Which expression represents "the square of a number n, decreased by 7"?
Pista
Find "the square of a number" first. Then decide what happens to that result.
Solución paso a paso
"The square of a number n" is n^2.
"Decreased by 7" means subtract 7 from that result.
Start with n^2 and take away 7: n^2 - 7.
Answer: n^2 - 7
Check: Let n = 5. The square of 5 is 25, and 25 decreased by 7 is 18. The expression gives 5^2 - 7 = 18 ✓. By contrast (5 - 7)^2 = 4, which does not match the words.
Tip: Read where the word "square" points. Here it points to the number alone, so only n is squared. If the words were "the square of 7 less than n," the whole group (n - 7) would be squared.
Explicación
"El cuadrado de un número n" es n^2.
"Disminuido en 7" significa restarle 7 a ese resultado.
Empieza con n^2 y quítale 7: n^2 - 7.
Respuesta: n^2 - 7
Comprobación: Sea n = 5. El cuadrado de 5 es 25, y 25 disminuido en 7 es 18. La expresión da 5^2 - 7 = 18 ✓. En cambio, (5 - 7)^2 = 4, que no coincide con las palabras.
Consejo: Fíjate a qué se refiere la palabra "cuadrado". Aquí se refiere solo al número, así que solo n se eleva al cuadrado. Si las palabras fueran "el cuadrado de 7 menos que n", todo el grupo (n - 7) se elevaría al cuadrado.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión representa "el cuadrado de un número n, disminuido en 7"?
Opciones
A.(n - 7)^2
B.n^2 - 7
C.7 - n^2
D.2n - 7
Pista
Primero halla "el cuadrado de un número". Luego decide qué le pasa a ese resultado.
Pregunta 2 de 36
Sin calculadora
The length of a rectangular rug is 4 feet more than its width, w. Which expression represents the area of the rug, in square feet?
Pista
Write the length in terms of w. Area = length × width.
Solución paso a paso
Width = w.
"4 feet more than its width" means length = w + 4.
Area = length × width = w(w + 4).
Distribute: w \cdot w + w \cdot 4 = w^2 + 4w.
Answer: w^2 + 4w
Check: If w = 3, the rug is 3 ft by 7 ft, so its area is 21 ft². The expression gives 3^2 + 4(3) = 9 + 12 = 21 ✓.
Tip: When you distribute, the outside factor multiplies every term inside the parentheses. Area of a shape with two variable sides will have a squared term.
Explicación
Ancho = w.
"4 pies más que su ancho" significa largo = w + 4.
Área = largo × ancho = w(w + 4).
Aplica la propiedad distributiva: w \cdot w + w \cdot 4 = w^2 + 4w.
Respuesta: w^2 + 4w
Comprobación: Si w = 3, la alfombra mide 3 ft por 7 ft, así que su área es 21 ft². La expresión da 3^2 + 4(3) = 9 + 12 = 21 ✓.
Consejo: Al aplicar la propiedad distributiva, el factor de afuera multiplica cada término dentro de los paréntesis. El área de una figura con dos lados variables tendrá un término al cuadrado.
Ver en español
Pregunta
El largo de una alfombra rectangular es 4 pies más que su ancho, w. ¿Qué expresión representa el área de la alfombra, en pies cuadrados?
Opciones
A.4w + 8
B.w^2 + 4
C.4w^2
D.w^2 + 4w
Pista
Escribe el largo en términos de w. Área = largo × ancho.
Pregunta 3 de 36
Sin calculadoraCompletar
A square tile has sides of length (x + 5) centimeters. Its area can be written as x^2 + bx + 25 square centimeters.
What is the value of b?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
The area of a square is (side)². Write (x + 5)^2 as (x + 5)(x + 5) and multiply all four pairs.
Solución paso a paso
Area of a square = side \times side = (x + 5)(x + 5).
FOIL: First x \cdot x = x^2; Outer x \cdot 5 = 5x; Inner 5 \cdot x = 5x; Last 5 \cdot 5 = 25.
Combine the middle terms: 5x + 5x = 10x.
Area = x^2 + 10x + 25, so b = 10.
Answer: b = 10
Check: Let x = 1. The side is 6 cm and the area is 36 cm². The polynomial gives 1 + 10 + 25 = 36 ✓. With b = 5 you would get 31, which is wrong.
Tip: The pattern (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 means the middle coefficient is twice the product, so the middle term is 2 \cdot 5 \cdot x = 10x.
Explicación
Área de un cuadrado = lado \times lado = (x + 5)(x + 5).
FOIL: primeros x \cdot x = x^2; externos x \cdot 5 = 5x; internos 5 \cdot x = 5x; últimos 5 \cdot 5 = 25.
Combina los términos del medio: 5x + 5x = 10x.
Área = x^2 + 10x + 25, así que b = 10.
Respuesta: b = 10
Comprobación: Sea x = 1. El lado mide 6 cm y el área es 36 cm². El polinomio da 1 + 10 + 25 = 36 ✓. Con b = 5 obtendrías 31, que es incorrecto.
Consejo: El patrón (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 significa que el coeficiente del medio es el doble del producto, así que el término del medio es 2 \cdot 5 \cdot x = 10x.
Ver en español
Pregunta
Una baldosa cuadrada tiene lados de (x + 5) centímetros de largo. Su área se puede escribir como x^2 + bx + 25 centímetros cuadrados.
¿Cuál es el valor de b?
Pista
El área de un cuadrado es (lado)². Escribe (x + 5)^2 como (x + 5)(x + 5) y multiplica los cuatro pares.
Pregunta 4 de 36
Sin calculadora
Which expression represents "three times the cube of a number n, increased by twice the number"?
Pista
Break the phrase into pieces. "The cube of n" comes first; then "three times" that. "Twice the number" means 2 times n.
Solución paso a paso
"The cube of a number n" is n^3.
"Three times the cube" multiplies that by 3: 3n^3. (Only the cube is tripled, not n before cubing.)
"Twice the number" is 2 \cdot n = 2n.
"Increased by" means add: 3n^3 + 2n.
Answer: 3n^3 + 2n
Check: Try n = 2: the cube is 8, three times that is 24, twice the number is 4, and 24 + 4 = 28. The expression gives 3(8) + 2(2) = 28 ✓.
Tip: In word phrases, "three times the cube of n" is 3n^3, while "the cube of three times n" is (3n)^3 = 27n^3. Watch which operation is applied first.
Explicación
"El cubo de un número n" es n^3.
"Tres veces el cubo" multiplica eso por 3: 3n^3. (Solo se triplica el cubo, no n antes de elevarlo al cubo.)
"El doble del número" es 2 \cdot n = 2n.
"Aumentado en" significa sumar: 3n^3 + 2n.
Respuesta: 3n^3 + 2n
Comprobación: Prueba con n = 2: el cubo es 8, tres veces eso es 24, el doble del número es 4, y 24 + 4 = 28. La expresión da 3(8) + 2(2) = 28 ✓.
Consejo: En las frases, "tres veces el cubo de n" es 3n^3, mientras que "el cubo de tres veces n" es (3n)^3 = 27n^3. Fíjate en qué operación se aplica primero.
Ver en español
Pregunta
¿Qué expresión representa "tres veces el cubo de un número n, aumentado en el doble del número"?
Opciones
A.(3n)^3 + 2n
B.3n^3 + 2n
C.3n^3 + n^2
D.3(n^3 + 2n)
Pista
Divide la frase en partes. Primero va "el cubo de n"; luego "tres veces" eso. "El doble del número" significa 2 por n.
