Consejo: Busca un factor del numerador que sea exactamente igual al denominador. Entonces se cancela el factor completo, no solo los números que tiene adentro.
Ver en español
Pregunta
Simplifica: \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}, para x \ne 5.
Opciones
A.x - 5
B.x^2 + 5
C.x - 20
D.x + 5
Pista
Factoriza el numerador. Es una diferencia de dos cuadrados.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadoraCompletar
The sum \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{2x} can be written as a single fraction \dfrac{a}{2x}.
What is the value of a?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The common denominator is 2x. What must you multiply the first fraction's top and bottom by?
Solución paso a paso
The LCD of x and 2x is 2x.
Rewrite the first fraction with denominator 2x: multiply top and bottom by 2, so \dfrac{2}{x} = \dfrac{4}{2x}.
The second fraction already has denominator 2x.
Add the numerators: \dfrac{4}{2x} + \dfrac{3}{2x} = \dfrac{7}{2x}.
So a = 7.
Answer: a = 7
Check: Let x = 1: \dfrac{2}{1} + \dfrac{3}{2} = 3.5, and \dfrac{7}{2} = 3.5 ✓.
Tip: When you change a denominator, multiply the numerator by the same thing. Adding 2 + 3 = 5 without adjusting the first numerator is the usual mistake.
Explicación
El mínimo común denominador de x y 2x es 2x.
Reescribe la primera fracción con denominador 2x: multiplica arriba y abajo por 2, así que \dfrac{2}{x} = \dfrac{4}{2x}.
La segunda fracción ya tiene denominador 2x.
Suma los numeradores: \dfrac{4}{2x} + \dfrac{3}{2x} = \dfrac{7}{2x}.
Así que a = 7.
Respuesta: a = 7
Comprobación: Sea x = 1: \dfrac{2}{1} + \dfrac{3}{2} = 3.5, y \dfrac{7}{2} = 3.5 ✓.
Consejo: Cuando cambias un denominador, multiplica el numerador por lo mismo. Sumar 2 + 3 = 5 sin ajustar el primer numerador es el error común.
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Pregunta
La suma \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{2x} se puede escribir como una sola fracción \dfrac{a}{2x}.
¿Cuál es el valor de a?
Pista
El denominador común es 2x. ¿Por cuánto debes multiplicar el numerador y el denominador de la primera fracción?
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to \dfrac{x^2 + 6x}{3x}, for x \ne 0?
Pista
Factor the numerator first. You may cancel only a factor that multiplies the entire top and the entire bottom.
Solución paso a paso
Factor the numerator: x^2 + 6x = x(x + 6).
Write the fraction: \dfrac{x(x + 6)}{3x}.
The factor x is in both the numerator and the denominator, so cancel it: \dfrac{x + 6}{3}.
Nothing else cancels: 3 does not divide the whole numerator x + 6.
Answer: \dfrac{x + 6}{3}
Check: Let x = 3: original \dfrac{9 + 18}{9} = \dfrac{27}{9} = 3; answer \dfrac{3 + 6}{3} = 3 ✓.
Tip: Dividing a sum by a monomial means dividing every term: \dfrac{x^2}{3x} + \dfrac{6x}{3x} = \dfrac{x}{3} + 2, which is the same as \dfrac{x + 6}{3}.
Explicación
Factoriza el numerador: x^2 + 6x = x(x + 6).
Escribe la fracción: \dfrac{x(x + 6)}{3x}.
El factor x está en el numerador y en el denominador, así que cancélalo: \dfrac{x + 6}{3}.
Nada más se cancela: 3 no divide a todo el numerador x + 6.
Respuesta: \dfrac{x + 6}{3}
Comprobación: Sea x = 3: original \dfrac{9 + 18}{9} = \dfrac{27}{9} = 3; respuesta \dfrac{3 + 6}{3} = 3 ✓.
Consejo: Dividir una suma entre un monomio significa dividir cada término: \dfrac{x^2}{3x} + \dfrac{6x}{3x} = \dfrac{x}{3} + 2, que es lo mismo que \dfrac{x + 6}{3}.
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Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{x^2 + 6x}{3x}, para x \ne 0?
Opciones
A.x + 2
B.x^2 + 2
C.2x
D.\dfrac{x + 6}{3}
Pista
Primero factoriza el numerador. Solo puedes cancelar un factor que multiplica a todo el numerador y a todo el denominador.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
For which values of x is \dfrac{x + 1}{x^2 - 9} undefined?
Pista
A fraction is undefined when its denominator equals 0. Solve x^2 - 9 = 0.
Solución paso a paso
A rational expression is undefined when the denominator is 0.
Set the denominator equal to 0: x^2 - 9 = 0.
Factor: (x - 3)(x + 3) = 0.
So x - 3 = 0 or x + 3 = 0, giving x = 3 or x = -3.
The numerator (x + 1) does not affect where the expression is undefined.
Answer: x = 3 and x = -3
Check: At x = 3: denominator 9 - 9 = 0 ✓. At x = -3: 9 - 9 = 0 ✓. At x = -1: denominator 1 - 9 = -8, so the expression is \dfrac{0}{-8} = 0, which is defined.
