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Operaciones con expresiones racionales

Simplifica, multiplica, divide, suma y resta fracciones que tienen variables.

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Idea clave

Lo que vas a aprender

Una expresión racional es una fracción con un polinomio arriba y otro abajo, como \dfrac{x + 3}{x - 2} o \dfrac{60}{r}. Ya sabes simplificar, multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones numéricas. En esta lección vas a hacer exactamente lo mismo con x en la fracción.

Vas a aprender a:

  • Simplificar una expresión racional factorizando y cancelando factores comunes.
  • Indicar los valores que hacen que una expresión sea indefinida (valores excluidos).
  • Multiplicar y dividir expresiones racionales.
  • Sumarlas y restarlas, incluso cuando los denominadores son diferentes.

Por qué importa en el GED®. El examen te pide elegir la expresión equivalente a una suma, un producto o un cociente de fracciones con variables. Las opciones incorrectas vienen de errores previsibles: cancelar términos en vez de factores, sumar los denominadores u olvidar distribuir un signo menos. Esta lección te entrena para evitar cada uno.

En la vida real. Las expresiones racionales describen tiempos y tasas. Si manejas 60 millas a r millas por hora, el viaje toma \dfrac{60}{r} horas. Sumar el tiempo de ida y el de regreso es sumar expresiones racionales.

La gran regla: todo lo que haces con fracciones con x es igual a lo que haces con fracciones numéricas. Si te atascas, pregúntate: "¿Qué haría con \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4}?".

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Expresión racional — una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios, como \dfrac{x^2 - 9}{x + 1}.
  • Numerador / denominador — la parte de arriba / la parte de abajo de una fracción.
  • Factor — una parte que se multiplica. En (x - 3)(x + 3), tanto (x - 3) como (x + 3) son factores.
  • Término — una parte que se suma o se resta. En x + 3, tanto x como 3 son términos.
  • Forma más simple — el numerador y el denominador no tienen ningún factor común excepto 1.
  • Valor excluido (restricción) — un valor de x que hace que un denominador sea 0. Para \dfrac{5}{x - 4}, x \ne 4.
  • Indefinido — no tiene valor porque significaría dividir entre cero.
  • Recíproco — una fracción volteada. El recíproco de \dfrac{x + 2}{x} es \dfrac{x}{x + 2}.
  • Mínimo común denominador — la expresión más pequeña que es divisible entre todos los denominadores. El mínimo común denominador de x y x + 1 es x(x + 1).
  • Expresiones equivalentes — expresiones que dan el mismo valor para todo valor permitido de x.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Simplificar: cancela factores, nunca términos

Regla. Puedes cancelar un factor que aparece tanto en el numerador como en el denominador. No puedes cancelar un término.

Versión con números: \dfrac{12}{18} = \dfrac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}.

Fraction bars: a bar split into 18 parts with 12 shaded is the same length as a bar split into 3 parts with 2 shaded. 12/18 = (6 times 2)/(6 times 3) = 2/3, because the common factor 6 cancels.12/182/312/18 = (6 · 2)/(6 · 3) = 2/3: cancel the common factor 6
Barras de fracciones: 12/18 es igual a 2/3

Pasos para simplificar

  1. Factoriza completamente el numerador y el denominador (MCD, trinomios, diferencia de cuadrados).
  2. Anota los valores excluidos: cada x que hace que el denominador original sea 0.
  3. Cancela los factores comunes.

Ejemplo. \dfrac{4x + 12}{4} = \dfrac{4(x + 3)}{4} = x + 3. El 4 es factor de todo el numerador, así que se cancela.

Ejemplo. \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x + 2}, con x \ne -2 y x \ne -3.

La cancelación prohibida. En \dfrac{x + 6}{x} no puedes cancelar las x, porque la x de arriba es solo un término. Prueba con x = 2: \dfrac{2 + 6}{2} = 4, pero "cancelando" daría 6 o 7. No son iguales, así que la cancelación estaba mal.

