GED Free
English Descarga la app
Menú

Escribir expresiones polinómicas a partir de situaciones

Convierte problemas verbales sobre áreas, bordes, cajas, números e ingresos en expresiones polinómicas.

Practicar esta destreza 25 min Escribir expresiones polinomiales a partir de un contexto Read in English
Idea clave

Lo que vas a aprender

Muchas preguntas del GED® describen una situación con palabras y preguntan: "¿Qué expresión representa…?". En lecciones anteriores escribiste expresiones lineales como 3x + 5. En esta lección, las situaciones producen polinomios: expresiones con x^2 o x^3, casi siempre porque se multiplican dos expresiones que tienen x.

Vas a aprender a:

  • Traducir correctamente frases como "el cuadrado de la suma" y "cinco menos que el cuadrado".
  • Escribir expresiones de área, perímetro y volumen para figuras cuyos lados tienen una variable.
  • Escribir expresiones para bordes, senderos, marcos y cajas abiertas.
  • Escribir expresiones de ingresos como (precio) × (cantidad vendida) cuando los dos cambian.
  • Simplificar la expresión multiplicando y comprobarla con un número de prueba.

Por qué importa en el GED®. Estas preguntas de "crear el modelo" son comunes en la parte de álgebra del examen. Las opciones de respuesta suelen incluir varias expresiones parecidas: un modelo correcto y otros que vienen de errores típicos, como sumar en vez de multiplicar o agregar el borde a un solo lado. Si puedes armar la expresión paso a paso, puedes elegir la correcta con seguridad.

En la vida real. Los contratistas usan estas expresiones para calcular el precio de un sendero alrededor de una piscina. Los negocios las usan para ver cómo un cambio de precio afecta sus ingresos. Los diseñadores de empaques las usan para ver cómo cortar una caja cambia su volumen.

Vocabulario

Palabras que debes saber

  • Variable — una letra que representa un número desconocido, como x o w.
  • Polinomio — una suma de términos con exponentes enteros, como 2w^2 + 3w o 4x^3 - 64x^2 + 240x.
  • Producto — el resultado de multiplicar. "El producto de n y n + 2" es n(n + 2).
  • Suma / diferencia — el resultado de sumar / restar.
  • Cuadrado de un número — el número multiplicado por sí mismo: el cuadrado de n es n^2.
  • Enteros consecutivos — números enteros seguidos: n, n + 1, n + 2. Los enteros pares o impares consecutivos aumentan de 2 en 2: n, n + 2, n + 4.
  • Área — el espacio dentro de una figura plana, en unidades cuadradas. Rectángulo: largo × ancho.
  • Perímetro — la distancia alrededor de una figura. Rectángulo: 2(\text{largo}) + 2(\text{ancho}).
  • Volumen — el espacio dentro de un sólido, en unidades cúbicas. Caja: largo × ancho × altura.
  • Borde uniforme — una franja del mismo ancho en todos los lados de una figura (un marco, un sendero, un margen).
  • Ingresos — el dinero que entra: precio por artículo × cantidad de artículos vendidos.
  • Forma simplificada (forma estándar) — con los términos semejantes combinados y escrita de la potencia más alta a la más baja, como -20x^2 + 60x + 3600.

Todas las palabras de Matemáticas en el glosario

Traducir palabras a expresiones polinómicas

La mayor parte del trabajo es leer con cuidado. Traduce una frase a la vez y respeta el orden que indican las palabras.

PalabrasExpresiónNotas
el cuadrado de un númeron^2no 2n
cinco menos que el cuadrado de un númeron^2 - 5"menos que" invierte el orden
el cuadrado de cinco menos que un número(n - 5)^2eleva al cuadrado todo el grupo
tres veces el cuadrado de un número3n^2solo n va al cuadrado
el cuadrado de tres veces un número(3n)^2 = 9n^2el 3 también va al cuadrado
el producto de un número y 4 más que éln(n + 4)multiplica las dos cantidades
el producto de dos enteros consecutivosn(n + 1)
el producto de dos enteros impares consecutivosn(n + 2)los impares están separados por 2

"Menos que" invierte el orden. "Siete menos que x^2" significa empezar con x^2 y quitarle 7: x^2 - 7. Escribir 7 - x^2 es una trampa clásica.

Palabras que agrupan. "El cuadrado de la suma de x y 4" eleva al cuadrado toda la suma: (x + 4)^2. "La suma del cuadrado de x y 4" eleva al cuadrado solo x: x^2 + 4. Fíjate qué sustantivo viene justo después de "el cuadrado de".

