de Rosa fueron 78, 85 y 90. Su calificación en el cuarto examen es x. Su promedio de los cuatro exámenes se puede escribir como
\frac{k + x}{4}
¿Cuál es el valor de k?
Pista
Un promedio es el total de las calificaciones dividido entre cuántas calificaciones hay. ¿Cuál es el total de las tres calificaciones conocidas?
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
An office printer prints p pages per minute. Which expression represents the number of minutes it takes to print a 450-page report?
Pista
Think of easy numbers: if the printer did 10 pages per minute, how would you find the minutes for 450 pages?
Solución paso a paso
Time = (amount of work) ÷ (rate of work).
The amount of work is 450 pages. The rate is p pages per minute.
So the time is \dfrac{450}{p} minutes.
Units check: \dfrac{\text{pages}}{\text{pages per minute}} = \text{minutes} ✓.
Answer: \dfrac{450}{p}
Check: Try p = 30: \dfrac{450}{30} = 15 minutes. And 30 pages each minute for 15 minutes is 30 \times 15 = 450 pages ✓. The expression \dfrac{p}{450} would give \tfrac{1}{15} of a minute — far too fast.
Tip: When you are unsure how to write an expression, replace the variable with a simple number, solve that easy problem, and then put the variable back where the number was.
Explicación
Tiempo = (cantidad de trabajo) ÷ (tasa de trabajo).
La cantidad de trabajo es 450 páginas. La tasa es p páginas por minuto.
Entonces, el tiempo es \dfrac{450}{p} minutos.
Comprobación de unidades: \dfrac{\text{páginas}}{\text{páginas por minuto}} = \text{minutos} ✓.
Respuesta: \dfrac{450}{p}
Comprobación: Prueba con p = 30: \dfrac{450}{30} = 15 minutos. Y 30 páginas por minuto durante 15 minutos son 30 \times 15 = 450 páginas ✓. La expresión \dfrac{p}{450} daría \tfrac{1}{15} de minuto, demasiado rápido.
Consejo: Cuando no estés seguro de cómo escribir una expresión, reemplaza la variable por un número sencillo, resuelve ese problema fácil y luego vuelve a poner la variable donde estaba el número.
Ver en español
Pregunta
Una impresora de oficina imprime p páginas por minuto. ¿Qué expresión representa el número de minutos que tarda en imprimir un informe de 450 páginas?
Opciones
A.\dfrac{450}{p}
B.450p
C.\dfrac{p}{450}
D.450 - p
Pista
Piensa en números fáciles: si la impresora hiciera 10 páginas por minuto, ¿cómo hallarías los minutos para 450 páginas?
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
A small plane flies at 180 miles per hour in still air. On a trip of 450 miles, it flies directly into a headwind of w miles per hour. Which expression represents the flight time, in hours?
Pista
A headwind pushes against the plane. Does that make its speed over the ground larger or smaller than 180 mph?
Solución paso a paso
Flying into a headwind slows the plane down, so its ground speed is 180 - w miles per hour.
Time = distance ÷ speed.
So the flight time is \dfrac{450}{180 - w} hours.
Answer: \dfrac{450}{180 - w}
Check: Try w = 30: ground speed 150 mph, time \dfrac{450}{150} = 3 hours. With no wind it would take \dfrac{450}{180} = 2.5 hours, so the headwind makes the trip longer ✓.
Tip: A headwind or an upstream current is subtracted from the speed; a tailwind or a downstream current is added. The change goes inside the denominator, with the speed.
Explicación
Volar contra un viento de frente hace más lenta a la avioneta, así que su rapidez respecto al suelo es 180 - w millas por hora.
Tiempo = distancia ÷ rapidez.
Entonces, el tiempo de vuelo es \dfrac{450}{180 - w} horas.
Respuesta: \dfrac{450}{180 - w}
Comprobación: Prueba con w = 30: rapidez respecto al suelo 150 mph, tiempo \dfrac{450}{150} = 3 horas. Sin viento tardaría \dfrac{450}{180} = 2.5 horas, así que el viento de frente alarga el viaje ✓.
Consejo: Un viento de frente o una corriente río arriba se resta de la rapidez; un viento de cola o una corriente río abajo se suma. El cambio va dentro del denominador, junto con la rapidez.
Ver en español
Pregunta
Una avioneta vuela a 180 millas por hora en aire tranquilo. En un viaje de 450 millas, vuela directamente contra un viento de frente de w millas por hora. ¿Qué expresión representa el tiempo de vuelo, en horas?
Opciones
A.\dfrac{450}{180 + w}
B.\dfrac{450}{180 - w}
C.\dfrac{450}{180} - w
D.\dfrac{180 - w}{450}
Pista
Un viento de frente empuja contra la avioneta. ¿Eso hace que su rapidez respecto al suelo sea mayor o menor que 180 mph?
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Several families plan to share the $1,500 cost of a lake cabin equally. At first there are f families. Then 1 family drops out. Which expression represents the amount each remaining family pays, in dollars?
Pista
How many families are left to share the cost? That number is what you divide by.
Solución paso a paso
The total cost stays the same: $1,500.
One family leaves, so the number of families sharing is f - 1.
Each family's share = total ÷ number of families = \dfrac{1500}{f - 1}.
Answer: \dfrac{1500}{f - 1}
Check: Suppose f = 6. Then 5 families pay \dfrac{1500}{5} = 300 dollars each, and 5 \times 300 = 1500 ✓. With 6 families each would pay $250, so the share goes up when someone leaves — which matches the expression.
Tip: A change in the number of people changes the denominator. Write the new count first, in parentheses, then divide the total by it.
Explicación
El costo total sigue igual: $1,500.
Una familia se retira, así que el número de familias que comparten es f - 1.
La parte de cada familia = total ÷ número de familias = \dfrac{1500}{f - 1}.
Respuesta: \dfrac{1500}{f - 1}
Comprobación: Supón que f = 6. Entonces 5 familias pagan \dfrac{1500}{5} = 300 dólares cada una, y 5 \times 300 = 1500 ✓. Con 6 familias, cada una pagaría $250, así que la parte sube cuando alguien se retira, lo cual coincide con la expresión.
Consejo: Un cambio en el número de personas cambia el denominador. Escribe primero el nuevo número, entre paréntesis, y luego divide el total entre él.
Ver en español
Pregunta
Varias familias planean dividir en partes iguales el costo de $1,500 de una cabaña junto al lago. Al principio hay f familias. Luego 1 familia se retira. ¿Qué expresión representa la cantidad que paga cada familia que queda, en dólares?
Opciones
A.\dfrac{1500}{f} - 1
B.\dfrac{1500}{f + 1}
C.\dfrac{1500}{f - 1}
D.\dfrac{1499}{f}
Pista
¿Cuántas familias quedan para compartir el costo? Ese es el número entre el que divides.
Pregunta 7 de 36
Sin calculadora
A food truck pays $350 a day for its permit and parking. Ingredients cost $2.50 per meal. Which expression represents the average cost per meal, in dollars, on a day when the truck sells m meals?
Pista
First write the total cost for the day. Then divide by the number of meals.
Solución paso a paso
Fixed cost for the day: $350 (it does not depend on m).
Ingredient cost for m meals: 2.50m dollars.
Total daily cost: 350 + 2.50m.
Average cost per meal = total ÷ number of meals = \dfrac{350 + 2.50m}{m}.
Answer: \dfrac{350 + 2.50m}{m}
Check: For m = 100 meals: \dfrac{350 + 250}{100} = \dfrac{600}{100} = 6 dollars per meal. In words: $3.50 of fixed cost per meal plus $2.50 of ingredients is $6 ✓.
Tip: Average cost = (fixed cost + cost per item × number of items) ÷ number of items. The per-item cost is multiplied by the variable; the fixed cost is not.
Explicación
Costo fijo del día: $350 (no depende de m).
Costo de los ingredientes para m comidas: 2.50m dólares.
Costo total del día: 350 + 2.50m.
Costo promedio por comida = total ÷ número de comidas = \dfrac{350 + 2.50m}{m}.
Respuesta: \dfrac{350 + 2.50m}{m}
Comprobación: Para m = 100 comidas: \dfrac{350 + 250}{100} = \dfrac{600}{100} = 6 dólares por comida. En palabras: $3.50 de costo fijo por comida más $2.50 de ingredientes son $6 ✓.
Consejo: Costo promedio = (costo fijo + costo por artículo × número de artículos) ÷ número de artículos. El costo por artículo se multiplica por la variable; el costo fijo no.
Ver en español
Pregunta
Un camión de comida paga $350 al día por su permiso y estacionamiento. Los ingredientes cuestan $2.50 por comida. ¿Qué expresión representa el costo promedio por comida, en dólares, un día en que el camión vende m comidas?
Opciones
A.350 + 2.50m
B.\dfrac{350 + 2.50}{m}
C.\dfrac{350m + 2.50}{m}
D.\dfrac{350 + 2.50m}{m}
Pista
Primero escribe el costo total del día. Luego divide entre el número de comidas.
Pregunta 8 de 36
A boat travels at 15 miles per hour in still water. On a river with a current of c miles per hour, the boat travels 36 miles upstream. Which expression represents the time for this trip, in hours?
Pista
Going upstream means going against the current. What is the boat's actual speed?
Solución paso a paso
Upstream means against the current, so the current slows the boat: speed = 15 - c mph.