Pregunta 5 de 36
Sin calculadora
A rectangular dog run is x feet wide. Its length is 6 feet more than 3 times its width.
Which expression represents the area of the dog run, in square feet?
Pista
Write the length in terms of x first. Then use area = length × width and distribute.
Solución paso a paso
Width = x.
"6 more than 3 times the width": length = 3x + 6.
Area = \text{length} \times \text{width} = x(3x + 6).
Distribute x to both terms: x \cdot 3x = 3x^2 and x \cdot 6 = 6x.
Area = 3x^2 + 6x.
Answer: 3x^2 + 6x square feet
Check: If x = 4, the run is 4 ft by 3(4) + 6 = 18 ft, so area = 72 ft². Expression: 3(16) + 6(4) = 48 + 24 = 72 ✓.
Tip: Area uses multiplication, so expect an x^2 term when both sides contain x. An answer with only x terms is probably a perimeter.
Explicación
Ancho = x.
"6 más que 3 veces el ancho": largo = 3x + 6.
Área = \text{largo} \times \text{ancho} = x(3x + 6).
Aplica la propiedad distributiva: multiplica x por los dos términos: x \cdot 3x = 3x^2 y x \cdot 6 = 6x.
Área = 3x^2 + 6x.
Respuesta: 3x^2 + 6x pies cuadrados
Comprobación: Si x = 4, el corral mide 4 ft por 3(4) + 6 = 18 ft, así que el área = 72 ft². Expresión: 3(16) + 6(4) = 48 + 24 = 72 ✓.
Consejo: El área usa multiplicación, así que espera un término x^2 cuando los dos lados contienen x. Una respuesta con solo términos en x probablemente es un perímetro.
Ver en español
Pregunta
Un corral rectangular para perros mide x pies de ancho. Su largo es 6 pies más que 3 veces su ancho.
¿Qué expresión representa el área del corral, en pies cuadrados?
Opciones
A.3x^2 + 6
B.4x + 6
C.8x + 12
D.3x^2 + 6x
Pista
Primero escribe el largo en términos de x. Luego usa área = largo × ancho y aplica la propiedad distributiva.
Pregunta 6 de 36
Sin calculadora
Three integers come one right after another (for example 7, 8, 9). The least of them is called n. Which expression gives their total when the three are added?
Pista
Write the three integers in terms of n first. Consecutive integers go up by 1.
Solución paso a paso
Consecutive integers differ by 1, so the three integers are n, n + 1, and n + 2.
Sum: n + (n + 1) + (n + 2).
Combine like terms: n + n + n = 3n and 1 + 2 = 3.
Sum = 3n + 3.
Answer: 3n + 3
Check: With n = 7: 7 + 8 + 9 = 24, and 3(7) + 3 = 24 ✓.
Tip: Use +1 steps for consecutive integers, and +2 steps for consecutive even or odd integers. "Sum" means add; "product" means multiply.
Explicación
Los enteros consecutivos se diferencian en 1, así que los tres enteros son n, n + 1 y n + 2.
Suma: n + (n + 1) + (n + 2).
Combina los términos semejantes: n + n + n = 3n y 1 + 2 = 3.
Suma = 3n + 3.
Respuesta: 3n + 3
Comprobación: Con n = 7: 7 + 8 + 9 = 24, y 3(7) + 3 = 24 ✓.
Consejo: Usa pasos de +1 para enteros consecutivos, y pasos de +2 para enteros pares o impares consecutivos. "Suma" significa sumar; "producto" significa multiplicar.
Ver en español
Pregunta
Tres enteros van uno justo después del otro (por ejemplo, 7, 8, 9). El menor de ellos se llama n. ¿Qué expresión da su total cuando los tres se suman?
Opciones
A.3n + 3
B.3n + 6
C.n + 3
D.n^3 + 3n^2 + 2n
Pista
Primero escribe los tres enteros en términos de n. Los enteros consecutivos aumentan de 1 en 1.
Pregunta 7 de 36
Menú
A theater sells 400 tickets per show at $10 each. For each $1 increase in ticket price, it expects to sell 15 fewer tickets. Let x be the number of $1 increases.
The theater's revenue per show, in dollars, is represented by .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Revenue = (price per ticket) × (number of tickets). Write each one in terms of x first.
Solución paso a paso
Each $1 increase raises the price by 1, so after x increases the price is 10 + x dollars.
Each increase loses 15 tickets, so after x increases the number sold is 400 - 15x.
Revenue = price × number sold = (10 + x)(400 - 15x).
Answer: (10 + x)(400 - 15x)
Check: Let x = 2. Price $12, tickets 400 - 30 = 370, revenue 12 \cdot 370 = 4440. The expression gives (12)(370) = 4440 ✓.
Tip: "For each" means the change is multiplied by the variable. Then revenue always multiplies the two pieces; never add them.
Explicación
Cada aumento de $1 sube el precio en 1, así que después de x aumentos el precio es 10 + x dólares.
Cada aumento hace perder 15 boletos, así que después de x aumentos el número vendido es 400 - 15x.
Comprobación: Sea x = 2. Precio $12, boletos 400 - 30 = 370, ingresos 12 \cdot 370 = 4440. La expresión da (12)(370) = 4440 ✓.
Consejo: "Por cada" significa que el cambio se multiplica por la variable. Luego, los ingresos siempre multiplican las dos partes; nunca las sumes.
Ver en español
Pregunta
Un teatro vende 400 boletos por función a $10 cada uno. Por cada aumento de $1 en el precio del boleto, espera vender 15 boletos menos. Sea x el número de aumentos de $1.
Los ingresos del teatro por función, en dólares, se representan con _____.
Opciones
(10 + x)(400 − 15x)
(10 + x)(400 − 15)
(10 − x)(400 + 15x)
(10 + x) + (400 − 15x)
Pista
Ingresos = (precio por boleto) × (número de boletos). Primero escribe cada uno en términos de x.
Pregunta 8 de 36
A rectangular pool measures 30 feet by 20 feet. A walkway of uniform width x feet surrounds it, as shown.
Pool with walkway
Which expression represents the total area of the pool and walkway together, in square feet?
Pista
The walkway is on both ends of each side. What are the outer length and width?
Solución paso a paso
The walkway adds x on the left andx on the right, so the outer length is 30 + 2x.
It also adds x on the top and bottom, so the outer width is 20 + 2x.
Comprobación: Si x = 5, el rectángulo exterior es 40 \times 30 = 1200 ft². La expresión da 4(25) + 100(5) + 600 = 100 + 500 + 600 = 1200 ✓.
Consejo: Un borde uniforme agrega el doble de su ancho a cada dimensión. Dibuja la figura y rotula cada lado exterior antes de multiplicar.
Ver en español
Pregunta
Una piscina rectangular mide 30 pies por 20 pies. Un sendero de ancho uniforme x pies la rodea, como se muestra.
¿Qué expresión representa el área total de la piscina y el sendero juntos, en pies cuadrados?
Opciones
A.4x^2 + 100x + 600
B.x^2 + 50x + 600
C.4x^2 + 600
D.4x^2 + 100x
Pista
El sendero está en los dos extremos de cada lado. ¿Cuáles son el largo y el ancho exteriores?
Pregunta 9 de 36
Completar
A box maker starts with a 20-inch by 12-inch sheet of cardboard. An x-inch square is cut from each corner and the sides are folded up to make an open box.
Cardboard sheet with corners cut out
Write an expression for the volume of the box. Then find the volume, in cubic inches, when x = 3.
in³
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
After folding, what are the length, width and height of the box? Each side of the base loses a square at both ends.
