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Evaluar expresiones racionales

Sustituye valores en fracciones con variables, reconoce valores indefinidos y usa fórmulas racionales de la vida real.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

Evaluar una expresión racional significa reemplazar la variable por un número y calcular el valor. Por ejemplo, \dfrac{3x + 5}{x - 2} con x = 4 es \dfrac{17}{2} = 8.5.

En esta lección vas a aprender a:

  • Sustituir con seguridad usando paréntesis, sobre todo con números negativos.
  • Tratar la barra de fracción como un signo de agrupación: calcula todo el numerador y todo el denominador antes de dividir.
  • Reconocer cuándo una expresión es indefinida (un denominador igual a cero).
  • Simplificar primero cuando eso facilita la aritmética.
  • Usar fórmulas racionales de la vida real: costo promedio, tiempo de trabajo combinado, rapidez promedio.
  • Trabajar hacia atrás: hallar la entrada que da cierto valor.

Por qué importa en el GED®. A menudo te darán una fórmula con una fracción (el costo promedio de fabricar n artículos, o el tiempo que necesitan dos trabajadores juntos) y te pedirán sustituir números. Estas preguntas son sencillas si sigues el orden de las operaciones, y fáciles de fallar si vas con prisa. Las respuestas incorrectas del examen vienen justamente de esos pasos apurados.

En la vida real. Una imprenta cobra una tarifa de preparación más un precio por camiseta. El costo promedio por camiseta, \dfrac{\text{preparación} + \text{precio} \cdot n}{n}, baja a medida que pides más. Evaluar esa expresión te dice cuánto cuesta realmente cada camiseta.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Evaluar — hallar el valor de una expresión para ciertos valores de las variables.
  • Sustituir — reemplazar una variable por un número. Al sustituir x = -3 en x^2 obtienes (-3)^2 = 9.
  • Expresión racional — una fracción con polinomios arriba y abajo, como \dfrac{x^2 - 1}{2x + 3}.
  • Numerador / denominador — la parte de arriba / la parte de abajo de la fracción.
  • Barra de fracción — la línea de una fracción. Funciona como paréntesis alrededor de todo el numerador y de todo el denominador.
  • Indefinido — no tiene valor. Una fracción con denominador 0 es indefinida.
  • Valor excluido — un valor de la variable que hace que un denominador sea 0.
  • Orden de las operaciones — paréntesis, exponentes, multiplicación y división (de izquierda a derecha), suma y resta (de izquierda a derecha).
  • Costo promedio — costo total ÷ número de artículos.
  • Tasa — una cantidad por unidad de tiempo, como millas por hora o trabajos por hora.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Sustituir paso a paso

Método

  1. Vuelve a escribir la expresión con paréntesis donde estaba cada variable.
  2. Pon los números dentro de los paréntesis.
  3. Calcula todo el numerador (siguiendo el orden de las operaciones).
  4. Calcula todo el denominador.
  5. Divide, y simplifica la fracción o conviértela a decimal si te lo piden.

Ejemplo. Evalúa \dfrac{3x + 5}{x - 2} para x = 4.

\frac{3(4) + 5}{(4) - 2} = \frac{12 + 5}{2} = \frac{17}{2} = 8.5

Los números negativos necesitan paréntesis. Evalúa \dfrac{x^2 - 1}{2x + 3} para x = -3.

\frac{(-3)^2 - 1}{2(-3) + 3} = \frac{9 - 1}{-6 + 3} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}

Sin paréntesis, -3^2 significa -(3^2) = -9. Ese solo error convierte el numerador en -10.

ExpresiónValor
(-3)^29
-3^2-9
(-2)^3-8
-2(-4)8

La barra de fracción agrupa. En \dfrac{75 + 6n}{n} con n = 25, todo el numerador se divide entre 25:

\frac{75 + 6(25)}{25} = \frac{75 + 150}{25} = \frac{225}{25} = 9

No es 75 + \dfrac{6(25)}{25} = 81.