Time = distance ÷ speed = \dfrac{36}{15 - c}.
Answer: \dfrac{36}{15 - c}
Check: If c = 3, the boat moves at 12 mph upstream, and 36 \div 12 = 3 hours. The expression gives \dfrac{36}{15 - 3} = 3 ✓.
Tip: Upstream: subtract the current. Downstream: add the current. Then divide the distance by that speed.
Explicación
Río arriba significa contra la corriente, así que la corriente frena el bote: rapidez = 15 - c mph.
Tiempo = distancia ÷ rapidez = \dfrac{36}{15 - c}.
Respuesta: \dfrac{36}{15 - c}
Comprobación: Si c = 3, el bote avanza a 12 mph río arriba, y 36 \div 12 = 3 horas. La expresión da \dfrac{36}{15 - 3} = 3 ✓.
Consejo: Río arriba: resta la corriente. Río abajo: suma la corriente. Luego divide la distancia entre esa rapidez.
Ver en español
Pregunta
Un bote viaja a 15 millas por hora en agua tranquila. En un río con una corriente de c millas por hora, el bote recorre 36 millas río arriba. ¿Qué expresión representa el tiempo de este viaje, en horas?
Opciones
A.\dfrac{36}{15 + c}
B.36(15 - c)
C.\dfrac{15 - c}{36}
D.\dfrac{36}{15 - c}
Pista
Ir río arriba significa ir en contra de la corriente. ¿Cuál es la rapidez real del bote?
Pregunta 9 de 36
Menú
Pipe A can fill a tank in 6 hours. Pipe B can fill the same tank in x hours.
Working together, the fraction of the tank the two pipes fill in one hour is .
The number of hours they need to fill the tank together is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Each pipe's rate is 1 tank divided by its time. Rates add. Time is the reciprocal of the rate.
Solución paso a paso
Pipe A's rate: \dfrac{1}{6} tank per hour. Pipe B's rate: \dfrac{1}{x} tank per hour.
Time = 1 tank ÷ rate = reciprocal of the rate: \dfrac{6x}{x + 6} hours.
Answer: rate \dfrac{x + 6}{6x}; time \dfrac{6x}{x + 6}
Check: If x = 3: rate = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2} tank per hour, so time = 2 hours. The time expression gives \dfrac{18}{9} = 2 ✓. In 2 hours, A fills \tfrac{2}{6} and B fills \tfrac{2}{3}; total 1 ✓.
Tip: Add rates, never times. Together must be faster than either pipe alone.
Explicación
Tasa del tubo A: \dfrac{1}{6} de tanque por hora. Tasa del tubo B: \dfrac{1}{x} de tanque por hora.
Tiempo = 1 tanque ÷ tasa = recíproco de la tasa: \dfrac{6x}{x + 6} horas.
Respuesta: tasa \dfrac{x + 6}{6x}; tiempo \dfrac{6x}{x + 6}
Comprobación: Si x = 3: tasa = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2} tanque por hora, así que el tiempo = 2 horas. La expresión del tiempo da \dfrac{18}{9} = 2 ✓. En 2 horas, A llena \tfrac{2}{6} y B llena \tfrac{2}{3}; total 1 ✓.
Consejo: Suma tasas, nunca tiempos. Juntos deben ser más rápidos que cualquiera de los tubos solo.
Ver en español
Pregunta
El tubo A puede llenar un tanque en 6 horas. El tubo B puede llenar el mismo tanque en x horas.
Trabajando juntos, la fracción del tanque que llenan los dos tubos en una hora es _____.
El número de horas que necesitan para llenar el tanque juntos es _____.
Opciones
(x + 6)/(6x)
1/(6 + x)
2/(6 + x)
(6 + x)/2
6x/(x + 6)
(x + 6)/(6x)
6 + x
(6 + x)/2
Pista
La tasa de cada tubo es 1 tanque dividido entre su tiempo. Las tasas se suman. El tiempo es el recíproco de la tasa.
Pregunta 10 de 36
A student has earned a total of 410 points on 5 quizzes. Suppose she scores 95 points on each of her next n quizzes. Which expression represents her average score per quiz after those n quizzes?
Pista
Average = total points ÷ number of quizzes. Both the total and the number of quizzes change.
Solución paso a paso
New points: 95 on each of n quizzes = 95n.
New total: 410 + 95n.
New number of quizzes: 5 + n.
Average = \dfrac{410 + 95n}{5 + n}.
Answer: \dfrac{410 + 95n}{5 + n}
Check: If n = 1: total = 505 over 6 quizzes, average \approx 84.2. The expression gives \dfrac{505}{6} \approx 84.2 ✓.
Tip: When new items are added to an average, update the numerator and the denominator.
Explicación
Puntos nuevos: 95 en cada una de n pruebas = 95n.
Nuevo total: 410 + 95n.
Nuevo número de pruebas: 5 + n.
Promedio = \dfrac{410 + 95n}{5 + n}.
Respuesta: \dfrac{410 + 95n}{5 + n}
Comprobación: Si n = 1: total = 505 en 6 pruebas, promedio \approx 84.2. La expresión da \dfrac{505}{6} \approx 84.2 ✓.
Consejo: Cuando se agregan datos nuevos a un promedio, actualiza el numerador y el denominador.
Ver en español
Pregunta
Una estudiante ha obtenido un total de 410 puntos en 5 pruebas cortas. Supón que saca 95 puntos en cada una de sus próximas n pruebas. ¿Qué expresión representa su puntuación promedio por prueba después de esas n pruebas?
Opciones
A.\dfrac{410 + 95n}{5 + n}
B.\dfrac{410 + 95n}{5}
C.\dfrac{410 + 95}{5 + n}
D.\dfrac{82 + 95}{2}
Pista
Promedio = total de puntos ÷ número de pruebas. Cambian tanto el total como el número de pruebas.
Pregunta 11 de 36
Varias respuestas
Kim drives 120 miles to a conference at r miles per hour. Because of traffic, she drives home on the same route 10 miles per hour slower. Select all expressions that represent her total driving time, in hours.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Write the time for each direction as distance ÷ speed, then add. One correct choice is the same sum combined into a single fraction.
Solución paso a paso
Time there: \dfrac{120}{r}.
Speed home: r - 10, so time home: \dfrac{120}{r - 10}.
Check: Let r = 60: there = 2 h, home = \dfrac{120}{50} = 2.4 h, total 4.4 h. Single fraction: \dfrac{14400 - 1200}{60 \cdot 50} = \dfrac{13200}{3000} = 4.4 ✓. The other choices give \dfrac{240}{110} \approx 2.18, 4, and 2 + \dfrac{120}{70} \approx 3.71.
Tip: Each leg of a trip gets its own time fraction. Never combine the speeds before dividing.
Explicación
Tiempo de ida: \dfrac{120}{r}.
Rapidez de regreso: r - 10, así que el tiempo de regreso es \dfrac{120}{r - 10}.
Total: \dfrac{120}{r} + \dfrac{120}{r - 10}.
Como una sola fracción, con mínimo común denominador = r(r - 10): \dfrac{120(r - 10) + 120r}{r(r - 10)} = \dfrac{120r - 1200 + 120r}{r(r - 10)} = \dfrac{240r - 1200}{r(r - 10)}.
Comprobación: Sea r = 60: ida = 2 h, regreso = \dfrac{120}{50} = 2.4 h, total 4.4 h. Una sola fracción: \dfrac{14400 - 1200}{60 \cdot 50} = \dfrac{13200}{3000} = 4.4 ✓. Las otras opciones dan \dfrac{240}{110} \approx 2.18, 4 y 2 + \dfrac{120}{70} \approx 3.71.
Consejo: Cada tramo de un viaje tiene su propia fracción de tiempo. Nunca combines las rapideces antes de dividir.
Ver en español
Pregunta
Kim maneja 120 millas hasta una conferencia a r millas por hora. Por el tráfico, regresa a casa por la misma ruta 10 millas por hora más despacio. Selecciona todas las expresiones que representan su tiempo total manejando, en horas.
Opciones
A.\dfrac{120}{r} + \dfrac{120}{r - 10}
B.\dfrac{240r - 1200}{r(r - 10)}
C.\dfrac{240}{2r - 10}
D.\dfrac{240}{r}
E.\dfrac{120}{r} + \dfrac{120}{r + 10}
Pista
Escribe el tiempo de cada trayecto como distancia ÷ rapidez y luego suma. Una opción correcta es la misma suma combinada en una sola fracción.
Pregunta 12 de 36
Completar
A bus travels for 2 hours at 55 miles per hour and then for t hours at 65 miles per hour. Its average speed for the whole trip is
\frac{110 + 65t}{2 + t}
miles per hour. What is the bus's average speed, in miles per hour, if t = 3?
mph
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The numerator is the total distance and the denominator is the total time. Substitute t = 3 into both.
Solución paso a paso
The expression is total distance ÷ total time: the first leg is 55 \times 2 = 110 miles, the second is 65t miles, and the time is 2 + t hours.
Substitute t = 3 into the numerator: 110 + 65(3) = 110 + 195 = 305 miles.
Denominator: 2 + 3 = 5 hours.
Average speed = \dfrac{305}{5} = 61.
Answer: 61 mph
Check: Average speed is not \dfrac{55 + 65}{2} = 60, because more time (3 h) is spent at 65 mph than at 55 mph (2 h). So the answer should be a bit above 60 — and 61 is ✓.