Solución paso a paso
Height: the folded-up flaps are x inches tall, so h = x.
Length of the base: 20 - 2x (an x is removed at each end).
Width of the base: 12 - 2x.
Volume V = x(20 - 2x)(12 - 2x), which simplifies to 4x^3 - 64x^2 + 240x.
Comprobación: Con el polinomio simplificado: 4(27) - 64(9) + 240(3) = 108 - 576 + 720 = 252 ✓.
Consejo: El tamaño del corte cumple dos funciones: reduce cada lado en 2xy se convierte en la altura. Olvidar cualquiera de las dos es el error común.
Ver en español
Pregunta
Un fabricante de cajas empieza con una lámina de cartón de 20 por 12 pulgadas. Se corta un cuadrado de x pulgadas en cada esquina y se doblan los lados hacia arriba para formar una caja abierta.
Escribe una expresión para el volumen de la caja. Luego halla el volumen, en pulgadas cúbicas, cuando x = 3.
_____ in³
Pista
Después de doblarla, ¿cuáles son el largo, el ancho y la altura de la caja? Cada lado de la base pierde un cuadrado en los dos extremos.
Pregunta 10 de 36
Varias respuestas
A square patio has sides that are (x + 3) meters long. Select all expressions that represent the area of the patio, in square meters.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Area of a square = side × side. Some correct choices may be written in different but equivalent forms.
Solución paso a paso
Area = side \times side = (x + 3)(x + 3), which can also be written (x + 3)^2.
Multiply out: x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2 + 3x + 3x + 9.
Combine like terms: x^2 + 6x + 9.
So three forms are correct: (x + 3)^2, (x + 3)(x + 3), and x^2 + 6x + 9.
Check: Let x = 2. The side is 5 m and the area is 25 m². (5)^2 = 25 ✓, 5 \cdot 5 = 25 ✓, 4 + 12 + 9 = 25 ✓. But x^2 + 9 = 13, 2x + 6 = 10, x^2 + 3x + 9 = 19 — all wrong.
Tip: When you square a sum, the middle term is twice the product of the two parts (2 \cdot 3 \cdot x = 6x).
Explicación
Área = lado \times lado = (x + 3)(x + 3), que también se puede escribir (x + 3)^2.
Multiplica: x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2 + 3x + 3x + 9.
Combina los términos semejantes: x^2 + 6x + 9.
Así que tres formas son correctas: (x + 3)^2, (x + 3)(x + 3) y x^2 + 6x + 9.
Comprobación: Sea x = 2. El lado mide 5 m y el área es 25 m². (5)^2 = 25 ✓, 5 \cdot 5 = 25 ✓, 4 + 12 + 9 = 25 ✓. Pero x^2 + 9 = 13, 2x + 6 = 10, x^2 + 3x + 9 = 19: todas incorrectas.
Consejo: Cuando elevas al cuadrado una suma, el término del medio es el doble del producto de las dos partes (2 \cdot 3 \cdot x = 6x).
Ver en español
Pregunta
Un patio cuadrado tiene lados de (x + 3) metros de largo. Selecciona todas las expresiones que representan el área del patio, en metros cuadrados.
Opciones
A.(x + 3)^2
B.x^2 + 9
C.x^2 + 6x + 9
D.2x + 6
E.(x + 3)(x + 3)
F.x^2 + 3x + 9
Pista
Área de un cuadrado = lado × lado. Algunas opciones correctas pueden estar escritas de formas diferentes pero equivalentes.
Pregunta 11 de 36
Sin calculadora
Let n be the smaller of two consecutive odd integers. Which expression represents the product of the two integers?
Pista
Odd numbers such as 7, 9, 11 are how far apart?
Solución paso a paso
Consecutive odd integers are 2 apart (for example 7 and 9), so if the smaller one is n, the larger is n + 2.
"Product" means multiply: n(n + 2).
Distribute: n \cdot n + n \cdot 2 = n^2 + 2n.
Answer: n^2 + 2n
Check: Let n = 7. The integers are 7 and 9, and 7 \cdot 9 = 63. The expression gives 49 + 14 = 63 ✓.
Tip: Consecutive integers go up by 1; consecutive odd or even integers go up by 2. Test your expression with a real pair of numbers.
Explicación
Los enteros impares consecutivos están separados por 2 (por ejemplo, 7 y 9), así que si el menor es n, el mayor es n + 2.
"Producto" significa multiplicar: n(n + 2).
Aplica la propiedad distributiva: n \cdot n + n \cdot 2 = n^2 + 2n.
Respuesta: n^2 + 2n
Comprobación: Sea n = 7. Los enteros son 7 y 9, y 7 \cdot 9 = 63. La expresión da 49 + 14 = 63 ✓.
Consejo: Los enteros consecutivos aumentan de 1 en 1; los enteros impares o pares consecutivos aumentan de 2 en 2. Prueba tu expresión con un par de números reales.
Ver en español
Pregunta
Sea n el menor de dos enteros impares consecutivos. ¿Qué expresión representa el producto de los dos enteros?
Opciones
A.n^2 + n
B.n^2 + 2n
C.n^2 + 2
D.2n + 2
Pista
¿A qué distancia están los números impares como 7, 9, 11?
Pregunta 12 de 36
Arrastrar y soltar
Drag each expression into the box for the phrase it represents. One expression is not used.
the square of the sum of x and 4
the sum of the square of x and 4
4 times the square of x
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Find the words that come right after "the square of." That is the part that gets squared.
Solución paso a paso
"The square of the sum of x and 4": the sum is x + 4, and the whole sum is squared: (x + 4)^2.
"The sum of the square of x and 4": square x first, then add 4: x^2 + 4.
"4 times the square of x": square x, then multiply by 4: 4x^2.
The leftover tile, (4x)^2 = 16x^2, would be "the square of 4 times x."
Answer: (x + 4)^2; x^2 + 4; 4x^2
Check: Let x = 2. "Square of the sum of 2 and 4" = 6^2 = 36, and (2 + 4)^2 = 36 ✓. "Sum of the square of 2 and 4" = 4 + 4 = 8 ✓. "4 times the square of 2" = 4 \cdot 4 = 16 ✓, while (4 \cdot 2)^2 = 64 ✗.
Tip: Parentheses in algebra play the role of "the sum of" or "the product of" in words. Translate the grouping first.
Explicación
"El cuadrado de la suma de x y 4": la suma es x + 4, y se eleva al cuadrado toda la suma: (x + 4)^2.
"La suma del cuadrado de x y 4": primero eleva x al cuadrado y luego suma 4: x^2 + 4.
"4 veces el cuadrado de x": eleva x al cuadrado y luego multiplica por 4: 4x^2.
La ficha que sobra, (4x)^2 = 16x^2, sería "el cuadrado de 4 veces x".
Respuesta: (x + 4)^2; x^2 + 4; 4x^2
Comprobación: Sea x = 2. "El cuadrado de la suma de 2 y 4" = 6^2 = 36, y (2 + 4)^2 = 36 ✓. "La suma del cuadrado de 2 y 4" = 4 + 4 = 8 ✓. "4 veces el cuadrado de 2" = 4 \cdot 4 = 16 ✓, mientras que (4 \cdot 2)^2 = 64 ✗.
Consejo: En álgebra, los paréntesis cumplen la función de "la suma de" o "el producto de" en palabras. Traduce primero la agrupación.