Tip:x^2 = 9 has two solutions, 3 and -3. Do not forget the negative root.
Explicación
Una expresión racional es indefinida cuando el denominador es 0.
Iguala el denominador a 0: x^2 - 9 = 0.
Factoriza: (x - 3)(x + 3) = 0.
Entonces x - 3 = 0 o x + 3 = 0, lo que da x = 3 o x = -3.
El numerador (x + 1) no afecta dónde la expresión es indefinida.
Respuesta: x = 3 y x = -3
Comprobación: En x = 3: denominador 9 - 9 = 0 ✓. En x = -3: 9 - 9 = 0 ✓. En x = -1: denominador 1 - 9 = -8, así que la expresión es \dfrac{0}{-8} = 0, que sí está definida.
Consejo:x^2 = 9 tiene dos soluciones, 3 y -3. No olvides la raíz negativa.
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Pregunta
¿Para qué valores de x es indefinida \dfrac{x + 1}{x^2 - 9}?
Opciones
A.x = 3 y x = -3
B.x = -1
C.x = 3 solamente
D.x = 9 y x = -9
Pista
Una fracción es indefinida cuando su denominador es igual a 0. Resuelve x^2 - 9 = 0.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Which expression is equivalent to \dfrac{3x}{x + 2} \cdot \dfrac{x + 2}{6}, for x \ne -2?
Pista
Multiply straight across, or cancel common factors first. Which factor appears on both top and bottom?
Solución paso a paso
Multiply numerators and denominators: \dfrac{3x(x + 2)}{6(x + 2)}.
Cancel the common factor (x + 2): \dfrac{3x}{6}.
Simplify the numbers: \dfrac{3x}{6} = \dfrac{x}{2}.
Answer: \dfrac{x}{2}
Check: Let x = 4: \dfrac{12}{6} \cdot \dfrac{6}{6} = 2 \cdot 1 = 2, and \dfrac{4}{2} = 2 ✓.
Tip: In multiplication, you can cancel a factor in any numerator against the same factor in any denominator. You do not need a common denominator to multiply.
Explicación
Multiplica numeradores y denominadores: \dfrac{3x(x + 2)}{6(x + 2)}.
Cancela el factor común (x + 2): \dfrac{3x}{6}.
Simplifica los números: \dfrac{3x}{6} = \dfrac{x}{2}.
Respuesta: \dfrac{x}{2}
Comprobación: Sea x = 4: \dfrac{12}{6} \cdot \dfrac{6}{6} = 2 \cdot 1 = 2, y \dfrac{4}{2} = 2 ✓.
Consejo: En la multiplicación, puedes cancelar un factor de cualquier numerador con el mismo factor de cualquier denominador. No necesitas un denominador común para multiplicar.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{3x}{x + 2} \cdot \dfrac{x + 2}{6}, para x \ne -2?
Opciones
A.\dfrac{2}{x}
B.\dfrac{x}{2}
C.\dfrac{x + 2}{2}
D.\dfrac{4x + 2}{x + 8}
Pista
Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, o primero cancela los factores comunes. ¿Qué factor aparece arriba y abajo?
Pregunta 7 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \div \dfrac{x - 2}{x + 3} for all values of x where it is defined?
Pista
Keep the first fraction, change \div to \times, and flip the second fraction. Then factor and cancel.
Consejo: Aplica la propiedad distributiva con cuidado: 2(x - 1) es 2x - 2, no 2x - 1. Cada numerador se multiplica por todo el factor que falta.
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Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{2}{x + 3} + \dfrac{5}{x - 1}?
Opciones
A.\dfrac{7}{2x + 2}
B.\dfrac{7x + 13}{(x + 3)(x - 1)}
C.\dfrac{7x + 14}{(x + 3)(x - 1)}
D.\dfrac{7}{(x + 3)(x - 1)}
Pista
Los denominadores no tienen ningún factor en común, así que el mínimo común denominador es su producto. Multiplica cada numerador por el factor que le falta a su denominador.
Pregunta 10 de 36
Completar
A delivery driver travels 120 miles at an average speed of r miles per hour, then another 120 miles at r + 20 miles per hour. Her total driving time, in hours, is
\frac{120}{r} + \frac{120}{r + 20}
Written as a single fraction, the total is \dfrac{240r + k}{r(r + 20)}. What is the value of k?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Use the LCD r(r + 20). Multiply each numerator by what its denominator is missing, then add.
Consejo: La constante del numerador sale de distribuir 120 en (r + 20): 120 \cdot 20 = 2400. Si olvidas distribuir, obtienes k = 20 o k = 0.
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Pregunta
Una repartidora recorre 120 millas a una rapidez promedio de r millas por hora y luego otras 120 millas a r + 20 millas por hora. Su tiempo total manejando, en horas, es
\frac{120}{r} + \frac{120}{r + 20}
Escrito como una sola fracción, el total es \dfrac{240r + k}{r(r + 20)}. ¿Cuál es el valor de k?
