Resolver desigualdades lineales

1. A la variable se le suma 7, así que haz lo contrario: resta 7 en ambos lados. x + 7 - 7 > 12 - 7
2. Simplifica cada lado: x > 5
3. Restar nunca invierte el signo de la desigualdad, y el símbolo sigue siendo estricto (>, no \ge).

Respuesta: x > 5

Comprobación: prueba x = 6: 6 + 7 = 13 y 13 > 12 ✓. Prueba el límite x = 5: 5 + 7 = 12 y 12 > 12 es falso, así que el 5 correctamente no se incluye.

Consejo: sumar o restar el mismo número en ambos lados nunca cambia la dirección de la desigualdad; solo multiplicar o dividir entre un negativo la cambia.

1. El coeficiente de x es -4. Divide ambos lados entre -4.
2. Como estás dividiendo entre un número negativo, invierte el signo: \le se convierte en \ge. \frac{-4x}{-4} \ge \frac{20}{-4}
3. Simplifica: x \ge -5

Respuesta: x \ge -5

Comprobación: prueba x = 0 (está en el conjunto solución): -4(0) = 0 y 0 \le 20 ✓. Prueba x = -10 (no está en el conjunto): -4(-10) = 40 y 40 \le 20 es falso ✓. El límite x = -5 da 20 \le 20, verdadero, así que el círculo es cerrado.

Consejo: siempre que el número delante de la variable sea negativo, escribe el signo invertido en tu pizarra borrable antes de hacer la división.

1. A x se le resta 9, así que haz lo contrario: suma 9 en ambos lados. x - 9 + 9 \ge -14 + 9
2. Simplifica. Sumar un número positivo a -14 te mueve 9 unidades a la derecha en la recta numérica: x \ge -5
3. Sumaste un número, así que el signo no cambia. La constante negativa del lado derecho no importa: solo multiplicar o dividir entre un número negativo invierte el signo.

Respuesta: x \ge -5

Comprobación: Límite x = -5: -5 - 9 = -14, y -14 \ge -14 es verdadero, así que -5 está incluido. Dentro del conjunto, x = 0: 0 - 9 = -9 \ge -14 ✓. Fuera, x = -6: -15 \ge -14 es falso ✓.

Consejo: Un número negativo en el lado derecho nunca es razón para invertir el signo. Inviértelo solo cuando multipliques o dividas ambos lados entre un negativo.

1. x está dividido entre -5, así que deshazlo multiplicando ambos lados por -5.
2. Multiplicar por un número negativo invierte el signo: < se convierte en >. \frac{x}{-5} \cdot (-5) > 3 \cdot (-5)
3. Simplifica: x > -15

Respuesta: x > -15

Comprobación: Prueba x = 0 (está en el conjunto): \frac{0}{-5} = 0 y 0 < 3 ✓. Prueba x = -20 (no está en el conjunto): \frac{-20}{-5} = 4 y 4 < 3 es falso ✓. El límite x = -15 da 3 < 3, que es falso, así que el signo sigue siendo estricto.

Consejo: Deshacer un denominador negativo es multiplicar por un negativo, así que invierte el signo igual que dividir entre un negativo.

1. x está dividido entre 4, así que multiplica ambos lados por 4.
2. Estás multiplicando por 4, que es positivo, así que el signo sigue siendo >. (El -2.5 es solo un número en un lado; no hace que se invierta el signo). \frac{x}{4} \cdot 4 > -2.5 \cdot 4
3. Simplifica: x > -10

Respuesta: x > -10

Comprobación: Prueba x = 0: \frac{0}{4} = 0 > -2.5 ✓. Prueba x = -12: \frac{-12}{4} = -3 y -3 > -2.5 es falso ✓ (-3 está más a la izquierda). El límite x = -10 da -2.5 > -2.5, que es falso, así que el signo sigue siendo estricto.

Consejo: Pregúntate "¿por qué número estoy multiplicando o entre qué número estoy dividiendo?". Solo un multiplicador o divisor negativo invierte el signo. Los signos de los demás números no importan.