Ver en español
Pregunta
Arrastra cada expresión a la casilla de la frase que representa. Una expresión no se usa.
el cuadrado de la suma de x y 4
la suma del cuadrado de x y 4
4 veces el cuadrado de x
_____
_____
_____
Opciones
(x + 4)^2
x^2 + 4
4x^2
(4x)^2
Pista
Busca las palabras que vienen justo después de "el cuadrado de". Esa es la parte que se eleva al cuadrado.
Pregunta 13 de 36
A triangular flower bed has sides of length x, x^2 - 1, and 2x + 5 feet.
Which expression represents the perimeter of the flower bed, in feet?
Pista
Perimeter is the sum of all sides. Combine only like terms: x^2 with x^2, x with x, numbers with numbers.
Solución paso a paso
Perimeter = sum of the three sides: x + (x^2 - 1) + (2x + 5).
Group like terms:
x^2 terms: x^2
x terms: x + 2x = 3x
constants: -1 + 5 = 4
Perimeter = x^2 + 3x + 4.
Answer: x^2 + 3x + 4 feet
Check: With x = 3: sides are 3, 8, and 11 ft, total 22 ft. Expression: 9 + 9 + 4 = 22 ✓.
Tip:x^2 and x are not like terms, so they never combine. Keep track of the sign on each constant (here -1).
Explicación
Perímetro = suma de los tres lados: x + (x^2 - 1) + (2x + 5).
Agrupa los términos semejantes:
términos en x^2: x^2
términos en x: x + 2x = 3x
constantes: -1 + 5 = 4
Perímetro = x^2 + 3x + 4.
Respuesta: x^2 + 3x + 4 pies
Comprobación: Con x = 3: los lados miden 3, 8 y 11 ft, en total 22 ft. Expresión: 9 + 9 + 4 = 22 ✓.
Consejo:x^2 y xno son términos semejantes, así que nunca se combinan. Fíjate en el signo de cada constante (aquí -1).
Ver en español
Pregunta
Un jardín de flores triangular tiene lados de x, x^2 - 1 y 2x + 5 pies de largo.
¿Qué expresión representa el perímetro del jardín, en pies?
Opciones
A.x^2 + 3x + 6
B.x^2 + 3x + 4
C.x^2 + 2x + 4
D.4x^2 + 4
Pista
El perímetro es la suma de todos los lados. Combina solo los términos semejantes: x^2 con x^2, x con x, números con números.
Pregunta 14 de 36
A bakery models its weekly revenue from x batches of bread as R = 4x^2 + 30x dollars. Its weekly cost is C = x^2 + 6x + 200 dollars.
Which expression represents the weekly profit, R - C, in dollars?
Pista
Put the cost in parentheses before subtracting. The minus sign applies to every term of the cost.
Comprobación: Con x = 10: R = 400 + 300 = 700, C = 100 + 60 + 200 = 360, ganancia = 340. Expresión: 300 + 240 - 200 = 340 ✓.
Consejo: Restar un polinomio significa sumar el opuesto de cada término. La parte fija de un costo (aquí $200) siempre queda negativa en la ganancia.
Ver en español
Pregunta
Una panadería modela sus ingresos semanales por x tandas de pan como R = 4x^2 + 30x dólares. Su costo semanal es C = x^2 + 6x + 200 dólares.
¿Qué expresión representa la ganancia semanal, R - C, en dólares?
Opciones
A.3x^2 + 24x + 200
B.5x^2 + 36x + 200
C.3x^2 + 36x - 200
D.3x^2 + 24x - 200
Pista
Pon el costo entre paréntesis antes de restar. El signo menos se aplica a todos los términos del costo.
Pregunta 15 de 36
A community theater models its revenue per show as
R = (12 + x)(250 - 10x)
where x is the number of $1 increases in the ticket price.
What does the factor 250 - 10x represent?
Pista
Revenue = (price per ticket) × (number of tickets). Which factor starts at the original price?
Solución paso a paso
Revenue is always (price per ticket) × (number of tickets sold).
The factor 12 + x starts at 12 and goes up $1 for each increase, so it is the ticket price in dollars.
The factor 250 - 10x starts at 250 and goes down by 10 for each $1 increase, so it is the number of tickets sold.
So the theater sells 250 tickets at $12, and each $1 increase costs it 10 ticket sales.
Answer: the number of tickets sold per show after x price increases
Check: With x = 0: price $12, tickets 250, revenue $3,000. With x = 2: price $14, tickets 230, revenue 14 \cdot 230 = \$3{,}220. The second factor dropped by 20 = 2 × 10 ✓.
Tip: In revenue models, the factor containing the dollar amount is the price; the factor with the large count is the quantity. The coefficient of x in each factor is the change per step.
Explicación
Los ingresos siempre son (precio por boleto) × (número de boletos vendidos).
El factor 12 + x empieza en 12 y sube $1 con cada aumento, así que es el precio del boleto en dólares.
El factor 250 - 10x empieza en 250 y baja 10 con cada aumento de $1, así que es el número de boletos vendidos.
Entonces el teatro vende 250 boletos a $12, y cada aumento de $1 le hace perder 10 boletos vendidos.
Respuesta: el número de boletos vendidos por función después de x aumentos de precio
Comprobación: Con x = 0: precio $12, boletos 250, ingresos $3,000. Con x = 2: precio $14, boletos 230, ingresos 14 \cdot 230 = \$3{,}220. El segundo factor bajó 20 = 2 × 10 ✓.
Consejo: En los modelos de ingresos, el factor que contiene la cantidad en dólares es el precio; el factor con el conteo grande es la cantidad vendida. El coeficiente de x en cada factor es el cambio por paso.
Ver en español
Pregunta
Un teatro comunitario modela sus ingresos por función como
R = (12 + x)(250 - 10x)
donde x es el número de aumentos de $1 en el precio del boleto.
¿Qué representa el factor 250 - 10x?
Opciones
A. el número de boletos vendidos por función después de x aumentos
B. el precio del boleto, en dólares, después de x aumentos
C. los ingresos que se pierden por cada aumento de $1
D. los ingresos totales cuando el precio es $250
Pista
Ingresos = (precio por boleto) × (número de boletos). ¿Qué factor empieza en el precio original?
Pregunta 16 de 36
A rectangular piece of plywood is (2x + 6) inches long and (x + 4) inches wide. A square with sides of x inches is cut out of one corner, as shown.
Rectangle with a square cut from one corner
Which expression represents the area of the remaining plywood, in square inches?
Pista
Remaining area = area of the whole rectangle − area of the square that was removed.
Área que queda: (2x^2 + 14x + 24) - x^2 = x^2 + 14x + 24.
Respuesta: x^2 + 14x + 24 pulgadas cuadradas
Comprobación: Con x = 2: la pieza mide 10 \times 6 = 60 in², el corte mide 4 in², y quedan 56 in². Expresión: 4 + 28 + 24 = 56 ✓.
Consejo: Para cualquier "figura a la que se le quita una parte", escribe primero Grande − Pequeña y luego simplifica. Multiplicar dos binomios requiere los cuatro productos de FOIL.
Ver en español
Pregunta
Una pieza rectangular de madera contrachapada mide (2x + 6) pulgadas de largo y (x + 4) pulgadas de ancho. Se corta un cuadrado con lados de x pulgadas en una esquina, como se muestra.
¿Qué expresión representa el área de la madera que queda, en pulgadas cuadradas?
Opciones
A.2x^2 + 14x + 24
B.x^2 + 14x + 24
C.3x^2 + 14x + 24
D.x^2 + 24
Pista
Área que queda = área de todo el rectángulo − área del cuadrado que se quitó.