Tip: Average speed is always total distance ÷ total time, never the plain average of the speeds unless the times are equal.
Explicación
La expresión es distancia total ÷ tiempo total: el primer tramo es 55 \times 2 = 110 millas, el segundo es 65t millas, y el tiempo es 2 + t horas.
Sustituye t = 3 en el numerador: 110 + 65(3) = 110 + 195 = 305 millas.
Denominador: 2 + 3 = 5 horas.
Rapidez promedio = \dfrac{305}{5} = 61.
Respuesta: 61 mph
Comprobación: La rapidez promedio no es \dfrac{55 + 65}{2} = 60, porque se pasa más tiempo (3 h) a 65 mph que a 55 mph (2 h). Así que la respuesta debe ser un poco más de 60, y 61 lo es ✓.
Consejo: La rapidez promedio siempre es distancia total ÷ tiempo total, nunca el promedio simple de las rapideces, a menos que los tiempos sean iguales.
Ver en español
Pregunta
Un autobús viaja 2 horas a 55 millas por hora y luego t horas a 65 millas por hora. Su rapidez promedio en todo el viaje es
\frac{110 + 65t}{2 + t}
millas por hora. ¿Cuál es la rapidez promedio del autobús, en millas por hora, si t = 3?
_____ mph
Pista
El numerador es la distancia total y el denominador es el tiempo total. Sustituye t = 3 en los dos.
Pregunta 13 de 36
Arrastrar y soltar
Drag each expression into the box for the situation it represents. Two expressions are not used.
Hours to bike 10 miles at x mph
Fraction of a job done in 1 hour if the job takes x hours
Hours to bike 10 miles at 2 mph faster than x mph
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Time is distance ÷ speed. A work rate is 1 job ÷ time.
Solución paso a paso
Biking 10 miles at x mph: time = \dfrac{10}{x}.
Job that takes x hours: in 1 hour you finish \dfrac{1}{x} of it.
2 mph faster means speed x + 2, so time = \dfrac{10}{x + 2}.
Not used: \dfrac{10}{x} + 2 (adds 2 hours instead of 2 mph) and \dfrac{x}{10} (upside down).
Check: Let x = 8: 10 miles at 8 mph takes 1.25 h ✓; a job taking 8 hours is \tfrac{1}{8} done per hour ✓; 10 miles at 10 mph takes 1 h, and \dfrac{10}{8 + 2} = 1 ✓.
Tip: A change in speed goes in the denominator with the speed. Adding outside the fraction changes the time instead.
Explicación
Recorrer 10 millas en bicicleta a x mph: tiempo = \dfrac{10}{x}.
Un trabajo que toma x horas: en 1 hora terminas \dfrac{1}{x} de él.
2 mph más rápido significa una rapidez de x + 2, así que el tiempo = \dfrac{10}{x + 2}.
No se usan: \dfrac{10}{x} + 2 (suma 2 horas en lugar de 2 mph) y \dfrac{x}{10} (está al revés).
Comprobación: Sea x = 8: 10 millas a 8 mph toman 1.25 h ✓; de un trabajo que toma 8 horas se hace \tfrac{1}{8} por hora ✓; 10 millas a 10 mph toman 1 h, y \dfrac{10}{8 + 2} = 1 ✓.
Consejo: Un cambio en la rapidez va en el denominador, junto con la rapidez. Sumar fuera de la fracción cambia el tiempo.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada expresión a la casilla de la situación que representa. Dos expresiones no se usan.
Horas para recorrer 10 millas en bicicleta a x mph
Fracción de un trabajo hecha en 1 hora si el trabajo toma x horas
Horas para recorrer 10 millas en bicicleta a 2 mph más que x mph
_____
_____
_____
Opciones
\dfrac{10}{x}
\dfrac{1}{x}
\dfrac{10}{x + 2}
\dfrac{10}{x} + 2
\dfrac{x}{10}
Pista
El tiempo es distancia ÷ rapidez. Una tasa de trabajo es 1 trabajo ÷ tiempo.
Pregunta 14 de 36
Sin calculadoraCompletar
Jada, a car salesperson, sold an average of 12 cars per month for her first 5 months. She sells x cars in month 6. Her average number of cars per month for all 6 months can be written as
\frac{a + x}{6}
What is the value of a?
a =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The numerator of an average is a total. How many cars did she sell in all during the first 5 months?
Solución paso a paso
An average is (total) ÷ (number of months).
For the first 5 months: average = \dfrac{\text{total}}{5} = 12, so the total is 12 \times 5 = 60 cars.
After month 6, the total is 60 + x cars and the number of months is 6.
So the 6-month average is \dfrac{60 + x}{6}, and a = 60.
Answer: a = 60
Check: If she sells x = 18 cars in month 6: \dfrac{60 + 18}{6} = \dfrac{78}{6} = 13. That is a little higher than 12, which makes sense because 18 is above her old average ✓.
Tip: You cannot add an average to a new value. Turn the average back into a total first: total = average × count.
Explicación
Un promedio es (total) ÷ (número de meses).
Para los primeros 5 meses: promedio = \dfrac{\text{total}}{5} = 12, así que el total es 12 \times 5 = 60 autos.
Después del mes 6, el total es 60 + x autos y el número de meses es 6.
Entonces, el promedio de 6 meses es \dfrac{60 + x}{6}, y a = 60.
Respuesta: a = 60
Comprobación: Si vende x = 18 autos en el mes 6: \dfrac{60 + 18}{6} = \dfrac{78}{6} = 13. Es un poco más que 12, lo cual tiene sentido porque 18 está por encima de su promedio anterior ✓.
Consejo: No puedes sumar un promedio con un valor nuevo. Primero convierte el promedio en un total: total = promedio × cantidad.
Ver en español
Pregunta
Jada, una vendedora de autos, vendió un promedio de 12 autos por mes en sus primeros 5 meses. En el mes 6 vende x autos. Su número promedio de autos por mes en los 6 meses se puede escribir como
\frac{a + x}{6}
¿Cuál es el valor de a?
a = _____
Pista
El numerador de un promedio es un total. ¿Cuántos autos vendió en total durante los primeros 5 meses?
Pregunta 15 de 36
Sin calculadora
A youth soccer team orders n jerseys. The average cost per jersey, in dollars, is
\frac{480 + 15n}{n}
What does the number 480 represent?
Pista
Which part of the cost stays the same no matter how many jerseys are ordered?
Solución paso a paso
The numerator, 480 + 15n, is the total cost of the order.
The term 15n grows with the number of jerseys, so $15 is the cost of each jersey.
The term 480 does not change with n. It is a one-time (fixed) cost, such as a design or setup fee.
The denominator, n, is the number of jerseys, so dividing gives the average cost per jersey.
Answer: a fixed cost of $480 that is paid no matter how many jerseys are ordered
Check: Order 10 jerseys: total 480 + 150 = 630. Order 20 jerseys: total 480 + 300 = 780. The difference is $150 for 10 more jerseys ($15 each), while the $480 is in both totals ✓.
Tip: In an expression like \dfrac{F + vn}{n}, the term with the variable is the per-item part, and the plain number is the fixed part.
Explicación
El numerador, 480 + 15n, es el costo total del pedido.
El término 15n crece con el número de camisetas, así que $15 es el costo de cada camiseta.
El término 480 no cambia con n. Es un costo único (fijo), como una cuota de diseño o de preparación.
El denominador, n, es el número de camisetas, así que al dividir se obtiene el costo promedio por camiseta.
Respuesta: un costo fijo de $480 que se paga sin importar cuántas camisetas se pidan
Comprobación: Pide 10 camisetas: total 480 + 150 = 630. Pide 20 camisetas: total 480 + 300 = 780. La diferencia es $150 por 10 camisetas más ($15 cada una), mientras que los $480 están en los dos totales ✓.
Consejo: En una expresión como \dfrac{F + vn}{n}, el término con la variable es la parte por artículo, y el número solo es la parte fija.
Ver en español
Pregunta
Un equipo juvenil de fútbol pide n camisetas. El costo promedio por camiseta, en dólares, es
\frac{480 + 15n}{n}
¿Qué representa el número 480?
Opciones
A. Un costo fijo de $480 que no depende del número de camisetas
B. El costo de cada camiseta
C. El costo total de n camisetas
D. El costo promedio por camiseta
Pista
¿Qué parte del costo se mantiene igual sin importar cuántas camisetas se pidan?
Pregunta 16 de 36
Sin calculadoraCompletar
During a 30-minute typing test, Ines types at 60 words per minute for the first 10 minutes and at w words per minute for the remaining 20 minutes. Her average typing speed, in words per minute, can be written as
\frac{600 + Bw}{30}
What is the value of B?
B =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Average speed = total words ÷ total minutes. How many words does she type in the last part of the test?
Solución paso a paso
Words in the first part: 60 \times 10 = 600 words.
Words in the second part: w words per minute for 20 minutes = 20w words.
Total words: 600 + 20w. Total time: 10 + 20 = 30 minutes.
Average speed = \dfrac{600 + 20w}{30}, so B = 20.
Answer: B = 20
Check: If w = 72: \dfrac{600 + 20(72)}{30} = \dfrac{600 + 1440}{30} = \dfrac{2040}{30} = 68 words per minute. That is between 60 and 72, and closer to 72 because she typed at 72 for longer ✓.
Tip: An overall rate is never found by averaging the two rates. Find the total amount and the total time, then divide.