1. Resta 5 en ambos lados (el 5 es positivo, así que réstalo): 5 - 2x - 5 > 11 - 5 \quad\Rightarrow\quad -2x > 6
2. Divide ambos lados entre -2. Dividir entre un negativo invierte el signo, así que > se convierte en <: x < \frac{6}{-2}
3. Simplifica: x < -3

Respuesta: x < -3

Comprobación: prueba x = -4: 5 - 2(-4) = 5 + 8 = 13 y 13 > 11 ✓. Prueba x = 0: 5 > 11 es falso ✓, así que los valores a la derecha de -3 realmente quedan excluidos.

Consejo: el término -2x lleva consigo su signo menos. Tómalo como "-2 por x"; por eso el último paso es una división entre -2.

1. Aplica la propiedad distributiva: multiplica el 2 por los dos términos dentro del paréntesis: 2x + 8 \ge 3x - 1
2. Resta 2x en ambos lados (así el término con x queda positivo): 8 \ge x - 1
3. Suma 1 en ambos lados: 9 \ge x
4. Léelo de derecha a izquierda, volteando el símbolo con él: 9 \ge x significa x \le 9.

Respuesta: x \le 9

Comprobación: límite x = 9: 2(13) = 26 y 3(9) - 1 = 26, iguales ✓. Dentro, x = 0: 8 \ge -1 ✓. Fuera, x = 10: 28 \ge 29 es falso ✓.

Consejo: junta la variable en el lado donde su coeficiente queda positivo; así nunca tendrás que invertir el signo.

1. Suma 1 en ambos lados: \frac{2}{3}x < 8
2. Multiplica ambos lados por el recíproco \dfrac{3}{2} (es positivo, no se invierte el signo): x < 8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12

Respuesta: x < 12

Comprobación: límite x = 12: \tfrac{2}{3}(12) - 1 = 8 - 1 = 7, igual al lado derecho ✓. Dentro, x = 6: 4 - 1 = 3 < 7 ✓.

Consejo: para deshacer una multiplicación por una fracción, multiplica por su recíproco (voltea la fracción). Voltear la fracción no es lo mismo que invertir el signo de la desigualdad: el signo solo se invierte con negativos.

1. Resta 9 en ambos lados: 9 - 4x - 9 < 29 - 9 \quad\Rightarrow\quad -4x < 20
2. Divide ambos lados entre -4. Dividir entre un negativo invierte el signo, así que < se convierte en >: x > \frac{20}{-4}
3. Simplifica: x > -5

Respuesta: x > -5

Comprobación: Prueba x = 0: 9 - 0 = 9 y 9 < 29 ✓. Prueba x = -6: 9 + 24 = 33 y 33 < 29 es falso ✓. Límite x = -5: 9 + 20 = 29, y 29 < 29 es falso, así que el signo sigue siendo estricto.

Consejo: En 9 - 4x, el signo menos pertenece a 4x. Si te ayuda, reescríbelo como -4x + 9 para ver que el coeficiente es -4.

Revisa cada paso:

1. Paso 1: Aplica la propiedad distributiva con el 2 en ambos términos: 2 \cdot 5 - 2 \cdot x = 10 - 2x. Entonces, 10 - 2x > 4 ✓.
2. Paso 2: Resta 10 en ambos lados: -2x > 4 - 10 = -6 ✓.
3. Paso 3: Divide ambos lados entre -2. Como -2 es negativo, el signo debe invertirse: x < \frac{-6}{-2} \quad\Rightarrow\quad x < 3 Keisha escribió x > 3: se le olvidó invertir el signo. ✗
4. El paso 4 solo repite el paso 3, así que está mal a causa del paso 3.

Respuesta: Paso 3

Comprobación: Prueba x = 4 (está en la respuesta de Keisha): 2(5 - 4) = 2, y 2 > 4 es falso. Prueba x = 0 (está en la respuesta correcta x < 3): 2(5) = 10 > 4 ✓. Entonces, la solución correcta es x < 3.

Consejo: En las preguntas de "encuentra el error", prueba un número de la respuesta final del estudiante en la desigualdad original. Si no la cumple, regresa hasta el primer paso donde se rompió una regla.