Factor versus term. Left: in 4(x + 3) over 4, the 4 is a factor of the whole numerator, so the 4s cancel and the result is x + 3. Right: in (x + 6) over x, the top x is only a term added to 6, so it cannot cancel; testing x = 2 gives (2 + 6)/2 = 4, not 6.Factor: can cancel4(x + 3)4= x + 34 multiplies the WHOLE topTerm: cannot cancelx+ 6x≠ 6x = 2: (2 + 6)/2 = 4, not 6
Cancela un factor, no un término

Factores opuestos. x - 5 y 5 - x son opuestos: 5 - x = -(x - 5). Por eso \dfrac{5 - x}{x - 5} = -1.

Los valores excluidos vienen de la expresión original. Aunque (x + 3) se cancela arriba, x = -3 sigue sin estar permitido, porque la expresión original tiene un denominador igual a cero en ese valor.

Multiplicar y dividir

Multiplicar: multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, pero primero factoriza y cancela para que los números sigan siendo pequeños.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Ejemplo: \dfrac{x^2 - 4}{3x} \cdot \dfrac{6x^2}{x + 2}

  1. Factoriza: \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{3x} \cdot \dfrac{6x^2}{x + 2}.
  2. Cancela (x + 2) arriba y abajo; cancela 3x con 6x^2 para que quede 2x.
  3. Resultado: 2x(x - 2) = 2x^2 - 4x (con x \ne 0, -2).
Multiplying rational expressions: (x − 2)(x + 2) over 3x, times 6x squared over (x + 2). The factor (x + 2) cancels top and bottom, and 6x squared divided by 3x leaves 2x. The product is 2x(x − 2) = 2x squared − 4x, with x not equal to 0 or −2.(x − 2)(x + 2)3x·6x²(x + 2)cancel (x + 2)6x² ÷ 3x = 2x=2x(x − 2) = 2x² − 4xFactor first, cancel, then multiply what is left (x ≠ 0, −2)
Cancelar antes de multiplicar

Dividir: deja igual la primera fracción, cambia \div por \times y voltea la segunda fracción. Luego multiplica.

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
Keep, change, flip: a/b divided by c/d becomes a/b times d/c. Keep the first fraction, change the division sign to multiplication, and flip only the second fraction.ab÷cdab×dcKEEPCHANGEFLIPonly the secondfraction flips
Deja, cambia, voltea

Ejemplo: \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \div \dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \cdot \dfrac{x + 3}{x - 2} = x + 2.

Solo se voltea la segunda fracción. Voltear la primera (o las dos) es una respuesta incorrecta común.

Restricciones en la división. El numerador anterior de la fracción volteada se convierte en denominador, así que tampoco puede ser cero. Arriba, x \ne -3 y también x \ne 2.

Sumar y restar

Mismo denominador: suma o resta los numeradores; deja el denominador igual.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Nunca sumes los denominadores. \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x}, no \dfrac{2}{2x}.

¿Vas a restar? Pon el segundo numerador entre paréntesis. El signo menos se aplica a todos sus términos:

\frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x + 2} = \frac{3x + 1 - (x - 5)}{x + 2} = \frac{3x + 1 - x + 5}{x + 2} = \frac{2x + 6}{x + 2}
Subtracting a numerator: in 3x + 1 − (x − 5), arrows show the minus sign applying to both terms in the parentheses, giving 3x + 1 − x + 5 = 2x + 6.3x + 1−(x − 5)3x + 1− x+ 5= 2x + 6the minus sign reachesEVERY term in the group
El signo menos llega a todos los términos

Denominadores diferentes:

  1. Factoriza cada denominador.
  2. Arma el mínimo común denominador: usa cada factor diferente tantas veces como aparezca en cualquiera de los denominadores.
  3. Multiplica cada numerador por lo que le falta a su denominador.
  4. Combina los numeradores; simplifica; factoriza y cancela si se puede.

Ejemplo: \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x + 1}. Denominador común = x(x + 1).

\frac{3(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 3 + 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 3}{x(x + 1)}
DenominadoresMínimo común denominador
x y 2x2x
x y x + 1x(x + 1)
x - 2 y x^2 - 4(x - 2)(x + 2)
x + 3 y x - 1(x + 3)(x - 1)
Consejo

Denominadores opuestos y respuestas que se ven diferentes

Factores opuestos. Los binomios x - 2 y 2 - x son opuestos: 2 - x = -(x - 2). Reconocerlos te evita armar un denominador común enorme.