Explicación
Palabras en la primera parte: 60 \times 10 = 600 palabras.
Palabras en la segunda parte: w palabras por minuto durante 20 minutos = 20w palabras.
Total de palabras: 600 + 20w. Tiempo total: 10 + 20 = 30 minutos.
Rapidez promedio = \dfrac{600 + 20w}{30}, así que B = 20.
Respuesta: B = 20
Comprobación: Si w = 72: \dfrac{600 + 20(72)}{30} = \dfrac{600 + 1440}{30} = \dfrac{2040}{30} = 68 palabras por minuto. Está entre 60 y 72, y más cerca de 72 porque escribió a 72 durante más tiempo ✓.
Consejo: Una tasa total nunca se halla promediando las dos tasas. Halla la cantidad total y el tiempo total, y luego divide.
Ver en español
Pregunta
Durante una prueba de mecanografía de 30 minutos, Ines escribe a 60 palabras por minuto los primeros 10 minutos y a w palabras por minuto los 20 minutos restantes. Su rapidez promedio de escritura, en palabras por minuto, se puede escribir como
\frac{600 + Bw}{30}
¿Cuál es el valor de B?
B = _____
Pista
Rapidez promedio = total de palabras ÷ total de minutos. ¿Cuántas palabras escribe en la última parte de la prueba?
Pregunta 17 de 36
Sin calculadora
A bakery has two mixers. The older mixer makes one batch of dough in 5 hours. The newer mixer makes one batch in h hours. Which expression represents the fraction of a batch the two mixers make together in 2 hours?
Pista
Find what fraction of a batch each mixer makes in 1 hour. Then think about 2 hours.
Solución paso a paso
Older mixer: \dfrac{1}{5} of a batch per hour, so in 2 hours: \dfrac{2}{5}.
Newer mixer: \dfrac{1}{h} of a batch per hour, so in 2 hours: \dfrac{2}{h}.
Together: \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{h}.
Common denominator 5h: \dfrac{2h}{5h} + \dfrac{10}{5h} = \dfrac{2h + 10}{5h}.
Answer: \dfrac{2h + 10}{5h}
Check: If h = 5 (both mixers equal), each makes \tfrac{2}{5} in 2 hours, together \tfrac{4}{5}. The expression: \dfrac{10 + 10}{25} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5} ✓.
Tip: Work-rate problems add rates (fractions of a job per hour), never times. Work done = rate × time.
Explicación
Batidora más vieja: \dfrac{1}{5} de tanda por hora, así que en 2 horas: \dfrac{2}{5}.
Batidora más nueva: \dfrac{1}{h} de tanda por hora, así que en 2 horas: \dfrac{2}{h}.
Juntas: \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{h}.
Denominador común 5h: \dfrac{2h}{5h} + \dfrac{10}{5h} = \dfrac{2h + 10}{5h}.
Respuesta: \dfrac{2h + 10}{5h}
Comprobación: Si h = 5 (las dos batidoras son iguales), cada una hace \tfrac{2}{5} en 2 horas; juntas, \tfrac{4}{5}. La expresión: \dfrac{10 + 10}{25} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5} ✓.
Consejo: En los problemas de trabajo se suman las tasas (fracciones de un trabajo por hora), nunca los tiempos. Trabajo hecho = tasa × tiempo.
Ver en español
Pregunta
Una panadería tiene dos batidoras. La batidora más vieja hace una tanda de masa en 5 horas. La batidora más nueva hace una tanda en h horas. ¿Qué expresión representa la fracción de una tanda que las dos batidoras hacen juntas en 2 horas?
Opciones
A.\dfrac{4}{5 + h}
B.\dfrac{2h + 10}{5h}
C.\dfrac{2}{5 + h}
D.\dfrac{5h}{2h + 10}
Pista
Halla qué fracción de una tanda hace cada batidora en 1 hora. Luego piensa en 2 horas.
Pregunta 18 de 36
Sin calculadora
Rafael drives 15 miles on the highway at an average speed of r miles per hour. He then drives 6 miles through town at a speed 25 miles per hour slower than his highway speed. Which expression represents his total driving time, in hours?
Pista
Write a separate time (distance ÷ speed) for each part of the drive, then add them.
Solución paso a paso
Highway time: \dfrac{15}{r} hours.
Town speed: 25 mph slower, so r - 25 mph.
Town time: \dfrac{6}{r - 25} hours.
Total time: \dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r - 25}.
Answer: \dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r - 25}
Check: Try r = 60: highway \dfrac{15}{60} = 0.25 h; town speed 35 mph, time \dfrac{6}{35} \approx 0.17 h; total about 0.42 h (25 minutes). Choice B would give \dfrac{21}{95} \approx 0.22 h, which is less than the highway part alone — impossible.
Tip: Each leg of a trip has its own distance and its own speed, so it needs its own fraction. Combine legs by adding times.
Explicación
Tiempo en la autopista: \dfrac{15}{r} horas.
Rapidez en el pueblo: 25 mph menos, así que r - 25 mph.
Tiempo en el pueblo: \dfrac{6}{r - 25} horas.
Tiempo total: \dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r - 25}.
Respuesta: \dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r - 25}
Comprobación: Prueba con r = 60: autopista \dfrac{15}{60} = 0.25 h; rapidez en el pueblo 35 mph, tiempo \dfrac{6}{35} \approx 0.17 h; total aproximadamente 0.42 h (25 minutos). La opción B daría \dfrac{21}{95} \approx 0.22 h, que es menos que solo la parte de la autopista: imposible.
Consejo: Cada tramo de un viaje tiene su propia distancia y su propia rapidez, así que necesita su propia fracción. Para combinar los tramos, suma los tiempos.
Ver en español
Pregunta
Rafael maneja 15 millas por la autopista a una rapidez promedio de r millas por hora. Luego maneja 6 millas por el pueblo a una rapidez 25 millas por hora menor que su rapidez en la autopista. ¿Qué expresión representa su tiempo total manejando, en horas?
Opciones
A.\dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r - 25}
B.\dfrac{21}{2r - 25}
C.\dfrac{21}{r}
D.\dfrac{15}{r} + \dfrac{6}{r + 25}
Pista
Escribe un tiempo separado (distancia ÷ rapidez) para cada parte del recorrido y luego súmalos.
Pregunta 19 de 36
Sin calculadora
A lab technician has 20 liters of a solution that is 30% acid. She adds x liters of pure water. Which expression represents the fraction of the new solution that is acid?
Pista
First find how many liters of acid there are. Does adding water change that amount? What happens to the total volume?
Solución paso a paso
Acid in the original solution: 30\% of 20 liters = 0.30 \times 20 = 6 liters.
Adding pure water does not change the amount of acid: still 6 liters.
Total volume after adding water: 20 + x liters.
Fraction that is acid = \dfrac{\text{acid}}{\text{total}} = \dfrac{6}{20 + x}.
Answer: \dfrac{6}{20 + x}
Check: If she adds x = 10 liters of water: \dfrac{6}{30} = 0.2 = 20\%. The solution got weaker (from 30% to 20%), which makes sense for added water ✓.
Tip: Concentration = (amount of the ingredient) ÷ (total amount). Adding water changes only the denominator; adding the ingredient itself changes both the numerator and the denominator.
Explicación
Ácido en la solución original: 30\% de 20 litros = 0.30 \times 20 = 6 litros.
Agregar agua pura no cambia la cantidad de ácido: siguen siendo 6 litros.
Volumen total después de agregar el agua: 20 + x litros.
Fracción que es ácido = \dfrac{\text{ácido}}{\text{total}} = \dfrac{6}{20 + x}.
Respuesta: \dfrac{6}{20 + x}
Comprobación: Si agrega x = 10 litros de agua: \dfrac{6}{30} = 0.2 = 20\%. La solución se hizo más débil (de 30% a 20%), lo cual tiene sentido al agregar agua ✓.
Consejo: Concentración = (cantidad del ingrediente) ÷ (cantidad total). Agregar agua cambia solo el denominador; agregar más del ingrediente cambia el numerador y el denominador.
Ver en español
Pregunta
Una técnica de laboratorio tiene 20 litros de una solución que es 30% ácido. Agrega x litros de agua pura. ¿Qué expresión representa la fracción de la nueva solución que es ácido?
Opciones
A.\dfrac{6 + x}{20 + x}
B.\dfrac{0.3}{20 + x}
C.\dfrac{6}{20 - x}
D.\dfrac{6}{20 + x}
Pista
Primero halla cuántos litros de ácido hay. ¿Agregar agua cambia esa cantidad? ¿Qué pasa con el volumen total?
Pregunta 20 de 36
Sin calculadoraArrastrar y soltar
Drag each expression into the box for the situation it represents. Two expressions are not used.
A $240 bill is split equally among n friends, and then 4 more friends join
Hours to drive 240 miles at 4 mph slower than n mph
Fraction of a 240-page book that is read after reading n pages
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Ask yourself in each case: what is being divided, and by what?
Solución paso a paso
Bill split among the new group of n + 4 friends: \dfrac{240}{n + 4} dollars each.
Driving 240 miles at n - 4 mph: time = \dfrac{240}{n - 4} hours.
Read n pages out of 240: fraction read = \dfrac{n}{240}.
Not used: \dfrac{240}{n} + 4 (adds $4 or 4 hours to the result instead of changing the group size or speed) and \dfrac{244}{n} (adds 4 to the total instead of to the number of people).