Pista
Usa el denominador común r(r + 20). Multiplica cada numerador por lo que le falta a su denominador y luego suma.
Pregunta 11 de 36
Varias respuestas
Select all expressions that are equivalent to \dfrac{2x + 6}{x^2 - 9} for every value of x where they are defined.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Factor the numerator (GCF) and the denominator (difference of squares).
Solución paso a paso
Factor the numerator: 2x + 6 = 2(x + 3).
Factor the denominator: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).
So the expression equals \dfrac{2(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} — this factored form is itself equivalent.
Comprobación: Sea x = 5: original \dfrac{16}{16} = 1; \dfrac{2}{5 - 3} = 1 ✓; \dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 8} = 1 ✓; pero \dfrac{2}{8} = 0.25 ✗ y \dfrac{16}{4} = 4 ✗.
Consejo: Una forma factorizada pero sin cancelar sigue siendo equivalente. En las preguntas de "selecciona todas", prueba cada opción con el mismo valor de x.
Ver en español
Pregunta
Selecciona todas las expresiones que son equivalentes a \dfrac{2x + 6}{x^2 - 9} para todo valor de x donde están definidas.
Opciones
A.\dfrac{2}{x - 3}
B.\dfrac{2(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}
C.\dfrac{2}{x + 3}
D.\dfrac{2x + 6}{(x - 3)^2}
Pista
Factoriza el numerador (MCD) y el denominador (diferencia de cuadrados).
Pregunta 12 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{3x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 5}{x + 2}?
Pista
The denominators match. Subtract the entire second numerator — put it in parentheses first.
Solución paso a paso
The denominators are the same, so subtract the numerators: \dfrac{(3x + 1) - (x - 5)}{x + 2}.
Distribute the minus sign: -(x - 5) = -x + 5.
Combine: 3x + 1 - x + 5 = 2x + 6.
Result: \dfrac{2x + 6}{x + 2}. (It can also be written \dfrac{2(x + 3)}{x + 2}; nothing cancels.)
Answer: \dfrac{2x + 6}{x + 2}
Check: Let x = 1: \dfrac{4}{3} - \dfrac{-4}{3} = \dfrac{8}{3}, and \dfrac{2 + 6}{3} = \dfrac{8}{3} ✓.
Tip: A minus sign in front of a fraction changes the sign of every term in that numerator. Writing the parentheses makes the sign change automatic.
Explicación
Los denominadores son iguales, así que resta los numeradores: \dfrac{(3x + 1) - (x - 5)}{x + 2}.
Distribuye el signo menos: -(x - 5) = -x + 5.
Combina: 3x + 1 - x + 5 = 2x + 6.
Resultado: \dfrac{2x + 6}{x + 2}. (También se puede escribir \dfrac{2(x + 3)}{x + 2}; no se cancela nada.)
Respuesta: \dfrac{2x + 6}{x + 2}
Comprobación: Sea x = 1: \dfrac{4}{3} - \dfrac{-4}{3} = \dfrac{8}{3}, y \dfrac{2 + 6}{3} = \dfrac{8}{3} ✓.
Consejo: Un signo menos delante de una fracción cambia el signo de cada término de ese numerador. Escribir los paréntesis hace que el cambio de signo sea automático.
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Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{3x + 1}{x + 2} - \dfrac{x - 5}{x + 2}?
Opciones
A.\dfrac{2x - 4}{x + 2}
B.\dfrac{4x - 4}{x + 2}
C.\dfrac{2x + 6}{2x + 4}
D.\dfrac{2x + 6}{x + 2}
Pista
Los denominadores son iguales. Resta todo el segundo numerador; primero ponlo entre paréntesis.
Pregunta 13 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{5}{2x} - \dfrac{1}{3x}?
Pista
Find the least common denominator of 2x and 3x. Multiply each numerator by the same thing as its denominator.
Solución paso a paso
The LCD of 2x and 3x is 6x.
Rewrite the first fraction: \dfrac{5}{2x} = \dfrac{5 \cdot 3}{2x \cdot 3} = \dfrac{15}{6x}.
Consejo: Sin paréntesis, muchos estudiantes escriben 2x + 9 - x + 13 y obtienen \dfrac{x + 22}{x - 4}. El signo menos afecta a cada término del segundo numerador.
Ver en español
Pregunta
Para x \ne 4, la expresión
\frac{2x + 9}{x - 4} - \frac{x + 13}{x - 4}
se simplifica a un número entero. ¿Cuál es ese número?
Pista
Los denominadores ya son iguales. Resta todo el segundo numerador; primero ponlo entre paréntesis.
Pregunta 15 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{x^2 + 3x}{x - 5} \div \dfrac{x}{x^2 - 25} for all values of x where it is defined?
Pista
Dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal. Flip only the second fraction, then factor and cancel.
Solución paso a paso
Rewrite as multiplication by the reciprocal: \dfrac{x^2 + 3x}{x - 5} \cdot \dfrac{x^2 - 25}{x}.