Ejemplo: \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{1}{2 - x}. Vuelve a escribir la segunda fracción sacando el signo negativo de su denominador:

\frac{1}{2 - x} = \frac{1}{-(x - 2)} = -\frac{1}{x - 2}

Ahora los denominadores coinciden:

\frac{3}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

Comprueba con x = 4: \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{-2} = 1, y \dfrac{2}{2} = 1 ✓.

Misma respuesta, distinto aspecto. El GED® puede escribir la respuesta correcta de una forma que se ve diferente de la tuya. Todas estas son equivalentes:

\frac{2x + 6}{x + 2} = \frac{2(x + 3)}{x + 2} \qquad -\frac{1}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} = \frac{-1}{x - 2}

Si tu respuesta no está entre las opciones, intenta factorizarla, multiplicarla o mover un signo negativo. Si todavía tienes dudas, sustituye el mismo valor de prueba en tu respuesta y en cada opción.

Fórmula

Reglas de fracciones (memorízalas; no están en la hoja de fórmulas)

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c} \qquad \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \frac{ak}{bk} = \frac{a}{b} \quad (k \ne 0)
  • a, b, c, d, k pueden ser números o polinomios completos. Pon cada uno entre paréntesis cuando sustituyas.
  • Ningún denominador puede ser 0.

Estas reglas no están en la hoja de fórmulas del GED®. Son las mismas reglas que usas con fracciones numéricas, así que memorízalas de esa forma.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Simplifica e indica las restricciones

Simplifica \dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} e indica los valores excluidos.

Example 1: (x − 3)(x + 3) over (x + 2)(x + 3). The common factor (x + 3) is crossed out on top and bottom, leaving (x − 3)/(x + 2). A number line marks the excluded values x = −3 and x = −2 with open red circles, because the original denominator is zero there.(x − 3)(x + 3)(x + 2)(x + 3)=x − 3x + 2−5−4−3−2−1012x ≠ −3x ≠ −2excluded values comefrom the ORIGINAL bottom
Cancela (x + 3); valores excluidos en una recta numérica
  1. Factoriza el numerador (diferencia de cuadrados): x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
  2. Factoriza el denominador: x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
  3. Valores excluidos del denominador original: x \ne -2 y x \ne -3.
  4. Cancela el factor común (x + 3).

Respuesta: \dfrac{x - 3}{x + 2}, con x \ne -2, -3

Comprobación: x = 1: original \dfrac{1 - 9}{1 + 5 + 6} = \dfrac{-8}{12} = -\dfrac{2}{3}; simplificada \dfrac{1 - 3}{1 + 2} = -\dfrac{2}{3} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2: Divide

Simplifica \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} \div \dfrac{x + 2}{x + 3}.

Example 2 after keep-change-flip and factoring: (x − 3)(x + 2) over (x − 3)(x + 3), times (x + 3) over (x + 2). Matching factors are colour-coded: (x − 3) with (x − 3), (x + 3) with (x + 3), (x + 2) with (x + 2). All are crossed out, so the quotient is 1 for x not equal to 3, −3 or −2.(x − 3)(x + 2)(x − 3)(x + 3)·(x + 3)(x + 2)= 1Every factor cancels with a matching partner.x ≠ 3, −3, −2
Todos los factores se cancelan y queda 1
  1. Deja, cambia, voltea: \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9} \cdot \dfrac{x + 3}{x + 2}.
  2. Factoriza: x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) y x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
  3. Escríbelo completo: \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \dfrac{x + 3}{x + 2}.
  4. Cancela (x - 3), (x + 2) y (x + 3). Todo se cancela.

Respuesta: 1 (para x \ne 3, -3, -2)

Comprobación: x = 4: la primera fracción es \dfrac{16 - 4 - 6}{16 - 9} = \dfrac{6}{7} y la segunda es \dfrac{4 + 2}{4 + 3} = \dfrac{6}{7}, así que el cociente es \dfrac{6}{7} \div \dfrac{6}{7} = 1 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3: Suma con denominadores diferentes

Escribe \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x + 1} como una sola fracción.