Check: Let n = 8: $240 among 12 friends is $20 each, and \dfrac{240}{12} = 20 ✓. For the drive, use a road speed such as n = 64: 240 miles at 60 mph takes 4 hours, and \dfrac{240}{64 - 4} = 4 ✓. 8 pages of 240 is \tfrac{1}{30} of the book ✓.
Tip: A "part of a whole" fraction has the part on top. A "share" or "time" fraction has the total on top and the number of people or the speed on the bottom.
Explicación
La cuenta dividida entre el nuevo grupo de n + 4 amigos: \dfrac{240}{n + 4} dólares cada uno.
Manejar 240 millas a n - 4 mph: tiempo = \dfrac{240}{n - 4} horas.
Leer n páginas de 240: fracción leída = \dfrac{n}{240}.
No se usan: \dfrac{240}{n} + 4 (suma $4 o 4 horas al resultado en vez de cambiar el tamaño del grupo o la rapidez) y \dfrac{244}{n} (suma 4 al total en vez de al número de personas).
Comprobación: Sea n = 8: $240 entre 12 amigos son $20 cada uno, y \dfrac{240}{12} = 20 ✓. Para el viaje, usa una rapidez de carretera como n = 64: 240 millas a 60 mph toman 4 horas, y \dfrac{240}{64 - 4} = 4 ✓. 8 páginas de 240 son \tfrac{1}{30} del libro ✓.
Consejo: Una fracción de "parte de un todo" tiene la parte arriba. Una fracción de "parte que le toca a cada uno" o de "tiempo" tiene el total arriba y el número de personas o la rapidez abajo.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada expresión a la casilla de la situación que representa. Dos expresiones no se usan.
Una cuenta de $240 se divide en partes iguales entre n amigos, y luego se unen 4 amigos más
Horas para manejar 240 millas a 4 mph menos que n mph
Fracción de un libro de 240 páginas que se ha leído después de leer n páginas
_____
_____
_____
Opciones
\dfrac{240}{n + 4}
\dfrac{240}{n - 4}
\dfrac{n}{240}
\dfrac{240}{n} + 4
\dfrac{244}{n}
Pista
Pregúntate en cada caso: ¿qué se está dividiendo y entre qué?
Pregunta 21 de 36
Completar
A school plans a field trip to a science museum. Renting the bus costs $900, and museum tickets cost $45 per student.
Write an expression for the average cost per student when s students go. Then use it to find the average cost per student when 60 students go.
$ per student
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The total cost is the bus plus the tickets for s students. Divide the total by s.
Comprobación: El costo del autobús repartido entre 60 estudiantes es \dfrac{900}{60} = 15 dólares cada uno, más la entrada de $45: 15 + 45 = 60 ✓.
Consejo: El costo promedio se puede separar en dos partes: el costo fijo ÷ el número de personas, más el costo por persona. Es una forma rápida de comprobar tu respuesta.
Ver en español
Pregunta
Una escuela planea una excursión a un museo de ciencias. Alquilar el autobús cuesta $900, y las entradas al museo cuestan $45 por estudiante.
Escribe una expresión para el costo promedio por estudiante cuando van s estudiantes. Luego úsala para hallar el costo promedio por estudiante cuando van 60 estudiantes.
$_____ por estudiante
Pista
El costo total es el autobús más las entradas de s estudiantes. Divide el total entre s.
Pregunta 22 de 36
Devon's commute is 30 miles each way. If he increases his average speed from r miles per hour to r + 10 miles per hour, which expression represents the time he saves on a one-way trip, in hours?
Pista
Write the old time and the new time. Time saved = old time − new time. Combine with a common denominator.
Solución paso a paso
Old time: \dfrac{30}{r}. New time: \dfrac{30}{r + 10}.
Comprobación: Sea r = 50: tiempo anterior = 0.6 h, tiempo nuevo = 0.5 h, ahorro = 0.1 h. Expresión: \dfrac{300}{50 \cdot 60} = \dfrac{300}{3000} = 0.1 ✓.
Consejo: "Tiempo ahorrado", "cuánto más" y "cuánto menos" son diferencias de dos expresiones racionales. Escribe primero cada una y luego resta.
Ver en español
Pregunta
El trayecto de Devon al trabajo es de 30 millas en cada sentido. Si aumenta su rapidez promedio de r millas por hora a r + 10 millas por hora, ¿qué expresión representa el tiempo que ahorra en un viaje de ida, en horas?
Opciones
A.3
B.\dfrac{300}{r(r + 10)}
C.\dfrac{30}{r(r + 10)}
D.\dfrac{300}{2r + 10}
Pista
Escribe el tiempo anterior y el tiempo nuevo. Tiempo ahorrado = tiempo anterior − tiempo nuevo. Combínalos con un denominador común.
Pregunta 23 de 36
Completar
A 40-ounce pitcher of drink contains 8 ounces of juice concentrate; the rest is water. Kiara adds x ounces of concentrate to the pitcher.
Write an expression for the fraction of the drink that is concentrate after she adds it. Then find how many ounces of concentrate she must add so that the drink is half concentrate.
ounces
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Adding concentrate increases both the amount of concentrate and the total amount of drink.
Solución paso a paso
Concentrate after adding: 8 + x ounces.
Total drink after adding: 40 + x ounces.
Fraction that is concentrate: \dfrac{8 + x}{40 + x}.
Set it equal to one half: \dfrac{8 + x}{40 + x} = \dfrac{1}{2}.
Check:\dfrac{8 + 24}{40 + 24} = \dfrac{32}{64} = \dfrac{1}{2} ✓. (Adding only 12 ounces, which some people try, gives \dfrac{20}{52} \approx 0.38.)
Tip: In a mixture expression, anything you pour in counts in the total. Leaving the denominator at 40 is the most common mistake.
Explicación
Concentrado después de agregar: 8 + x onzas.
Bebida total después de agregar: 40 + x onzas.
Fracción que es concentrado: \dfrac{8 + x}{40 + x}.
Iguálala a un medio: \dfrac{8 + x}{40 + x} = \dfrac{1}{2}.
Multiplica en cruz: 2(8 + x) = 40 + x, así que 16 + 2x = 40 + x.
Resta x y 16: x = 24.
Respuesta: 24 onzas
Comprobación:\dfrac{8 + 24}{40 + 24} = \dfrac{32}{64} = \dfrac{1}{2} ✓. (Agregar solo 12 onzas, como intentan algunas personas, da \dfrac{20}{52} \approx 0.38.)
Consejo: En una expresión de mezcla, todo lo que agregas cuenta en el total. Dejar el denominador en 40 es el error más común.
Ver en español
Pregunta
Una jarra de 40 onzas de bebida contiene 8 onzas de concentrado de jugo; el resto es agua. Kiara agrega x onzas de concentrado a la jarra.
Escribe una expresión para la fracción de la bebida que es concentrado después de agregarlo. Luego halla cuántas onzas de concentrado debe agregar para que la bebida sea mitad concentrado.
_____ onzas
Pista
Agregar concentrado aumenta tanto la cantidad de concentrado como la cantidad total de bebida.
Pregunta 24 de 36
Sin calculadora
At a store, a 24-bottle pack of water costs d dollars and a 36-bottle pack costs d + 3 dollars. Which expression represents how much more one bottle costs in the 24-bottle pack than in the 36-bottle pack, in dollars?
Pista
Write the price per bottle for each pack. Then subtract, using a common denominator of 72. Be careful with the minus sign in front of a sum.
Check: Let d = 12: 24-pack is \tfrac{12}{24} = 0.50 per bottle; 36-pack is \tfrac{15}{36} \approx 0.4167. Difference \approx 0.0833. Expression: \dfrac{12 - 6}{72} = \dfrac{6}{72} \approx 0.0833 ✓.
Tip: When you subtract a fraction whose numerator is a sum, put it in parentheses: -2(d + 3) = -2d - 6. Forgetting to distribute the minus sign is the most common error.
Explicación
Precio por botella, paquete de 24: \dfrac{d}{24}.
Precio por botella, paquete de 36: \dfrac{d + 3}{36}.
Comprobación: Sea d = 12: el paquete de 24 sale a \tfrac{12}{24} = 0.50 por botella; el de 36, a \tfrac{15}{36} \approx 0.4167. Diferencia \approx 0.0833. Expresión: \dfrac{12 - 6}{72} = \dfrac{6}{72} \approx 0.0833 ✓.
Consejo: Cuando restes una fracción cuyo numerador es una suma, ponlo entre paréntesis: -2(d + 3) = -2d - 6. Olvidar aplicar la propiedad distributiva al signo menos es el error más común.
Ver en español
Pregunta
En una tienda, un paquete de 24 botellas de agua cuesta d dólares y un paquete de 36 botellas cuesta d + 3 dólares. ¿Qué expresión representa cuánto más cuesta una botella en el paquete de 24 que en el paquete de 36, en dólares?
Opciones
A.\dfrac{1}{4}
B.\dfrac{d + 6}{72}
C.\dfrac{d - 6}{72}
D.\dfrac{5d + 6}{72}
Pista
Escribe el precio por botella de cada paquete. Luego resta usando el denominador común 72. Ten cuidado con el signo menos delante de una suma.
Pregunta 25 de 36
Sin calculadora
Grace can sort a shipment of packages in x hours. Tom needs 2 hours longer than Grace to sort the same shipment. The fraction of the shipment they sort together in one hour is
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}
What does the term \dfrac{1}{x + 2} represent?