Pregunta 17 de 36
Completar
Each side of a square rug measures (2x - 3) feet. When the rug's area is multiplied out into the form ax^2 + bx + c square feet, what number is b?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Area of a square = side × side. Write (2x - 3)(2x - 3) and use all four FOIL products.
Solución paso a paso
Area = (2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3).
FOIL:
First: 2x \cdot 2x = 4x^2
Outer: 2x \cdot (-3) = -6x
Inner: (-3) \cdot 2x = -6x
Last: (-3)(-3) = 9
Combine: 4x^2 - 12x + 9.
So a = 4, b = -12, c = 9.
Answer: b = -12
Check: With x = 5: side = 7 ft, area = 49 ft². Expression: 4(25) - 12(5) + 9 = 100 - 60 + 9 = 49 ✓.
Tip: Shortcut for a squared binomial: (p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2. The middle coefficient is -2 \cdot 2 \cdot 3 = -12. Do not forget its negative sign.
Explicación
Área = (2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3).
FOIL:
Primeros: 2x \cdot 2x = 4x^2
Externos: 2x \cdot (-3) = -6x
Internos: (-3) \cdot 2x = -6x
Últimos: (-3)(-3) = 9
Combina: 4x^2 - 12x + 9.
Entonces a = 4, b = -12, c = 9.
Respuesta: b = -12
Comprobación: Con x = 5: lado = 7 ft, área = 49 ft². Expresión: 4(25) - 12(5) + 9 = 100 - 60 + 9 = 49 ✓.
Consejo: Atajo para un binomio al cuadrado: (p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2. El coeficiente del medio es -2 \cdot 2 \cdot 3 = -12. No olvides su signo negativo.
Ver en español
Pregunta
Cada lado de una alfombra cuadrada mide (2x - 3) pies. Cuando el área de la alfombra se multiplica y se escribe en la forma ax^2 + bx + c pies cuadrados, ¿qué número es b?
Pista
Área de un cuadrado = lado × lado. Escribe (2x - 3)(2x - 3) y usa los cuatro productos de FOIL (primeros, externos, internos y últimos).
Pregunta 18 de 36
Completar
A rectangular solar panel is w feet wide. Its length is 2 feet more than 3 times its width.
Write a polynomial for the area of the panel. Then find the area, in square feet, when w = 4.
ft²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Length = 3w + 2. Multiply by the width, then substitute w = 4.
Tip: Square the variable before multiplying by its coefficient: 3w^2 at w = 4 is 3 \cdot 16 = 48, not 12^2 = 144. Checking with the actual length and width catches this error.
Consejo: Eleva la variable al cuadrado antes de multiplicar por su coeficiente: 3w^2 con w = 4 es 3 \cdot 16 = 48, no 12^2 = 144. Comprobar con el largo y el ancho reales detecta este error.
Ver en español
Pregunta
Un panel solar rectangular mide w pies de ancho. Su largo es 2 pies más que 3 veces su ancho.
Escribe un polinomio para el área del panel. Luego halla el área, en pies cuadrados, cuando w = 4.
_____ ft²
Pista
Largo = 3w + 2. Multiplica por el ancho y luego sustituye w = 4.
Pregunta 19 de 36
A bike rental shop rents 60 bikes a day at $25 each. For each $5 increase in the daily price, it expects to rent 4 fewer bikes. Let x be the number of $5 increases.
Which polynomial represents the shop's daily rental revenue, in dollars?
Pista
Price = 25 + 5x (each step is $5, not $1). Bikes rented = 60 - 4x. Multiply and combine like terms.
Consejo: El tamaño de cada aumento de precio va en el factor del precio: aumentos de $5 dan 25 + 5x. Usar 25 + x significaría aumentos de $1.
Ver en español
Pregunta
Una tienda de alquiler de bicicletas alquila 60 bicicletas al día a $25 cada una. Por cada aumento de $5 en el precio diario, espera alquilar 4 bicicletas menos. Sea x el número de aumentos de $5.
¿Qué polinomio representa los ingresos diarios por alquiler de la tienda, en dólares?
Opciones
A.-20x^2 + 400x + 1500
B.-20x^2 + 1500
C.-4x^2 - 40x + 1500
D.-20x^2 + 200x + 1500
Pista
Precio = 25 + 5x (cada aumento es de $5, no de $1). Bicicletas alquiladas = 60 - 4x. Multiplica y combina los términos semejantes.
Pregunta 20 de 36
Arrastrar y soltar
Let n be an even integer. Drag each expression into the box for the phrase it represents. One expression is not used.
the next even integer after n
the product of n and the next integer
the sum of n and the next even integer
Toca una ficha y luego toca un recuadro para colocarla.
Pista
Even integers are 2 apart (4, 6, 8). The very next integer is only 1 more.
Solución paso a paso
Next even integer after n: even numbers are 2 apart, so it is n + 2.
Product of n and the next integer: the next integer (any kind) is n + 1. Product: n(n + 1) = n^2 + n.
Sum of n and the next even integer:n + (n + 2) = 2n + 2.
The leftover tile n + 1 is the next integer, but no box asks for that by itself.
Answer: n + 2; n^2 + n; 2n + 2
Check: Let n = 6. Next even: 8, and 6 + 2 = 8 ✓. Product with next integer: 6 \cdot 7 = 42, and 36 + 6 = 42 ✓. Sum with next even: 6 + 8 = 14, and 2(6) + 2 = 14 ✓.
Tip: Pick a real number for n and test each tile. It is the fastest way to sort expressions.
Explicación
El siguiente entero par después de n: los números pares están separados por 2, así que es n + 2.
El producto de n y el siguiente entero: el siguiente entero (de cualquier tipo) es n + 1. Producto: n(n + 1) = n^2 + n.
La suma de n y el siguiente entero par:n + (n + 2) = 2n + 2.
La ficha que sobra, n + 1, es el siguiente entero, pero ninguna casilla lo pide por sí solo.
Respuesta: n + 2; n^2 + n; 2n + 2
Comprobación: Sea n = 6. Siguiente par: 8, y 6 + 2 = 8 ✓. Producto con el siguiente entero: 6 \cdot 7 = 42, y 36 + 6 = 42 ✓. Suma con el siguiente par: 6 + 8 = 14, y 2(6) + 2 = 14 ✓.
Consejo: Elige un número real para n y prueba cada ficha. Es la forma más rápida de clasificar expresiones.
Ver en español
Pregunta
Sea n un entero par. Arrastra cada expresión a la casilla de la frase que representa. Una expresión no se usa.
el siguiente entero par después de n
el producto de n y el siguiente entero
la suma de n y el siguiente entero par
_____
_____
_____
Opciones
n + 2
n^2 + n
2n + 2
n + 1
Pista
Los enteros pares están separados por 2 (4, 6, 8). El entero que sigue inmediatamente es solo 1 más.
Pregunta 21 de 36
Completar
A farmer is building a rectangular pen against the side of a barn, as shown. The barn forms one side, so no fence is needed there. Each side touching the barn is x feet, and the side opposite the barn is (3x - 4) feet.
Rectangular pen against a barn
Write an expression for the total length of fence. How many feet of fence are needed when x = 12?
ft
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Only three sides need fence. Add their lengths, combine like terms, and then substitute.
Solución paso a paso
The fenced sides are: two sides of x feet and one side of (3x - 4) feet. The barn side gets no fence.
Total fence: x + x + (3x - 4) = 5x - 4.
Substitute x = 12: 5(12) - 4 = 60 - 4 = 56.
Answer: 56 feet
Check: At x = 12 the sides are 12 ft, 12 ft and 3(12) - 4 = 32 ft. 12 + 12 + 32 = 56 ft ✓.