Consejo: Cancela también los números: un 8 arriba y un 4 abajo dejan 2. Hacer todas las cancelaciones antes de multiplicar mantiene los números pequeños.
Ver en español
Pregunta
Multiplica y simplifica:
\frac{x^2 - 1}{4x} \cdot \frac{8x}{x + 1}
La forma más simple es un número entero por (x - 1). ¿Qué número entero? (Supón que x no es un valor excluido).
Pista
Factoriza x^2 - 1. Luego cancela x, (x + 1) y cualquier número común.
Pregunta 17 de 36
What is the simplest form of the fraction \dfrac{6 - 2x}{x - 3}? (Assume x does not equal 3.)
Pista
Factor -2 out of the numerator. Compare what is left with the denominator.
Solución paso a paso
Factor the numerator: 6 - 2x = -2(x - 3). (Check: -2 \cdot x = -2x and -2 \cdot (-3) = 6.)
The fraction is \dfrac{-2(x - 3)}{x - 3}.
Cancel (x - 3): the result is -2.
Answer: -2
Check: Let x = 5: \dfrac{6 - 10}{5 - 3} = \dfrac{-4}{2} = -2 ✓. Let x = 0: \dfrac{6}{-3} = -2 ✓.
Tip:(3 - x) and (x - 3) are opposites: \dfrac{3 - x}{x - 3} = -1. Whenever you see reversed subtraction, factor out -1.
Explicación
Factoriza el numerador: 6 - 2x = -2(x - 3). (Comprueba: -2 \cdot x = -2x y -2 \cdot (-3) = 6.)
Consejo: Elige un número de prueba (que no sea un valor excluido) y evalúa cada expresión y cada ficha. Es la forma más rápida de emparejarlas.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada resultado simplificado a la casilla debajo de la expresión a la que es igual. Un resultado no se usa. (Supón que x no es un valor excluido).
\dfrac{x}{x + 4} + \dfrac{4}{x + 4}
\dfrac{x + 4}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 4}
\dfrac{x^2 - 16}{x} \div \dfrac{x - 4}{x}
_____
_____
_____
Opciones
1
x
x + 4
x - 4
Pista
Haz cada operación por separado. En la división, primero voltea la segunda fracción.
Pregunta 19 de 36
Kim simplified \dfrac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4}. Her work is shown.
Step 1:\dfrac{(x + 4)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
Step 2:\dfrac{x + 4}{x + 2}
Step 3:\dfrac{4}{2} = 2
Which statement is true?
Pista
Check each factorization by multiplying. Then ask: what can legally be canceled in Step 3?
Paso 2: cancelar el factor común (x - 2) es correcto ✓.
Paso 3: Kim tachó la x de x + 4 y de x + 2. Pero x es un término, no un factor de todo el numerador y todo el denominador, así que no se puede cancelar. ✗
La forma simplificada es \dfrac{x + 4}{x + 2}.
Respuesta: El Paso 3 es incorrecto; la respuesta es \dfrac{x + 4}{x + 2}.
Comprobación: Sea x = 1: original \dfrac{1 + 2 - 8}{1 - 4} = \dfrac{-5}{-3} = \dfrac{5}{3}; \dfrac{1 + 4}{1 + 2} = \dfrac{5}{3} ✓; pero el 2 de Kim no es \dfrac{5}{3}.
Consejo: Cancela solo lo que está multiplicado por todo lo demás. Las partes unidas por + o - se quedan.
Ver en español
Pregunta
Kim simplificó \dfrac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4}. Este es su trabajo.
Paso 1:\dfrac{(x + 4)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}
Paso 2:\dfrac{x + 4}{x + 2}
Paso 3:\dfrac{4}{2} = 2
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El Paso 1 está mal; el numerador debería factorizarse como (x - 4)(x + 2).
B. El Paso 2 está mal; (x - 2) no se puede cancelar.
C. Todos los pasos son correctos.
D. El Paso 3 está mal; x es un término, no un factor, así que no se puede cancelar.
Pista
Comprueba cada factorización multiplicando. Luego pregúntate: ¿qué se puede cancelar correctamente en el Paso 3?
Pregunta 20 de 36
Menú
Complete the statements about \dfrac{x - 4}{x^2 + 2x - 15}.
The expression is undefined when , and it equals 0 when .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Undefined: the denominator is 0. Equal to 0: the numerator is 0 (and the denominator is not).
Solución paso a paso
Undefined: set the denominator to 0: x^2 + 2x - 15 = 0.
Factor: numbers that multiply to -15 and add to 2 are 5 and -3, so (x + 5)(x - 3) = 0.
So the expression is undefined at x = -5 and x = 3.
Equal to 0: set the numerator to 0: x - 4 = 0, so x = 4. At x = 4 the denominator is 16 + 8 - 15 = 9 \ne 0, so the value really is \dfrac{0}{9} = 0.
Answer: undefined when x = 3 or x = -5; equals 0 when x = 4
Tip: Zeros of the bottom make it undefined; zeros of the top make it 0. The roots have the opposite sign of the numbers in the factors.