The fraction bar groups. Correct: the whole top 75 + 6(25) = 225 is divided by 25, giving 9. Wrong: dividing only 6(25) by 25 gives 75 + 6 = 81.75 + 6(25)25= 225 ÷ 25 = 9✓75 + 6(25) ÷ 25= 75 + 6 = 81✗the bar's grouping was lost: only 6(25) got divided
La barra de fracción agrupa todo el numerador

Dos variables. Sustituye cada una dentro de sus propios paréntesis. Para \dfrac{a^2 - b}{a - b} con a = -3, b = 5: \dfrac{(-3)^2 - 5}{(-3) - 5} = \dfrac{4}{-8} = -0.5.

Valores indefinidos y simplificar primero

¿Cuándo es indefinida? Una expresión racional es indefinida cuando su denominador es igual a 0. Para hallar esos valores, iguala el denominador a 0 y resuelve.

Number line for (x − 5) over (x squared − x − 12) = (x − 5) over (x − 4)(x + 3). Open red circles at x = −3 and x = 4 mark where the denominator is 0, so the expression is undefined there. A green dot at x = 5 shows a zero numerator, where the value is simply 0.x − 5x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)−5−4−3−2−10123456undefinedundefinedvalue 0
Indefinida en x = −3 y x = 4
  • \dfrac{x + 2}{x - 7}: x - 7 = 0, así que es indefinida en x = 7.
  • \dfrac{x - 5}{x^2 - x - 12}: (x - 4)(x + 3) = 0, así que es indefinida en x = 4 y x = -3.

Un numerador igual a cero no es problema. \dfrac{0}{32} = 0. Solo un denominador igual a cero la hace indefinida. (Y \dfrac{0}{0} también es indefinida).

Simplifica primero para ahorrar trabajo. Si los números son complicados, factoriza y cancela antes de sustituir. Evalúa \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16} en x = 6:

\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x}{x + 4} \quad\Rightarrow\quad \frac{6}{10} = 0.6

La sustitución directa da lo mismo: \dfrac{36 - 24}{36 - 16} = \dfrac{12}{20} = 0.6.

Cuidado: simplificar no cambia dónde es indefinida la expresión original. \dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x} = \dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x(x + 4)} se simplifica a \dfrac{x - 4}{x}, pero en x = -4 la original tiene un denominador igual a cero. Ahí la respuesta es "indefinida", no \dfrac{-8}{-4} = 2.

Comprobar una respuesta con una entrada decimal. Para x = 4.8, \dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 25} = \dfrac{(x + 5)(x - 3)}{(x + 5)(x - 5)} = \dfrac{x - 3}{x - 5} = \dfrac{1.8}{-0.2} = -9. Simplificar convirtió una tarea de calculadora en cálculo mental.

Fórmulas racionales de la vida real

Estas fórmulas aparecen en los problemas verbales del GED®. Normalmente te darán la fórmula; tu trabajo es sustituir correctamente.

Costo promedio por artículo. Si un trabajo tiene un costo fijo F y un costo v por artículo, el costo promedio de n artículos es

\bar{C} = \frac{F + vn}{n}

Ejemplo: $1200 de preparación y $15 por artículo, n = 80: \dfrac{1200 + 15(80)}{80} = \dfrac{2400}{80} = \$30 por artículo.

Tiempo de trabajo combinado. Si una persona (o máquina) tarda a horas en un trabajo y otra tarda b horas, juntas tardan

t = \frac{ab}{a + b}

Ejemplo: a = 6, b = 3: t = \dfrac{18}{9} = 2 horas. Juntos siempre es más rápido que el trabajador más rápido solo.

Rapidez promedio en un viaje de ida y vuelta. Si vas a r_1 y regresas a r_2 por la misma distancia:

\bar{r} = \frac{2 r_1 r_2}{r_1 + r_2}

Ejemplo: 40 mph y 60 mph dan \dfrac{2 \cdot 40 \cdot 60}{100} = 48 mph, no 50.