Two phrases compared. Left: 'the square of the sum of x and 4' is a square with side x + 4, made of x squared, two 4x rectangles and 16, so (x + 4) squared = x squared + 8x + 16. Right: 'the sum of the square of x and 4' is just an x by x square plus 4 more, x squared + 4. The two areas are different.x²4x4x16x4x4(x + 4)² = x² + 8x + 16the square of the sumx²x+4x² + 4the sum of the square and 4
(x + 4)² comparado con x² + 4

Simplifica después de escribirla. Las opciones de respuesta suelen estar en forma simplificada, así que multiplica:

n(n + 4) = n^2 + 4n \qquad (n - 5)^2 = n^2 - 10n + 25

Recuerda que (n - 5)^2 es (n - 5)(n - 5). No es n^2 - 25 ni n^2 + 25.

Figuras cuyos lados tienen una variable

Cuando la longitud de un lado es una expresión, usa la fórmula de geometría de siempre y pon cada lado entre paréntesis.

Rectángulo. Si el largo es 3 pies más que el doble del ancho w, entonces largo = 2w + 3.

\text{Área} = w(2w + 3) = 2w^2 + 3w \qquad \text{Perímetro} = 2w + 2(2w + 3) = 6w + 6

El área tiene w^2 porque se multiplican dos expresiones que tienen w. En el perímetro solo se suma, así que sigue siendo lineal.

Cuadrado. Lado x + 5: Área = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25.

Square with side x + 5 split into an x by x square (x squared), two x by 5 rectangles (5x each) and a 5 by 5 square (25). Area = (x + 5) squared = x squared + 10x + 25.x²5x5x25x5x5Side: x + 5Area: (x + 5)²= x² + 5x + 5x + 25= x² + 10x + 25
Cuadrado de lado x + 5 dividido en x², 5x, 5x y 25

Caja (prisma rectangular). V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura}. Si las tres tienen x, obtienes un término con x^3.

Bordes uniformes. Un borde de ancho x va en los dos extremos de cada lado. Así, un lado de 8 se convierte en 8 + 2x, no en 8 + x. En la figura de abajo, una foto de 8 por 10 pulgadas tiene un marco de ancho x:

\text{Área exterior} = (8 + 2x)(10 + 2x) = 80 + 16x + 20x + 4x^2 = 4x^2 + 36x + 80 \text{Solo el marco} = \text{área exterior} - \text{foto} = (4x^2 + 36x + 80) - 80 = 4x^2 + 36x

Cortar esquinas de una lámina. Si cortas un cuadrado de x por x en cada esquina de una lámina y doblas los lados hacia arriba, cada lado de la base pierde 2x (una x de cada extremo), y la altura de la caja es x.

An 8 inch by 10 inch photo with a frame border of width x on all four sides. The outer width is 8 + 2x inches and the outer height is 10 + 2x inches.photo8 in × 10 in8 in10 inxxxx8 + 2x10 + 2x

Un borde de ancho x agrega 2x a cada dimensión: el marco exterior mide (8 + 2x) por (10 + 2x) pulgadas.

Ingresos y cambios "por cada"

Las preguntas de negocios a menudo dicen algo como: "Un teatro vende 300 boletos a $12. Por cada aumento de $1 en el precio, vende 20 boletos menos."

Arma dos partes lineales y luego multiplícalas.

  1. Sea x = el número de aumentos de $1.
  2. Precio = 12 + x dólares.
  3. Boletos vendidos = 300 - 20x (20 menos por cada aumento, así que el 20 se multiplica por x).
  4. Ingresos = precio × boletos = (12 + x)(300 - 20x).
Revenue as the area of a rectangle: height = price, width = tickets sold. With x = 0 the rectangle is 12 dollars by 300 tickets, area 3600 dollars. With x = 1 it is 13 dollars by 280 tickets, area 3640 dollars. In general revenue = (12 + x)(300 − 20x).$3600300 tickets$12x = 0$3640300 − 20(1) = 28012 + 1 = $13x = 1Revenue = price × tickets = (12 + x)(300 − 20x)
Ingresos como un rectángulo: precio × boletos

Multiplica con FOIL (primeros, externos, internos, últimos):

(12 + x)(300 - 20x) = 3600 - 240x + 300x - 20x^2 = -20x^2 + 60x + 3600

Comprueba con un número. Si x = 1: precio $13, boletos 280, ingresos 13 \cdot 280 = 3640. El polinomio da -20 + 60 + 3600 = 3640 ✓.

Los problemas de números consecutivos funcionan igual. "El producto de dos enteros pares consecutivos, donde n es el menor" es n(n + 2) = n^2 + 2n.