Explicación
Indefinida: iguala el denominador a 0: x^2 + 2x - 15 = 0.
Factoriza: los números que multiplicados dan -15 y sumados dan 2 son 5 y -3, así que (x + 5)(x - 3) = 0.
Entonces la expresión es indefinida en x = -5 y x = 3.
Igual a 0: iguala el numerador a 0: x - 4 = 0, así que x = 4. En x = 4 el denominador es 16 + 8 - 15 = 9 \ne 0, así que el valor realmente es \dfrac{0}{9} = 0.
Respuesta: indefinida cuando x = 3 o x = -5; igual a 0 cuando x = 4
Consejo: Los ceros de la parte de abajo la hacen indefinida; los ceros de la parte de arriba la hacen 0. Las raíces tienen el signo opuesto al de los números de los factores.
Ver en español
Pregunta
Completa las afirmaciones sobre \dfrac{x - 4}{x^2 + 2x - 15}.
La expresión es indefinida cuando _____, y es igual a 0 cuando _____.
Opciones
x = 3 o x = −5
x = −3 o x = 5
x = 4
x = 15
x = 4
x = −4
x = 3
nunca
Pista
Indefinida: el denominador es 0. Igual a 0: el numerador es 0 (y el denominador no).
Pregunta 21 de 36
Completar
Add \dfrac{x}{4} and \dfrac{x - 2}{6}. Written over the denominator 12, the result is \dfrac{ax - 4}{12}.
Enter the number a.
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The LCD of 4 and 6 is 12. Multiply each numerator by the same number as its denominator.
Consejo: Las preguntas difíciles de expresiones racionales del GED® muchas veces tienen un paso más después de combinar: factoriza el nuevo numerador y busca un factor para cancelar.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión es equivalente a \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{8}{x^2 - 4} para todos los valores de x donde está definida?
Opciones
A.\dfrac{x + 4}{x + 2}
B.\dfrac{x - 8}{x^2 - 4}
C.\dfrac{x + 4}{x - 2}
D.\dfrac{x - 4}{x - 2}
Pista
Primero factoriza x^2 - 4 para hallar el denominador común. Después de restar, revisa si el nuevo numerador se puede factorizar.
Pregunta 23 de 36
Arrastrar y soltar
Drag each simplified result into the box under the expression it equals. One result is not used. (Assume x is not an excluded value.)
\dfrac{x^2 - 1}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 1}
\dfrac{x^2 - 1}{x} \div \dfrac{x - 1}{x}
\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x - 1}
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Factor x^2 - 1 as a difference of squares. For the division, flip the second fraction. For the subtraction, the denominators already match.
Solución paso a paso
Product:\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 1}. Cancel (x + 1), and x into x^2: result x(x - 1).
Quotient:\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x} \cdot \dfrac{x}{x - 1}. Cancel x and (x - 1): result x + 1.
Difference: same denominators, so \dfrac{x - 1}{x - 1} = 1.
The tile x - 1 is not used.
Answer: x(x - 1); x + 1; 1
Check: Let x = 3. Product: \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = 6 and 3(2) = 6 ✓. Quotient: \dfrac{8}{3} \div \dfrac{2}{3} = 4 and 3 + 1 = 4 ✓. Difference: \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1 ✓.
Tip: One factorization, x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), unlocks both the product and the quotient. Factor first, then decide what cancels.
Explicación
Producto:\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 1}. Cancela (x + 1), y x con x^2: resultado x(x - 1).
Cociente:\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x} \cdot \dfrac{x}{x - 1}. Cancela x y (x - 1): resultado x + 1.
Diferencia: los denominadores son iguales, así que \dfrac{x - 1}{x - 1} = 1.
Consejo: Una sola factorización, x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), resuelve tanto el producto como el cociente. Factoriza primero y luego decide qué se cancela.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada resultado simplificado a la casilla debajo de la expresión a la que es igual. Un resultado no se usa. (Supón que x no es un valor excluido).
\dfrac{x^2 - 1}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 1}
\dfrac{x^2 - 1}{x} \div \dfrac{x - 1}{x}
\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x - 1}
_____
_____
_____
Opciones
x(x - 1)
x + 1
1
x - 1
Pista
Factoriza x^2 - 1 como diferencia de cuadrados. En la división, voltea la segunda fracción. En la resta, los denominadores ya son iguales.
Pregunta 24 de 36
Subtract and write the result as one fraction: \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 4}. Which choice is correct?
Pista
The LCD is (x - 2)(x + 4). Put the second new numerator in parentheses before subtracting.
Check: If x = 3: the pumps take 3 and 6 hours, so together they fill \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} of the tank per hour. Formula: \dfrac{2(3) + 3}{3 \cdot 6} = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2} ✓.
Tip: Rates add; times do not. Working together, the pumps do \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x + 3} of the job each hour.
Comprobación: Si x = 3: las bombas tardan 3 y 6 horas, así que juntas llenan \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} del tanque por hora. Fórmula: \dfrac{2(3) + 3}{3 \cdot 6} = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2} ✓.