1. Aplica la propiedad distributiva con el 4: 4x - 8 \le 4x + 3
2. Resta 4x en ambos lados: -8 \le 3
3. La variable desapareció. El enunciado -8 \le 3 es siempre verdadero: no depende de x.
4. Entonces, todos los valores de x hacen verdadera la desigualdad original.

Respuesta: todos los números reales

Comprobación: Prueba cualquier número. x = 0: -8 \le 3 ✓. x = 100: 392 \le 403 ✓. x = -50: -208 \le -197 ✓. El lado izquierdo siempre es 11 menos que el lado derecho.

Consejo: Cuando los términos con x se cancelan, lee lo que queda: un enunciado verdadero (como -8 \le 3) significa todos los números reales; un enunciado falso (como 5 < 2) significa que no hay solución.

1. Aplica la propiedad distributiva en cada lado: 5x - 5 - 2x < 3x + 6 - x
2. Combina los términos semejantes en cada lado: 3x - 5 < 2x + 6
3. Resta 2x en ambos lados (así el coeficiente de x sigue siendo positivo): x - 5 < 6
4. Suma 5 en ambos lados: x < 11

Respuesta: x < 11

Comprobación: Límite x = 11: izquierda 5(10) - 22 = 28, derecha 3(13) - 11 = 28, son iguales ✓. Dentro, x = 0: izquierda -5, derecha 6, y -5 < 6 ✓. Fuera, x = 12: izquierda 31, derecha 30, y 31 < 30 es falso ✓.

Consejo: Simplifica cada lado por completo antes de pasar términos de un lado al otro. Luego mueve el término con x más pequeño para que el coeficiente siga siendo positivo y nunca tengas que invertir el signo.

1. Aplica la propiedad distributiva con \frac{1}{2} en ambos términos: \frac{1}{2}x + 3 \ge 2x - 3
2. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados: 3 \ge 1.5x - 3
3. Suma 3 en ambos lados: 6 \ge 1.5x
4. Divide entre 1.5 (es positivo, no se invierte el signo): 4 \ge x, \text{ lo que significa } x \le 4
5. Solo una opción es menor que o igual a 4: el 4 mismo.

Respuesta: x = 4

Comprobación: Sustituye x = 4: izquierda \frac{1}{2}(10) = 5, derecha 8 - 3 = 5, y 5 \ge 5 ✓. Sustituye 4.5: izquierda 5.25, derecha 6; 5.25 \ge 6 es falso ✓.

Consejo: En las preguntas de "qué valor es una solución", sustituir las opciones en la desigualdad original es un buen respaldo, aunque también la hayas resuelto.

1. La barra de fracción agrupa x + 8, así que x + 8 está dividido entre 3. Primero deshaz la división: multiplica ambos lados por 3 (es positivo, sin invertir): x + 8 \le 15
2. Resta 8 en ambos lados: x \le 7

Respuesta: x \le 7

Comprobación: Límite x = 7: \frac{7 + 8}{3} = \frac{15}{3} = 5 \le 5 ✓. Dentro, x = 1: \frac{9}{3} = 3 \le 5 ✓. Fuera, x = 10: \frac{18}{3} = 6 \le 5 es falso ✓.

Consejo: Una barra de fracción funciona como unos paréntesis alrededor del numerador. Cuando el +8 está dentro de la fracción, elimina primero el denominador; cuando está fuera (como en \frac{x}{3} + 8), deshaz primero el +8.

1. Aplica la propiedad distributiva con -3 a los dos términos: -3 \cdot x = -3x y -3 \cdot (-2) = +6. 4 - 3x + 6 > 2x - 15
2. Combina los términos semejantes de la izquierda: 10 - 3x > 2x - 15
3. Resta 2x en ambos lados: 10 - 5x > -15
4. Resta 10 en ambos lados: -5x > -25
5. Divide entre -5 e invierte el signo: x < 5

Respuesta: x < 5

Comprobación: x = 0: izquierda 4 - 3(-2) = 10, derecha -15; 10 > -15 ✓. x = 6: izquierda 4 - 12 = -8, derecha -3; -8 > -3 es falso ✓.