Example 3: building the LCD x(x + 1). 3/x is multiplied by (x + 1)/(x + 1) to get 3(x + 1) over x(x + 1). 2/(x + 1) is multiplied by x/x to get 2x over x(x + 1). Adding the numerators gives (5x + 3) over x(x + 1).3x×(x + 1)(x + 1)=3(x + 1)x(x + 1)2x + 1×xx=2xx(x + 1)5x + 3x(x + 1)LCD = x(x + 1)Multiply each top by what its bottom is missing
Cómo armar el denominador común x(x + 1)
  1. Denominador común = x(x + 1).
  2. A la primera fracción le falta (x + 1): \dfrac{3(x + 1)}{x(x + 1)}.
  3. A la segunda fracción le falta x: \dfrac{2x}{x(x + 1)}.
  4. Suma los numeradores: 3x + 3 + 2x = 5x + 3.

Respuesta: \dfrac{5x + 3}{x(x + 1)}

Comprobación: x = 2: \dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{13}{6}; fórmula \dfrac{13}{2 \cdot 3} = \dfrac{13}{6} ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): Tiempo total manejando

Ana maneja 60 millas hasta un lugar de trabajo a r millas por hora y regresa 10 mph más rápido. Escribe su tiempo total manejando como una sola expresión racional.

Example 4 trip diagram: 60 miles to the job site at r miles per hour and 60 miles back at r + 10 miles per hour. Time = distance divided by rate, so total time = 60/r + 60/(r + 10) = (120r + 600) over r(r + 10). With r = 50: 1.2 hours + 1 hour = 2.2 hours.StartJob sitethere: 60 mi at r mphback: 60 mi at (r + 10) mph60r+60r + 10=120r + 600r(r + 10)time = distance ÷ rate. r = 50: 1.2 h + 1 h = 2.2 h
Viaje de ida a r mph y de regreso a r + 10 mph
  1. Tiempo = distancia ÷ tasa. Ida: \dfrac{60}{r}. Regreso: \dfrac{60}{r + 10}.
  2. Total: \dfrac{60}{r} + \dfrac{60}{r + 10}. Denominador común = r(r + 10).
  3. Vuelve a escribir: \dfrac{60(r + 10)}{r(r + 10)} + \dfrac{60r}{r(r + 10)}.
  4. Suma los numeradores: 60r + 600 + 60r = 120r + 600.

Respuesta: \dfrac{120r + 600}{r(r + 10)} horas

Comprobación: r = 50: \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{60} = 1.2 + 1 = 2.2 h; fórmula \dfrac{6000 + 600}{50 \cdot 60} = \dfrac{6600}{3000} = 2.2 ✓

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®, trabaja hacia atrás): El lado que falta de un rectángulo

Un rectángulo tiene un área de \dfrac{x^2 - 9}{x + 1} pies cuadrados y un largo de \dfrac{x + 3}{2x + 2} pies. Halla una expresión para su ancho.

Example 5 rectangle drawn to scale for x = 5. Its area is (x squared − 9)/(x + 1) square feet and its length is (x + 3)/(2x + 2) feet; the width is area divided by length, 2x − 6. At x = 5 the area is 8/3, the length 2/3 and the width 4 feet.area = (x² − 9)/(x + 1)width = area ÷ length = 2x − 6length = (x + 3)/(2x + 2)Drawn for x = 5: area 8/3 sq ft, length 2/3 ft, width 4 ft(8/3) ÷ (2/3) = 4 = 2(5) − 6
Rectángulo: ancho = área ÷ largo
  1. Ancho = área ÷ largo: \dfrac{x^2 - 9}{x + 1} \div \dfrac{x + 3}{2x + 2}.
  2. Voltea la segunda: \dfrac{x^2 - 9}{x + 1} \cdot \dfrac{2x + 2}{x + 3}.
  3. Factoriza: \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 1} \cdot \dfrac{2(x + 1)}{x + 3}.
  4. Cancela (x + 3) y (x + 1): 2(x - 3).