Pista
What does x + 2 stand for in the story? Then think about what 1 divided by a time means.
Solución paso a paso
x + 2 is the number of hours Tom needs to sort the whole shipment alone (2 hours longer than Grace).
If a whole job takes x + 2 hours, then in 1 hour you finish \dfrac{1}{x + 2} of it.
So \dfrac{1}{x + 2} is the fraction of the shipment Tom sorts in one hour (Tom's work rate).
Likewise, \dfrac{1}{x} is Grace's fraction per hour, and the sum is their combined fraction per hour.
Answer: the fraction of the shipment Tom sorts in one hour
Check: Try x = 4: Tom needs 6 hours, so in 1 hour he sorts \tfrac{1}{6} of the shipment, and \dfrac{1}{4 + 2} = \dfrac{1}{6} ✓.
Tip: In work problems, a time looks like x or x + 2; a rate looks like 1 over a time. Read which one an expression shows before you answer.
Explicación
x + 2 es el número de horas que Tom necesita para clasificar todo el envío él solo (2 horas más que Grace).
Si un trabajo completo toma x + 2 horas, entonces en 1 hora terminas \dfrac{1}{x + 2} del trabajo.
Entonces, \dfrac{1}{x + 2} es la fracción del envío que Tom clasifica en una hora (la tasa de trabajo de Tom).
Del mismo modo, \dfrac{1}{x} es la fracción por hora de Grace, y la suma es la fracción por hora de los dos juntos.
Respuesta: la fracción del envío que Tom clasifica en una hora
Comprobación: Prueba con x = 4: Tom necesita 6 horas, así que en 1 hora clasifica \tfrac{1}{6} del envío, y \dfrac{1}{4 + 2} = \dfrac{1}{6} ✓.
Consejo: En los problemas de trabajo, un tiempo se ve como x o x + 2; una tasa se ve como 1 entre un tiempo. Fíjate cuál de los dos muestra una expresión antes de responder.
Ver en español
Pregunta
Grace puede clasificar un envío de paquetes en x horas. Tom necesita 2 horas más que Grace para clasificar el mismo envío. La fracción del envío que clasifican juntos en una hora es
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}
¿Qué representa el término \dfrac{1}{x + 2}?
Opciones
A. La fracción del envío que Tom clasifica en una hora
B. El número de horas que Tom necesita para clasificar el envío solo
C. El número de horas que necesitan trabajando juntos
D. El tiempo extra que Tom necesita comparado con Grace
Pista
¿Qué representa x + 2 en la historia? Luego piensa qué significa 1 dividido entre un tiempo.
Pregunta 26 de 36
Sin calculadora
Ellie paddles her kayak at 5 miles per hour in still water. On a river with a current of c miles per hour, she paddles 4 miles downstream and then 4 miles back upstream. Which expression represents her total paddling time, in hours?
Pista
Downstream the current helps; upstream it slows her. Write each time, then add using the common denominator (5 + c)(5 - c).
Check: Let c = 1: downstream \tfrac{4}{6} \approx 0.667 h, upstream \tfrac{4}{4} = 1 h, total \approx 1.667 h. Expression: \dfrac{40}{24} \approx 1.667 ✓.
Tip: With a current, the trip with the current and the trip against it get different denominators. The current does not cancel out: \dfrac{40}{25 - c^2} is longer than the still-water time \dfrac{8}{5}.
Explicación
Rapidez río abajo: 5 + c, tiempo \dfrac{4}{5 + c}.
Rapidez río arriba: 5 - c, tiempo \dfrac{4}{5 - c}.
Comprobación: Sea c = 1: río abajo \tfrac{4}{6} \approx 0.667 h, río arriba \tfrac{4}{4} = 1 h, total \approx 1.667 h. Expresión: \dfrac{40}{24} \approx 1.667 ✓.
Consejo: Con corriente, el viaje a favor de la corriente y el viaje en contra tienen denominadores distintos. La corriente no se cancela: \dfrac{40}{25 - c^2} es más que el tiempo en agua tranquila, \dfrac{8}{5}.
Ver en español
Pregunta
Ellie rema en su kayak a 5 millas por hora en agua tranquila. En un río con una corriente de c millas por hora, rema 4 millas río abajo y luego 4 millas de regreso río arriba. ¿Qué expresión representa su tiempo total remando, en horas?
Opciones
A.\dfrac{8}{10}
B.\dfrac{40}{25 - c^2}
C.\dfrac{8}{25 - c^2}
D.\dfrac{8}{5}
Pista
Río abajo la corriente la ayuda; río arriba la frena. Escribe cada tiempo y luego suma usando el denominador común (5 + c)(5 - c).
Pregunta 27 de 36
Sin calculadora
Owen's car gets 20 miles per gallon in the city and 30 miles per gallon on the highway. One week he drives 120 miles in the city and x miles on the highway. Which expression represents his overall gas mileage for the week, in miles per gallon?
Pista
Overall miles per gallon = total miles ÷ total gallons. How many gallons does each part of the driving use?
Check: Let x = 180: total miles 300; gallons 6 + 6 = 12; mileage \dfrac{300}{12} = 25 mpg ✓. Now let x = 30: \dfrac{150}{7} \approx 21.4 mpg — closer to the city figure because most driving was in the city. A fixed answer like 25 cannot be right for every x.
Tip: Miles per gallon is a rate. To combine two rates, add the amounts (miles) and add the bases (gallons) separately; never average the two rates.
Explicación
Total de millas: 120 + x.
Galones en la ciudad: \dfrac{120}{20} = 6 galones.
Galones en la autopista: \dfrac{x}{30} galones.
Total de galones: 6 + \dfrac{x}{30}.
Rendimiento total = \dfrac{\text{total de millas}}{\text{total de galones}} = \dfrac{120 + x}{6 + \dfrac{x}{30}}.
Respuesta: \dfrac{120 + x}{6 + \dfrac{x}{30}}
Comprobación: Sea x = 180: total de millas 300; galones 6 + 6 = 12; rendimiento \dfrac{300}{12} = 25 mpg ✓. Ahora sea x = 30: \dfrac{150}{7} \approx 21.4 mpg, más cerca del rendimiento en la ciudad porque la mayor parte del manejo fue en la ciudad. Una respuesta fija como 25 no puede ser correcta para todo x.
Consejo: Las millas por galón son una tasa. Para combinar dos tasas, suma por separado las cantidades (millas) y las bases (galones); nunca promedies las dos tasas.
Ver en español
Pregunta
El auto de Owen rinde 20 millas por galón en la ciudad y 30 millas por galón en la autopista. Una semana maneja 120 millas en la ciudad y x millas en la autopista. ¿Qué expresión representa el rendimiento total de gasolina de esa semana, en millas por galón?
Opciones
A.\dfrac{20 + 30}{2}
B.\dfrac{120 + x}{50}
C.\dfrac{120 + x}{6 + \dfrac{x}{30}}
D.\dfrac{6 + \dfrac{x}{30}}{120 + x}
Pista
Millas por galón en total = total de millas ÷ total de galones. ¿Cuántos galones usa cada parte del recorrido?
Pregunta 28 de 36
Completar
A spray bottle holds 12 ounces of cleaning solution that is 25% bleach. Ramon adds w ounces of water.
Write an expression for the fraction of the new solution that is bleach. Then find how many ounces of water he must add so that the solution is 10% bleach.
ounces of water
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
How many ounces of bleach are in the bottle? Set that amount over the new total equal to 0.10.
Solución paso a paso
Bleach in the bottle: 0.25 \times 12 = 3 ounces.
After adding w ounces of water, the bleach is still 3 ounces and the total is 12 + w ounces.
Fraction of bleach: \dfrac{3}{12 + w}.
Set it equal to 10%: \dfrac{3}{12 + w} = 0.10.
Multiply both sides by (12 + w): 3 = 0.10(12 + w) = 1.2 + 0.10w.
Subtract 1.2: 1.8 = 0.10w, so w = 18.
Answer: 18 ounces of water
Check: New total 12 + 18 = 30 ounces; \dfrac{3}{30} = 0.10 = 10\% ✓.
Tip: Turn a percent into the amount of the ingredient first. That amount stays fixed when you add water, which makes the equation easy to set up.
Explicación
Cloro en el atomizador: 0.25 \times 12 = 3 onzas.
Después de agregar w onzas de agua, el cloro sigue siendo 3 onzas y el total es 12 + w onzas.
Fracción de cloro: \dfrac{3}{12 + w}.
Iguálala a 10%: \dfrac{3}{12 + w} = 0.10.
Multiplica los dos lados por (12 + w): 3 = 0.10(12 + w) = 1.2 + 0.10w.
Resta 1.2: 1.8 = 0.10w, así que w = 18.
Respuesta: 18 onzas de agua
Comprobación: Nuevo total 12 + 18 = 30 onzas; \dfrac{3}{30} = 0.10 = 10\% ✓.
Consejo: Primero convierte el porcentaje en la cantidad del ingrediente. Esa cantidad no cambia cuando agregas agua, y eso hace que la ecuación sea fácil de plantear.
Ver en español
Pregunta
Un atomizador contiene 12 onzas de solución de limpieza que es 25% cloro. Ramon agrega w onzas de agua.