Consejo: toma el signo menos delante del paréntesis como parte del multiplicador: -3(x - 2) = -3x + 6.

1. Multiplicar ambos lados por 6 exige multiplicar cada término: 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 4 \ge 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 5 \quad\Rightarrow\quad 2x - 24 \ge 3x - 30 Tomás multiplicó solo las fracciones y dejó -4 y -5 sin cambiar, así que el Paso 1 está mal.
2. Los Pasos 2–4 siguen correctamente a partir de su Paso 1 (incluida la inversión del signo en el Paso 4), pero empiezan desde una línea equivocada.
3. Solución correcta: resta 3x → -x - 24 \ge -30; suma 24 → -x \ge -6; divide entre -1 e invierte el signo → x \le 6.

Respuesta: El primer error está en el Paso 1; las constantes no se multiplicaron por 6. La solución correcta es x \le 6.

Comprobación: x = 6: izquierda 2 - 4 = -2, derecha 3 - 5 = -2; -2 \ge -2 ✓. x = 3 (no está en la respuesta de Tomás, pero sí en la correcta): izquierda -3, derecha -3.5; -3 \ge -3.5 ✓, así que x \le 1 se queda corto.

Consejo: Cuando elimines fracciones, dibuja una flecha desde el multiplicador hasta cada término de ambos lados, incluidos los números enteros.

1. En el límite x = -4, los dos lados son iguales: a(-4) + 7 = 19
2. Resta 7: -4a = 12
3. Divide entre -4: a = -3
4. Revisa la dirección: la solución dada tiene \le y la original tiene \ge, así que el signo se invirtió, y eso solo pasa cuando divides entre un coeficiente negativo. a = -3 es negativo ✓.

Respuesta: a = -3

Comprobación: Resuelve -3x + 7 \ge 19: resta 7 → -3x \ge 12; divide entre -3 e invierte el signo → x \le -4 ✓.

Consejo: En las desigualdades que se resuelven hacia atrás, el límite te da el número y la dirección te dice el signo: un símbolo invertido significa que el coeficiente era negativo.

1. Multiplica ambos lados por -2. Es negativo, así que cambia > por <: 3x - 4 < -14
2. Suma 4 en ambos lados: 3x < -10
3. Divide entre 3 (es positivo, sin invertir): x < -\frac{10}{3} \approx -3.33
4. En una recta numérica, -3.33 está entre -4 y -3. Los números menores que -3.33 están a su izquierda, así que el mayor entero es -4. (-3 está a la derecha de -3.33, así que no es una solución).

Respuesta: -4

Comprobación: x = -4: \frac{-12 - 4}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8 > 7 ✓. x = -3: \frac{-13}{-2} = 6.5 > 7 es falso ✓.

Consejo: "Redondear" un límite negativo es donde ocurren más errores. Coloca siempre el límite en una recta numérica y muévete en la dirección sombreada hasta el primer entero.

1. Aplica la propiedad distributiva con -3 en ambos términos: -3 \cdot x = -3x y -3 \cdot (-4) = +12. Entonces, la primera línea debe ser -3x + 12 \ge 2x - 8. Ana tiene razón; Ben escribió -12, un error de signo.
2. El siguiente paso de Ana: resta 2x y resta 12 → -5x \ge -20 ✓.
3. Ana divide entre -5 e invierte el signo: x \le 4 ✓. (La inversión de Ben también es correcta, pero su trabajo empezó desde una línea equivocada).

Respuesta: Ana tiene razón; Ben cometió un error de signo al aplicar la propiedad distributiva.

Comprobación: x = 4: izquierda -3(0) = 0, derecha 8 - 8 = 0; 0 \ge 0 ✓. x = 0 (está en el conjunto de Ana, no en el de Ben): izquierda 12, derecha -8; 12 \ge -8 ✓, así que la respuesta de Ben, x \le -0.8, deja fuera soluciones reales.

Consejo: Un número negativo por un número negativo da positivo. Cuando apliques la propiedad distributiva con un negativo, escribe cada producto por separado antes de combinar.