Round-trip average speed, using 120 miles each way as an example: going at 40 mph takes 3 hours and returning at 60 mph takes 2 hours, so 240 miles in 5 hours is 48 mph, not 50. This matches 2 times 40 times 60 over 100 = 48.go: 120 mi at 40 mph = 3 hback: 60 mph = 2 h0 h1 h2 h3 h4 h5 h240 mi ÷ 5 h = 48 mph (not 50)2(40)(60)/(40 + 60) = 48: more time is spent at the slower speed
Viaje de ida y vuelta: 240 millas en 5 horas son 48 mph

Trabajar hacia atrás. Si conoces el resultado y necesitas la entrada, iguala la expresión al resultado y resuelve. Costo promedio \dfrac{1200 + 15n}{n} = 20: multiplica los dos lados por n, así que 1200 + 15n = 20n, lo que da 1200 = 5n y n = 240 artículos.

Fórmula

Fórmulas

\text{Costo promedio} = \frac{\text{costo fijo} + (\text{costo por artículo})(n)}{n} \text{Tiempo combinado} = \frac{ab}{a + b} \qquad \text{Rapidez promedio de ida y vuelta} = \frac{2r_1 r_2}{r_1 + r_2} d = rt \quad\Rightarrow\quad t = \frac{d}{r}
  • n = número de artículos; a, b = horas que necesita cada trabajador solo; r_1, r_2 = las dos rapideces; d = distancia, r = tasa, t = tiempo.

En la hoja de fórmulas del GED®: d = rt y "costo total = (número de unidades) × (precio por unidad)". Las fórmulas de costo promedio, tiempo combinado y viaje de ida y vuelta no están en la hoja; cuando el GED® las usa, normalmente imprime la fórmula en la pregunta. Conocerlas te permite comprobar que una respuesta tiene sentido.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Sustitución básica

Evalúa \dfrac{3x + 5}{x - 2} cuando x = 4.

Example 1 substitution template: the whole numerator 3(4) + 5 = 17 is boxed, the whole denominator (4) − 2 = 2 is boxed, then divide: 17/2 = 8.5.3(4) + 5 = 17(4) − 2 = 2172= 8.51. whole top 2. whole bottom3. divide
Todo el numerador, todo el denominador y luego divide
  1. Sustituye: \dfrac{3(4) + 5}{(4) - 2}.
  2. Numerador: 12 + 5 = 17.
  3. Denominador: 4 - 2 = 2.
  4. Divide: \dfrac{17}{2} = 8.5.

Respuesta: \dfrac{17}{2} o 8.5

Comprobación: 8.5 \times 2 = 17 ✓, y 17 es el numerador.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Una entrada negativa

Evalúa \dfrac{x^2 - 1}{2x + 3} cuando x = -3.

Example 2 with x = −3: the numerator (−3) squared − 1 = 8 and the denominator 2(−3) + 3 = −3, so the value is 8/(−3) = −8/3. Below: (−3) squared = 9 but −3 squared without parentheses = −9.(−3)² − 1 = 82(−3) + 3 = −38−3= −8/3(−3)² = 9−3² = −9with ( ): square −3no ( ): square 3 only
Sustituir x = −3 con paréntesis
  1. Sustituye con paréntesis: \dfrac{(-3)^2 - 1}{2(-3) + 3}.
  2. Numerador: (-3)^2 = 9, así que 9 - 1 = 8.
  3. Denominador: 2(-3) = -6, así que -6 + 3 = -3.
  4. Divide: \dfrac{8}{-3} = -\dfrac{8}{3} \approx -2.67.

Respuesta: -\dfrac{8}{3}

Comprobación: -\dfrac{8}{3} \times (-3) = 8 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: Simplifica primero

Evalúa \dfrac{x^2 - 4x}{x^2 - 16} cuando x = 6.

Example 3: x(x − 4) over (x − 4)(x + 4). The common factor (x − 4) is crossed out, leaving x/(x + 4). Substituting x = 6 gives 6/10 = 0.6.x(x − 4)(x − 4)(x + 4)=xx + 466 + 4= 0.6x = 6Factor, cancel (x − 4), then substitute into the smaller fraction
Simplifica primero y luego sustituye x = 6
  1. Factoriza: numerador = x(x - 4), denominador = (x - 4)(x + 4).
  2. Cancela (x - 4) (se puede porque x = 6 no lo hace cero): \dfrac{x}{x + 4}.
  3. Sustituye: \dfrac{6}{6 + 4} = \dfrac{6}{10}.