Tip: Read carefully which sides need material. A full perimeter would be 2x + 2(3x - 4) = 8x - 8, which would give 88 ft, too much fence.
Explicación
Los lados con cerca son: dos lados de x pies y un lado de (3x - 4) pies. El lado del granero no lleva cerca.
Cerca total: x + x + (3x - 4) = 5x - 4.
Sustituye x = 12: 5(12) - 4 = 60 - 4 = 56.
Respuesta: 56 pies
Comprobación: Con x = 12 los lados miden 12 ft, 12 ft y 3(12) - 4 = 32 ft. 12 + 12 + 32 = 56 ft ✓.
Consejo: Lee con cuidado qué lados necesitan material. Un perímetro completo sería 2x + 2(3x - 4) = 8x - 8, lo que daría 88 ft, demasiada cerca.
Ver en español
Pregunta
Un granjero está construyendo un corral rectangular contra la pared de un granero, como se muestra. El granero forma un lado, así que ahí no se necesita cerca. Cada lado que toca el granero mide x pies, y el lado opuesto al granero mide (3x - 4) pies.
Escribe una expresión para el largo total de la cerca. ¿Cuántos pies de cerca se necesitan cuando x = 12?
_____ ft
Pista
Solo tres lados necesitan cerca. Suma sus longitudes, combina los términos semejantes y luego sustituye.
Pregunta 22 de 36
The cost, in dollars, of printing x custom T-shirts is modeled by
C = 0.02x^2 + 4x + 300
What does the 300 represent?
Pista
What is the cost when x = 0?
Solución paso a paso
Substitute x = 0: C = 0.02(0)^2 + 4(0) + 300 = 300.
So $300 is the cost even when no shirts are printed.
In business that is called a fixed cost (setup of screens, equipment, design fee).
The terms with x (0.02x^2 + 4x) are the costs that grow as more shirts are printed.
Answer: a fixed setup cost of $300 that is paid no matter how many shirts are printed
Check: Printing 1 shirt costs 0.02 + 4 + 300 = \$304.02; printing 10 costs 2 + 40 + 300 = \$342. The $300 is in every total, while the rest changes with x ✓.
Tip: In a polynomial model, the constant term is the value when the input is 0. Coefficients of x describe how the output changes.
Explicación
Sustituye x = 0: C = 0.02(0)^2 + 4(0) + 300 = 300.
Entonces $300 es el costo aun cuando no se imprime ninguna camiseta.
En los negocios, eso se llama costo fijo (preparación de las pantallas, equipo, cargo por diseño).
Los términos con x (0.02x^2 + 4x) son los costos que crecen a medida que se imprimen más camisetas.
Respuesta: un costo fijo de preparación de $300 que se paga sin importar cuántas camisetas se impriman
Comprobación: Imprimir 1 camiseta cuesta 0.02 + 4 + 300 = \$304.02; imprimir 10 cuesta 2 + 40 + 300 = \$342. Los $300 están en cada total, mientras que el resto cambia con x ✓.
Consejo: En un modelo polinomial, el término constante es el valor cuando la entrada es 0. Los coeficientes de x describen cómo cambia la salida.
Ver en español
Pregunta
El costo, en dólares, de imprimir x camisetas personalizadas se modela con
C = 0.02x^2 + 4x + 300
¿Qué representa el 300?
Opciones
A. un costo fijo que se paga aunque no se imprima ninguna camiseta
B. el costo de imprimir cada camiseta
C. el costo total de imprimir 300 camisetas
D. lo máximo que puede llegar a costar la impresión
Pista
¿Cuál es el costo cuando x = 0?
Pregunta 23 de 36
A farm stand sells 120 baskets of strawberries a week at $8 per basket. The owner estimates that for each $1 increase in price, she will sell 6 fewer baskets per week. Let x be the number of $1 increases.
Which polynomial, in simplified form, represents the weekly revenue in dollars?
Pista
Write the price and the number of baskets in terms of x, multiply them, and combine like terms carefully.
Solución paso a paso
Price per basket: 8 + x dollars.
Baskets sold: 120 - 6x.
Revenue = (8 + x)(120 - 6x).
FOIL: First 8 \cdot 120 = 960; Outer 8 \cdot (-6x) = -48x; Inner x \cdot 120 = 120x; Last x \cdot (-6x) = -6x^2.
Consejo: Después de FOIL, combina los dos términos del medio con sus signos. Escribir cada producto en su propia línea evita errores de signo.
Ver en español
Pregunta
Un puesto de una granja vende 120 canastas de fresas a la semana a $8 por canasta. La dueña calcula que por cada aumento de $1 en el precio, venderá 6 canastas menos por semana. Sea x el número de aumentos de $1.
¿Qué polinomio, en forma simplificada, representa los ingresos semanales en dólares?
Opciones
A.-6x^2 + 168x + 960
B.-6x^2 + 960
C.-6x^2 + 120x + 960
D.-6x^2 + 72x + 960
Pista
Escribe el precio y el número de canastas en términos de x, multiplícalos y combina los términos semejantes con cuidado.
Pregunta 24 de 36
Completar
A rectangular garden is 10 feet wide and 14 feet long. A gravel path of uniform width x feet will be built around all four sides of the garden.
The area of the path alone can be written in the form 4x^2 + bx square feet. What is the value of b?
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Find the area of the big rectangle (garden + path), then subtract the area of the garden.
Consejo: "Solo el borde" = (área exterior) − (área interior). Los términos constantes siempre se cancelan, lo que es una señal rápida de que restaste lo correcto.
Ver en español
Pregunta
Un jardín rectangular mide 10 pies de ancho y 14 pies de largo. Se va a construir un camino de grava de ancho uniforme x pies alrededor de los cuatro lados del jardín.
El área solo del camino se puede escribir en la forma 4x^2 + bx pies cuadrados. ¿Cuál es el valor de b?
Pista
Halla el área del rectángulo grande (jardín + camino) y luego resta el área del jardín.
Pregunta 25 de 36
Menú
A craft seller's revenue from selling x candles is -2x^2 + 80x dollars. Her cost to make x candles is 10x + 150 dollars.
Her profit is dollars, and her profit from selling 20 candles is .
Elige una respuesta en cada menú.
Pista
Profit = revenue − cost. Put the cost in parentheses, distribute the minus sign, then substitute x = 20.
Solución paso a paso
Profit = (-2x^2 + 80x) - (10x + 150).
Distribute the minus sign: -2x^2 + 80x - 10x - 150.
Comprobación: Con x = 20: ingresos = -800 + 1600 = \$800, costo = 200 + 150 = \$350, y 800 - 350 = \$450 ✓.
Consejo: Primero los ingresos, después el costo. Si inviertes el orden, obtienes el opuesto de la ganancia.
Ver en español
Pregunta
Los ingresos de una vendedora de artesanías por vender x velas son -2x^2 + 80x dólares. Su costo para hacer x velas es 10x + 150 dólares.
Su ganancia es _____ dólares, y su ganancia por vender 20 velas es _____.
Opciones
−2x² + 70x − 150
−2x² + 70x + 150
−2x² + 90x + 150
2x² − 70x + 150
$450
$750
$800
−$450
Pista
Ganancia = ingresos − costo. Pon el costo entre paréntesis, distribuye el signo menos y luego sustituye x = 20.
Pregunta 26 de 36
A wall is (x + 8) feet long and (x + 5) feet tall. It has a rectangular window that is x feet wide and 3 feet tall. Only the wall around the window will be painted.
Which expression represents the area to be painted, in square feet?