Un buen hábito para cada modelo: después de escribir la expresión, sustituye un número pequeño como x = 1 o x = 2 y compáralo con lo que la historia dice que debe pasar. Si los números coinciden, es casi seguro que tu expresión está bien.

Fórmula

Fórmulas que vas a usar

A_{\text{rectángulo}} = l \cdot w \qquad P_{\text{rectángulo}} = 2l + 2w \qquad A_{\text{cuadrado}} = s^2 V_{\text{caja}} = l \cdot w \cdot h \quad (\text{en la hoja: } V = lwh \text{ o } V = Bh) \text{Ingresos (costo total)} = (\text{precio por unidad}) \times (\text{número de unidades}) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
  • l = largo, w = ancho, h = altura, s = lado de un cuadrado, B = área de la base.

En la hoja de fórmulas del GED®: área del rectángulo A = lw y perímetro P = 2l + 2w, área del cuadrado A = s^2, volumen del prisma rectangular V = lwh (también V = Bh), y "costo total = (número de unidades) × (precio por unidad)".

Memoriza: los patrones de FOIL y del cuadrado de una suma; no están impresos en la hoja.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 1 (fácil): Dos frases que se parecen

Escribe y simplifica una expresión para cada frase. Sea n el número.

Example 1 with n = 8, drawn as unit squares. (a) Five less than the square of n: an 8 by 8 grid of 64 squares with 5 squares crossed out, leaving 59. (b) The square of five less than n: only a 3 by 3 square (side n − 5 = 3) is shaded, giving 9. The two phrases give very different values.n = 8(a) n² − 564 − 5 = 59n − 5 = 3(b) (n − 5)²3² = 9
Cuadrículas con n = 8: n² − 5 comparado con (n − 5)²

(a) "Cinco menos que el cuadrado de un número". (b) "El cuadrado de cinco menos que un número".

  1. (a) "El cuadrado de un número" es n^2. "Cinco menos que" eso significa restarle 5: n^2 - 5.
  2. (b) "Cinco menos que un número" es n - 5. Ahora eleva al cuadrado todo el grupo: (n - 5)^2.
  3. Desarrolla (b): (n - 5)(n - 5) = n^2 - 5n - 5n + 25 = n^2 - 10n + 25.

Respuesta: (a) n^2 - 5; (b) n^2 - 10n + 25

Comprobación: Sea n = 8. (a) 64 - 5 = 59 ✓. (b) 8 - 5 = 3, y 3^2 = 9; el polinomio da 64 - 80 + 25 = 9 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 2 (trabaja hacia atrás): El lado que falta de un rectángulo

El largo de un rectángulo es 3 pies más que el doble de su ancho, w. (a) Escribe el área como un polinomio. (b) El área de un segundo rectángulo es 2w^2 + 3w pies cuadrados y su ancho es w. ¿Cuál es su largo?

Example 2, drawn to scale for w = 4: a rectangle of width w and length 2w + 3, split into a w by 2w part (area 2w squared) and a w by 3 part (area 3w). Area = w(2w + 3) = 2w squared + 3w; with w = 4 that is 4 by 11 = 44 square feet.w · 2w = 2w²3w2w3wlength = 2w + 3Area = w(2w + 3) = 2w² + 3wDrawn for w = 4: 4 × 11 = 44 sq ft
Rectángulo de w por 2w + 3 con área 2w² + 3w
  1. (a) Largo = 2w + 3. Área = w(2w + 3).
  2. Aplica la propiedad distributiva: w \cdot 2w + w \cdot 3 = 2w^2 + 3w.
  3. (b) Trabaja hacia atrás: área ÷ ancho = largo. Saca w como factor común: 2w^2 + 3w = w(2w + 3), así que el largo es 2w + 3.

Respuesta: (a) 2w^2 + 3w pies cuadrados; (b) 2w + 3 pies

Comprobación: Sea w = 4. Largo = 11, área = 44. El polinomio da 2(16) + 12 = 44 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 3 (vida real): Un marco para foto

Una foto de 8 por 10 pulgadas lleva un marco de ancho uniforme x pulgadas (mira la figura de arriba). Escribe una expresión simplificada para el área solo del marco.