Respuesta: 0.6

Comprobación: Sustitución directa: \dfrac{36 - 24}{36 - 16} = \dfrac{12}{20} = 0.6 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): Dos pintores

Dana puede pintar un cuarto en 6 horas. Eli puede pintar el mismo cuarto en 3 horas. Trabajando juntos, necesitan t = \dfrac{ab}{a + b} horas. ¿Cuánto tiempo tardarán juntos?

Example 4 bar model: the room is split into 6 equal sixths. Each hour Dana paints 1 sixth (blue) and Eli paints 2 sixths (green), so together they paint half the room per hour. After 2 hours the whole room is painted: t = ab/(a + b) = 18/9 = 2 hours.DanaEliEliDanaEliEliroomhour 1: 1/6 + 2/6 = 1/2hour 2: another 1/2Dana: 1/6 room per hour (6 h alone)Eli: 1/3 = 2/6 room per hour (3 h alone)t = ab/(a + b) = 18/9 = 2 hours
Modelo de barras: Dana y Eli pintan el cuarto en 2 horas
  1. a = 6, b = 3.
  2. Numerador: ab = 6 \cdot 3 = 18.
  3. Denominador: a + b = 6 + 3 = 9.
  4. t = \dfrac{18}{9} = 2.

Respuesta: 2 horas

Comprobación: En 2 horas Dana pinta \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3} del cuarto y Eli pinta \tfrac{2}{3}. Juntos, \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} = 1 cuarto completo ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (vida real, trabaja hacia atrás): Costo promedio

Una pequeña empresa gasta $1200 para preparar una producción, más $15 por lámpara. El costo promedio por lámpara es \dfrac{1200 + 15n}{n} dólares. (a) Halla el costo promedio de 80 lámparas. (b) ¿Cuántas lámparas hay que fabricar para que el costo promedio baje a $20?

Graph of average cost (1200 + 15n)/n for n from 40 to 400 lamps. The curve falls as n grows and levels toward the dashed line at 15 dollars per lamp. Marked points: 80 lamps cost 30 dollars each (part a) and 240 lamps cost 20 dollars each (part b).01020304050080160240320400number of lamps, naverage cost ($ per lamp)$15 per lamp(80, $30)(240, $20)
Gráfica del costo promedio por lámpara
  1. (a) \dfrac{1200 + 15(80)}{80} = \dfrac{1200 + 1200}{80} = \dfrac{2400}{80} = 30.
  2. (b) Iguala la expresión a 20: \dfrac{1200 + 15n}{n} = 20.
  3. Multiplica los dos lados por n: 1200 + 15n = 20n.
  4. Resta 15n: 1200 = 5n, así que n = 240.

Respuesta: (a) $30 por lámpara; (b) 240 lámparas

Comprobación: \dfrac{1200 + 15(240)}{240} = \dfrac{1200 + 3600}{240} = \dfrac{4800}{240} = 20 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: deja que la plantilla de fracción agrupe por ti

En la TI-30XS MultiView, la tecla n/d crea una fracción apilada. Todo lo que escribes en la casilla de arriba queda junto, y todo lo de la casilla de abajo también, así que la calculadora respeta la barra de fracción automáticamente.

  1. Presiona n/d, escribe todo el numerador, presiona la flecha hacia abajo, escribe todo el denominador y luego presiona la flecha hacia la derecha para salir de la fracción.
  2. Para entradas negativas usa la tecla (−) y paréntesis: ( (−) 3 ) x² da 9.
  3. Presiona toggle para cambiar la respuesta entre fracción y decimal.

Si usas la tecla ÷ en su lugar, tienes que agregar paréntesis: ( 75 + 6 × 25 ) ÷ 25 → 9. Sin ellos, la calculadora calcula 75 + 6 y da 81.