Respuesta: ancho = 2(x - 3) = 2x - 6 pies

Comprobación: x = 5: área \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}, largo \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}, ancho \dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{3} = 4, y 2(5) - 6 = 4 ✓

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: la comprobación por sustitución

La TI-30XS MultiView no puede simplificar álgebra, pero sí puede comprobar si dos expresiones son equivalentes.

  1. Elige un valor de prueba que no sea un valor excluido, como x = 4 o x = 5.
  2. Usa la tecla n/d para escribir fracciones apiladas. Para \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x + 1} con x = 2: n/d 3 ▼ 2 ▶ + n/d 2 ▼ ( 2 + 1 ) ▶ enter.
  3. Evalúa cada opción de respuesta de la misma forma. La opción correcta da el mismo valor.
  4. Presiona toggle para cambiar un resultado entre fracción y decimal; así es más fácil comparar.

Cuándo no usarla: cuando la factorización es fácil, hacerla a mano es más rápido. Y ten cuidado: a veces un solo valor de prueba coincide por casualidad con una respuesta incorrecta, así que si dos opciones coinciden, prueba con un segundo valor.

Error común

Errores comunes

  • Cancelar términos. Incorrecto: \dfrac{x + 6}{x} = 6. Correcto: no se puede simplificar. Solo cancela factores de todo el numerador y todo el denominador.
  • Sumar los denominadores. Incorrecto: \dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{x} = \dfrac{7}{2x}. Correcto: \dfrac{7}{x}. Cuando los denominadores son iguales, se quedan igual.
  • No distribuir el signo menos. Incorrecto: \dfrac{3x + 1 - x - 5}{x + 2}. Correcto: \dfrac{3x + 1 - x + 5}{x + 2}, porque -(x - 5) = -x + 5.
  • Voltear la fracción equivocada. Al dividir, voltea solo la segunda fracción.
  • Olvidar multiplicar el numerador. Al armar el denominador común, lo que multiplicas abajo también lo multiplicas arriba.
  • Perder las restricciones. Los valores excluidos vienen de los denominadores originales (y, en la división, del numerador del divisor), aunque esos factores se cancelen.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Primero factoriza todo. La mayoría de las preguntas de expresiones racionales se vuelven fáciles en cuanto factorizas cada numerador y cada denominador.
  • Sustituye un número (que no sea 0, 1 ni un valor excluido) para comparar la original con cada opción de respuesta.
  • Elimina por la forma. Si una opción suma los denominadores o "cancela" un solo término, descártala.
  • Cuidado con el signo de la resta: dibuja paréntesis alrededor del segundo numerador antes de combinar.
  • Lee la pregunta dos veces: "simplifica", "equivalente a" y "valores excluidos" son tareas diferentes.
  • Tiempo: si una opción no coincidió con un valor de prueba, pasa a la siguiente opción en vez de volver a hacer el álgebra.

Compruébalo

Operaciones con expresiones racionalesSin calculadora

Which expression is equivalent to \dfrac{4x + 12}{4}?

Opciones de respuesta
Pista

Can you factor the numerator so that a 4 is multiplied by the whole thing?

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{4x + 12}{4}?

Opciones

  • A. x + 12
  • B. x + 3
  • C. 4x + 3
  • D. 4x + 8
Pista

¿Puedes factorizar el numerador para que un 4 multiplique a todo el resto?

Compruébalo

Operaciones con expresiones racionalesSin calculadora

Simplify: \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}, for x \ne 5.

Opciones de respuesta
Pista

Factor the numerator. It is a difference of two squares.

Ver en español

Pregunta

Simplifica: \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}, para x \ne 5.

Opciones

  • A. x - 5
  • B. x^2 + 5
  • C. x - 20
  • D. x + 5
Pista

Factoriza el numerador. Es una diferencia de dos cuadrados.

Resumen

  • Simplifica factorizando completamente y cancelando factores comunes, nunca términos.
  • Los valores excluidos hacen que un denominador original sea cero.
  • Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir, voltea la segunda fracción y multiplica.
  • Suma o resta solo con un denominador común; nunca sumes los denominadores; pon entre paréntesis el numerador que se resta.
  • Comprueba cualquier respuesta sustituyendo un valor de prueba seguro.
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