Escribe una expresión para la fracción de la nueva solución que es cloro. Luego halla cuántas onzas de agua debe agregar para que la solución sea 10% cloro.
_____ onzas de agua
Pista
¿Cuántas onzas de cloro hay en el atomizador? Pon esa cantidad sobre el nuevo total e iguálalo a 0.10.
Pregunta 29 de 36
Sin calculadora
A hiking club rents a bus for $1,200, and the members who go share the cost equally. If n members go, each pays one amount. If 5 more members go, each pays less. Which expression represents how much less each member pays when 5 more members go, in dollars?
Pista
Write the share for n members and the share for n + 5 members. Subtract the smaller share from the larger one.
Solución paso a paso
Share with n members: \dfrac{1200}{n}.
Share with n + 5 members: \dfrac{1200}{n + 5}.
The share goes down, so subtract: \dfrac{1200}{n} - \dfrac{1200}{n + 5}.
Comprobación: Sea n = 20: 20 miembros pagan $60 cada uno; 25 miembros pagan $48 cada uno; ahorro de $12. Expresión: \dfrac{6000}{20 \cdot 25} = \dfrac{6000}{500} = 12 ✓.
Consejo: "¿Cuánto menos?" significa (cantidad anterior) − (cantidad nueva). Mantén ese orden para que la respuesta salga positiva.
Ver en español
Pregunta
Un club de excursionismo alquila un autobús por $1,200, y los miembros que van dividen el costo en partes iguales. Si van n miembros, cada uno paga cierta cantidad. Si van 5 miembros más, cada uno paga menos. ¿Qué expresión representa cuánto menos paga cada miembro cuando van 5 miembros más, en dólares?
Opciones
A.240
B.\dfrac{1200}{n(n + 5)}
C.-\dfrac{6000}{n(n + 5)}
D.\dfrac{6000}{n(n + 5)}
Pista
Escribe la parte que paga cada uno con n miembros y con n + 5 miembros. Resta la parte menor de la mayor.
Pregunta 30 de 36
Sin calculadoraCompletar
A cyclist rides 24 miles to a park at r miles per hour and rides the same 24 miles home at r + 4 miles per hour (with the wind behind her). Her total riding time, in hours, can be written as a single fraction:
\frac{Ar + B}{r(r + 4)}
What are the values of A and B?
A =
B =
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Write the time for each direction, then add the fractions using the denominator r(r + 4).
Solución paso a paso
Time to the park: \dfrac{24}{r}. Time home: \dfrac{24}{r + 4}.
Total: \dfrac{24}{r} + \dfrac{24}{r + 4}.
Common denominator r(r + 4): multiply the first fraction by \dfrac{r + 4}{r + 4} and the second by \dfrac{r}{r}.
So the total time is \dfrac{48r + 96}{r(r + 4)}, giving A = 48 and B = 96.
Answer: A = 48, B = 96
Check: Let r = 12: to the park 2 h, home \dfrac{24}{16} = 1.5 h, total 3.5 h. Single fraction: \dfrac{48(12) + 96}{12 \cdot 16} = \dfrac{672}{192} = 3.5 ✓.
Tip: When adding fractions with variable denominators, multiply each numerator by the factor its denominator is missing, then distribute carefully.
Explicación
Tiempo hasta el parque: \dfrac{24}{r}. Tiempo de regreso a casa: \dfrac{24}{r + 4}.
Total: \dfrac{24}{r} + \dfrac{24}{r + 4}.
Denominador común r(r + 4): multiplica la primera fracción por \dfrac{r + 4}{r + 4} y la segunda por \dfrac{r}{r}.
Entonces, el tiempo total es \dfrac{48r + 96}{r(r + 4)}, lo que da A = 48 y B = 96.
Respuesta: A = 48, B = 96
Comprobación: Sea r = 12: hasta el parque 2 h, de regreso \dfrac{24}{16} = 1.5 h, total 3.5 h. Fracción única: \dfrac{48(12) + 96}{12 \cdot 16} = \dfrac{672}{192} = 3.5 ✓.
Consejo: Al sumar fracciones con variables en el denominador, multiplica cada numerador por el factor que le falta a su denominador, y luego aplica la propiedad distributiva con cuidado.
Ver en español
Pregunta
Una ciclista recorre 24 millas hasta un parque a r millas por hora y regresa las mismas 24 millas a casa a r + 4 millas por hora (con el viento a favor). Su tiempo total en bicicleta, en horas, se puede escribir como una sola fracción:
\frac{Ar + B}{r(r + 4)}
¿Cuáles son los valores de A y B?
A = _____
B = _____
Pista
Escribe el tiempo de cada trayecto y luego suma las fracciones usando el denominador r(r + 4).
Pregunta 31 de 36
Varias respuestas
A community soccer league has p players. The league's average cost per player, in dollars, is
\frac{2400 + 35p}{p}
Select all statements that are true.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Identify the fixed part and the per-player part. Then test the numeric statement by substituting.
Solución paso a paso
A: $2,400 is not multiplied by p, so it is a fixed cost (such as field rental) that stays the same for any number of players. True.
B: $35 is multiplied by p, so it is the cost for each player (for example, a uniform). True.
C: The expression is divided by p, so it gives the average cost per player, not the total. False.
D: \dfrac{2400 + 35p}{p} = \dfrac{2400}{p} + 35. As p grows, \dfrac{2400}{p} shrinks, so the average decreases. True.
E: p = 40: \dfrac{2400 + 1400}{40} = \dfrac{3800}{40} = 95, not $60. False. ($60 is only the fixed-cost share, 2400 \div 40.)
Answer: A, B and D
Check: Try p = 80: \dfrac{2400}{80} + 35 = 30 + 35 = 65, which is less than $95 for 40 players ✓ (supports D).
Tip: Splitting \dfrac{F + vp}{p} into \dfrac{F}{p} + v shows both meanings at once: the fixed cost gets shared, and the per-player cost does not.
Explicación
A: los $2,400 no se multiplican por p, así que son un costo fijo (como el alquiler de la cancha) que es el mismo para cualquier número de jugadores. Verdadera.
B: los $35 se multiplican por p, así que son el costo por cada jugador (por ejemplo, un uniforme). Verdadera.
C: la expresión se divide entre p, así que da el costo promedio por jugador, no el total. Falsa.
D: \dfrac{2400 + 35p}{p} = \dfrac{2400}{p} + 35. A medida que p crece, \dfrac{2400}{p} se hace más pequeño, así que el promedio baja. Verdadera.
E: p = 40: \dfrac{2400 + 1400}{40} = \dfrac{3800}{40} = 95, no $60. Falsa. ($60 es solo la parte del costo fijo, 2400 \div 40).
Respuesta: A, B y D
Comprobación: Prueba con p = 80: \dfrac{2400}{80} + 35 = 30 + 35 = 65, que es menos que los $95 para 40 jugadores ✓ (apoya la D).
Consejo: Separar \dfrac{F + vp}{p} en \dfrac{F}{p} + v muestra los dos significados a la vez: el costo fijo se reparte, y el costo por jugador no.
Ver en español
Pregunta
Una liga comunitaria de fútbol tiene p jugadores. El costo promedio de la liga por jugador, en dólares, es
\frac{2400 + 35p}{p}
Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
Opciones
A. La liga tiene un costo fijo de $2,400 que no depende del número de jugadores.
B. Cada jugador agrega $35 al costo total de la liga.
C. La expresión da el costo total de la liga para p jugadores.
D. A medida que aumenta el número de jugadores, el costo promedio por jugador disminuye.
E. Cuando hay 40 jugadores, el costo promedio por jugador es $60.
Pista
Identifica la parte fija y la parte por jugador. Luego prueba la afirmación numérica sustituyendo.
Pregunta 32 de 36
Sin calculadora
A backyard pool holds 18,000 gallons of water. It already contains 3,000 gallons. A hose adds water at g gallons per minute. Which expression represents the number of hours needed to fill the pool the rest of the way?
Pista
How many gallons still need to go in? Find the minutes first, then change minutes to hours.
Solución paso a paso
Water still needed: 18{,}000 - 3{,}000 = 15{,}000 gallons.
Time in minutes: \dfrac{15000}{g}.
There are 60 minutes in an hour, so divide by 60: \dfrac{15000}{60g} hours.
Simplify: \dfrac{15000}{60} = 250, so the time is \dfrac{250}{g} hours.
Answer: \dfrac{250}{g}
Check: Let g = 10 gallons per minute: \dfrac{15000}{10} = 1500 minutes, and 1500 \div 60 = 25 hours. Expression: \dfrac{250}{10} = 25 ✓.
Tip: Watch the units in the question. If the rate is per minute but the answer must be in hours, divide the minutes by 60 (an hour is a bigger unit, so the number gets smaller).
Explicación
Agua que todavía falta: 18{,}000 - 3{,}000 = 15{,}000 galones.
Tiempo en minutos: \dfrac{15000}{g}.
Una hora tiene 60 minutos, así que divide entre 60: \dfrac{15000}{60g} horas.
Simplifica: \dfrac{15000}{60} = 250, así que el tiempo es \dfrac{250}{g} horas.
Respuesta: \dfrac{250}{g}
Comprobación: Sea g = 10 galones por minuto: \dfrac{15000}{10} = 1500 minutos, y 1500 \div 60 = 25 horas. Expresión: \dfrac{250}{10} = 25 ✓.