Consejo: Las tasas se suman; los tiempos no. Trabajando juntas, las bombas hacen \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x + 3} del trabajo cada hora.
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Pregunta
Una bomba puede llenar un tanque de agua en x horas. Una segunda bomba tarda x + 3 horas. Trabajando juntas, la fracción del tanque que llenan en una hora es
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}
¿Qué fracción única es equivalente?
Opciones
A.\dfrac{2}{2x + 3}
B.\dfrac{2x + 3}{x(x + 3)}
C.\dfrac{2}{x(x + 3)}
D.\dfrac{2x + 3}{x^2 + 3}
Pista
Usa el denominador común x(x + 3). Cada numerador se multiplica por el factor que le falta a su denominador.
Pregunta 26 de 36
Multiply, then give the product in simplest form (assume no denominator equals 0):
\dfrac{2}{-x - 4} ✓ (multiplica arriba y abajo por -1)
\dfrac{2x - 10}{20 + x - x^2} ✓ (la original con arriba y abajo multiplicados por -1)
\dfrac{2}{x + 4} tiene el signo equivocado, y -\dfrac{2}{x - 4} sale de factorizar el denominador como (x + 5)(x - 4).
Respuesta: -\dfrac{2}{x + 4}, \dfrac{2}{-x - 4} y \dfrac{2x - 10}{20 + x - x^2}
Comprobación: Sea x = 1: original \dfrac{8}{-20} = -\dfrac{2}{5}; -\dfrac{2}{5} ✓; \dfrac{2}{-5} ✓; \dfrac{-8}{20} = -\dfrac{2}{5} ✓; pero \dfrac{2}{5} ✗.
Consejo: Una fracción conserva su valor si cambias el signo de arriba y el de abajo. Cambiar solo uno invierte el signo.
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Pregunta
Selecciona todas las expresiones que son equivalentes a \dfrac{10 - 2x}{x^2 - x - 20} para todos los valores de x donde las dos están definidas.
Opciones
A.-\dfrac{2}{x + 4}
B.\dfrac{2}{x + 4}
C.\dfrac{2}{-x - 4}
D.-\dfrac{2}{x - 4}
E.\dfrac{2x - 10}{20 + x - x^2}
Pista
Saca -2 como factor del numerador y factoriza el denominador. Recuerda que mover un signo negativo entre el numerador y el denominador no cambia el valor.
Pregunta 29 de 36
Luis subtracted \dfrac{x + 1}{x - 3} - \dfrac{x - 5}{x - 3}. His work is shown.
Step 1:\dfrac{(x + 1) - (x - 5)}{x - 3}
Step 2:\dfrac{x + 1 - x - 5}{x - 3}
Step 3:\dfrac{-4}{x - 3}
Which statement is true?
Pista
Look at how the parentheses were removed. What is -(x - 5)?
Solución paso a paso
Step 1: the denominators match, so subtracting the whole numerators in parentheses is correct ✓.
Step 2:-(x - 5) should be -x + 5. Luis wrote -x - 5, so the minus sign was not distributed to the -5. ✗
Correct Step 2: \dfrac{x + 1 - x + 5}{x - 3}.
Correct Step 3: \dfrac{6}{x - 3}.
Luis's Step 3 follows correctly from his Step 2, but Step 2 is where the error started.
Answer: Step 2 is the first error; the answer should be \dfrac{6}{x - 3}.
Check: Let x = 4: \dfrac{5}{1} - \dfrac{-1}{1} = 6, and \dfrac{6}{4 - 3} = 6 ✓; Luis's answer gives -4.
Tip: Subtracting a binomial flips both of its signs: -(x - 5) = -x + 5.
Explicación
Paso 1: los denominadores coinciden, así que restar los numeradores completos entre paréntesis es correcto ✓.
Paso 2:-(x - 5) debería ser -x + 5. Luis escribió -x - 5, así que no distribuyó el signo menos al -5. ✗
Paso 2 correcto: \dfrac{x + 1 - x + 5}{x - 3}.
Paso 3 correcto: \dfrac{6}{x - 3}.
El Paso 3 de Luis sale correctamente de su Paso 2, pero el error empezó en el Paso 2.
Respuesta: El Paso 2 es el primer error; la respuesta debería ser \dfrac{6}{x - 3}.
Comprobación: Sea x = 4: \dfrac{5}{1} - \dfrac{-1}{1} = 6, y \dfrac{6}{4 - 3} = 6 ✓; la respuesta de Luis da -4.
Consejo: Restar un binomio cambia los dos signos: -(x - 5) = -x + 5.
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Pregunta
Luis restó \dfrac{x + 1}{x - 3} - \dfrac{x - 5}{x - 3}. Este es su trabajo.
Paso 1:\dfrac{(x + 1) - (x - 5)}{x - 3}
Paso 2:\dfrac{x + 1 - x - 5}{x - 3}
Paso 3:\dfrac{-4}{x - 3}
¿Qué afirmación es verdadera?