Pista
Painted area = wall area − window area. The window's area is x \cdot 3.
Consejo: El área de la ventana contiene x, así que se resta del término en x (13x - 3x), no de la constante.
Ver en español
Pregunta
Una pared mide (x + 8) pies de largo y (x + 5) pies de alto. Tiene una ventana rectangular de x pies de ancho y 3 pies de alto. Solo se va a pintar la pared alrededor de la ventana.
¿Qué expresión representa el área que se va a pintar, en pies cuadrados?
Opciones
A.x^2 + 13x + 40
B.x^2 + 10x + 40
C.x^2 + 13x + 37
D.x^2 + 16x + 40
Pista
Área pintada = área de la pared − área de la ventana. El área de la ventana es x \cdot 3.
Pregunta 27 de 36
An 8-inch by 10-inch photo is surrounded by a mat of uniform width x inches, as shown.
Photo surrounded by a mat of width x
Which expression represents the area of the mat alone, in square inches?
Pista
The outer rectangle is (8 + 2x) by (10 + 2x) because the mat is on both sides. Subtract the photo's area.
Solución paso a paso
The mat adds x on each side, so the outer dimensions are 8 + 2x and 10 + 2x.
Comprobación: Con x = 3: base 10 \times 10, altura 3, volumen 300 in³. Polinomio: 4(27) - 64(9) + 256(3) = 108 - 576 + 768 = 300 ✓.
Consejo: Cortar en los dos extremos de un lado quita 2x, no x. Comprueba tu polinomio con un valor pequeño de x comparándolo con la caja real.
Ver en español
Pregunta
A una lámina cuadrada de hojalata de 16 por 16 pulgadas se le corta un cuadrado de x pulgadas en cada esquina. Los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta.
El volumen de la caja se puede escribir como 4x^3 + bx^2 + 256x pulgadas cúbicas. ¿Cuál es el valor de b?
Pista
Después de cortar, cada lado de la base mide 16 - 2x. La altura es x. Escribe V = x(16 - 2x)^2 y desarrolla.
Pregunta 29 de 36
A rectangular room is (2x + 3) feet long and (x - 1) feet wide. Baseboard trim will go around the whole room except for a 3-foot-wide doorway.
Which expression represents the length of trim needed, in feet?
Pista
Find the full perimeter first. Then subtract the doorway.
Comprobación: Con x = 5: el cuarto mide 13 ft por 4 ft, perímetro = 34 ft, menos 3 ft = 31 ft. Expresión: 6(5) + 1 = 31 ✓.
Consejo: El perímetro suma longitudes, así que la respuesta no tiene x^2. Un término x^2 significa que multiplicaste (área) por error.
Ver en español
Pregunta
Un cuarto rectangular mide (2x + 3) pies de largo y (x - 1) pies de ancho. Se va a poner un zócalo alrededor de todo el cuarto excepto en una puerta de 3 pies de ancho.
¿Qué expresión representa la longitud de zócalo que se necesita, en pies?
Opciones
A.6x + 1
B.6x + 4
C.3x - 1
D.2x^2 + x - 6
Pista
Primero halla el perímetro completo. Luego resta la puerta.
Pregunta 30 de 36
A 20-inch by 14-inch sheet of cardboard has an x-inch square cut from each corner, and the sides are folded up to make an open box. Its volume is
V = x(20 - 2x)(14 - 2x)
What does the factor (20 - 2x) represent?
Pista
Picture the sheet after the corners are removed. What is left of the 20-inch side?
Solución paso a paso
The 20-inch side loses an x-inch square at each end, so what is left is 20 - 2x inches.
After folding, that remaining strip becomes the length of the base of the box.
Similarly, 14 - 2x is the width of the base, and x (the fold) is the height.
Check: With x = 3: the base is 14 \times 8 and the height is 3, so V = 336 in³. Formula: 3(14)(8) = 336 ✓. The factor 20 - 2(3) = 14 is indeed the length.
Tip: In a factored model, each factor usually stands for one measurable quantity. Match the starting number (20) with the part of the story it came from.
Explicación
El lado de 20 pulgadas pierde un cuadrado de x pulgadas en cada extremo, así que lo que queda es 20 - 2x pulgadas.
Después de doblar, esa franja que queda se convierte en el largo de la base de la caja.
De la misma manera, 14 - 2x es el ancho de la base, y x (el doblez) es la altura.
Volumen = largo \times ancho \times altura coincide con V = (20 - 2x)(14 - 2x)(x).
Respuesta: el largo de la base de la caja, en pulgadas
Comprobación: Con x = 3: la base mide 14 \times 8 y la altura es 3, así que V = 336 in³. Fórmula: 3(14)(8) = 336 ✓. El factor 20 - 2(3) = 14 es efectivamente el largo.
Consejo: En un modelo factorizado, cada factor suele representar una cantidad medible. Relaciona el número inicial (20) con la parte de la historia de donde viene.
Ver en español
Pregunta
A una lámina de cartón de 20 por 14 pulgadas se le corta un cuadrado de x pulgadas en cada esquina, y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. Su volumen es
V = x(20 - 2x)(14 - 2x)
¿Qué representa el factor (20 - 2x)?
Opciones
A. la altura de la caja
B. el largo original del cartón
C. el área del fondo de la caja
D. el largo de la base de la caja
Pista
Imagina la lámina después de quitar las esquinas. ¿Qué queda del lado de 20 pulgadas?
Pregunta 31 de 36
A sheet of metal measures 24 inches by 18 inches. A square with side x inches is cut from each corner, and the sides are folded up to form an open-top tray.
Which polynomial represents the volume of the tray, in cubic inches?
Pista
Find the length, width and height after folding. Multiply the two binomials first, then multiply by the height.
Solución paso a paso
Length = 24 - 2x, width = 18 - 2x (a square is removed at both ends of each side).
Consejo: Un volumen con tres dimensiones variables debe tener un término x^3. Usa eso para eliminar cualquier opción que sea solo de grado 2.
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Pregunta
Una lámina de metal mide 24 pulgadas por 18 pulgadas. Se corta un cuadrado de lado x pulgadas en cada esquina y se doblan los lados hacia arriba para formar una bandeja abierta.
¿Qué polinomio representa el volumen de la bandeja, en pulgadas cúbicas?
Opciones
A.4x^3 - 84x^2 + 432x
B.x^3 - 42x^2 + 432x
C.4x^2 - 84x + 432
D.4x^3 + 84x^2 + 432x
Pista
Halla el largo, el ancho y la altura después de doblar. Primero multiplica los dos binomios y luego multiplica por la altura.
Pregunta 32 de 36
A food truck sells 150 meals a day at $8 each. For each $1 price increase, it expects to sell 10 fewer meals. Let x be the number of $1 increases.
The truck's daily cost is $300 plus $2 for each meal sold. Which polynomial represents the daily profit, in dollars?
Pista
Build revenue as (price)(meals). Build cost as 300 + 2(\text{meals}). Then subtract.
Consejo: Cuando el costo depende de la cantidad vendida, escríbelo con el mismo factor de cantidad que los ingresos. Así, restar -20x se convierte en +20x.
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Pregunta
Un camión de comida vende 150 comidas al día a $8 cada una. Por cada aumento de $1 en el precio, espera vender 10 comidas menos. Sea x el número de aumentos de $1.
El costo diario del camión es $300 más $2 por cada comida vendida. ¿Qué polinomio representa la ganancia diaria, en dólares?