Consejo: Fíjate en las unidades de la pregunta. Si la tasa es por minuto pero la respuesta debe estar en horas, divide los minutos entre 60 (una hora es una unidad más grande, así que el número se hace más pequeño).
Ver en español
Pregunta
Una piscina de patio tiene capacidad para 18,000 galones de agua. Ya contiene 3,000 galones. Una manguera agrega agua a g galones por minuto. ¿Qué expresión representa el número de horas que se necesitan para terminar de llenar la piscina?
Opciones
A.\dfrac{15000}{g}
B.\dfrac{250}{g}
C.\dfrac{300}{g}
D.\dfrac{900000}{g}
Pista
¿Cuántos galones faltan por agregar? Primero halla los minutos y luego convierte los minutos a horas.
Pregunta 33 de 36
Sin calculadora
Which situation can be represented by the expression \dfrac{60}{x + 3}?
Pista
Translate each situation into an expression yourself. Watch where the 3 goes: inside the denominator, outside the fraction, or in the numerator.
Solución paso a paso
A: Speed x + 3 mph over 60 miles. Time = distance ÷ speed = \dfrac{60}{x + 3}. Matches.
B: Driving 60 miles at x mph takes \dfrac{60}{x} hours; adding a 3-hour stop gives \dfrac{60}{x} + 3. Does not match.
C: A $60 bill plus a $3 tip shared by x people: \dfrac{63}{x}. Does not match.
D: x + 3 miles at 60 mph takes \dfrac{x + 3}{60} hours. Does not match (upside down).
Answer: A — the number of hours to travel 60 miles at a speed 3 mph faster than x mph
Check: Let x = 9: at 12 mph, 60 miles take 5 hours, and \dfrac{60}{9 + 3} = 5 ✓. Choice B would give \dfrac{60}{9} + 3 \approx 9.67 hours.
Tip: Where the "+3" sits tells the story. Inside the denominator, it changes the rate or group size; outside the fraction, it adds to the answer; in the numerator, it adds to the total.
Explicación
A: rapidez de x + 3 mph en 60 millas. Tiempo = distancia ÷ rapidez = \dfrac{60}{x + 3}. Coincide.
B: manejar 60 millas a x mph toma \dfrac{60}{x} horas; al agregar una parada de 3 horas se obtiene \dfrac{60}{x} + 3. No coincide.
C: una cuenta de $60 más una propina de $3 repartidas entre x personas: \dfrac{63}{x}. No coincide.
D: x + 3 millas a 60 mph toman \dfrac{x + 3}{60} horas. No coincide (está al revés).
Respuesta: A, el número de horas para recorrer 60 millas a una rapidez 3 mph mayor que x mph
Comprobación: Sea x = 9: a 12 mph, 60 millas toman 5 horas, y \dfrac{60}{9 + 3} = 5 ✓. La opción B daría \dfrac{60}{9} + 3 \approx 9.67 horas.
Consejo: El lugar donde está el "+3" cuenta la historia. Dentro del denominador, cambia la tasa o el tamaño del grupo; fuera de la fracción, se suma a la respuesta; en el numerador, se suma al total.
Ver en español
Pregunta
¿Qué situación se puede representar con la expresión \dfrac{60}{x + 3}?
Opciones
A. El número de horas para recorrer 60 millas a una rapidez 3 mph mayor que x mph
B. El número de horas de un recorrido de 60 millas a x mph más una parada de 3 horas
C. La parte de cada persona cuando x personas dividen una cuenta de $60 más una propina de $3
D. El número de horas para recorrer x + 3 millas a 60 mph
Pista
Traduce tú mismo cada situación a una expresión. Fíjate dónde va el 3: dentro del denominador, fuera de la fracción o en el numerador.
Pregunta 34 de 36
Lena can assemble a set of shelves in x hours. Omar takes 3 hours longer than Lena to assemble the same set. Which expression represents the number of hours it takes them to assemble one set working together?
Pista
Write each person's rate (1 ÷ time), add the rates, then take the reciprocal to get the time.
Solución paso a paso
Lena's time: x hours, so her rate is \dfrac{1}{x} set per hour.
Omar's time: x + 3 hours, so his rate is \dfrac{1}{x + 3}.
Time together = reciprocal: \dfrac{x(x + 3)}{2x + 3}.
Answer: \dfrac{x(x + 3)}{2x + 3}
Check: Let x = 3: Lena takes 3 h, Omar 6 h. Rates \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}, so together they take 2 h. Expression: \dfrac{3 \cdot 6}{9} = 2 ✓.
Tip: Two-step work problems: add rates, then flip. If the choice you pick is a rate (a fraction of a job per hour), you have stopped one step early.
Explicación
Tiempo de Lena: x horas, así que su tasa es \dfrac{1}{x} de juego por hora.
Tiempo de Omar: x + 3 horas, así que su tasa es \dfrac{1}{x + 3}.
Tiempo juntos = recíproco: \dfrac{x(x + 3)}{2x + 3}.
Respuesta: \dfrac{x(x + 3)}{2x + 3}
Comprobación: Sea x = 3: Lena tarda 3 h y Omar 6 h. Tasas \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}, así que juntos tardan 2 h. Expresión: \dfrac{3 \cdot 6}{9} = 2 ✓.
Consejo: Problemas de trabajo en dos pasos: suma las tasas y luego invierte. Si la opción que eliges es una tasa (una fracción del trabajo por hora), te detuviste un paso antes.
Ver en español
Pregunta
Lena puede armar un juego de repisas en x horas. Omar tarda 3 horas más que Lena en armar el mismo juego. ¿Qué expresión representa el número de horas que tardan en armar un juego trabajando juntos?
Opciones
A.\dfrac{2x + 3}{x(x + 3)}
B.\dfrac{2x + 3}{2}
C.\dfrac{1}{2x + 3}
D.\dfrac{x(x + 3)}{2x + 3}
Pista
Escribe la tasa de cada persona (1 ÷ tiempo), suma las tasas y luego saca el recíproco para obtener el tiempo.
Pregunta 35 de 36
A home baker rents a commercial kitchen to bake cakes for a fair. Her costs are shown.
Cost
Amount
Kitchen rental (per day)
$180
Ingredients (per cake)
$7.50
Box and ribbon (per cake)
$0.50
She bakes c cakes in one day. Which expression gives her average cost per cake, and how many cakes must she bake that day for the average cost to be $12 per cake?
Pista
Add up everything she pays for each cake. Then set the average-cost expression equal to 12 and solve.
Tip: In a cost table, sort each line into fixed (paid once) or per item (multiplied by the variable). Add all the per-item lines before you write the expression.
Consejo: En una tabla de costos, clasifica cada línea como fija (se paga una vez) o por artículo (se multiplica por la variable). Suma todas las líneas por artículo antes de escribir la expresión.
Ver en español
Pregunta
Una repostera casera alquila una cocina comercial para hornear pasteles para una feria. Sus costos se muestran en la tabla.
Costo
Cantidad
Alquiler de la cocina (por día)
$180
Ingredientes (por pastel)
$7.50
Caja y cinta (por pastel)
$0.50
Hornea c pasteles en un día. ¿Qué expresión da su costo promedio por pastel, y cuántos pasteles debe hornear ese día para que el costo promedio sea de $12 por pastel?
Opciones
A.\dfrac{180 + 8c}{c}; 45 pasteles
B.\dfrac{180 + 7.5c}{c}; 40 pasteles
C.\dfrac{180 + 8c}{c}; 15 pasteles
D.\dfrac{188}{c}; 16 pasteles
Pista
Suma todo lo que paga por cada pastel. Luego iguala la expresión del costo promedio a 12 y resuelve.
Pregunta 36 de 36
Sin calculadora
A delivery driver can take one of two routes.
Route A: 50 miles on the highway at r miles per hour.
Route B: 40 miles through town at 15 miles per hour slower than r.
Which expression represents how many hours longer Route B takes than Route A?
Pista
Write each route's time as distance ÷ speed. Subtract Route A's time from Route B's time over the common denominator r(r - 15).
Solución paso a paso
Route A time: \dfrac{50}{r}.
Route B speed: r - 15, so time: \dfrac{40}{r - 15}.
How much longer B takes: \dfrac{40}{r - 15} - \dfrac{50}{r}.
Comprobación: Sea r = 55: Ruta A \dfrac{50}{55} \approx 0.909 h; Ruta B \dfrac{40}{40} = 1 h; diferencia \approx 0.091 h. Expresión: \dfrac{750 - 550}{55 \cdot 40} = \dfrac{200}{2200} \approx 0.091 ✓.
Consejo: Cuando restas 50(r - 15), el signo menos afecta a los dos términos: -50r + 750. Prueba tu expresión final con un número fácil para detectar errores de signo.
Ver en español
Pregunta
Un repartidor puede tomar una de dos rutas.
Ruta A: 50 millas por la autopista a r millas por hora.
Ruta B: 40 millas por el pueblo a 15 millas por hora menos que r.
¿Qué expresión representa cuántas horas más tarda la Ruta B que la Ruta A?
Opciones
A.\dfrac{2}{3}
B.\dfrac{750 - 10r}{r(r - 15)}
C.\dfrac{-10r - 750}{r(r - 15)}
D.\dfrac{90r - 750}{r(r - 15)}
Pista
Escribe el tiempo de cada ruta como distancia ÷ rapidez. Resta el tiempo de la Ruta A del tiempo de la Ruta B con el denominador común r(r - 15).