Opciones
A. El Paso 1 es el primer error; también se deberían restar los denominadores.
B. El Paso 2 es el primer error; -(x - 5) debería ser -x + 5.
C. El Paso 3 es el primer error; 1 - 5 no es -4.
D. No hay ningún error.
Pista
Fíjate cómo se quitaron los paréntesis. ¿Cuánto es -(x - 5)?
Pregunta 30 de 36
Which expression is equivalent to \dfrac{2x^2 - 5x - 3}{4x^2 - 1} for all values of x where it is defined?
Pista
Factor the numerator with the ac-method and the denominator as a difference of squares.
Solución paso a paso
Numerator: a \cdot c = 2 \cdot (-3) = -6; numbers that multiply to -6 and add to -5 are -6 and 1.
Answer: \div in the first statement; - in the second
Check: Let x = 4: \dfrac{12}{4} \div \dfrac{6}{4} = 3 \cdot \dfrac{4}{6} = 2 = 4 - 2 ✓, and \dfrac{4}{2} - \dfrac{2}{2} = 2 - 1 = 1 ✓.
Tip: When a result has fewer factors than the inputs, think multiply or divide (canceling). When two fractions share a denominator and the result is simple, think add or subtract.
Explicación
Primera afirmación: prueba la división: \dfrac{x^2 - 4}{x} \cdot \dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2) \cdot x}{x(x + 2)} = x - 2 ✓.
La multiplicación da \dfrac{(x^2 - 4)(x + 2)}{x^2}; la suma da \dfrac{x^2 + x - 2}{x}; la resta da \dfrac{x^2 - x - 6}{x}. Ninguna es x - 2.
Segunda afirmación: prueba la resta (mismo denominador): \dfrac{x - 2}{x - 2} = 1 ✓.
La suma da \dfrac{x + 2}{x - 2}; la multiplicación da \dfrac{2x}{(x - 2)^2}; la división da \dfrac{x}{2}.
Respuesta: \div en la primera afirmación; - en la segunda
Consejo: Cuando un resultado tiene menos factores que las expresiones iniciales, piensa en multiplicar o dividir (cancelar). Cuando dos fracciones comparten denominador y el resultado es simple, piensa en sumar o restar.
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Pregunta
Elige la operación que hace verdadera cada afirmación para todos los valores de x donde las expresiones están definidas.
\dfrac{x^2 - 4}{x} _____ \dfrac{x + 2}{x} = x - 2
\dfrac{x}{x - 2} _____ \dfrac{2}{x - 2} = 1
Opciones
÷
×
+
−
−
+
×
÷
Pista
Prueba cada operación con el primer par. Para el segundo par, ¿qué operación puede convertir \dfrac{x}{x - 2} en \dfrac{x - 2}{x - 2}?
Pregunta 32 de 36
Three students made these claims (assume no denominator is 0).
Test each claim with simple numbers, like x = 1 and y = 1.
Solución paso a paso
Ana: she canceled the x terms. Test x = 1: \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}, but \dfrac{3}{5} \ne \dfrac{2}{3} ✗.
Ben: factor: \dfrac{x(x + 3)}{x(x + 5)}. The common factorx cancels, giving \dfrac{x + 3}{x + 5} ✓.
Cara: she added tops and bottoms. Test x = 1, y = 1: 1 + 1 = 2, but \dfrac{2}{2} = 1 ✗. The correct sum is \dfrac{y + x}{xy}.
Only Ben's claim is true.
Answer: Only Ben is correct.
Check: Ben at x = 1: \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} and \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} ✓.
Tip: Plugging in small numbers is a powerful way to test any algebra claim. One counterexample proves a claim false.
Explicación
Ana: canceló los términos x. Prueba x = 1: \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}, pero \dfrac{3}{5} \ne \dfrac{2}{3} ✗.
Ben: factoriza: \dfrac{x(x + 3)}{x(x + 5)}. El factor común x se cancela, lo que da \dfrac{x + 3}{x + 5} ✓.
Cara: sumó lo de arriba y lo de abajo. Prueba x = 1, y = 1: 1 + 1 = 2, pero \dfrac{2}{2} = 1 ✗. La suma correcta es \dfrac{y + x}{xy}.
Solo la afirmación de Ben es verdadera.
Respuesta: Solo Ben tiene razón.
Comprobación: Ben con x = 1: \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} y \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} ✓.
Consejo: Sustituir números pequeños es una forma poderosa de probar cualquier afirmación de álgebra. Un solo contraejemplo demuestra que una afirmación es falsa.
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Pregunta
Tres estudiantes hicieron estas afirmaciones (supón que ningún denominador es 0).
Cancela (x - 3) y (x + 5): largo = 2(x + 4) = 2x + 8.
Cuando x = 6: 2(6) + 8 = 20.
Respuesta: 20 m
Comprobación: Con x = 6: área = \dfrac{36 + 6 - 12}{11} = \dfrac{30}{11}; ancho = \dfrac{3}{22}. Entonces \dfrac{30}{11} \div \dfrac{3}{22} = \dfrac{30}{11} \cdot \dfrac{22}{3} = 20 ✓.