Opciones
A.-10x^2 + 50x + 600
B.-10x^2 + 90x + 600
C.-10x^2 + 70x + 900
D.-10x^2 + 50x + 1800
Pista
Arma los ingresos como (precio)(comidas). Arma el costo como 300 + 2(\text{comidas}). Luego resta.
Pregunta 33 de 36
Completar
A rectangular metal plate measures (3x + 2) cm by (2x + 5) cm. Two square holes, each with sides of x cm, are cut out of the plate.
Write a simplified polynomial for the area of the remaining metal. Then find that area, in square centimeters, when x = 3.
cm²
Escribe tu respuesta en el recuadro. Puedes usar fracciones como 3/4.
Pista
Remaining area = plate area − 2 × (one hole's area). Simplify first, then substitute.
Comprobación: Con x = 3 la placa mide 11 \times 11 = 121 cm², los dos agujeros miden 2 \times 9 = 18 cm², y 121 - 18 = 103 cm² ✓.
Consejo: Cuenta los cortes. "Dos agujeros" significa restar dos veces el área del agujero. Comprobar con números reales es una forma rápida de confirmar tu polinomio.
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Pregunta
Una placa rectangular de metal mide (3x + 2) cm por (2x + 5) cm. Se cortan dos agujeros cuadrados en la placa, cada uno con lados de x cm.
Escribe un polinomio simplificado para el área del metal que queda. Luego halla esa área, en centímetros cuadrados, cuando x = 3.
_____ cm²
Pista
Área que queda = área de la placa − 2 × (área de un agujero). Primero simplifica y luego sustituye.
Pregunta 34 de 36
A rectangular garden is w feet wide, and its length is 5 feet more than twice its width. The owner plans to make the garden 3 feet longer and 3 feet wider.
Which expression represents the increase in the garden's area, in square feet?
Pista
Write the old area and the new area as polynomials. The increase is new − old.
Solución paso a paso
Old dimensions: width w, length 2w + 5. Old area = w(2w + 5) = 2w^2 + 5w.
New dimensions: width w + 3, length 2w + 5 + 3 = 2w + 8.
New area = (w + 3)(2w + 8) = 2w^2 + 8w + 6w + 24 = 2w^2 + 14w + 24.
Increase = new - old = (2w^2 + 14w + 24) - (2w^2 + 5w) = 9w + 24.
Answer: 9w + 24 square feet
Check: With w = 4: old garden 4 \times 13 = 52 ft²; new garden 7 \times 16 = 112 ft²; increase 60 ft². Expression: 9(4) + 24 = 60 ✓.
Tip: An "increase" or "change" is always a subtraction: new minus old. The w^2 terms cancel here, a good sign your setup is right.
Explicación
Dimensiones anteriores: ancho w, largo 2w + 5. Área anterior = w(2w + 5) = 2w^2 + 5w.
Dimensiones nuevas: ancho w + 3, largo 2w + 5 + 3 = 2w + 8.
Área nueva = (w + 3)(2w + 8) = 2w^2 + 8w + 6w + 24 = 2w^2 + 14w + 24.
Aumento = nueva - anterior = (2w^2 + 14w + 24) - (2w^2 + 5w) = 9w + 24.
Respuesta: 9w + 24 pies cuadrados
Comprobación: Con w = 4: jardín anterior 4 \times 13 = 52 ft²; jardín nuevo 7 \times 16 = 112 ft²; aumento 60 ft². Expresión: 9(4) + 24 = 60 ✓.
Consejo: Un "aumento" o "cambio" siempre es una resta: nuevo menos anterior. Aquí los términos w^2 se cancelan, buena señal de que tu planteamiento es correcto.
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Pregunta
Un jardín rectangular mide w pies de ancho, y su largo es 5 pies más que el doble de su ancho. La dueña planea hacer el jardín 3 pies más largo y 3 pies más ancho.
¿Qué expresión representa el aumento del área del jardín, en pies cuadrados?
Opciones
A.9w + 24
B.2w^2 + 14w + 24
C.4w^2 + 19w + 24
D.9
Pista
Escribe el área anterior y el área nueva como polinomios. El aumento es nueva − anterior.
Pregunta 35 de 36
Varias respuestas
A concert hall sells 500 tickets at $30 each. For each $2 decrease in price, it expects to sell 40 more tickets. Let x be the number of $2 decreases.
Select all expressions that represent the revenue, in dollars.
Selecciona todas las opciones correctas.
Pista
Price = 30 - 2x, tickets = 500 + 40x. Revenue is their product, in any equivalent form.
Saca un 2 del precio y un 20 de los boletos: (30 - 2x) = 2(15 - x) y (500 + 40x) = 20(25 + 2x), así que ingresos = 40(15 - x)(25 + 2x). ✓
(30 + 2x)(500 - 40x) invierte las dos direcciones ✗; -80x^2 + 2200x + 15000 tiene un error de signo en FOIL ✗; (30 - 2x) + (500 + 40x) suma en vez de multiplicar ✗.
Comprobación: Con x = 1: precio $28, 540 boletos, ingresos $15,120. Forma desarrollada: -80 + 200 + 15000 = 15120 ✓; 40 \cdot 14 \cdot 27 = 15120 ✓.
Consejo: Una disminución de precio significa - en el factor del precio y + en el factor de la cantidad. Todas las formas equivalentes dan el mismo valor para cualquier x: prueba una.
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Pregunta
Una sala de conciertos vende 500 boletos a $30 cada uno. Por cada disminución de $2 en el precio, espera vender 40 boletos más. Sea x el número de disminuciones de $2.
Selecciona todas las expresiones que representan los ingresos, en dólares.
Opciones
A.(30 - 2x)(500 + 40x)
B.(30 + 2x)(500 - 40x)
C.-80x^2 + 200x + 15000
D.-80x^2 + 2200x + 15000
E.40(15 - x)(25 + 2x)
F.(30 - 2x) + (500 + 40x)
Pista
Precio = 30 - 2x, boletos = 500 + 40x. Los ingresos son su producto, en cualquier forma equivalente.
Pregunta 36 de 36
A rectangular pool is 25 feet long and 10 feet wide. A deck of uniform width x feet will be built along both 25-foot sides and one 10-foot side of the pool (not the other 10-foot side).
Which expression represents the area of the deck alone, in square feet?
Pista
Sketch it. The deck adds 2x to the width (both long sides) but only x to the length (one end).
Solución paso a paso
The deck runs along both 25-ft sides, so the total width is 10 + 2x.
It runs along only one 10-ft end, so the total length is 25 + x.
Solo la terraza: 2x^2 + 60x + 250 - 250 = 2x^2 + 60x.
Respuesta: 2x^2 + 60x pies cuadrados
Comprobación: Con x = 4: rectángulo exterior 29 \times 18 = 522 ft², menos 250 da 272 ft². Expresión: 2(16) + 60(4) = 32 + 240 = 272 ✓.
Consejo: Para bordes parciales, decide lado por lado si el borde agrega x o 2x a cada dimensión. Luego las dos esquinas de la terraza dan el término 2x^2.
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Pregunta
Una piscina rectangular mide 25 pies de largo y 10 pies de ancho. Se va a construir una terraza de ancho uniforme x pies a lo largo de los dos lados de 25 pies y de un lado de 10 pies de la piscina (no del otro lado de 10 pies).
¿Qué expresión representa el área solo de la terraza, en pies cuadrados?
Opciones
A.4x^2 + 70x
B.2x^2 + 60x
C.2x^2 + 60x + 250
D.60x
Pista
Haz un dibujo. La terraza agrega 2x al ancho (los dos lados largos) pero solo x al largo (un extremo).