Example 3 area model. The outer frame is (8 + 2x) by (10 + 2x). Rearranged, it splits into the 8 by 10 photo (80) plus three shaded frame pieces: 2x by 8 is 16x, 2x by 10 is 20x and 2x by 2x is 4x squared. Frame only = 16x + 20x + 4x squared = 4x squared + 36x square inches.photo 8016x20x4x²102x82x10 + 2x8 + 2xOuter area:(8 + 2x)(10 + 2x)= 80 + 16x + 20x + 4x²Frame only (shaded):16x + 20x + 4x²= 4x² + 36x
Modelo de área del marco: (8 + 2x)(10 + 2x)
  1. Ancho exterior = 8 + 2x; alto exterior = 10 + 2x (el borde está en los dos lados).
  2. Área exterior = (8 + 2x)(10 + 2x).
  3. FOIL: 80 + 16x + 20x + 4x^2 = 4x^2 + 36x + 80.
  4. Resta el área de la foto, 8 \cdot 10 = 80: 4x^2 + 36x + 80 - 80 = 4x^2 + 36x.

Respuesta: 4x^2 + 36x pulgadas cuadradas

Comprobación: Sea x = 1. Exterior: 10 \cdot 12 = 120; marco = 120 - 80 = 40. Polinomio: 4 + 36 = 40 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 4 (vida real): Ingresos por boletos

Un teatro vende 300 boletos a $12 cada uno. Por cada aumento de $1 en el precio, vende 20 boletos menos. Sea x el número de aumentos de $1. Escribe los ingresos como un polinomio simplificado.

Example 4 table and graph of revenue R = −20x squared + 60x + 3600. Table: x = 0, price 12 dollars, 300 tickets, 3600 dollars; x = 1, 13 dollars, 280, 3640 dollars; x = 2, 14 dollars, 260, 3640 dollars; x = 3, 15 dollars, 240, 3600 dollars (highlighted, the check); x = 4, 16 dollars, 220, 3520 dollars; x = 5, 17 dollars, 200, 3400 dollars; x = 6, 18 dollars, 180, 3240 dollars. The graph plots these points; revenue rises slightly then falls.xpriceticketsrevenue0$12300$36001$13280$36402$14260$36403$15240$36004$16220$35205$17200$34006$18180$32403200330034003500360037000123456number of $1 increases, xrevenue ($)(3, 3600)
Tabla y gráfica de los ingresos por boletos para x = 0 a 6
  1. Precio: 12 + x dólares.
  2. Boletos: 300 - 20x.
  3. Ingresos: (12 + x)(300 - 20x).
  4. FOIL: 12 \cdot 300 = 3600; 12 \cdot (-20x) = -240x; x \cdot 300 = 300x; x \cdot (-20x) = -20x^2.
  5. Combina: -20x^2 + 60x + 3600.

Respuesta: -20x^2 + 60x + 3600 dólares

Comprobación: x = 3: precio $15, boletos 240, ingresos 15 \cdot 240 = 3600. Polinomio: -180 + 180 + 3600 = 3600 ✓.

Ejemplo resuelto

Ejemplo 5 (nivel difícil del GED®): Una caja abierta

A un cartón de 20 por 12 pulgadas se le corta un cuadrado de x pulgadas en cada esquina. Los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. Escribe el volumen como un polinomio simplificado.

Example 5, drawn to scale with x = 2: a 20-inch by 12-inch sheet with an x by x square cut from each corner (red) and dashed fold lines. The base left in the middle is (20 − 2x) by (12 − 2x). Folded up, the open box has length 20 − 2x, width 12 − 2x and height x, so V = x(20 − 2x)(12 − 2x) = 4x cubed − 64x squared + 240x.20 in12 inxbase(20 − 2x) by (12 − 2x)20 − 2x12 − 2xxopen boxV = x(20 − 2x)(12 − 2x) = 4x³ − 64x² + 240x
Lámina de cartón con las esquinas cortadas, doblada para formar una caja abierta
  1. Cada lado de la base pierde x en los dos extremos: largo = 20 - 2x, ancho = 12 - 2x.
  2. Las solapas dobladas son la altura: h = x.
  3. Volumen = x(20 - 2x)(12 - 2x).
  4. Primero multiplica los dos binomios: (20 - 2x)(12 - 2x) = 240 - 40x - 24x + 4x^2 = 4x^2 - 64x + 240.
  5. Multiplica por x: 4x^3 - 64x^2 + 240x.

Respuesta: V = 4x^3 - 64x^2 + 240x pulgadas cúbicas

Comprobación: x = 2: la caja mide 16 \times 8 \times 2 = 256. Polinomio: 4(8) - 64(4) + 240(2) = 32 - 256 + 480 = 256 ✓.

Consejo de calculadora

Consejo de calculadora: prueba tu modelo con un número

La TI-30XS MultiView no puede multiplicar polinomios por ti, pero es perfecta para comprobar que un modelo y una forma simplificada coinciden.