Consejo: Simplificar antes de sustituir convierte una aritmética de fracciones complicada en un solo cálculo fácil, y además te da una comprobación incorporada.
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Pregunta
Una lona rectangular tiene un área de \dfrac{x^2 + x - 12}{x + 5} metros cuadrados y un ancho de \dfrac{x - 3}{2x + 10} metros.
Halla una expresión simplificada para el largo de la lona. Luego da el largo, en metros, cuando x = 6.
_____ m
Pista
Largo = área ÷ ancho. Divide volteando el ancho y luego factoriza todo y cancela.
Pregunta 34 de 36
Completar
A cyclist rides 30 miles to a lake at r miles per hour and rides the same 30 miles back at r - 5 miles per hour. Her average speed for the whole trip is
\frac{60}{\dfrac{30}{r} + \dfrac{30}{r - 5}}
Simplify the expression. Then find her average speed, in miles per hour, when r = 15.
mph
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Combine the two times in the denominator into one fraction first. Then dividing 60 by a fraction means multiplying by its reciprocal.
Solución paso a paso
Combine the times with LCD r(r - 5): \dfrac{30(r - 5) + 30r}{r(r - 5)} = \dfrac{60r - 150}{r(r - 5)}.
Factor: 60r - 150 = 30(2r - 5), so total time = \dfrac{30(2r - 5)}{r(r - 5)}.
Comprobación: A 15 mph el viaje de ida tarda 2 h; a 10 mph el viaje de regreso tarda 3 h. Total: 60 millas en 5 horas = 12 mph ✓.
Consejo: La rapidez promedio es distancia total ÷ tiempo total, no el promedio de las dos rapideces. (15 + 10) \div 2 = 12.5 es una trampa.
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Pregunta
Una ciclista recorre 30 millas hasta un lago a r millas por hora y regresa las mismas 30 millas a r - 5 millas por hora. Su rapidez promedio en todo el viaje es
\frac{60}{\dfrac{30}{r} + \dfrac{30}{r - 5}}
Simplifica la expresión. Luego halla su rapidez promedio, en millas por hora, cuando r = 15.
_____ mph
Pista
Primero combina los dos tiempos del denominador en una sola fracción. Luego, dividir 60 entre una fracción significa multiplicar por su recíproco.
Pregunta 35 de 36
Completar
For all values of x where it is defined, the sum
\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x^2 - 1}
simplifies to \dfrac{a}{x - 1}. What is the value of a?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Factor x^2 - 1 to find the LCD. After adding, factor the numerator and cancel.
Solución paso a paso
Factor: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). This is the LCD.
Rewrite the first fraction: \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2x - 2}{(x - 1)(x + 1)}.
Consejo: Si un denominador es factor del otro, el mínimo común denominador es simplemente el más grande. Solo hay que reescribir la fracción más pequeña.
Ver en español
Pregunta
Para todos los valores de x donde está definida, la suma
\frac{2}{x + 1} + \frac{4}{x^2 - 1}
se simplifica a \dfrac{a}{x - 1}. ¿Cuál es el valor de a?
Pista
Factoriza x^2 - 1 para hallar el denominador común. Después de sumar, factoriza el numerador y cancela.
Pregunta 36 de 36
A paving crew covers \dfrac{2x^2 + 6x}{x - 4} square yards of road in \dfrac{x + 3}{x - 4} hours.
Which expression represents the crew's rate, in square yards per hour, for all values of x where it is defined?
Pista
Rate = amount ÷ time. Divide the area by the time by multiplying by the reciprocal.
Check: Let x = 5: area = \dfrac{50 + 30}{1} = 80 yd², time = \dfrac{8}{1} = 8 h, rate = 10 yd²/h, and 2(5) = 10 ✓.
Tip: For any rate (miles per hour, dollars per item), divide the amount by the time or count. With rational expressions, that means: multiply by the reciprocal.
Comprobación: Sea x = 5: área = \dfrac{50 + 30}{1} = 80 yd², tiempo = \dfrac{8}{1} = 8 h, tasa = 10 yd²/h, y 2(5) = 10 ✓.
Consejo: Para cualquier tasa (millas por hora, dólares por artículo), divide la cantidad entre el tiempo o el conteo. Con expresiones racionales, eso significa multiplicar por el recíproco.
Ver en español
Pregunta
Un equipo de pavimentación cubre \dfrac{2x^2 + 6x}{x - 4} yardas cuadradas de carretera en \dfrac{x + 3}{x - 4} horas.
¿Qué expresión representa la tasa del equipo, en yardas cuadradas por hora, para todos los valores de x donde está definida?
Opciones
A.2x
B.\dfrac{2x(x + 3)^2}{(x - 4)^2}
C.\dfrac{1}{2x}
D.2x^2 + 6x
Pista
Tasa = cantidad ÷ tiempo. Divide el área entre el tiempo multiplicando por el recíproco.