Cuándo no usarla: valores sencillos como \dfrac{6}{10} se calculan más rápido mentalmente, y hallar dónde una expresión es indefinida es álgebra, no aritmética.

Error común

Errores comunes

  • Ignorar la barra de fracción. Incorrecto: \dfrac{75 + 6(25)}{25} = 75 + 6 = 81. Correcto: \dfrac{225}{25} = 9. Termina todo el numerador y todo el denominador antes de dividir.
  • Elevar al cuadrado un negativo sin paréntesis. Incorrecto: con x = -2, x^2 = -2^2 = -4. Correcto: x^2 = (-2)^2 = 4.
  • Decir que un numerador igual a cero es "indefinido". Incorrecto: \dfrac{0}{32} es indefinido. Correcto: \dfrac{0}{32} = 0. Solo un denominador igual a cero es indefinido.
  • Usar la forma simplificada en un valor excluido. Incorrecto: \dfrac{x^2 - 16}{x^2 + 4x} en x = -4 es igual a 2. Correcto: ahí es indefinida.
  • Promediar las rapideces. Incorrecto: ir a 40 mph y regresar a 60 mph da un promedio de 50 mph. Correcto: \dfrac{2(40)(60)}{100} = 48 mph, porque pasas más tiempo a la rapidez más lenta.
  • Invertir la fracción. Incorrecto: \dfrac{x + 6}{x - 1} en x = 3 da \dfrac{2}{9}. Correcto: \dfrac{9}{2}. Deja arriba lo que va arriba.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Escribe primero los paréntesis y después pon los números. Toma cinco segundos y evita errores de signo.
  • Estima. El tiempo de trabajo combinado debe ser menor que cualquiera de los tiempos individuales; un costo promedio debe ser mayor que el costo por artículo. Elimina las opciones que no cumplen estas reglas.
  • Simplifica primero cuando los números son grandes o decimales; sustituye directamente cuando son pequeños.
  • Preguntas de "indefinida": iguala a cero solo el denominador; ignora el numerador.
  • Preguntas de trabajar hacia atrás: sustituye cada opción de respuesta en la fórmula. La que produce el valor dado es la correcta.
  • Lee las unidades de la pregunta (horas o minutos, dólares por artículo o dólares en total).

Compruébalo

Evaluar expresiones racionalesSin calculadora

What is the value of \dfrac{x + 6}{x - 1} when x = 3?

Opciones de respuesta
Pista

Work out the entire numerator and the entire denominator first, then divide.

Ver en español

Pregunta

¿Cuál es el valor de \dfrac{x + 6}{x - 1} cuando x = 3?

Opciones

  • A. \dfrac{9}{4}
  • B. \dfrac{9}{2}
  • C. 4
  • D. \dfrac{2}{9}
Pista

Calcula primero todo el numerador y todo el denominador, y luego divide.

Compruébalo

Evaluar expresiones racionalesSin calculadoraCompletar

Evaluate \dfrac{2x^2 - 5}{x + 4} when x = -2.

Enter your answer as a decimal or fraction.

Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.

Pista

Put -2 in parentheses. Remember that (-2)^2 is positive.

Ver en español

Pregunta

Evalúa \dfrac{2x^2 - 5}{x + 4} cuando x = -2.

Escribe tu respuesta como decimal o fracción.

Pista

Pon -2 entre paréntesis. Recuerda que (-2)^2 es positivo.

Resumen

  • Sustituye dentro de paréntesis y luego evalúa todo el numerador y todo el denominador antes de dividir.
  • (-3)^2 = 9 pero -3^2 = -9: los paréntesis importan.
  • Una expresión es indefinida donde su denominador original es 0; un numerador igual a cero solo da 0.
  • Simplifica primero cuando eso facilita los números.
  • Conoce las formas de la vida real: costo promedio \dfrac{F + vn}{n}, tiempo combinado \dfrac{ab}{a + b}, rapidez de ida y vuelta \dfrac{2r_1r_2}{r_1 + r_2}.
  • Para trabajar hacia atrás, iguala la expresión al valor buscado, multiplica por el denominador y resuelve.
Practicar esta destreza →