  1. Elige un valor de prueba sencillo, como x = 2.
  2. Calcula la historia directamente. Para la caja del Ejemplo 5: 2 × 16 × 8 enter → 256.
  3. Calcula una opción de respuesta. Para 4x^3 - 64x^2 + 240x: 4 × 2 ^ 3 ▶ − 64 × 2 x² + 240 × 2 enter → 256 ✓.
  4. Usa la tecla (−) para valores negativos y ponlos entre paréntesis antes de elevarlos al cuadrado o al cubo.

Cuándo no usarla: escribir el modelo (decidir qué multiplicar) es cuestión de lectura, no de aritmética. Hazlo primero en papel. La calculadora solo confirma.

Error común

Errores comunes

  • Borde en un solo lado. Incorrecto: una piscina de 20 pies con un sendero de x pies mide 20 + x de ancho. Correcto: 20 + 2x, porque el sendero está en los dos lados.
  • Elevar al cuadrado solo una parte del grupo. Incorrecto: (x + 3)^2 = x^2 + 9. Correcto: x^2 + 6x + 9. Es fácil olvidar el término del medio 2 \cdot 3 \cdot x.
  • El orden de "menos que". Incorrecto: "7 menos que n^2" = 7 - n^2. Correcto: n^2 - 7.
  • Olvidar el "por cada". Incorrecto: boletos = 300 - 20. Correcto: 300 - 20x, porque se venden 20 menos por cada aumento de $1.
  • Usar la fórmula equivocada. Incorrecto: escribir el perímetro 2w + 2(w + 4) cuando la pregunta pide el área. Correcto: área = w(w + 4).
  • Olvidar la altura. Incorrecto: volumen de la caja abierta = (20 - 2x)(12 - 2x). Correcto: multiplica también por la altura x.
Estrategia para el examen

Estrategia para el examen GED®

  • Subraya las cantidades. Antes de escribir nada, subraya cada número y cada "por cada", "más que", "menos que", "veces".
  • Haz un dibujo. En las figuras, un dibujo rápido con rótulos como 20 + 2x evita el error del borde en un solo lado.
  • Sustituye un número para probar las opciones. Elige x = 1 o x = 2, calcula directamente la respuesta de la situación real y luego evalúa cada opción. Las opciones incorrectas casi nunca coinciden.
  • Revisa el grado. El área de una figura con dos lados variables tiene un término con x^2; el volumen con tres dimensiones variables tiene un término con x^3; el perímetro no tiene ninguno de los dos.
  • Lee la pregunta dos veces: ¿área total o solo el borde? ¿Ingresos o cantidad vendida? ¿Forma simplificada o sin simplificar?
  • Tiempo: en estas preguntas vale más leer con cuidado 20 segundos que hacer el álgebra rápido.

Compruébalo

Escribir expresiones polinomiales a partir de un contextoSin calculadora

Which expression represents "the square of a number n, decreased by 7"?

Opciones de respuesta
Pista

Find "the square of a number" first. Then decide what happens to that result.

Ver en español

Pregunta

¿Qué expresión representa "el cuadrado de un número n, disminuido en 7"?

Opciones

  • A. (n - 7)^2
  • B. n^2 - 7
  • C. 7 - n^2
  • D. 2n - 7
Pista

Primero halla "el cuadrado de un número". Luego decide qué le pasa a ese resultado.

Compruébalo

Escribir expresiones polinomiales a partir de un contextoSin calculadora

The length of a rectangular rug is 4 feet more than its width, w. Which expression represents the area of the rug, in square feet?

Opciones de respuesta
Pista

Write the length in terms of w. Area = length × width.

Ver en español

Pregunta

El largo de una alfombra rectangular es 4 pies más que su ancho, w. ¿Qué expresión representa el área de la alfombra, en pies cuadrados?

Opciones

  • A. 4w + 8
  • B. w^2 + 4
  • C. 4w^2
  • D. w^2 + 4w
Pista

Escribe el largo en términos de w. Área = largo × ancho.

Resumen

  • Traduce una frase a la vez; "menos que" invierte el orden y "el cuadrado de" se aplica a todo el grupo que sigue.
  • Pon los lados con variable entre paréntesis: área = l \cdot w, volumen = l \cdot w \cdot h.
  • Un borde uniforme de ancho x agrega 2x a cada dimensión; cortar esquinas quita 2x y deja una altura de x.
  • Ingresos = (precio) × (cantidad vendida), donde un cambio "por cada" multiplica a la variable.
  • Multiplica con FOIL para obtener la forma simplificada y luego comprueba con un número de prueba.
Practicar esta destreza →